ỨNG DỤNG của TÍCH PHÂN vào VIỆC TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG

ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN VÀO VIỆC
TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG
A. HOẠT ĐỘNG KHỞI ĐỘNG.
Cổng trường Đại học Bách khoa Hà Nội có dạng như một Parabol, chiều rộng là
8m, chiều cao là 12, 5 m. Người ta cần lắp một cửa sắt khép kín. Biết rằng 1m2
cửa sắt có giá 900.000. Hỏi Nhà trường phải trả bao nhiêu tiền để làm cửa sắt như
vậy?

Ông An có một mảnh vườn elip có độ dài trục lớn bằng 16m và độ dài trục bé
bằng 10m. Ông muốn trồng hoa trên dải đất rộng 8m và nhận trục bé của elip làm
trục đối xứng (như hình vẽ). Biết kinh phí để trồng hoa là 100.00 đồng/1m 2. Hỏi
ông An cần bao nhiêu tiền để trồng hoa trên dải đất đó? (Số tiền được làm tròn đến
hàng nghìn)

Trang | 1


B. HOẠT ĐỘNG HÌNH THÀNH KIẾN THỨC.
1. TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG GIỚI HẠN BỞI MỘT ĐƯỜNG CONG
VÀ TRỤC HOÀNH.
GỢI Ý

+) HĐ1: Khởi động.
HĐ1.1. Nêu công thức tính diện tích hình
thang cong giới hạn bởi các đường thẳng
x=a, x =b, trục hoành và đường cong y =
f(x), trong đó f(x) là hàm số liên tục,
không âm trên đoạn [a;b].

b

S = ò f ( x)dx
a

HĐ1.2. Cho hình phẳng giới hạn bởi các
đường thẳng y = 2x + 1; y = 0; x = 1 và x
= 5.
a) Dùng công thức hình học tính diện tích
(AD + BC).CD =28
hình
S =phẳng.
5
o

2 = 285
I = (x 2 +x)

b) Tính tích phân sau1I = ò( 2x + 1)dx
1

Diện tích không đổi.

HĐ1.3. Trong HĐ1.2 nếu thay hàm số
y = 2x + 1 bởi hàm số –y = – (2x + 1) thì
diện tích của nó thay đổi như thế nào?
+) HĐ2: Hình thành kiến thức.
Từ kết quả trên, ta có
Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị của hàm số y = f(x) liên tục, trục
hoành và hai đường thẳng x =a, x=b được tính theo công thức
b

S = ∫ f ( x) dx
a

Trang | 2


Ví dụ 1. Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường:
y = x – 1; trục Ox, đường thẳng x = 0, x = 3.
Ví dụ 2. Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = cos2 x,
trục hoành, trục tung và đường thẳng x = π .

+) HĐ3: Củng cố.

GỢI Ý

HĐ3.1. Kí hiệu S là diện tích hình
phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y
= f(x), trục hoành và hai đường
thẳng x = a, x = b như hình bên.
Khẳng định nào sau đây đúng?

b

A. S = ∫ f ( x ) sx
a

b

B. S = ∫ f ( x ) dx
a

c

b

a

c

c

b

a

c

C. S = ∫ f ( x ) dx − ∫ f ( x ) dx
D. S = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx
HĐ3.2. Tính diện tích S của hình
4
0
phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y S = ∫ x 3 − 4 x dx = ∫ ( x3 − 4 x ) dx −
−2
−2
= x3 – 4x, trục hoành, đường thẳng x
2
4
3
3
= -2 và x = 4.

∫ ( x − 4 x ) dx + ∫ ( x − 4 x ) dx = 44
0

HĐ3.3.

2

1
1


Cho ( C ) : y = x3 + mx 2 − 2 x − 2m − . Giá trị m ∈  0; ÷ sao cho hình phẳng
3
3
 6

5

giới hạn bởi đồ thị ( C ) , y = 0, x = 0, x = 2 có diện tích bằng 4 là:
Trang | 3


A. m = − 1 .
2

B. m = 1 .
2

C. m = 3 .

D. m = − 3 .

2

2

HĐ3.4. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = mx cos x ; Ox ; x = 0; x = π
bằng 3π . Khi đó giá trị của m là:
A. m = −3 .
B. m = 3 .
C. m = −4 .
D. m = ±3 .
2. DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG GIỚI HẠN BỞI HAI ĐƯỜNG CONG.
GỢI Ý

+) HĐ1: Khởi động.
HĐ1.1. Diện tích hình phẳng (phần tô
màu) ở các hình dưới đây được tính như
thế nào?
y =


y =

 x =

f (x) lt u' c/[a;b]
f (x) lt u' c/[a;b]
a; x = b

1

2

Có thể tính S thông qua S và S không?
và tính như thế nào?

1

2

Xét TH: f1(x) ≥ f2(x) ≥ 0 x  [a;b].
Khi đó S = S1 - S2

+) HĐ2: Hình thành kiến thức.
Từ kết quả trên, ta có
Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị của hàm số f(x), g(x) liên tục trên
[ a;b] và hai đường thẳng x = a, x = b được tính theo công thức
b

S = ò f1 ( x) - f2 ( x) dx
a

Trang | 4


Ví dụ 1. Tính diện tích các hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = x2 – 4, y =
-x2 – 2x, và hai đường thẳng x = -3 , x = -2
Ví dụ 2. Tính diện tích các hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y = x2 – 4 và y
= -x2 – 2x

+) HĐ3: Củng cố.

GỢI Ý

HĐ3.1. Kí hiệu S là diện tích hình phẳng giới hạn
bởi các đồ thị hàm số y = f(x), y = g(x) và hai
đường thẳng x = a, x = b như hình bên. Khẳng định
nào sau đây đúng?

c

b

A. S = ∫ g ( x ) − f ( x )  dx + ∫ f ( x ) − g ( x )  dx
a

c

b

B. S = ∫ f ( x ) + g ( x )  dx
a

c

b

C. S = ∫ f ( x ) − g ( x )  dx + ∫ g ( x ) − f ( x )  dx
a

c

c

b

a

c

D. S = ∫ f ( x ) dx + ∫ g ( x ) dx
HĐ3.2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các
đường thẳng y = e x ; y = e − x ; x = 1
e 2 + 2e + 1
A.
e
2
e + 2e − 1
C.
e

e 2 − 2e + 1
B.
e
2
e − 2e − 1
D.
e

HĐ3.3. Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn

bởi đồ thị hàm số y = ln x , y = 1

Trang | 5


HĐ3.4. Tính dieän tích hình troøn x2 + y2
= R2

C. HOẠT ĐỘNG LUYỆN TẬP.
Bài toán.

GỢI Ý

Câu 1: Gọi S là diện tích hình phẳng giới − x 2 − 2x + 1 = − ( x − 1) 2 + 2 ≤ 2, ∀x
hạn
bởi
các
đường
3
2
2
S
=
y = − x − 2x + 1, y = m, ( m > 2 ) , x = 0, x = 1 . Tìm m
∫0 ( m + x + 2x − 1) dx
sao cho S = 48

3
x3
A. m = 4

B. m = 6
=  mx + + x 2 − x ÷ = 3m + 24
3

0
C. m = 8
D. m = 10
Câu 2:Tính diện tích hình phẳng giới hạn
bởi đồ thị hs y = cosx , y = sinx và 2 đt x =
0 , x = π.
Câu 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn
1
2

bởi đồ thị hs y = x, y = x

D. HOẠT ĐỘNG VẬN DỤNG.

Trang | 6


Bài toán 1. Cổng trường Đại học Bách
khoa Hà Nội có dạng như một Parabol,
chiều rộng là 8m, chiều cao là 12, 5 m.
Người ta cần lắp một cửa sắt khép kín.
Biết rằng 1m2 cửa sắt có giá 900.000.
Hỏi Nhà trường phải trả bao nhiêu tiền
để làm cửa sắt như vậy?

Gợi ý:

Giả sử parabol có phương trình

y = ax 2 + bx + c ( a ≠ 0 )
 25 
Đi qua C  0; ÷, D ( 4; 0 ) nên ta có hệ
 2 
phương trình:

25


c = 2
c = 2


25
25
⇔ b = 0
⇒ y = − x2 +
b = 0
32
2


25
25
16a +
a = −
=0
2

32


4

S = 2∫ −
0

25 2 25
200 2
x +
dx =
m
32
2
3

Bài toán 2. Ông A có một mảnh vườn elip có
độ dài trục lớn bằng 16m và độ dài trục bé
bằng 10m. Ông muốn trồng hoa trên dải dất
Trang | 7


rộng 8m và nhận trục bé của elip làm trục đối
xứng (như hình vẽ). Biết kinh phí để trồng
hoa là 100.00 đồng/1m2. Hỏi ông A cần bao
nhiêu tiền để trồng hoa trên dải đất đó? (Số
tiền được làm tròn đến hàng nghìn)
Gợi ý:
x 2 y2

+
= 1 . Từ giả
a 2 b2
thiết ta có 2a = 16 ⇒ a = 8; 2b = 10 ⇒ b = 5

Giả sử elip có phương trình
Vậy

phương

trình

của

elip

là:

5

y=−
64 − x 2 ( E1 )

x
y
8
+
=1⇒ 
64 25
 y = 5 64 − x 2 ( E )

2

8
2

2

Khi đó diện tích dải vườn được giới hạn bởi
các đường (E1); (E2); x = −4; x = 4 và diện tích
của
dải
vườn
là
4

4

5
5
64 − x 2 dx = ∫ 64 − x 2 dx
8
20
−4

S = 2∫

Khi

đó

số

tiền

π
3
T = 80  +
÷.100000 = 7652891,82 ≈ 7.653.000
6 4 

Trang | 8


Bài toán 3. Ông An muốn làm cửa rào
sắt có hình dạng và kích thước giống
như hình vẽ bên, biết đường cong phía
trên là một Parabol. Giá 1m 2 của rào sắt
là 700.000 đồng. Hỏi Ông An phải trả
bao nhiêu tiền để làm cái cửa sắt như
vậy (làm tròn đến hàng phần nghìn)
Gợi ý:
Diện tích khung cửa bằng tổng diện
tích hình chữ nhật và diện tích của phần
parabol phía trên
+

+ Diện tích hình chữ nhật là

S1 = AB.BC = 5.1,5 = 7,5 ( m 2 )

Gọi đường cong parabol có phương trình
y = ax 2 + bx + C

Đường cong có đỉnh I ( 0; 2 ) suy ra:
b = 0, c = 2 ⇒ y = ax 2 + 2

Đường cong đi qua điểm:
2
2
5 5
C  ; ÷⇒ a = − ⇒ y = − x 2 + 2
25
25
 2 3

Phần diện tích tạo bởi parabol và đường
thẳng y = 1,5 là:
2,5

S2 =

 −2

∫  25 x

2

−2,5

⇒ S = S1 + S2 =

5

+ 0,5 ÷dx =
3

55
55
⇒ T = .700000 ≈ 6417000
6
6

đồng

E. HOẠT ĐỘNG TÌM TÒI MỞ RỘNG.
Trang | 9


Những phép tính tích phân đầu tiên đã được thực hiện từ cách đây 2.000
năm bởi Archimedes (287–212 trước Công nguyên), khi ông tính diện tích bề mặt
và thể tích khối của một vài hình như hình cầu, hình parabol và hình nón. Phương
pháp tính của Archimedes rất hiện đại dù vào thời ấy chưa có khái niệm về đại
số, hàm số hay thậm chí cách viết số dạng thập phân.
Tích phân, vi phân và môn toán học của những phép tính này, giải tích, đã
chính thức được khám phá bởi Leibniz (1646–1716) và Isaac Newton (1642–
1727). Ý tưởng chủ đạo là tích phân và vi phân là hai phép tính nghịch đảo của
nhau. Sử dụng mối liên hệ hình thức này, hai nhà toán học đã giải được một số
lượng khổng lồ các bài toán quan trọng trong toán học, vật lý và thiên văn học.
J. B. Fourier (1768–1830) khi nghiên cứu sự truyền nhiệt đã tìm ra chuỗi các
hàm lượng giác có thể dùng để biểu diễn nhiều hàm số khác. Biến

đổi Fourier (biến đổi từ hàm số thành chuỗi các hàm lượng giác và ngược lại) và
biến đổi tích phân ngày nay được ứng dụng rất rộng rãi không chỉ trong khoa học
cơ bản mà cả trong Y học, âm nhạc và ngôn ngữ học.
Người đầu tiên lập bảng tra cứu các tích phân tính sẵn là Gauss (1777–
1855). Ông đã cùng nhiều nhà toán học khác ứng dụng tích phân vào các bài toán
của toán học và vật lý. Cauchy (1789–1857) mở rộng tích phân sang cho số
phức. Riemann (1826–1866) và Lebesgue (1875–1941) là những người tiên phong
đặt nền tảng lô-gíc vững chắc cho định nghĩa của tích phân.
Kí hiệu tích phân là do nhà toán học Leibniz đưa ra, tích phân của hàm số f
trên đoạn [a;b] được ông định nghĩa là giới hạn của một
tổng:
(1). Về sau hiệu
được kí hiệu lại là (do
chữ d là chữ bắt đầu của “diferentia”, nghĩa là “hiệu số”), kí hiệu tổng số cũng
như chữ S có nguốc từ chữ La-tinh “summa” (nghĩa là “tổng số”), dấu tích phân
là một biến dạng đơn giản của chữ S. Thành thử, giới hạn (1) được kí hiệu
là
.
Tính độ dài đường cong đồ thị f(x) giới hạn giữa hai đường thẳng x=a và x=b

Trang | 10


Ta có thể chia nhỏ đường cong này thành vô số đoạn “gần thẳng” rồi lấy
tổng của chúng lại với nhau. Xét
và
sao cho
.
Với
đủ nhỏ, ta xem độ dài đường cong đồ thị f(x) giới hạn giữa 2 đường

thẳng
và
là độ dài của đoạn thẳng nối 2 điểm
và
, cũng do
nhỏ, ta xem đoạn thẳng này thuộc tiếp tuyến
tại của
. Như vậy độ dài của đoạn thẳng nối 2 điểm
và
được tính bằng
, trong đó là góc tạo bởi tiếp
tuyến tại của
và trục Ox nên
. Tóm lại
Lấy tổng độ dài các đoạn thẳng nhỏ lại với nhau, ta được công thức tính độ
dài đường cong đồ thị f(x) giới hạn giữa 2 đường thẳng
và
là

Trang | 11