35 bài tập tích phân biến đổi file word có lời giải chi tiết image marked

Bài 1: Tính các tích phân sau
 /3

1)

I=

cos x
dx

sin
x
−
5
sin
x
+
6
 /6
 /3

2)

I=


0

 /6

3)

I=



Đs: I = ln

sin 3 x
dx
2 + cos x

Hd: Đặt t = cos x

Đs: I =

sin 2 x
dx
2 sin x + cos 2 x

Hd: Đặt t = 2 sin 2 x + cos 2 x

Đs: I = ln

Hd: Đặt t = x 2 + 1

Đs: I =

1 3
ln
2 2

Hd: Đặt t = 1 + x 2

Đs: I =

141
10

Hd: Đặt t = ln x

Đs: I =

4
3

dx

Hd: Đặt t = 2 + e x

Đs: I =

1

)

Hd: Đặt t = 1 − x 3

Đs: I =

1

168

2

0
8

4)

I=

1

x

x +1
2

3

7

5)

I=


0

x3

1+ x2

3

dx

dx

1 + ln 2 x
dx
x
1
e

6)

I =

7)

I=

ln 2

1



2 + ex

0

(

1

8)

I =  x 5 1 − x 3 dx
6

0

Hd: Đặt

1

9)

x
I = 4
dx
2
0 x + x +1

10)

I=

1

3
t = x ;t + =
tan u
2
2

Đs: I =

2

3

x

11)

I=


0

 /6

12)

I=


0

I=

I=


6 3

Hd: Đặt t = cos x

Đs: I =

1 1
− ln 2
2 2

cos x
dx
6 − 5 sin x + sin 2 x

Hd: Đặt t = sin x

Đs: I = ln

Hd: Đặt t = sin x

Đs: I =

Hd: Đặt t = 1+ 2 ln x

Đs: I =

x
1

(2 − 2 )( 3 + 2 )
(2 + 2 )( 3 − 2 )

sin x. cos 3 x
dx
1 + cos 2 x

0

14)

8

ln

848
105



e

5
4

Đs: I =

 /2

13)

5
5
+ 3 ln
2
6

Hd: Đặt t = 1 + x 2

5

1 + x 2 dx

0

 /2

( )
5(4 − 3 )
36− 3

Hd: Đặt t = sin x

2

cos x

7 + cos 2 x

3 − 2ln x
1+ 2ln x

dx

dx

10
9


6 2
10 2 − 11
3

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

1


 /4

15)



I=

0

1 − 2 sin 2 x
dx
1 + sin 2 x

Hd: Đặt t = 1+ sin 2x

Đs: I =

sin 2 x
dx
4 − cos 2 x

Hd: Đặt t = 4 − cos 2 x

Đs: I = ln

dx

Hd: Đặt t = e x + 1

Đs: I = 2 − 1

dx

Hd: Đặt t = x 2 + 4

Đs: I =

1 5
ln
4 3

Hd: Đặt t = x + 1

Đs: I =

11
− 4 ln 2
3

Hd: Đặt t = 1+ 3 ln x

Đs: I =

116
135

Hd: Đặt t = e x − 1

Đs: I =

20
3

Hd: Đặt t = 3 x 4 + 1

Đs: I =

3 3 3
+ ln
8 4 2

Hd: Đặt t = 2 + x 3

Đs: I =

3 3−2 2
9

Hd: Đặt t = x 2 + 1

Đs: I =

2 2 −1
3

 /4

16)



I=

0
ln 3

17)

I=

ex



(e

0

x

2 3

18)

1



I=

x x +4
2

5

2

19)

x

I =

1+ x +1

1

I =
1

ln 5

21)



I=

ln 2
4

22)

I=

dx

1 + 3 ln x . ln x
dx
x

e

20)

)

+1

3

e2x
e −1
x

7

1+
0

dx

x3
3

x4 +1

dx

1

23)

I =  x 2 2 + x 3 dx
0

1

24)

I =  x x 2 + 1dx
0

1
ln 2
2
7
6

Bµi 2: TÝnh c¸c tÝch ph©n sau
1/ 2

1)



I=

0

x2
1− x2

dx

Hd: §Æt x = sin t

§s: I =

Hd: Đặt x = 2 sin t

Đs: I =

2

2)

I =  x 2 4 − x 2 dx
1

2/ 3

3)

I=



1

3

4)

I=


1

1
x x −1
2

dx

9 + 3x 2
dx
x2

Hd: Đặt x =

1
sin t

Hd: Đặt x = 3 tan t

Đs: I =


8


6

−

+

1
4

3
24


6

Đs: I = 2 3 − 6 +

3
2+ 2
ln
2
32− 2

(

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

)
2


1+ x
dx
1− x

0

5)

I=



−1

I =

(a  0)

a+x
dx
a−x

0

6)



−a

Đs: I = 1 −

Hd: Đặt x = a. cos 2t

 
Đs: I = a1 − 
4


Hd: Đặt x = tan t

Đs: I =

Hd: Đặt x = 2 sin t

Đs: I =  + 3

Hd: Đặt x = 3 cos t

Đs: I =

1

7)

I =  x x 2 + 1dx



Hd: Đặt x = cos 2t

0

4

2 2 −1
3

3

8)

I=



4 − x 2 dx

−1

9)

3
2



I=

1

−3 2
2

6

10)

I=


3 2

(9 − x )

2 3

1
x x2 − 9

dx

dx

Hd: Đặt x =

3
sin t

Đs: I =

2

11)

1
dx
2
4
+
x
0

I =

Hd: Đặt x = 2 tan t

Đs: I =

3+ 3
27


36


8

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

3


LỜI GIẢI CHI TIẾT
Bài 1: Tính các tích phân sau
1)
 /3

cos x
dx
/ 6 sin x − 5 sin x + 6




I=

2

LG
Đặt sin x = t  cosxdx = dt
Đổi cận:
x



6


3

t

1
2

3
2

3
2



I=

1
2

dt
=
2
t − 5t + 6

3
2

Vậy I = ln

2)

 /3

I=


0

1 

1
2

= ( ln t − 3 − ln t − 2 )
3
−3
= ln 2
− ln
3
−2
2

 1

dt

 ( t − 2)( t − 3) =   t − 3 − t − 2  dt
3
2
1
2

= ln

t −3
t −2

3
2
1
2

(
(

1
−3
3 6− 3
3−6
5
2
= ln
− ln = ln
1
3
3−4

5 4− 3
−2
2

)
)

( )
5(4 − 3 )
36− 3

sin3 x
dx =
2 + cos x

 /3


0

1 − cos2 x
sin xdx
2 + cos x

LG:
Đặt cosx = t  sin xdx = −dt
Đổi cận:

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

4


x

0


3

t

1

1
2

1
2

1− t 2
−t 2 + 1
3 

(−dt ) = 
dt =   −t + 2 −
dt
2
+
t

t
+
2
t
+
2


1
1
1

I =

1

1

2

2

1

 t2

5
 1
  1
=  − + 2t − 3ln t + 2  =  − + 2 − 3ln3 −  − + 1− 3ln 

2
  8
 2
1  2
2

=

3
7
5 5
5
− 3ln3 − + 3ln = + 3ln
2
8
2 8
6

Vậy I =

5
5
+ 3ln
8
6

3)
 /6

I=


0

sin2x
dx =
2
2sin x + cos2 x

 /6


0

2sin x cos x
dx
2sin2 x + cos2 x

LG:
Đặt 2sin2 x + cos2 x = t  ( 4sin x cos x − 2cos x sin x) dx = dt  2sin x cos xdx = dt
Đổi cận:
x

0


6

t

1

5
4

5
4

dt
I =  = ln t
t
1

Vậy: I = ln

5
4
1

5
5
= ln − ln1 = ln
4
4

5
4

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

5


4)
8

8

1

 x x2 + 1dx =
3

I=

x

x

2

3

dx
x2 + 1

LG:
x2 + 1 = t  x2 = t 2 − 1

Đặt

 xdx = tdt
Đổi cận:
x

3

8

t

2

3

3

tdt
dt
1  1
1 
1 t −1
=
= 
−
dt = ln

2
2 t +1
t − 1 t 2 ( t − 1)( t + 1) 2 2  t − 1 t + 1 

3

I =

(

2

3

)

3

2

1 1
1 1 3
=  ln − ln  = ln
2 2
3 2 2

Vậy: I =

1 3
ln
2 2

5)
7

I=

x3



3

0

1+ x2

7

dx =


0

x2
3

1+ x2

xdx

LG
Đặt 3 1+ x2 = t  x2 = t 3 − 1, 2xdx = 3t 2dt
Đổi cận:

x

0

7

t

1

2
2

2
t 3 − 1 3t 2
3 4
3  t5 t2 
3  32
 33
I =
dt =  t − t dt =  −  =  − 2  =
t 2
20
2 5 2  0 2 5
 5
0
2

Vậy I =

(

)

33
5

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

6


6)
1 + ln 2 x
dx
x
1
e

I =

LG
1
dx = dt
x

Đặt ln x = t 
Đổi cận:

1

I =

x

1

e

t

0

1
1

 t3 
4
1+ t dt =  + t  =
 3 0 3

(

0

2

)

4

3

Vậy I =

7)
ln 2

I=

1



2 + ex

0

dx

LG:
2 + ex = t  2 + ex = t 2  dx =

Đặt

2tdt
t2 − 2

Đổi cận:
x

0

ln2

t

3

2

2

2

dt
dt
1
= 2
=
2
t −2
2
t+ 2
3
3 t− 2

I = 2

1

I=

=

8

1
2

ln

ln

(2 −
(2 +

t− 2
t+ 2

( )(
2 )( 3 + 2 )
2 )( 3 − 2 )

2

=
3

)

2



1

  t −
3

2

−


 dt
t+ 2
1

1  2− 2
3 − 2  1  2 − 2  3 − 2 
− ln
ln 
 ln
=


2  2 + 2
3 + 2 
2  2 + 2 
 3 + 2 

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

7


8)
1

(

I =  x 1− x
5

0

3

1

) dx =  x (1− x ) x dx
6

3

3

6

2

0

LG:
Đặt 1 − x3 = t  x2dx =

dt 3
, x = 1− t
−3

Đổi cận:
x

0

1

t

1

0
1

1
1
1
1 6 7
1  t 7 t8 
6

I =  (1− t )t dt =  (t − t )dt =  − 
30
30
3 7 8  0

1 1 1
1
=  − =
3  7 8  168

Vậy I =

1

9)

I =
0

1
168

x
dx
x + x2 +1
4

LG
Đặt x2 = t  2xdx = dt
Đổi cận:

x

0

1

t

0

1

1

1

dt
dt
I = 2 2
= 2
2
t + t +1
1 3
0
0 
t
+
 2 + 4



Đặt t +

1
3
3
=
tan u  dt =
tan u
2 2
2

Đổi cận:
t

0

1

u


6


3

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

8







3

3 1
du
4 33
4 33
 I = 2
=
du
=
2
3
3 
3 
 2 cos u
tan2 u + 1
6
6
6
4

(

=

)

4 3     2 3
−
=
3  3 6 
9

Vậy I =

2 3
9

10)
3



I=

0

3

( )

x5 1+ x2 dx =  x2

2

1+ x2 xdx

0

LG:
Đặt 1+ x2 = t  1+ x2 = t 2 , xdx = tdt
Đổi cận:

2

x

0

3

t

1

2

(

)

2

2

I =  t − 1 t.tdt = 
2

1

1

(

2

 t7
t5 t3 
t − 2t + t dt =  − 2 + 
5 3 1
7
6

4

2

)

 27
25 23   17
15 13  848

=  −2 + − −2 +  =
5 3 7
5 3  105
 7
Vậy I =

11)

 /2

I=


0

848
105

sin x.cos3 x
dx =
1 + cos2 x

 /2


0

cos2 x.sin x cos x
dx
1 + cos2 x

LG

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

9


Đặt 1 + cos2 x = t  −2cos x sin x = dt
Đổi cận:
x

0


2

t

2

1

1

I =

−1
2
2

2
dt
1 t −1
1  1
1
2
= 
dt =   1− dt = ( t − ln t )
t
21 t
2 1 t 
2
1

( t − 1)

2

=

Vậy I =

1
1
( 2 − ln2) − (1 − ln1)  = 1 − ln2
2
2
1 1
− ln 2
2 2

12)
 /6



I=

0

cos x
dx
6 − 5 sin x + sin 2 x

LG
Đặt sin x = t  cosxdx = dt
Đổi cận:
x

0


6

t

2

1
2

1
2

1
2

1
2

dt
dt
1 
 1
=
= 
−
dt
t − 5t + 6 0 ( t − 3)( t − 2) 0  t − 3 t − 2 
0

I =

2

t −3
= ln
t −2

Vậy I = ln

1
2

0

1
−3
−3
5
3
10
= ln 2
− ln
= ln − ln = ln
1
−2
2
2
9
−2
2

10
9

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

10

13)
 /2

I=

 /2

cos x



7 + cos2x

0



dx =

cos x
8 − 2sin2 x

0

1

dx =

 /2

2


0

cos x
4 − sin2 x

dx

LG
Đặt sin x = t  cosxdx = dt
Đổi cận:

I=

x

0


6

t

0

1

1

1

dt


2

4 − t2

0

Đặt t = 2sin u  dt = 2cosudu
Đổi cận:
t

0

1

u

0


6



I=

1

6




2 2

2cosudt

0

Vậy I =

14)

e

I=

x

1 − sin u
2

=

2

6

 du =



1

0

2



6

u =
0

6 2


6 2

3 − 2ln x

1

1

1+ 2ln x

dx

LG:
Đặt 1 + 2ln x = t  1 + 2ln x = t 2 ;

dx
= tdt
x

Đổi cận:
t

0

e

u

1

2

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

11

t2 −1
2 tdt = I =
t

3− 2

2

I=


1

2

(
1


t3 
4 − t dt =  4t − 
3 1

2

)

2


2 2 
1  10 2 − 11
= 4 2 −
 −  4 −  =

3  
3
3


Đs: I =

15)

 /4

I=


0

10 2 − 11
3

1 − 2sin2 x
dx =
1 + sin2x

 /4

cos2x

 1+ sin2xdx
0

LG
Đặt 1+ sin2x = t  2cos2xdx = dt
Đổi cận:
t

0


4

u

1

2
2

2

1 dt 1
ln2
I =  = ln t =
21 t 2
2

1
Vậy: I =
16)

 /4

I=


0

1
ln 2
2

sin 2 x
dx
4 − cos 2 x

LG
Đặt 4 − cos2 x = t  2cos x sin xdx = dt
Đổi cận:
x

0


4

t

3

7
2

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

12


7
2

7
2
3

7
7
= ln − ln3 = ln
2
6

)

dx

dt
= ln t

t
3

I =

Vậy I = ln

17)

ln 3

I=

7
6

ex



(e

0

x

3

+1

LG
ex + 1 = t  ex + 1 = t 2 ; ex dx = 2tdt

Đặt

Đổi cận:
x

0

3ln

t

2

2
2

2tdt
dt −2
I =  3 = 2 2 =
t
t
t
2
2
2

2

= −1+ 2
2

Vậy I = 2 − 1
18)

2 3

I=



2 3

1
x x +4
2

5

dx =



5

x
x

2

x2 + 4

dx

LG
x2 + 4 = t  x2 + 4 = t 2 ; xdx = tdt

Đặt

Đổi cận:
t

5

2 3

u

3

4

4

I =
3

=

tdt
1  1
1 
1 t −2
= 
+
dt = ln

2
4 t+2
t −4 t 4 3 t −2 t +2
4

(

)

4

3

1 1
1 1 5
ln − ln  = ln

4 3
5 4 3

Vậy I =

1 5
ln
4 3

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

13


19)
2

x

I =

x +1
1 1+

dx

LG
x + 1 = t  x + 1 = t 2 ; dx = 2tdt

Đặt

Đổi cận:
x

1

2

t

2

3

3
 t3 t2 
t −1
I = 2
tdx = 2  t 2 − t dx = 2  − 
1+ t
3 2
2
2
3 2

(

)

3

2



3   2 2 
4 2
= 2  3 −  − 
− 1  = −1+ 2 3 −


2  3
3

 

Vậy: I = −1 + 2 3 −

1 + 3 ln x . ln x
dx
x

e

I =
1

20)

4 2
3

LG
Đặt 1 + 3ln x = t  1 + 3ln x = t 2 ;

1
2
dx = tdt
x
3

Đổi cận:
x

1

e

t

1

2
2

2
t2 −1 2
2
2  t5 t3 
I =  t.
tdt =  t 4 − t 2 dt =  − 
3 3
91
9 5 3 1
1

2

=

(

)

2  25 23   1 1   116
 −  − −  =
9  5 3   5 3   135

Vậy I =

116
135

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

14


21)

ln 5

e2x



I=

ex −1

ln 2

dx

LG
ex − 1 = t  ex = t 2 + 1; ex dx = 2tdt

Đặt

Đổi cận:
x

2ln

5ln

t

1

2
2

2
 23
 t3 

  13   20
t2 + 1
2
I = 2
tdt = 2 t + 1 dt = 2  + t  = 2  + 2  −  + 1  =
t
 3 1
  3  3
1
1
 3
2

(

Vậy: I =

)

20
3

22)
4

I=

7

1+

0

x3
3

x4 +1

dx

LG
Đặt

3

x4 + 1 = t  x4 + 1 = t 3; x3dt =

3 2
t dt
4

Đổi cận:
x

0

t

1

4

7

2
2

2
2

3 t 2dt 3 
1 
3  t2
I= 
=   t − 1+
dt =  − t + ln t + 1 

4 1 1+ t 4 1 
1+ t 
4 2
1

=

  12
 3 
3  22
1
 3 3 3
−
2

+
ln
2
+
1

 −  − 1 + ln 1 + 1   =  ln3 + − ln2 = ln +
4  2
2
 4 2 8
 2
 4 

Vậy: I =

23)

3 3 3
+ ln
8 4 2

1

I =  x 2 2 + x 3 dx
0

LG

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

15


2 + x3 = t  2 + x3 = t 2 ; x2dx =

Đặt

2
tdt
3

Đổi cận:
x

0

1

t

2

3

3

2
2
I =  t.tdt = t 3
3 2

9
Vậy I =

24)

3

=
2

(

2
3 3−2 2
9

)

3 3−2 2
9

1

I =  x x 2 + 1dx
0

LG
x2 + 1 = t  x2 + 1 = t 2 ; xdx = tdt

Đặt

Đổi cận:
x

0

1

t

1

2

2

2

t3
2 2 1
I =  t dx =
=
−
3
3
3
1
1
2

Vậy I =

2 2 −1
3

Bµi 2: TÝnh c¸c tÝch ph©n sau
1)

1/ 2

I=


0

x2
1− x2

dx

LG
§Æt x = sin t  dx = costdt
§æi cËn:

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

16


x

0

2
2

t

0


4









sin t
14
1 1
4
I =
costdt =  sin2 tdt =  (1 − cos2x)dt =  t − sin2x 
cost
20
2 2

0
0
0
2

4

=

4

1 1
−
2  4 2 

1 1
VËy I =  − 
2 4 2

2)

2

I =  x 2 4 − x 2 dx
1

LG
Đặt x = 2sin t  dx = 2costdt
Đổi cận:
x

1

2

t


6


2







 1
2
I =  4sin t.2cost.2costdt = 4 sin 2tdt = 2  t − sin4t 
 4



2

2

2

2

6

6

6

 

3
   1 3 
= 2  − 0  −  −
= 2 +



  6 4 2  
3 8 
 2

3
Vậy I = 2  +

3 8 

3)

2/ 3

I=


1

1
x x2 −1

dx

LG
Đặt x =

1
− cost
− cot t
 dx =
dt =
dt
2
sin t
sin t
sin t

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

17

Đổi cận:
1

x

2
3


2

t


3





2
sin t − cot t
.
dt =  dt = t 2
cot t sin t

3

3

I =


2

=


2

3

−


3

Vậy I =


6


6

9 + 3x2
dx =
x2

3

I=

=


1

3


1

3 3 + x2
dx
x2

LG
Đặt x = 3 tan t  dx = 3

1
dt
cos2 t

Đổi cận:
4)

x

1

3

t


6


4

3

I=


1

5)

0

I=



−1

3 3 + x2

dx
x2

1+ x
dx
1− x

LG

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

18


1
Đặt x = cos2t  dx = sin2tdt
2

Đổi cận:
-1

x
t

−

0




4

2


4

I = −2 
−




4
1+ cos2t
1 + cost
sin2tdt = −2 
sin2tdt =
1− cos2t
1 − cos2t

−

2

2

6)
0

I =



−a

a+x
dx
a−x

(a  0)

LG
Đặt x = acos2t  dx = −2asin2tdt
Đổi cận:
x

-a

0

t


2


4





4

I = −


4
a + a cos2t
2a sin2tdt = −4a
a − a cos2t


2

2





4
4
2cos2 t
2
sin
t
cos

tdt
=
−
4
a
cos
tdt
=
−
2
a

 (1+ cos2t )dt
2sin2 t


2

2



 
 1
2
   1 
  1  a
= 2a  t + sin2t  = 2a  + 0  −  +   = 2a  −  =
−a
 2


  4 2 
 4 2 2
 2
4

1

7)

I =  x x 2 + 1dx
0

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

19


8)
3

I=



4 − x 2 dx

−1

LG

Đặt x = 2sin t  dx = 2costdt
Đổi cận:
-1

3




3

x
t

I=

−

6







3

3

3

4 − 4sin2 t .2costdt = 2  2cos2 tdt = 2  (1 + cos2t )dt



−

−

6



6

−



6



 

3  
3 
3
 1

3
= 2  t + sin2t  = 2  +
−− −
= 2 +



 = + 3

 

2 2 
 2
 −
 3 4   6 4  

6

3
2

1



I=

(9 − x )
2

−3 2
2

9)

3

dx

LG
Đặt x = 3sin t  dx = 3costdt
Đổi cận:
x
t

−3 2
2

3
2




6

−

4



I=

6



−

4



3costdt

( 9 − 9sin t )
2

3

=

6



−

3costdt

3cos3 t

4

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

20




=


dt
1
6
=
tan
t
+1
 =
2
−
cos t
3
4

6



−

4

6

10)



I=

3 2

1
x x2 − 9

dx

11)
2

1
dx
2
4
+
x

0

I =
LG

Đặt x = 2tan t  dx = 2(tan2 t + 1)dt
Đổi cận:
x

0

2

t

0


4



1
1 4 
2
2(tan
t
+
1)
dt

=
t =
4 + 4tan2 t
2 0 8
0
4

I =

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

21