Đề thi HSG Toán 7 - Rất chất lượng

phòng gd&đt Nam đông
đề thi chọn học đội tuyển sinh giỏi
năm học 2008 2009
môn: toán 7
Thời gian làm bài: 120 phút
Bài 1(1điểm )
Tìm x biết
313 313 311 309
4
101 103 105 107
x x x x
+ + + =
Bài 2(1điểm)
Cho các số nguyên dơng x, y, z. Chứng minh rằng:
1
x y z
x y y z z x
+ + >
+ + +
Bài 3 (3 điểm)
a) Tìm a,b, c biết : 2a = 3b; 5b = 7c; 3a+5c-7b = 30
b)Tìm số nguyên tố p để p +1 và p+5 cũng là số nguyên tố.
Bài 4 (3 điểm)
Cho tam giác ABC vuông cân tại B, có trung tuyến BM. Gọi D là một điểm
bất kì thuộc cạnh AC. Kẻ AH, CK vuông góc với BD (H,K thuộc đờng thẳng
BD). Chứng minh rằng :
a) BH=CK
b) Tam giác MHK vuông cân
Bài 5 (2 điểm)
Tìm các số nguyên x, y thoả mãn:
xy +x-y = 4

§¸p ¸n
Bµi ý Néi dung §iÓm
1
313 313 311 309
1 1 1 1 0
101 103 105 107
x x x x− − − −
+ + + + + + + =
416 416 416 416
0
101 103 105 107
x x x x− − − −
+ + + =
( )
1 1 1 1
416 0
101 103 105 107
x
 
− + + + =
 ÷
 
x=416
0,25
0,25
0,25
0,25
2
x x
x y x y z

>
+ + +
y y
y z x y z
>
+ + +
z z
z x x y z
>
+ + +
Suy ra
1
x y z
x y y z z x
+ + >
+ + +
0,25
0,25
0,25
0,25
3
a
;
3 2 7 5
a b b c
= =
21 14 10
a b c
⇒ = =
3 7 5 30

2
21 14 10 3.21 7.14 5.10 15
a b c a b c− +
⇒ = = = = =
− +
Suy ra
42; 28; 10a b c= = =
0,25
0,25
0,5
0,5
b Víi p = 2 th× p+1=3(Lµ sè nguyªn tè ) vµ
p+5=7(Lµ sè nguyªn tè )
Víi p=3 th× p+1=4( Kh«ng lµ sè nguyªn tè) vµ
p+5=8( Kh«ng lµ sè nguyªn tè)
NÕu p lµ sè nguyªn tè lín h¬n 3 th× p=3k+1 hoÆc
p=3k+2(k
∈
*
N
)
+) Khi p=3k+1 th× p+5=3k+1+5=3(k+2) chia hÕt
cho 3
+)Khi p=3k+2 th× p+1=3k+2+1=3(k+1) chia hÕt
cho 3
VËy khi p=2 th× p+1 vµ p+5 lµ sè nguyªn tè.
0,25
0,25
0,5
0,5

4
Vẽ
hình
D
A
B
C
M
K
H
0,25
a
ABH BCK
=
(Cạnh huyền-Góc nhọn)

BH=CK( Hai cạnh tơng ứng)
1
0,25
b
ã
ã
KBM KCA=
Mà
ã
ã
KCA HAM=
nên
ã
ã

HAM KBM=
Chứng minh
HAM KBM =
(c-g-c)
MH MK
=
Có
ã
ã
ã
0
90HMK AMK KMB= + =
HMK
vuông cân
tại M
0,25
0,25
0,5
0,25
0,25
5 x(y+1)-(y+1)=3
(x-1)(y+1)=3
Vì 3=3.1=1.3=(-3)(-1)=(-1)(-3) nên:
Trờng hợp 1:
1 3 4
1 1 0
x x
y y
= =

+ = =

Trờng hợp 2:
1 1 2
1 3 2
x x
y y
= =



+ = =

Trờng hợp 3:
1 3 2
1 1 2
x x
y y
= =



+ = =

Trờng hợp 4:
1 1 0
1 3 4
x x

y y
= =



+ = =

Kết luận
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25