( phần bonus) 22 câu lượng giác image marked image marked

Câu 1: (ĐỀ THI THỬ QUỐC GIA 2018)Hỏi x = p là một nghiệm của phương trình nào
sau đây?
B. cos x = 0 .

A. cot x = 0 .

C. tan x = 1 .

D.

sin x = 0 .
Chọn D
 Tự luận

cot x = 0 Û x =

p
+ kp ;
2

tan x = 1 Û x =

cos x = 0 Û x =

p
+ kp ;
2

sin x = 0 Û x = kp

p

+ kp
4

Do đó x = p là nghiệm của phương trình sin x = 0
Trắc nghiệm:
Nhập hàm sin x CALC với x =  .
Nhập hàm cot x CALC với x =  .
Nhập hàm cos x CALC với x =  .
Nhập hàm tan x CALC với x =  .

æ
pö
3
=Câu 2 : (ĐỀ THI THỬ QUỐC GIA 2018)Phương trình sin çç3x + ÷
có bao nhiêu
÷
÷
çè
3ø
2

æ pö
÷?
nghiệm thuộc khoảng çç0; ÷
çè 2 ø÷
A. 1 .

B. 2 .

C. 3 .

D. 4 .

Chọn B
 Tự luận

é
ê3x +
æ
ö
p÷
3
ê
ç
sin ç3x + ÷
=Û ê
÷
çè
3ø
2
ê
ê3x +
êë

é
p
p
2p
2p
é

êx = 2p
= - + k2p
+k
ê
3x = + k2p
ê
3
3
9
3
Û ê
Û ê
3
ê
p 4p
p
2p
ê
êë3x = p + k2p
=
+ k2p
êx = + k
êë
3
3
3
3




4
 
 nên x = ; x =
3
9
 2

Vì x   0;

Câu 3 (ĐỀ THI THỬ QUỐC GIA 2018)Tổng tất cả các nghiệm của phương trình

( 2cos x − 1)( sin 2 x − cos x ) = 0
sin x − 1

A. T =

2
.
3

 
trên 0;  là T bằng bao nhiêu?
 2

B. T =


2

.

C. T =  .

D. T =


3

.

Chọn B
 Tự luận

( 2cos x − 1)( sin 2 x − cos x ) = 0
sin x − 1

( Điều kiện sin x  1  x 


2

+ k 2 )

Với điều kiện đó phương trình tương đương với



1
x
=

+ k 2


cos
x
=
1
3

 cos x =  
(TM );
2


2

x = − + k 2
sin 2x = cos x

3
 k 2



x= +
2x = − x + k 2





6
3
2
sin 2x = cos x  sin 2x = sin  − x   

2

 x =  + k 2
 2x =  −  + x + k 2


2
2

(TM )
( L)



 
x
=
;
x
=
nên
phương
trình
có
nghiệm

3
6
 2 

Vì x   0;

Câu 4 (ĐỀ THI THỬ QUỐC GIA 2018)Số vị trí điểm biểu diễn các nghiệm của phương
trình

sin 2x + 2 cos x - sin x - 1
t an x +
A. 3 .
Chọn D

= 0 trên đường tròn lượng giác là bao nhiêu?

3
B. 1 .

C. 2 .

D. 4 .


Tự luận:

ìï t an x ¹ ï
Điề u kiê ̣n: í
ïï cos x ¹ 0
ïî

(*) Û

3

sin 2x + 2 cos x - sin x - 1 = 0 Û 2 cos x (sin x + 1)- (sin x + 1) = 0

é
é
1
êx = ± p + k2p
êcos x =
ê
3
Û (sin x + 1)(2 cos x - 1) = 0 Û ê
Û ê
2
ê
p
êx = - + l2p
êësin x = - 1
ê
2
ë
So với điề u kiê ̣n, ho ̣ nghiê ̣m của phương triǹ h là x =

Câu

5

(ĐỀ

THI

THỬ

(k, l Î ¢ ).

p
+ k2p , (k Î ¢ ).
3

2018)Cho

 − =


.
6

Tính

giá

trị

( cos  + cos  ) + ( sin  + sin  ) . Chọn đáp án đúng
P=
2
2

( sin  − cos  ) + ( sin  + cos  )
2

A. P = 2 − 3

2

B. P = 2 + 3

C. P = 3 + 2

D. P = 3 − 2

Đáp án B


2 + 2 ( cos  cos  + sin  sin  ) 2 + 2 cos (  −  ) 2 + 2 cos 6
=
=
= 2+ 3
2 − 2 ( sin  cos  − sin  cos  ) 2 − 2sin (  −  ) 2 − 2sin 
6
Câu 6 (ĐỀ THI THỬ 2018)Cho phương trình: cos x + sin 4x − cos3x = 0 . Phương trình trên
có bao nhiêu họ nghiệm x = a + k2
A. 2

B. 6

C. 3

Đáp án B

cos x + sin 4x − cos3x = 0  2sin 2x.sin x + 2sin 2x.cos 2x = 0
 2sin 2x ( sin x + cos 2x ) = 0  sin 2x ( −2sin 2 x + sin x + 1) = 0

D. 5


k

x = 2


 x =  + k2
sin 2x = 0


2
 sin x = 1  
 x = − + k2

−1
6

sin x =

2

7
+ k2

x =
6


Nghiệm thứ nhất có 4 họ nghiệm , nhưng có 1 nghiệm trùng với nghiệm thứ 2, như vậy
có tất cả 6 họ nghiệm thỏa mãn đề bài
Câu 7 : (ĐỀ THI THỬ 2018)Tìm GTLN và GTNN của hàm số y =

max y = 1

A. 
−1
min y = 11

max y = 2

B. 
−2
min y = 11

2sin x + cos x + 3
là
2 cos x − sin x + 4

max y = 2

C. 
2
min y = 11

max y = 1

D. 
1
min y = 11

Đáp án C
- TXĐ: 2cos x − sin x + 4  0  x 
- Khi đó: y ( 2cos x − sin x + 4) = 2sin x + cos x + 3  ( 2y −1) cos x − ( y + 2 ) sin x = 3 − 4y (*)
2
2
2
2
- Để (*) có nghiệm thì: ( 3 − 4y )  ( 2y − 1) +  − ( y + 2 )    y  2
11

max y = 2

Từ đây suy ra 
2
min y = 11
Câu 8 : (ĐỀ THI THỬ QUỐC GIA 2018)Hàm số y = sin x đồ ng biế n trên khoảng:
æ p pö
A. çç- ; ÷
÷.
èç 2 2 ÷
ø

B. (0; p ).

C. (- p ; p ) .

æp 5p ö
D. çç ; ÷
÷
÷.
çè 4 4 ø

Hướng dẫn giải: Chọn A
Tự luận: Ta có
æ p
ö
p
Hàm số y = sin x đồng biến trên mỗi khoảng çç- + k2p ; + k2p ÷
÷
÷.
çè 2
2
ø
æ pö
Câu 9: ( ĐỀ THI THỬ QUỐC GIA 2018) Nghiệm phương trình cos ççx + ÷
÷
÷= 1 .
çè
2ø
p
p
A. x = + k2p , k Î ¢ .
B. x = - + k2p , k Î ¢ .
2

2


D. x = k2p , k ẻ Â .

C. x = kp , k ẻ Â .
Hng dn gii: Chn B
T lun: Ta cú

ổ pử
p
p
cos ỗỗx + ữ
ữ= 1 x + = k2p x = - + k2p , k ẻ Â .
ỗố
ữ
2ứ
2
2

A. x = k2p (k ẻ Â ).

x
cú nghim l
2
B. x = kp (k ẻ Â ).

C. x = p + k2p (k ẻ Â ).

D. x = - p + k2p (k ẻ Â ) .

Cõu 10 (Toỏn Hc Tui Tr 2018)Phng trỡnh lng giỏc tan x = tan

Hng dn gii: Chn A
x p
T lun: iu kin ạ
+ kp x ạ p + k2p (k ẻ Â ) .
2 2
Ta cú tan x = tan

x
x
x = + kp x = k2p (k ẻ Â )
2
2

Cõu 11 (Toỏn Hc Tui Tr 2018)Nghim õm ln nht v nghim dng nh ca phng
trỡnh sin 4x + cos 5x = 0 theo th t l:
p
p
2p
p
A. x = B. x = , kẻ Â .
; x=
; x= , kẻ Â .
18
18
9
2
C. x = -

p
p
; x= , kẻ Â .
18
6

D. x = -

p
p
; x= , kẻ Â .
18
3

Hng dn gii: Chn C

sin 4x + cos 5x = 0 cos 5x = - sin 4x
ổp
ử
cos 5x = cos ỗỗ + 4 xữ
ữ
ữ
ỗố 2
ứ

ộ
ộ
p
p

ờ5x = + 4 x + k2p
ờx = + k2p
ờ
ờ
2
2
ờ
ờ
(k ẻ Â )
p
p
2p
ờ
ờ
+k
ờ5x = - - 4 x + k2p
ờx = ờở
ờở
2
18
9
Vi nghim x =

p
p
3p
v
+ k2p ta cú nghim õm ln nht v nh nht l 2
2
2

Vi nghim x = -

p
2p
p
p
ta cú nghim õm ln nht v nh nht l v
+k
18
9
18
6


p
p
v .
18
6

Vy hai nghim theo yờu cu bi l -

Cõu 12 (Toỏn Hc Tui Tr 2018))Cho phng trỡnh cos x.cos 7x = cos 3x.cos 5x (1)
Phng trỡnh no sau õy tng ng vi phng trỡnh (1)
B. cos 4x = 0 .

A. sin 5x = 0 .
cos 3x = 0 .

C. sin 4x = 0 .

D.

Hng dn gii: Chn C

cos x.cos 7 x = cos 3x.cos 5x

1
1
(cos 6x + cos 8x)= (cos 2x + cos 8x)
2
2

ộsin 4 x = 0
cos 6x - cos 2x = 0 - 2 sin 4x.sin 2x = 0 ờ
sin 4x = 0
ờsin 2x = 0
ở

( Do sin 4x = 2 sin 2x cos 2x )
Cõu 13 (Toỏn Hc Tui Tr 2018)Tỡm m phng trỡnh 2 sin x + m cos x = 1 - m (1) cú
ộ p pự
nghim x ẻ ờ- ; ỳ.
ờở 2 2 ỳ
ỷ
A. - 3 Ê m Ê 1 .
B. - 2 Ê m Ê 6 .
- 1Ê m Ê 3 .
Hng dn gii: Chn D

(1)

m (1 + cos x) = 1 - 2 sin x

1 - 2 sin x
m=
m=
1 + cos x
2

Vỡ:

C. 1 Ê m Ê 3 .

D.

ộ p pự
x ẻ ờ- ; ỳ nờn 1 + cos x > 0 do ú:
ờở 2 2 ỳ
ỷ

x
x
1 - 4 sin cos
ử
x
2
2 m = 1ổ
ỗỗtan2 x + 1ữ

- 2 tan
ữ
ữ
x
2 ỗố
2
2
ứ
2 cos2
2

ổ
xử
2m = ỗỗ2 - tan ữ
ữ - 3 Vỡ x ẻ
ỗố
2ữ
ứ

ộ p pự
p x p
ờ- ; ỳ nờn - Ê Ê
ờở 2 2 ỳ
4 2 4
ỷ

Do ú
2

ổ

x
x
xử
- 1 Ê tan Ê 1 1 Ê 2 - tan Ê 3 1 Ê ỗỗ2 - tan ữ
ữ
ữ Ê 9 - 2Ê
ỗố
2
2
2ứ
Vy: - 2 Ê 2m Ê 6 - 1 Ê m Ê 3 .

2

ổ
ử
ỗỗ2 - tan x ữ
ữ
ữ - 3Ê 6
2ứ
ốỗ





 5
Câu 14 : (Toán Học Tuổi Trẻ 2018)Cho phương trình cos 2  x +  + 4 cos  − x  = .
3


6
 2



Khi đặt t = cos  − x  , phương trình đã cho trở thành phương trình nào dưới đây?
6

A. 4t 2 − 8t + 3 = 0

B. 4t 2 − 8t − 3 = 0

C. 4t 2 + 8t − 5 = 0

D. 4t 2 + −8t + 5 = 0

Đáp án A




 5
Phương trình tương đương với: −2 cos  − x  + 4 cos  − x  − = 0
6

6
 2







 −4 cos 2  − x  + 8cos  − x  − 3 = 0 , nên nếu đặt t = cos  − x  phương trình trở thành
6

6

6

−4t 2 + 8t − 3 = 0  4t 2 − 8t + 3 = 0

Câu 15 : (Toán Học Tuổi Trẻ 2018)Tính tổng S các nghiệm của phương trình

( 2 cos 2x + 5) ( sin 4 − cos 4 x ) + 3 = 0
A. S =

11
6

trong khoảng ( 0;2)

B. S = 4

C. S = 5

D. S =

7
6

Đáp án B

( 2 cos 2x + 5) ( sin 4 − cos 4 x ) + 3 = 0  ( 2 cos 2x + 5 ) ( sin 2 x − cos 2 x ) + 3 = 0
 − ( 2 cos 2x + 5 ) cos 2x + 3 = 0  −2 cos 2 ( 2x ) − 5cos 2x + 3 = 0  cos 2x =

cos 2x =

1

 x =  + k ( k 
2
6

Do đó S =

1
2

 5 7 11 
; ; ;

6 6 6 6 

)  x  

 5 7  11
+
+
+

= 4
6 6
6
6

 3

Câu 16 : (Toán Học Tuổi Trẻ 2018)Tìm số nghiệm thuộc  − ; −  của phương trình
 2

 3

3 sin x = cos 
− 2x 
 2

A. 0
Đáp án A.

 3

3 sin x = cos 
− 2x 
 2


B. 1

C. 2

D. 3





 3 sin x = cos   + − 2 x 
2


 3 sin x = − sin 2 x
 sin x

(

)

3 + 2cos x = 0


 x = k
sin x = 0

5


 x =
+ k 2 ; k  .
cos x = − 3


6


2
−5
x =
+ k 2
6


 −3
 −7 

; −  nên S = 
Do S  
.
 2
 6 

Câu (Toán Học Tuổi Trẻ 2018)Phương trình sin 2x cos x = sin 7 x cos 4x có họ nghiệm là:
A. x =

k 2
 k
;x = +
(k  )
5
12 6

B. x =

k
 k
;x = +
(k  )
5
12 3

C. x =

k
 k
;x = +
(k  )
5
12 6

D. x =

k 2
 k
;x = +
(k  )
5
12 3

Đáp án C
Phương trình cho tương đương:
sin 3 x + cos x = sin11x + sin 3 x  sin x = sin11x



x = −k

x
=
11
x
+
k
2


5


 x =  − 11x + k 2
x =  + k 

12
6
Câu 18 (Toán Học Tuổi Trẻ 2018)Tổng tất cả các nghiệm của phương trình cos(sin x) = 1
trên  0; 2  bằng
A. 0

B. 

C. 2

Đáp án D

Ta có: cos(sin x) = 1  sin x = 0  x =  + k
Trong đoạn  0; 2  có 3 giá trị thỏa mãn là x = 0, x =  , x = 2

D. 3


Câu
19((Toán
Học
Tuổi
Trẻ
2018)Xét
phương
trình:
sin3x − 3sin 2x − cos 2x + 3sin x + 3cos x = 2 . Phương trình nào dưới đây tương đương với
phương trình đã cho?
A. (2sin x −1)(2cos2 x + 3cos x + 1) = 0

B. (2sin x − cos x + 1)(2 cos x − 1) = 0

C. (2sin x − 1)(2 cos x − 1)(cos x − 1) = 0

D. (2sin x − 1)(cos x − 1)(2 cos x + 1) = 0

Đáp án C
sin 3 x − 3sin 2 x − cos 2 x + 3sin x + 3cos x = 2
 3sin x − 4sin 3 x − 6sin x cos x + 2sin 2 x − 1 + 3sin x + 3cos x = 2
 −3cos x(2sin x − 1) + (2sin x − 1)( −2sin 2 x + 3) = 0
 (2sin x − 1)( −3cos x − 2sin 2 x + 3) = 0
 (2sin x − 1)(2 cos 2 x − 3cos x + 1) = 0

 (2sin x − 1)(cos x − 1)(2 cos x − 1) = 0

Câu 20: (Toán Học Tuổi Trẻ 2018)Số nghiệm trên khoảng (0; 2 )

của phương trình

27 cos4 x + 8sin x = 12 là
A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Đáp án D

27 cos 4 x + 8sin x = 12
 27(1 − sin 2 x) 2 + 8sin x = 12
 27 sin 4 x − 54sin 2 x + 8sin x + 15 = 0
 (9sin 2 x − 6sin x − 5)(3sin 2 x + 2sin x − 3) = 0

1− 6
sin x =
3


−1 + 10
sin x =
3


Vậy có 4 giá trị của x thuộc đoạn  0; 2  thỏa mãn phương trình cho
Câu 21 (Toán Học Tuổi Trẻ 2018) Phương trình

3 cos x + sin x = - 2 có bao nhiêu

nghiệm trên đoạn [0;4035p ]?
A. 2016
Đáp án B

B. 2017

C. 2011

D. 2018


5p
+ k 2p , k Î ¢ .
6
5p
5
24215
0£ + k 2p £ 4035p Û
£ k£
» 2017,9
6
12
12
PT Û x = -

Ta

thấy

Mà k Î ¢ nên k Î {1, 2,3,K , 2017}
Vậy trên đoạn [0;4035p ]phương trình

3 cos x + sin x = - 2 có 2017 nghiệm

Câu 22 (Toán Học Tuổi Trẻ 2018): Với giá trị lớn nhất của a bằng bao nhiêu để phương
trình a sin 2 x + 2sin 2 x + 3a cos 2 x = 2 có nghiệm
A. 2.

B.

11
.
3

C. 4.

D.

Đáp án D
PT  2sin 2x + a cos 2x = 2 − 2a.
Phương trình có nghiệm  22 + a 2  ( 2 − 2a)  3a2 − 8a  0  0  a 
2

8

.
2

8
.
3