(gv đặng thành nam) 5câu cấp số cộng nhân image marked image marked

Câu 1 (Gv Đặng Thành Nam 2018)Cho dãy số
5an +1 − an − 1 =

( an )

thỏa mãn

a1 = 1 và

3
, với mọi n  1. Tìm số nguyên dương n  1 nhỏ nhất để an là một số
3n + 2

nguyên.
C. n = 123.

B. n = 41.

A. n = 49.

D. n = 39.

Đáp án B
Ta có 5an +1 − an = 1 +

3
3n + 5
 3n + 5 
=
 an +1 − an = log 5 
.

3n + 2 3n + 2
 3n + 2 

Do đó an = (an − an−1 ) + (an−1 − an−2 ) + ... + (a2 − a1 ) + a1
3n − 1
8
 3n + 2 
= log 5 
+ ... + log 5 + 1
 + log 5
3n − 4
5
 3n − 1 
= log 5

3n + 2
+ 1 = log 5 (3n + 2).
5

5k − 2 53 − 2

= 41.
3
3

Vậy để an  Z  3n + 2 = 5k  n =

Câu 2 : (Gv Đặng Thành Nam) Cho dãy số ( un ) xác định bởi u1 = 5, unn++11 = unn + 2n + 2.3n
với mọi n  1. Tìm số nguyên nhỏ nhất thỏa mãn unn − 2n  5100
A. 146.

B. 233.

C. 232.

D. 147.

Đáp án D

unn − unn−−11 = 2n −1 + 2.3n −1
 n −1 n − 2
n−2
n−2
un −1 − un − 2 = 2 + 2.3

Ta có ...
u 2 − u = 21 + 2.31
 2 1
u1 = 5

Cộng lại theo vế ta được:
u = (2
n
n

n −1

+2

n−2

+ ... + 2 ) + 2 ( 3
1

n −1

n−2

+3

3n −1 − 1)
(
2n −1 − 1
+ ... + 3 ) + 5 = 2
+ 2.3
+ 5 = 2n + 3n.
2 −1
3 −1
1

Vậy theo giả thiết có 3n  5100  n  100 log 3 5 =

100 ln 5
 146, 497.
ln 3

Do đó số tự nhiên nhỏ nhất cần tìm là 147.
Câu 3 : (Gv Đặng Thành Nam) Cho dãy số (un ) thỏa mãn u1 = 2, un +1 = un3 với mọi n  1.
Số tự nhiên n nhỏ nhất để un  23

2018

A. 2010.

B. 2020.

là
C. 2019.

D. 2018.


Đáp án B
Có ln un +1 = ln ( un3 ) = 3ln un  ln un = 3n −1 ln u1  ln un = ln ( u1 )
n−1

Theo giả thiết có 23  23

2018

3n−1

 un = ( u1 )

3n−1

n−1

= 23 .

 3n−1  32018  n − 1  2018  n  2019.

Vậy số tự nhiên nhỏ nhất thoả mãn là 2020.
Câu 4 (Gv Đặng Thành Nam)Cho các số thực dương a1 , a2 , a3 , a4 , a5 theo thứ tự lập thành
cấp số cộng và các số thực dương b1 , b2 , b3 , b4 , b5 theo thứ tự lập thành cấp số nhân. Biết rằng

a1 = b1 và a5 =
A.

16
.
17

a + a3 + a4
176
bằng
b5 . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2
17
b2 + b3 + b4
B.

48
.
17

C.

32
.
17

D.

24
.
17

Đáp án B

a1 = b1 = a  0

Có 
và theo giả thiết có:
n −1
an = a1 + (n − 1)d ; bn = q a(q  0)
a5 =

176
176 4
1  176 4

b5  a + 4d =
q ad= 
q − 1 a.
17
17
4  17


6  176 4

3  176 4


3a + 
q − 1 a
q − 1 + 3

a + a3 + a4
3a + 6d
48
4  17
 = 2  17

=
=
 .
Do đó 2
2
3
2
3
2
3
b2 + b3 + b4 (q + q + q )a
17
(q + q + q )a
q+q +q
1
3
Dấu bằng đạt tại q = ; d = − .

2
34

Câu 5 (Gv Đặng Thành Nam): Cho cấp số nhân (un ) có tất cả các số hạng đều dương thoả
mãn u1 + u2 + u3 + u4 = 5(u1 + u2 ). Số tự nhiên n nhỏ nhất để un  8100 u1 là
A. 102.

B. 301.

C. 302.

D. 101.

Đáp án C
Tất cả các số hạng đều dương nên công bội q  0. Theo giả thiết ta có:

un = qn−1u1  u1 + qu1 + q2u1 + q3u1 = 5 (u1 + qu1 )  q3 + q 2 + q + 1 = 5(q + 1)  q = 2(q  0).
Vậy un = 2n −1 u1  8100 u1  2n −1  2300  n − 1  300  n  301  n  302.