(GV mẫn ngọc quang 11câu nhị thức newton) image marked image marked

NHI ̣THỨC NEWTON
Câu 1: (GV MẪN NGỌC QUANG 2018) Tìm số nguyên dương n thỏa mãn
1 0 1 1 1 2 1 3
(−1)n n
1
.
Cn − Cn + Cn − Cn + ... +
Cn =
2
3
4
5
n+2
156

A. 11

B. 9

C. 10

D. 12

Đáp án A.
Với mọi x  N và mọi số nguyên dương n, theo nhị thức Niu tơn ta có
Cn0 x − Cn1 x 2 + ... + (−1) n Cnn x n +1 = (Cn0 − Cn1 x + ... + (−1) n Cnn ) x = (1 − x) n x

Suy ra

1

1

0

0

0
1 2
n
n n +1
n
 ( Cn x − Cn x + ... + (−1) Cn x )dx =  (1 − x) xdx Hay

1

1

0

0

1
1
1
−
=
, với mọi n  N*
n + 1 n + 2 (n + 1)(n + 2)

=  (1 − x) n dx −  (1 − x) n +1 dx =

Từ đó ta có

1 0
1
(−1) n n
Cn x − Cn1 + ... +
Cn
2
3
n+2

1
1
=
 n2 + 3n − 154 = 0  n = 11 ( vì n N*)
(n + 1)(n + 2) 156

Câu 2. (GV MẪN NGỌC QUANG 2018) Tìm các số ha ̣ng (nhỏ hơn 100) là số nguyên trong
khai triể n nhi ̣thức

(

A. 4536
Đáp án C.

)

n

3 + 3 2 , biế t ( Pn ) .Cnn .C2nn .C3nn = P27 , với n là số tự nhiên
3

B. 2196

C. 8

D. 10

Giải phương triǹ h ( Pn )3 .Cnn .C2nn .C3nn = P27  n = 9
9−k

k

Số ha ̣ng tổ ng quát C9k .3 2 .2 3
Số ha ̣ng là số nguyên khi

k
9−k
và là số nguyên  k = 3 và k = 9
3
2

Vâ ̣y có 2 số ha ̣ng là: C93 .33.21 = 4536 và C99 .23 = 8
Câu 3(GV MẪN NGỌC QUANG 2018). Tìm hệ số của x 5 trong khai triển biểu thức

(

P = x 1 − 2x

)

n

(

+ x 2 1 + 3x

A. 3240
Điề u kiê ̣n n  2, n 

)

2n

. Biế t rằ ng An2 − C nn +−11 = 5

B. 3320

Ta có: An2 − C nn+−11 = 5  n (n − 1) −

C. 3210

( n + 1) n
2

D. 3340

(

n = −2 loai
= 5  n 2 − 3n − 10 = 0  
n = 5

Với n = 5 ta có: P = x (1 − 2x ) + x 2 (1 + 3x ) = x C 5k ( −2x ) + x 2 C 10l ( 3x )
5

10

5

k =0

k

10

l =0

l

)


⇒ Số hạng chứa x 5 là x .C 51. ( −2x ) + x 2 .C 107 ( 3x ) = (16.5 + 27.120 ) x 5 = 3320x 5
4

3

Vậy hệ số của x 5 trong biểu thức P đã cho là 3320. Cho ̣n B.

Câu 4. (GV MẪN NGỌC QUANG 2018) Cho phương trình: 2Pn + 6An2 − Pn An2 = 12 . Biết phương
trình trên có 2 nghiệm là a, b. Giá trị của S = ab(a + b) là
A. 30
B. 84
C. 20
D. 162
Điều kiện: n  2
2Pn + 6An2 − Pn An2 = 12  2.n !+ 6n (n − 1) − n (n − 1).n ! = 12
n = 3

2
 (n !− 6)(n − n − 2) = 0  n = 2
n = −1(loai )

Vậy a = 3, b = 2 (hoặc a = 2, b = 3). Chọn A.
Câu

5(GV

MẪN

NGỌC

QUANG

2018)Cho

n

=

6

tính

giá

trị

của:

(C ) + (C ) + (C ) + ... + (C )
0 2
n

1 2
n

2 2
n

n 2
n

A. 924
B. 876
Chọn A.
 Cách 1: Sử dụng máy tính.
 Cách 2.

(

C. 614

)(

x n .x n = C n0 + C n1x + C n2x 2 + .. + C nn x n C n0x n + C n1x n −1 + C n2x n −2 + .. + C nn

D. 512

)

Hế số của của x^n trong khai triển là C 2nn
Hoặc (C n0 )2 + (C n1 )2 + (C n2 )2 + ... + (C nn )2
Do đó: (C n0 )2 + (C n1 )2 + (C n2 )2 + ... + (C nn )2 =C 2nn
Thay n = 6 vào
Câu 6. (GV MẪN NGỌC QUANG 2018) Ta có: C 14k , C 14k +1, C 14k +2 lập thành cấp số công. Biết k có 2 giá
trị là a và b. Giá trị của ab là:
A. 30
B. 32
Chọn B. 0  k  12
Ta có: C 14k + C 14k +2 = 2.C 14k +1 


C. 50

D. 56

14 !
14 !

2.14 !
+
=
k !(14 − k ) ! (k + 2) !(12 − k ) ! (k + 1) !(13 − k ) !

k = 4
1
1
2
+
=

(14 − k )(13 − k ) (k + 2)(k + 1) (k + 1)(13 − k )
k = 8

18

1
Câu 7(GV MẪN NGỌC QUANG 2018)Tìm hê ̣ số của x 8 trong khai triể n  x 2 + x +  (1 + 2x )
4

A. 125970
B. 4031040
C. 8062080
D. 503880
20
20
18
20
k

 2

1
1
1
1
k
k k k
 x + x +  (1 + 2x ) = (1 + 2x ) = C 20 (2x ) = C 20 2 x
4
4
4 k =o
4 k =o


x8 

1 8 8
C .2 = 64C 208 = 8062080 . Cho ̣n C.
4 20


Câu
8(GV
MẪN
NGỌC
QUANG
2
3
P (x ) = (1 + x ) + 2(1 + x ) + 3(1 + x ) + ... + 20(1 + x )20

2018)Cho

đa

thức:

Được viết dưới dạng P (x ) = a 0 + a1x + a 2x 2 + ... + a 20x 20 . Tìm hệ số của a15?
A. 400995
Chọn A.

B. 500995

C. 600995

D. 700995

P (x ) = (1 + x ) + 2(1 + x )2 + 3(1 + x )3 + ... + 20(1 + x )20
15
15
15
15
a15 = 15.C 15
+ 16.C 16
+ 17.C 17
+ ... + 20.C 20
= 400995

Câu 9: (GV MẪN NGỌC QUANG 2018) Tìm số nguyên dương n thỏa mãn
1 0 1 1 1 2 1 3

(−1)n n
1
Cn − Cn + Cn − Cn + ... +
Cn =
.
2
3
4
5
n+2
156
A. 11

B. 9

C. 10

D. 12

Đáp án A.
Với mọi x 

và mọi số nguyên dương n, theo nhị thức Niu tơn ta có

Cn0 x − Cn1 x 2 + ... + (−1) n Cnn x n +1 = (Cn0 − Cn1 x + ... + (−1) n Cnn ) x = (1 − x) n x
1

Suy ra

 (C

0

1

1

0
n

x − Cn1 x 2 + ... + (−1) n Cnn x n +1 )dx =  (1 − x) n xdx Hay
0

1

=  (1 − x) dx −  (1 − x) n +1 dx =
n

0

Từ đó ta có

0

1 0
1
(−1) n n
Cn x − Cn1 + ... +
Cn
2
3

n+2

1
1
1
−
=
, với mọi n 
n + 1 n + 2 (n + 1)(n + 2)

1
1
=
 n2 + 3n − 154 = 0  n = 11 ( vì n
(n + 1)(n + 2) 156

*

*)

Câu 10. (GV MẪN NGỌC QUANG 2018) Tim
̀ các số ha ̣ng (nhỏ hơn 100) là số nguyên trong
n
3
khai triể n nhi ̣thức 3 + 3 2 , biế t ( Pn ) .Cnn .C2nn .C3nn = P27 , với n là số tự nhiên

(

)

A. 4536
Đáp án C.

B. 2196

C. 8

Giải phương triǹ h ( Pn ) .Cnn .C2nn .C3nn = P27  n = 9
3

9−k

k

Số ha ̣ng tổ ng quát C9k .3 2 .2 3
Số ha ̣ng là số nguyên khi

k
9−k
và là số nguyên  k = 3 và k = 9
3
2

D. 10


Vâ ̣y có 2 số ha ̣ng là: C93 .33.21 = 4536 và C99 .23 = 8
5
Câu 11(GV MẪN NGỌC QUANG 2018). Tìm hệ số của x trong khai triển biểu thức

P = x (1 − 2 x ) + x2 (1 + 3x ) . Biế t rằ ng An2 − Cnn+−11 = 5
n

2n

A. 3240
Điề u kiê ̣n n  2, n 

B. 3320

C. 3210

Ta có: An2 − C nn+−11 = 5  n (n − 1) −

(

Với n = 5 ta có: P = x 1 − 2x

)

5

( n + 1) n

(

n = −2 loai
= 5  n 2 − 3n − 10 = 0  
n = 5

2

(

+ x 2 1 + 3x

D. 3340

)

10

5

(

= x C 5k −2x
k =0

)

k

10

( )

+ x 2 C 10l 3x
l =0

⇒số hạng chứa x 5 là x .C 51. ( −2x ) + x 2 .C 107 ( 3x ) = (16.5 + 27.120 ) x 5 = 3320x 5
4

3

Vậy hệ số của x 5 trong biểu thức P đã cho là 3320. Cho ̣n B.

l

)