TỔNG và HIỆU của HAI VECTƠ

Tập huấn chuyên môn 2017 - 2018

TỔNG VÀ HIỆU CỦA HAI VECTƠ
A. HOẠT ĐỘNG KHỞI ĐỘNG.

Xác định hướng chuyển động của con
thuyền.

Giải thích nguyên lí của việc tát nước bằng
gàu dai.

B. HOẠT ĐỘNG HÌNH THÀNH KIẾN THỨC.
1. TỔNG CỦA HAI VECTƠ

Nhóm 3

Trang 1


Tập huấn chuyên môn 2017 - 2018
+) HĐ1: Khởi động.

GỢI Ý

rr
Cho hai vectơ a,b . Từ điểm A hãy vẽ
uuur r uuur r
AB = a , BC = b

uuur
r

Vectơ AC là tổng của hai vectơ a
r
và b
+) HĐ2: Hình thành kiến thức.

uuur r uuur r
r
r
Định nghĩa: Cho hai vectơ a và b . Lấy một điểm A tùy ý, vẽ AB = a , BC = b .
uuur
r
r
Vectơ AC được gọi là tổng của hai vectơ a và b .
r r
uuur r r
Kí hiệu: a + b vậy AC = a + b .
Ví dụ 1. Cho hình bình hành ABCD . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào
đúng?
uuur uuu
r r
uuur uuu
r uuur
A. BC +CD = 0
B. BC +CD = DB
uuur uuu
r uuur
uuur uuu
r uuur
C. BC +CD = BD
D. BC +CD = AC

uuu
r uuur uuur
Ví dụ 2. Cho hình bình hành EFGH , hãy chứng minh EF + EH = EG
Chú ý:
uuu
r uuur uuur
1. Quy tắc 3 điểm: Với 3 điểm A, B, C tuỳ ý, ta luôn có AB + BC = AC

uuu
r uuur uuur
2. Quy tắc hình bình hành : Nếu ABCD là hình bình hành thì AB + AD = AC .

+) HĐ3: Củng cố.

GỢI Ý

Tính tổng:
1/
2/ Cho hình bình hành ABCD. C/M:
Nhóm 3

Trang 2


Tập huấn chuyên môn 2017 - 2018
2. TÍNH CHẤT PHÉP CỘNG VECTƠ
GỢI Ý

+) HĐ1: Khởi động.
Cho hình vẽ sau

Hãy
r nhận
r xétr : r
a. a + b và b + a
r r
r
r r r
a
+
b
+
c
a
b.
và + b + c

(

)

(

)

+) HĐ2: Hình thành kiến thức.
r r r

Tính chất. Cho ba vectơ a, b, c ta có:
r r r r

• a + b = b + a (Tính chất giao hoán)

r r r r r r
a
• + b + c = a + b + c (Tính chất kết hợp)
r r r r r
• a + 0 = 0 + a = a (Tính chất của vectơ-không)

(

)

(

)

+) HĐ3: Củng cố.

GỢI Ý

uuur uuu
r uuur uuu
r
AB +CD + BC + DA
Với bốn điểm A, B, C, D bất kì, chứng
uuur uuur
uuu
r uuu
r
minh rằng:

= AB + BC + CD + DA
uuur uuu
r uuur uuu
r r
uuur uur uuu
r r
AB +CD + BC + DA = 0
= AC +CA = AA = 0

(

) (

)

3. HIỆU CỦA HAI VEC TƠ.
a. Vectơ đối
+) HĐ1: Khởi động.

Nhóm 3

GỢI Ý

Trang 3


Tập huấn chuyên môn 2017 - 2018

Cho hình bình hành ABCD , hãy nhận
uuur

xét về độ dài và hướng của hai vectơ AB
uuu
r
uuur
uuu
r
và CD
và
AB
CD có cùng độ dài và ngược
hướng.
+) HĐ2: Hình thành kiến thức.

r
r
Vectơ có cùng độ dài và ngược hướng với a được gọi là vectơ đối của vectơ a , kí
r
hiệu - a .
Chú ý:

uuur uuu
r
uuur
uuu
r
+ Vectơ đối của vectơ AB là BA , tức là: AB = - BA .
r r
+ Vectơ đối của vectơ 0 là 0 .
Ví dụ: Cho tam giác ABC, gọi D, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA,
AB. Khẳng định nào sao đây là sai?

uuu
r
uuur
uuu
r
uuur
A. EF = - DC
B. ED = - AF
uuur
uuu
r
uuu
r
uuur
C. BD = - EF
D. EA = - EC
+) HĐ3: Củng cố.

GỢI Ý

uuur uuur r
uuur
uuur r
Cho AB + BC = 0. Hãy chứng tỏ BC là uuur uuur r
uuur
AB + BC = 0 Û AC = 0 Þ A º C
uuur uuu
r
véc tơ đối của véc tơ AB
Khi đó: BC = BA

VD: với 3 điểm A,B,C tùy ý. c/m :

b. Định nghĩa hiệu của hai vectơ.
+) HĐ1: Khởi động.

Nhóm 3

GỢI Ý

Trang 4


Tập huấn chuyên môn 2017 - 2018
Cho ba điểm A, B, C bất kì, hãy tính:
uuur
uuu
r
AB + - CB

(

)

uuur
uuu
r
uuur uuur uuur
AB + - CB = AB + BC = AC

(

)

+) HĐ2: Hình thành kiến thức.
r
r
r
r
Định nghĩa: Cho hai vectơ a và b . Ta gọi hiệu của hai vectơ a và b là vectơ
r
r
r r
a + - b , kí hiệu a - b

( )

r r r
r
Như vậy: a - b = a + - b .

( )

Chú ý: (quy tắc trừ) với 3 điềm O,A,B tùy ý, ta có:

+) HĐ3: Củng cố.

GỢI Ý

VD: cho 4 điềm A,B,C,D tùy ý. c/m:

Nhóm 3

Trang 5


Tập huấn chuyên môn 2017 - 2018
C. HOẠT ĐỘNG LUYỆN TẬP.

Bài toán.
Bài 1. Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F bất kì
trên mặt phẳng. Chứng minh:
uuur uuur

uuur uuu
r

a. AB + CD = AD + CB

uuur uuur uuu
r uuur uuu
r

GỢI Ý
Sử dụng quy tắc của phép công vectơ
để biến đổi vế này thành vế kia hoặc
đưa đẳng thức cần chứng mình về
đẳng thức luôn đúng,…

b. AB + CD + EA = ED + CB

uuur uuur uuur uuu
r uuu
r uuur uuur

c. AB + CD + EF + GA = CB + ED + GF

Bài 2. Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N là trung Sử dụng quy tắc trung điểm của đoạn
điểm của AD và BC. O là trung điểm của
thẳng.
MN. Chứng minh các đẳng thức sau:
uuur uuur

uuur uuur

a. AB + DC = AC + DB
uuu
r uuur uuur uuur

r

b. OA + OB + OC + OD = 0
Bài 3. Cho tam giác đều ABC nội tiếp
đường tròn (O).
a. Xác định các điểm M, N, P thỏa mãn các
hệ thức
sau:r uuur uuur uuur uuur
uuuu
r uuu
OM = OA + OB , ON = OB + OC ,

Từ đẳng thức vec tơ đã cho chuyển về
uuur r
đẳng thức dạng: OM = a với O là
r
điểm cố định, a hoàn toàn xác định.

uuur uuur uuu
r
OP = OC + OA

b.

uuuu
r uuur uuur r

Chứng minh: OM + ON + OP = 0

Nhóm 3

Trang 6


Tập huấn chuyên môn 2017 - 2018
D. HOẠT ĐỘNG VẬN DỤNG.
Bài toán 1. Hai vận động viên B và C dùng a)
hai dây kéo vận động viên A về phía sau.
Trong khi đó, vận động viên A cố ghì chặt
và tiến về phía trước. Trong các trường hợp
sau, bạn hãy cho biết vận động viên A sẽ
chuyển động như thế nào?

b)

c)

Nhóm 3

Trang 7


Tập huấn chuyên môn 2017 - 2018
Bài toán 2. Xác định hướng chuyển
động của con thuyền.
Nhà bạn An và bạn Hòa cách nhau bởi
một con sông. Nếu bạn An chèo thuyền
qua nhà bạn Hòa theo hướng vuông góc
với dòng sông với lực đẩy F1 = 1000N ,
biết lực đẩy dòng nước là F2 = 250N .
Xác định hướng chuyển động của con
thuyền?

E. HOẠT ĐỘNG TÌM TÒI MỞ RỘNG.
1. Tại sao thuyền buồn có thể chạy ngược gió?
Thông thường, người ta vẫn nghĩ rằng gió thổi về hướng nào thì sẽ đẩy thuyền
buồm về hướng đó. Trong thực tế, con người đã nghiên cứu tìm cách lợi dụng sức gió
làm cho thuyền buồm chạy ngược chiều gió. Vậy người ta làm như thế nào để thực
hiện được điều tưởng chừng như vô lí đó?

Nhóm 3

Trang 8

Tập huấn chuyên môn 2017 - 2018
Nói một cách chính xác thì người ta có thể làm cho thuyền chuyển động theo
một góc nhọn, gần bằng ½ góc vuông đối với chiều gió thổi. Chuyển động này được
thực hiện theo đường dích dắc nhằm tới hướng cần đến của mục tiêu.
Để làm được điều đó ta đặt thuyền theo hướng TT’ và đặt buồm theo phương
BB’ như hình vẽ sau:

ur

Khi đó, gió thổi tác động lên mặt buồm một lực. Tổng hợp lực là lực f có
ur

ur

điểm đặt ở chính giữa buồm. Lực f được phân tích thành hai lực: lực p vuông góc
r

ur

ur r

r

với cánh buồm BB’ và lực q theo chiều dọc cánh buồm. Ta có: f = p + q . Lực q này
không đẩy thuyền đi đâu cả vì lực cản của gió đối với thuyền không đáng kể. Lúc đó
ur
chỉ còn lực p đẩy buồm dưới một góc vuông. Như vậy khi có gió thổi, luôn luôn có
ur

ur

một lực p vuông góc với phương BB’ của cánh buồm. Lực p này được phân tích
r
r
thành lực r vuông góc với sống thuyền và lực s dọc theo sống thuyền TT’ hướng về
ur r r
r
mũi thuyền. Khi đó ta có p = s + r . Lực r rất nhỏ so với sức cản rất lớn của nước, do
r
thuyền buồm có sống thuyền rất sâu, chỉ còn lực s hướng về phía trước dọc theo
sống thuyền đẩy thuyền đi một góc nhọn ngược với chiều gió thổi. Bằng cách đổi
hướng thuyền theo con đường dích dắc, thuyền có thể đi tới đích theo hướng ngược
chiều gió mà không cần lực đẩy.
2. Hai người nông dân tát nước năm xưa.

Nhóm 3

Trang 9


Tập huấn chuyên môn 2017 - 2018
Hai người nông dân tát nước năm xưa.
Tát nước bằng gàu dai không phải dễ cho những người lần đầu tiên thực hiện công
việc này. Hai người tát phải tuân theo một số động tác nhất định.

Tát nước bằng gàu dai
Khi tát nước, hai người cầm dây gàu đứng đối diện nhau. Tay nào cầm dây miệng
thì bàn chân cùng phía phải đứng cao hơn và cách chân kia ít nhất 1 bàn chân về

phía trước. Khi thả gàu xuống nước, tay cầm dây đáy gàu phải thả xuống thật thấp
để đáy gàu chìm xuống cho nước tràn vô đầy gàu. Lúc kéo gàu lên, tay cầm dây
miệng gàu tập trung sức kéo lên, tay cầm dây đáy gàu thả lỏng, hơi ngả người ra
phía sau. Lúc này chân sau phải đứng thẳng cho vững, bàn chân trước giở hẳn lên
chỉ còn cái gót chạm đất. Khi gàu tát nước được kéo vừa đến miệng bờ bên trên, tức
thì tay cầm dây đáy hất mạnh lên cho nước trong gàu đổ ra, trong lúc dây miệng gàu
để chùng lại. Sau khi gàu đổ hết nước ra, đưa gàu xuống chuẩn bị múc nước vào
gàu. Các động tác cứ thế mà tiếp diễn
Khi tát nước 2 người kéo 2 lưc lên theo hai hướng và lưc sẽ đươc tổng hơp theo
hướng thẳng giữa giúp kéo gàu nước lên như hình vẽ

uu
r uu
r uu
r
f = f1 + f 2

uu
r
f1

Nhóm 3

uu
r
f2

Trang 10

Tập huấn chuyên môn 2017 - 2018

Nhóm 3

Trang 11