(trường không chuyên) 126 câu oxyz image marked image marked

Câu 1 (Lê Đức Thọ-Hà Tĩnh 2018): Cho 2 điểm A (1;3;5) , B (1; −1;1) , khi đó trung điểm I
của AB có tọa độ là

Câu

C. I ( 0; −2; −4)

B. I ( 2; 2;6 )

A. I ( 0; −4; −4)
2

(Lý

Thái

Tổ-Bắc

Ninh

D. I (1;1;3)
Cho

2018):

điểm

A ( 2;0;0) , B ( 0;2;0 ) , C ( 0;0;2 ) , D ( 2;2;2 ) . Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có bán kính
là
3
2

A.

3

B.

C.

2
3

D. 3

Đáp án B
Dễ thấy ABCD là tứ diện đều nên tâm mặt cầu ngoại tiếp trùng với trọng tâm G (1;1;1) của tứ
diện
Khi đó R = GA = 3
(TTLT ĐH DIỆU HIỀN -LẦN 2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxy, cho hình

Câu 3:
hộp

chữ

nhật

ABCD.A'B'C'D'

có

A

trùng

với

gốc

tọa

độ

O,

các

đỉnh

B ( m;0;0) , D ( 0;m;0 ) , A' ( 0;0;n ) với m, n  0 và m + n = 4 . Gọi M là trung điểm của cạnh
CC'. Khi đó thể tích tứ diện BDA'M đạt giá trị lớn nhất bằng:
A.

245
108

B.

9
4

C.

64
27

Đáp án là C.
n

+ Tìm được M  m; m;  .
2

n

+ Ta có BM =  0; m;  ; BD = ( −m; m;0 ) ; BA = ( −m;0; n )
2

mn mn 2 
3 2
 BM ; BD  =  −

 

  2 ; − 2 ; m  ;  BM ; BD  BA = 2 m n

VBMDA =

1
1
 BM ; BD  BA = m 2 n



6
4

1
mà n = 4 − m  VBMDA = − m3 + m 2 = f ( m )
4

 m = 0 ( loai )
3 2
+ f  ( m ) = − m + 2m = 0  
 m = 8  f ( m ) = 64
4

3
27

D.

75
32


Câu 4

(Lê Quý Đôn-Hải phòng 2018): Trong không gian cho tam giác ABC đều cạnh

bằng 2 cố định, M là điểm thỏa mãn điều kiện MA 2 + MB2 + 2MC2 = 12. Khẳng định nào
sau đây đúng ?

A. Tập hợp các điểm M là một mặt cầu có bán kính R = 7.
B. Tập hợp các điểm M là một mặt cầu có bán kính R =

2 7
.
3

C. Tập hợp các điểm M là một mặt cầu có bán kính R =

7
.
2

D. Tập hợp các điểm M là một mặt cầu có bán kính R =

2 7
.
9

Đáp án C.
Gắ n hê ̣ tru ̣c to ̣a đô ̣ Oxyz, với O ( 0;0;0) là trung điể m của AB  OC = 3.
Khi đó A ( 0; −1;0) , B ( 0;1;0 ) và C

(

)

3;0;0 .

(

)

Go ̣i M ( x, y, z )  AM = ( x; y + 1; z ) , BM ( x; y −1; z ) và CM = x − 3; y; z .
MA 2 + MB2 + 2MC2 = 12

Mà

(

 x 2 + ( y + 1) + z 2 + x 2 + ( y − 1) + z 2 + 2 x − 3
2

2

)

2

+ 2y 2 + 2z 2 = 12
2


3
7
2
2
 4x + 4y + 4z − 4 3x − 4 = 0  x − 3x + y + z − 1 = 0   x −
 + y + z =


2 
4

2

2

2

2

2

2

Vâ ̣y tâ ̣p hơ ̣p các điể m M là mô ̣t mă ̣t cầ u có bán kính R =

7
.
2

( THPT ANHXTANH)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho vectơ

Câu 5

a = (1; −2;0 ) và b = 2a. Tìm tọa độ của vectơ b
B. b = ( 2; −4;0 )

A. b = ( 2; 4; 2 )

C. b = ( 3;0; 2 )

D. b = ( 2; 4;0 )

Đáp án B

b = 2a = ( 2; −4;0 )
Câu 6

.

( THPT ANHXTANH)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng

( P ) : 2x − 3y + 4z − 5 = 0. Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của ( P )
A. n1 = ( 2; −3; 4 )

B. n 2 = ( 2;3; 4 )

C. n 3 = ( 2; 4;5 )

D. n 4 = ( 2; −3; −5)


Đáp án A

Câu 7

( THPT ANHXTANH)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm

A (1;1;0 ) và B ( 0;1; 2 ) . Tìm tọa độ vectơ AB

A. AB = ( 0;1;0 )

C. AB = (1;0; −2 )

B. AB = (1;1; 2 )

D. AB = ( −1;0; 2 )

Đáp án D
Câu 8:

( THPT ANHXTANH) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm

A ( −2; −1;3) và B ( 0;3;1) . Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng AB là:
A. ( −1;1;2)
Đáp án A

Câu 9:

C. ( −2; −4; 2 )

B. ( 2;4; −2)

D. ( −2;2;4)

Dễ thấy tọa độ trung điểm của đoạn thẳng AB là điểm.
( THPT ANHXTANH)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm

A ( 2;1;1) . Tính độ dài đoạn thẳng OA
B. OA = 5

A. OA = 6

D. OA = 6

C. OA = 2

Đáp án D
OA = (2;1;1)  OA =| OA |= 6

Câu 10:

( THPT ANHXTANH)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho vectơ

a = ( 2; −2; −4 ) , b = (1; −1;1) . Mệnh đề nào dưới đây sai?
A. a + b = ( 3; −3; −3)

C. b = 3

B. a ⊥ b

D. a và b cùng phương

Đáp án D
- Kiểm tra từng đáp án.
- Vì
Câu 11:

2 − 2 −4
=


nên a và b cùng phương.
1 −1 1

( THPT ANHXTANH)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai vectơ

( )

a = (1;1; −2 ) và b = ( 2;1; −1) . Tính cos a, b

( )

A. cos a, b =
Đáp án C

1
6

( )

B. cos a, b =

5
36

( )

C. cos a, b =

5

6

( )

D. cos a, b =

1
36


( )

Ta có cos a, b =

1.2 + 1.1 + ( −2 )( −1)
1 + 1 + ( −2 )
2

2

2

2 + 1 + ( −1)
2

2

=

2

5
.
6

( THPT ANHXTANH) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu

Câu 12:

(S) : ( x − 1)

2

+ ( y + 2 ) + z 2 = 9. Tâm I và bán kính R của
2

A. I (1; −2;0) ;R = 3

B. I ( −1;2;0) ;R = 3

(S) lần lượt là

C. I (1; −2;0) ;R = 9

D. I ( −1;2;0 ) ;R = 9

Đáp án A
Từ phương trình mặt cầu ( S ) : ( x − 1) + ( y + 2 ) + z 2 = 9 suy ra mặt cầu ( S ) có
2

2

tâm I (1; −2;0) và bán kính R = 3 .
( THPT ANHXTANH) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho M ( 2; −1;1) và

Câu 13:

vecto n = (1;3; 4 ) . Viết phương trình mặt phẳng ( P ) đi qua điểm M và có vecto pháp tuyến
n

A. 2x − y + z + 3 = 0

B. 2x − y + z − 3 = 0

C. x + 3y + 4z + 3 = 0 D. x + 3y + 4z − 3 = 0

Đáp án D
Phương trình mặt phẳng ( P ) đi qua điểm M và có vectơ pháp tuyến n là:

1( x − 2 ) + 3 ( y + 1) + 4 ( z − 1) = 0
 x + 3y + 4z − 3 = 0
Câu 14

( THPT ANHXTANH): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng

( P ) : 2x − y + z −1 = 0. Điểm nào dưới đây thuộc ( P )
A. M ( 2; −1;1)

B. N ( 0;1; −2)

C. P (1; −2;0)

D. Q (1; −3; −4 )

Đáp án D
Dễ thấy 2.1 − ( −3) + ( −4) − 1 = 0  điểm Q thuộc ( P ) .
Câu 15

(Lê Quý Đôn-Hải phòng 2018): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho

a = 2i + 3j − k, b = ( 2;3; −7 ) . Tìm tọa độ của x = 2a − 3b.
A. x = ( 2; −1;19 ) .

B. x = ( −2;3;19 ) .

Đáp án C.
Ta có: x = 2 ( 2;3; −1) − 3 ( 2;3; −7 ) = ( −2; −3;19 ) .

C. x = ( −2; −3;19 ) .

D. x = ( −2; −1;19 ) .


Câu 16

(Lê Quý Đôn-Hải phòng 2018): Viết phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm

A (1;1;4) , B ( 2;7;9 ) ,C ( 0;9;13) .
A. 2x + y + z + 1 = 0

B. x − y + z − 4 = 0

C. 7x − 2y + z − 9 = 0

D. 2x + y − z − 2 = 0

Đáp án B.
Ta có: AB (1;6;5) ; AC ( −1;8;9 )  AB.AC = 14 (1; −1;1)
Do đó ( ABC) :x − y + z − 4 = 0.
Câu 17

(Lê Quý Đôn-Hải phòng 2018): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho

A ( 3;2;1) , B ( −2;3;6 ) . Điểm M ( x M ; yM ;z M ) thay đổi thuộc mặt phẳng

(Oxy). Tìm giá trị

của biểu thức T = x M + yM + z M khi MA + 3MB nhỏ nhất.
7
A. − .
2

B.

7
.
2

C. 2.

D. -2.

Đáp án C.
Ta có: z M = 0.

MA + 3MB = ( 3 − x M ; 2 − yM ;1) + 3 ( −2 − x M ;3 − y M ;6 ) = ( −4x M − 3; −4y M + 11;19 )

3

xM = −

2
2

4
MA + 3MB = ( −4x M − 3) + ( −4y M + 11) + 192  19  MA + 3MB = 19  
 y = 11
 M 4
3 11
 T = − + + 0 = 2.
4 4

Câu 18 (Lê Quý Đôn-Hải phòng 2018): Trong không gian Oxyz cho điểm M ( 3;2;1) . Viết
phương trình mặt phẳng đi qua M và cắt các trục x 'Ox;y'Oy;z'Oz lần lượt tại các điểm A, B,
C sao cho M là trực tâm của tam giác ABC.
A. 3x + y + 2z − 14 = 0
C.

x y z
+ + = 1.

9 3 6

Đáp án B.

B. 3x + y + z − 14 = 0
D.

x y z
+ + = 1.
12 4 4


Do M là trực tâm của tam giác ABC nên: CM ⊥ AB lại có OC ⊥ AB  AB ⊥ OM
Tương tự BC ⊥ OM  OM ⊥ ( ABC) .
Vậy n ( ABC) = OM = ( 3; 2;1)
Suy ra

(ABC): 3x + 2y + z − 14 = 0

Câu 19

(Lê Quý Đôn-Hải phòng 2018): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt

phẳng ( P ) : x + 2y + 2z − 6 = 0. Trong

(P) lấy điểm M và xác định điểm N thuộc đường

thẳng OM sao cho ON.OM = 1. Mệnh đề nào sau đây đúng?
2

2

2

1 
1 
1
1

A. Điểm N luôn thuộc mặt cầu có phương trình  x −  +  y −  +  y −  = .
6 
3 
3
4

2

2

2

1 
1 
1
1

B. Điểm N luôn thuộc mặt cầu có phương trình  x −  +  y −  +  y −  = .
12  
6 
6  16



C. Điểm N luôn thuộc mặt phẳng có phương trình là x + 2y + 2z − 1 = 0.
D. Điểm N luôn thuộc mặt phẳng có phương trình là x + 2y + 2z + 1 = 0.
Đáp án B.
Gọi N ( a;b;c )  ON = ( a;b;c )  ON = a 2 + b2 + c2 mà OM.ON = 1.

 OM =

1

=

1
1
1
. a 2 + b2 + c2 = 2
.ON  OM = 2
.ON
2
2
2
2
a +b +c
a +b +c
a + b2 + c2
2

a +b +c
a

b
c


Suy ra M  2
; 2
; 2
, mặt khác M  ( P ) nên ta được:
2
2
2
2
2
2 
a +b +c a +b +c a +b +c 
2

2

2

2

2

2

a
b
c

1 
1 
1
1

+ 2. 2
+ 2. 2
− 6 = 0  a −  + b −  +c −  = .
2
2
2
2
2
2
2
a +b +c
a +b +c
a +b +c
6 
6  16
 12  
2

2

2

1 
1 
1

1

Vậy điểm N luôn thuộc mặt cầu có phương trình  x −  +  y −  +  z −  = .
12  
6 
6  16



Câu 20:

(THPT HẬU LỘC 2-2018)

x −12 y − 9 z −1
=
=
và
4
3
1

A.

Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng d:

(P): 3x + 5 y − z − 2 = 0 .

(1;0;1)

B.

(0;0;-2)

C.

(1;1;6)

D.

(12;9;1)

Đáp án B.
Đặt

x − 12 y − 9 z − 1
=
=
= t  x = 12 + 4t; y = 3t + 9; z = 1 + t thay vào phương trình của mặt
4
3
1

phẳng ta có

3 (12 + 4t ) + 5 (3t + 9) − (1 + t ) − 2 = 0  26t = −78  t = −3 .
Khi đó thì điểm đó là A ( 0;0; −2)
(THPT HẬU LỘC 2-2018)Viết phương trình mặt cầu đường kính AB, biết A

Câu 21:

(6;2;-5), B (-4;0;7).
A. ( x − 5)2 + ( y − 1)2 + ( z + 6)2 = 62

B. ( x + 5)2 + ( y + 1)2 + ( z − 6)2 = 62

C. ( x − 1)2 + ( y − 1)2 + ( z − 1)2 = 62

D. ( x + 1)2 + ( y + 1)2 + ( z + 1)2 = 62

Đáp án C.
Mặt cầu này có tâm I là trung điểm của AB và bán kính bằng nửa cạnh AB
Vậy I (1;1;1) ; R =

1
AB = 62 . Vậy phương trình mặt cầu là
2

( x − 1) + ( y − 1) + ( z − 1)
2

2

2

= 62 .

Câu 22 (THPT HẬU LỘC 2-2018)Trong không gian tọa độ Oxyz, cho mặt cầu

(S) có

đường kính AB, với A (6;2;-5), B (-4;0;7). Viết phương trình mp (P) tiếp xúc với mặt cầu
(S) tại A.
A.

(P): 5x + y – 6z +62 = 0

B.

(P): 5x + y – 6z - 62 = 0

C.

(P): 5x - y – 6z - 62 = 0

D.

(P): 5x + y + 6z +62 = 0

Đáp án B.
Mặt cầu

(S) có tâm I (1;1;1) . Mặt phẳng (P)đi qua A và nhận ( IA ) = ( 5;1; −6 ) làm vtpt

 phương trình của ( P ) là

Câu 23:

5 ( x − 6) + 1( y − 2) − 6 ( z + 5) = 0  5x + y − 6 z − 62 = 0
(THPT HẬU LỘC 2-2018) Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hai điểm A

(1;0;-3), B (3;-1;0). Viết phương trình tham số của đường thẳng d là hình chiếu vuông góc
của đường thẳng AB trên mp (Oxy).


x = 0

A.  y = −t
 z = −3 + 3t


 x = 1 + 2t

B.  y = 0
 z = −3 + 3t


 x = 1 + 2t

C.  y = −t
z = 0


x = 0

D.  y = 0
 z = −3 + 3t


Đáp án C
Hình chiếu của A,B trên mp (Oxy) là A (1;0;0) ; B ' (3; −1;0 ) . Có AB = ( 2; −1;0 ) là vtcp của

A’B’ nên phương trình tham số của A’B’ là

Câu 24

 x = 1 + 2t

 y = −t .
 z=0

(TTLT ĐH DIỆU HIỀN -LẦN 2) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho

a = − i + 2 j − 3k . Tọa độ của vectơ a là:

A. ( 2; −1; −3)

B. ( −3;2; −1)

C. ( 2; −3; −1)

D. ( −1;2; −3)

Đáp án là D.
Ta có: a = ( −1;2; −3) .

Câu 25:

(TTLT ĐH DIỆU HIỀN -LẦN 2) Cho mặt phẳng

A ( −2;0;0) , B ( 0;3;0 ) , C ( 0;0; −3) . Mặt phẳng

(P) đi qua các điểm

(P) vuông góc với mặt phẳng nào trong các

mặt phẳng sau?
A. x + y + z + 1 = 0

B. x − 2y − z − 3 = 0

C. 2x + 2y − z − 1 = 0

D. 3x − 2y + 2z + 6 = 0

Đáp án là C.

 1 1 1
+ VTPT của ( P ) là: nP =  − ; ; − 
 2 3 3
+ Ta thấy nP .n3 = 0, ( n3 = ( 2;2; −1) )

Câu 26:

(TTLT ĐH DIỆU HIỀN -LẦN 2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn

điểm A (1;0;2) , B ( −2;1;3) , C (3;2;4 ) , D ( 6;9; −5) . Hãy tìm tọa độ trọng tâm của tứ diện
ABCD?
A. ( 2;3; −1)
Đáp án là C.

B. ( 2; −3;1)

C. ( 2;3;1)

D. ( −2;3;1)


x A + xB + xC + xD

=2
x =
4

y + yB + yC + yD

Toạ độ trọng tâm của tứ diện ABCD :  y = A
=3
4

z A + z B + zC + z D

=1
z =
4


(TTLT ĐH DIỆU HIỀN -LẦN 2)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai

Câu 27:

điểm A (1;1;2) , B ( −1;3; −9) .Tìm tọa độ điểm M thuộc Oy sao cho ABM vuông tại M .

(
(

 M 0;1 + 2 5; 0
A. 
 M 0;1 − 2 5; 0


)
)

(
(

 M 0; 2 + 2 5;0
B. 
 M 0; 2 − 2 5;0


)
)

(
(

 M 0;1 + 5; 0
C. 
 M 0;1 − 5; 0


)
)

(
(

 M 0; 2 + 5;0
D. 
 M 0; 2 − 5;0


)
)

Đáp án là B.
Gọi M ( 0; y;0)  Oy .
Ta có: AM = ( −1; y − 1; −2 ) ; BM = (1; y − 3;9 ) ; AM .BM = −1 + ( y − 1)( y − 3) − 18
y = 2+ 2 5
Tam giác ABM vuông tại A  y 2 − 4 y − 16 = 0  
. Chọn
 y = 2 − 2 5

Câu 28:

B

(TTLT ĐH DIỆU HIỀN -LẦN 2)Trong không gian với hệ trục tọa độ

Oxyz, có tất cả bao nhiêu số tự nhiên của tham số m để phương phương trình

x 2 + y2 + z2 + 2 ( m − 2) y − 2 ( m + 3) z + 3m2 + 7 = 0 là phương trình của một mặt cầu.
A. 2

B. 3

C. 4

D. 5

Đáp án là C.
+ Để phương trình đã cho là phương trình mặt cầu thì :

R = −m2 + 2m + 6  0  1 − 7  m  1 + 7 ;

m

mà

 m 0;1;2;3.

Câu 29:

(TTLT ĐH DIỆU HIỀN -LẦN 2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba

điểm A (1; −2;2) , B ( −5;6;4) , C ( 0;1; −2) . Độ dài đường phân giác trong của góc A của

ABC là:
A.

3 74
2

B.

3
2 74

C.

2
2 74

D.

Đáp án là D.
+ Gọi H ( x; y; z ) là chân đường phân giác trong góc A của ABC.

2 74
3


Ta có:
Câu 30:

HB
AB
2 74
 5 8 
=−

= −2  HB = −2 HC  H  − ; ;0   AH =
.
AC
3
HC
 3 3 

(TTLT ĐH DIỆU HIỀN -LẦN 2) Cho đường thẳng  :

x +1 y x +1
= =
và hai
2
3
−1

điểm A (1;2; −1) , B (3; −1; −5) . Gọi d là đường thẳng đi qua điểm A và cắt đường thẳng 
sao cho khoảng cách từ B đến đường thẳng d là lớn nhất. Phương trình của d là:
A.

x −3 y z +5
= =
2
2
−1

B.

x y+2 z
=

=
−1
3
4

C.

x + 2 y z −1
= =
3
1
−1

D.

x −1 y − 2 z +1
=
=
1
2
−1

Đáp án là D.
+ Gọi M =   d  M ( −1 + 2t;3t; −1 − t )
Ta có:
+ BA = ( −2;3; 4 ) ; AM = ( 2t − 2;3t − 2; −t )
+  BA; AM  = 405t 2 − 576t + 228
+ AM = 14t 2 − 20t + 8
+ d ( B; d ) =
Xét f ( t ) =

405t 2 − 5766t + 228
14t 2 − 20t + 8

405t 2 − 576t + 228
−36t 2 + 96t − 48


f
t
=
()
2
14t 2 − 20t + 8
(14t 2 − 20t + 8)

t = 2

f ( t ) = 0   2 . Vậy max f ( t ) = f ( 2)  t = 2
t =
 3

+ Đường thẳng d đi qua A (1;2; −1) và có VTCP AM = ( 2; 4; −2 ) = 2 (1; 2; −1)
Câu 31:

(TTLT ĐH DIỆU HIỀN -LẦN 2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt

cầu (S) có phương trình

( x − 1)

2

+ ( y − 2 ) + ( z + 1) = 1 , phương trình mặt phẳng
2

với mặt cầu

2

(Q) chứa trục hoành và tiếp xúc

(S) là

A. ( Q) : 4y + 3z = 0

B. ( Q) : 4y + 3z + 1 = 0 C. ( Q) : 4y − 3z + 1 = 0 D. ( Q) : 4y − 3z = 0

Đáp án là A.
+ Mặt phẳng chứa Ox có dạng By + Cz = 0


+ Do mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng nên

B = 0
= 1 
B +C
 B = 4, C = 3

2B − C

2

2

Vậy mặt phẳng cần tìm 4 y + 3 z = 0
Câu 32 (Lê Đức Thọ-Hà Tĩnh 2018): Cho 2 điểm A ( 0; 2;1) và B ( 2; −2; −3) phương trình
mặt cầu đường kính AB là
B. ( x + 1) + y 2 + ( z − 1) = 6

A. ( x − 1) + y 2 + ( z + 1) = 9
2

2

2

C. ( x − 2 ) + ( y + 2 ) + ( z + 3) = 36
2

2

2

2

D. x 2 + ( y − 2 ) + ( z − 1) = 3
2

2

Đáp án A
Câu 33 (Lê Đức Thọ-Hà Tĩnh 2018): Cho 3 điểm A (1;0;1) , B ( 2;1; −2) , C ( −1;3;2) .
Điểm D có tọa độ bao nhiêu để ABCD là hình bình hành?
B. D (1; −1; −2 )

A. D ( −2;2;5)

C. D ( 0;4; −1)

D. D ( −1; −1;1)

Đáp án A
Do ABCD là hình bình hành nên AB = DC = (1;1; −3)  D = ( −2; 2;5)
Câu 34

( x − 1)

2

(Lê Đức Thọ-Hà Tĩnh 2018): Mặt cầu S ( I ; R ) có phương trình

+ y 2 + ( z + 2 ) = 3. Tâm và bán kính của mặt cầu là
2

A. I ( −1;0; 2 ) , R = 3 B. I (1;0; −2 ) , R = 3 C. I (1;0; −2) , R = 3

D. I ( −1;0;2 ) , R = 3

Đáp án B
Câu 35 (Lê Đức Thọ-Hà Tĩnh 2018): Diện tích mặt cầu được xác định bởi công thức nào?

4
A. S = 3 R 2 B. S =  R 3 C. S =  R 2
3

D. S = 4 R 2

Đáp án D
Diện tích mặt cầu bán kính R là S = 4 R 2
Câu 36 (Nguyễn Đăng Đạo-Bắc Ninh-2018): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho
mặt phẳng ( P ) : x + 2 y + z − 4 = 0 . Trong các vec tơ sau vec tơ nào không phải là véc tơ
pháp tuyến của ( P ) ?
A. n = ( −1; −2;1)
Đáp án A

B. n = (1; 2;1)

C. n = ( −2; −4; −2 )

1 1
D. n =  ;1; 
2 2


Câu 37 (Nguyễn Đăng Đạo-Bắc Ninh-2018): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho

A (1;2;3) , B ( 0; −2;1) , C (1;0;1) . Gọi D là điểm sao cho C là trọng tâm tam giác ABD . Tính
tổng các tọa độ của D
A. 1

B. 0

C.

7
3

D. 7

Đáp án A
1 + 0 + a = 3.1
a = 2


Gọi D ( a; b; c )  2 + ( −2 ) + b = 3.0  b = 0  D ( 2;0; −1)  tổng các tọa độ của D là 1
3 + 1 + c = 3.1
c = −1



Câu 38 (Nguyễn Đăng Đạo-Bắc Ninh-2018): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho 2
điểm A ( 0;1;2 ) , B ( 0; −1;2 ) . Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn AB
A. z − 2 = 0

B. x − z + 2 = 0

C. x = 0

D. y = 0

Đáp án D

Trung điểm của AB là: I ( 0;0; 2 ) ; n = IA = ( 0;1;0 )  PT mặt phẳng trung trực của đoạn

AB qua I và vuông góc với AB có PT là: y = 0
Câu 39 (Nguyễn Đăng Đạo-Bắc Ninh-2018): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho
vec tơ u = (1; 2;0 ) . Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. u = 2i + j

B. u = i + 2 j

C. u = j + 2k

D. u = i + 2k

Đáp án B

u = (1; 2;0 ) = i + 2 j
Câu 40 (Nguyễn Đăng Đạo-Bắc Ninh-2018): Trong không gian với hệ toại độ Oxyz , cho
ba điểm A (1;2; −3) , B ( 2;0;1) , C (3; −1;1) . Gọi M là điểm di động trên mặt phẳng ( Oyz ) .
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 3 MB + MC + 2 MA + 2MB
A.

42
6

B.

42

C. 3 82

D.

82
2

Đáp án C

5 1 
5 2 1
Gọi I là trung điểm của BC  I  ; − ;1 và E thỏa mãn EA + 2 EB = 0  E  ; ; − 
 3 3 3
2 2 
Khi đó P = 3 MB + MC + 2 MA + 2MB = 3 2MI + 2 3ME = 6 ( MI + ME )


Dễ thấy I , E nằm cùng phía với mặt phẳng ( Oyz ) (Dethithpt .com)

 5 2 1
Gọi F là điểm đối xứng E qua mp ( Oyz )  F  − ; ; − 
 3 3 3
Do đó P = 6 ( MI + ME ) = 6 ( MI + MF )  6IF = 3 82 . Vậy Pmin = 3 82
Câu 41

(Lương Thế Vinh-Hà Nội 2018): Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu:

( S) : ( x − 2 )

2

+ ( y + 1) + ( z + 2 ) = 4 và mặt phẳng ( P ) : 4 − 3y− = 0. Tìm tất cả các giá trị

2

2

thực của tham số m để mặt phẳng ( P ) và mặt cầu (S) có đúng 1 điểm chung.
A. m = 1

B. m = −1 hoặc m = −21

C. m = 1 hoặc m = 21

D. m = −9 hoặc m = 31

Đáp án C
Mặt cầu (S) tâm I ( 2; −1; −2) và bán kính R = 2. . Để mặt phẳng ( P ) và mặt cầu (S) có đúng 1
điểm chung thì d ( I; ( P ) ) = R 

4.2 − 3 ( −1) − m
4 +3
2

2

m = 1
=2
.
 m = 21

Câu 42 (Lương Thế Vinh-Hà Nội 2018)Trong không gian Oxyz, cho véc tơ a biểu diễn
của các véc tơ đơn vị là a = 2i + k − 3j . Tọa độ của véc tơ a là:

A. (1;2; −3)

B. ( 2; −3;1)

C. ( 2;1; −3)

D. (1; −3;2)

Đáp án B
a = 2i − 3j + k

Câu 43 (Lương Thế Vinh-Hà Nội 2018): Trong không gian Oxyz, phương trình của mặt
phẳng

(P) đi qua điểm B ( 2;1; −3) , đồng thời vuông góc với hai mặt phẳng

( Q) : x + y + 3z = 0, ( R ) : 2x − y + z = 0 là:
A. 4x + 5y − 3z + 22 = 0

B. 4x − 5y − 3z − 12 = 0

C. 2x + y − 3z − 14 = 0

D. 4x + 5y − 3z − 22 = 0

Đáp án D
Các vtpt của ( Q) và ( R ) lần lượt là: n1 (1;1;3) và n 2 ( 2; −1;1)
=> vtpt của ( P ) là: n =  n1; n 2  = ( 4;5; −3)

 ( P ) : 4 ( x − 2) + 5 ( y −1) − 3 ( z + 3) hay ( P ) : 4x + 5y − 3z − 22 = 0.

Câu 44 (Lương Thế Vinh-Hà Nội 2018): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt
phẳng

(P) đi qua điểm M (1;2;3) và cắt các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm A, B, C

(khác O). Viết phương trình mặt phẳng

(P) sao cho M là trực tâm của tam giác ABC.

A. 6x + 3y − 2z − 6 = 0 B. x + 2y + 3z − 14 = 0 C. x + 2y + 3z − 11 = 0 D.

x y z
+ + =3
1 2 3

Đáp án B
Vì OA, OB, OC đôi một vuông góc và M là trực tâm ABC  OM ⊥ ( ABC)
Suy ra mp ( ABC) nhận OM làm véc tơ pháp tuyến và đi qua điểm M (1;2;3)
Vậy phương trình mp ( P ) :1. ( x −1) + 2. ( y − 2) + 3. ( z − 3) = 0  x + 2y + 3z −14 = 0
Câu 45

(Lương Thế Vinh-Hà Nội 2018): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba

điểm A ( −2;3;1) , B ( 2;1;0 ) và

C ( −3; −1;1) . Tìm tất cả các điểm D sao cho ABCD là hình thang có đáy AD và
SABCD = 3SABC .
A. D (8;7; −1)

 D ( −8; −7;1)
B. 
 D (12;1; −3)

 D ( 8;7; −1)
C. 
 D ( −12; −1;3)

D. D ( −12; −1;3)

Đáp án D
Vì ABCD là hình thang  AD / /BC  u AD = u BC = ( −5; −2;1)
=>Phương trình đường thẳng AD là

x + 2 y − 3 z −1
=
=
 D ( −5t − 2; −2t + 3; t + 1)
−5
−2
1

Ta có SABCD = 3SABC  SABC + SACD = 3SABC  SACD = 2SABC (Dethithpt .com)
Mà diện tích tam giác ABC là SABC =

1
341
 AB; AC  =
 SACD = 341


2
2

 D ( −12; −1;3)
t = 2
1
Mặt khác  AD; AC  = 341t 2 
341t 2 = 341  

2
 t = −2  D ( 8;7; −1)

Vì ABCD là hình thang → D ( −12; −1;3)
Câu 46

(Lương Thế Vinh-Hà Nội 2018): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba

điểm A ( 0;0; −1) , B ( −1;1;0 ) , C (1;0;1) . Tìm điểm M sao cho 3MA 2 + 2MB2 − MC2 đạt giá
trị nhỏ nhất.

3 1

A. M  ; ; −1
4 2


 3 1 
B. M  − ; ; 2 
 4 2 

 3 3

C. M  − ; ; −1
 4 2


 3 1

D. M  − ; ; −1
 4 2



Đáp án D

 3 1

Gọi I ( x I ; yI ;zI ) thỏa mãn điều kiện 3IA + 2IB − IC = 0  I  − ; ; −1
 4 2


(

)

2

(

) (
2

Ta có P = 3MA2 + 2MB2 − MC2 = 3 MI + IA + 2 MI + IB − MI + IC

(

)

2

)

= 4MI 2 + 2MI 3IA + 2IB − IC + 3IA 2 + 2IB2 − IC2 = 4MI 2 + 3IA 2 + 2IB2 − IC2
0

 3 1

Suy ra Pmin  MI min  M trùng với điểm I. Vậy M  − ; ; −1
 4 2

Câu 47 (Lương Thế Vinh-Hà Nội 2018): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm

A (1; −6;1) và mặt phẳng

( P ):

x + y + 7 = 0. Điểm B thay đổi thuộc Oz, điểm C thay đổi thuộc mặt phẳng

(P). Biết

rằng tam giác ABC có chu vi nhỏ nhất. Tọa độ điểm B là
A. B ( 0;0;1)

B. B ( 0;0; −2)

C. B ( 0;0; −1)

D. B ( 0;0;2)

Đáp án A

Gọi M, N lần lượt là hai điểm đối xứng với A qua Oz và mặt phẳng
Điểm A nằm giữa Oz,

(P) vì O, A cùng phía với

( hình vẽ bên:

)

(P) và d Oz; ( P )  d ( A; ( P ) ) .

Khi đó CABC = AB + BC + AC = BM + BC + CN
Suy ra BM + BC + CNmin  B,C, M, N thẳng hàng.
Hay B là hình chiếu của A trên Oz, Vậy B ( 0;0;1)

(

(P)

Câu 48 (Trần Hưng Đạo-TP Hồ Chí Minh 2018): Trong không gian với hệ trục tọa độ
Oxyz, cho ba điểm A(2; 2; −2) , B(−3;5;1) , C(1;1; −2). Tìm toạ độ trọng tâm G của tam giác
ABC ?
A. G(0; 2; −1).

C. C(0; −2; −1). D. G(2;5; −2).

B. G(0; 2;3).

Đáp án A.

 2 − 3 + 1 2 + 5 − 1 −2 + 1 − 2 
G
;
;
 = ( 0; 2; −1) .
3
3
 3

Câu 49 (Trần Hưng Đạo-TP Hồ Chí Minh 2018): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz ,
cho hai vectơ a(0;3;1) và b(3; 0; −1) . Tính cos(a,b).
A. cos(a, b) = −

( )

1
.

100

B. cos a, b =

1
.
100

C. cos(a, b) =

1
.
10

( )

D. cos a,b =

1
.
10

Đáp án C.

( )

Ta có: cos a; b =

a.b
a.b

=

−1
.
10

Câu 50 (Trần Hưng Đạo-TP Hồ Chí Minh 2018): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz ,
cho tam giác ABC có A ( 0;1;4) , B ( 3; −1;1) , C ( −2;3;2) . Tính diện tích S của tam giác
ABC.
A. S = 2 62. B. S = 12

C. S = 6.

D. S = 62.

Đáp án D.
Ta có: AB = ( 3; −2; −3) ; AC = ( −2; 2; −2 )
Do đó SABC =

1
1
 AB; AC  = (10;12; 2 ) = 62.


2
2

Câu 51 (Trần Hưng Đạo-TP Hồ Chí Minh 2018): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,
cho ba điểm M = ( 3;2;8) , N ( 0;1;3) và P = ( 2;m;4 ) . Tìm m để tam giác MNP vuông tại N.

A. m = 25.

B. m = 4

C. m = −1.

D. m = −10.

Đáp án D.

 NM = ( 3;1;5)
Ta có: 
do đó tam giác MNP vuông tại N khi NM.NP = 6 + 1. ( m − 1) + 5 = 0
NP
2;
m
−
1;1
)
 (

 m = −10.


Câu 52 (Trần Hưng Đạo-TP Hồ Chí Minh 2018): Trong không gian với hệ tọa độ, Oxyz
cho bốn điểm A ( 0;0;6) , B ( 0;1; −8) , C (1; 2; −5) và D ( 4;3;8) . Hỏi có tất cả bao nhiêu mặt
phẳng cách đều bốn điểm đó ?
A. Vô số.

B. 1 mặt phẳng.

C. 7 mặt phẳng.

D. 4 mặt phẳng.

Đáp án A.
Ta có AB = ( 0;1; −2 ) ; AC = (1; 2;1)  AB; AC = ( 5; −2; −1)
Suy ra phương trình mặt phẳng

(ABC) là 5x − 2y − z − 6 = 0.

Do đó, điểm D ( 4;3;8) thuộc mặt phẳng

(ABC).

Vậy có vô số mặt phẳng cách đều bốn điểm đã cho.
(Quảng Xương 1- L2 -Thanh Hóa 2018): Trong không gian Oxyz, cho

Câu 53

a (1; 2;1) , b ( −1;1; 2 ) , c ( x;3x; x + 2 ) . Nếu 3 véc tơ a, b, c đồng phẳng thì x bằng
A. −1

B. 1

C. −2

D. 2

Đáp án D

a, b, c đồng phẳng khi a; b  c = 0  x = 2

Câu 54 (Quảng Xương 1- L2 -Thanh Hóa 2018): Trong không gian O xyz, cho a, b tạo
với nhau 1 góc 120 và a = 3; b = 5. Tìm T = a − b .
B. T = 6

A. T = 5

C. T = 7

D. T = 4

Đáp án C
2

2

T 2 = a + b − 2a.b = 9 + 25 − 2.3.5cos120 = 49  T = 7

Câu 55

(Quảng Xương 1- L2 -Thanh Hóa 2018): Trong không gian Oxyz, cho

OA = 3i + 4 j − 5k. Tọa độ điểm A là

A. A ( 3;4; −5)

B. A ( 3;4;5)

C. A ( −3; −4;5)

D. A ( −3;4;5)

Đáp án A
Câu 56

(Quảng Xương 1- L2 -Thanh Hóa 2018): Trong không gian Oxyz, cho

A (1;2;0) , B (3; −1;1) và C (1;1;1) . Tính diện tích S của tam giác ABC.
A. S = 1
Đáp án B

B. S = 3

C. S =

1
2

D. S = 2


Câu 57

(Quảng Xương 1- L2 -Thanh Hóa 2018): Trong không gian Oxyz, cho

A (1; −1;2) , B ( −2;0;3) , C ( 0;1; −2) . M ( a;b;c ) là điểm thuộc mặt phẳng ( Oxy ) sao cho biểu
thức S = MA.MB + 2MB.MC + 3MC.MA đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó T = 12a + 12b + c có giá
trị là
A. T = −1

D. T = 1

C. T = −3

B. T = 3

Đáp án A

 1 1 1
Gọi I là điểm sao cho 4IA + 3IB + 5IC = 0  I  − ; ; 
 6 12 3 

(
)(
)
2 ( IB − IM )( IC − IM ) + 3 ( IC − IM )( IA − IM )
= IA.IB + 2IB.IC + 3IC.IA − I M ( 4IA + 3IB + 5IC ) + 6IM

MA.MB + 2MB.MC + 3MC.MA = IA − IM IB − IM +

Do

IA.IB + 2IB.IC + 3IC.IA

Smin khi IMmin  M là

là

hằng

hình

số

chiếu

2

(

)

Nên

mặt

phẳng

IM 4IA + 3IB + 5IC = 0

và
của

I

lên

( O xy )  M  −

1 1 
; ;0   T = −2 + 1 = −1
 6 12 

Câu 58 (Lê Quý Đôn-Đà Nẵng 2018): Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu (S) có
phương trình

x 2 + y2 + z2 − 2x − 4y − 6z = 0. Tính diện tích mặt cầu (S) .
C. 9

B. 36

A. 42

D. 12

Đáp án B
Ta có: ( S) : ( x − 1) + ( y − 2 ) + ( z − 3) = 9  (S ) có bán kính R = 3
2

2

2

Diện tích mặt cầu (S) là: 4.32 = 36 .
Câu 59

(Lê Quý Đôn-Đà Nẵng 2018): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình

bình hành ABCD. Biết A ( 2;1; −3) , B ( 0; −2;5) và C (1;1;3) . Diện tích hình bình hành ABCD

là
A. 2 87

B.

349
2

C.

349

Đáp án C
Giả sử D ( a;b;c ) .Vì ABCD là hình bình hành nên

D.

87


a − 1 = 2
a = 3


CD = BA = ( 2;3; −8 )  b − 1 = 3  b = 4
c − 3 = −8 c = −5



 D ( 3;4; −5) . Ta có: AB ( −2; −3;8) , AD (1;3; −2 )

Diện tích hình bình hành ABCD là: S = AB, AD = 349.
Câu 60 (Lê Quý Đôn-Đà Nẵng 2018): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình hộp

ABCD. A'B'C'D'. Biết A ( 2;4;0) , B ( 4;0;0 ) , C ( −1;4; −7 ) và D' (6;8;10 ). Tọa độ điểm B'
là
A. B' (8;4;10 )

B. B' ( 6;12;0 ) C. B' (10;8;6 ) D. B' (13;0;17 )

Đáp án D
Ta có: D'C' = AB = ( 2; −4;0 )  C' (8; 4;10 ) .C'B' = CB = (5; −4;7 )  B' (13;0;17 )
Câu 61

(Lê Quý Đôn-Đà Nẵng 2018): Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz , cho

a = ( 2;3;1) , b = ( −1;5; 2 ) , c = ( 4; −1;3) và x = ( −3; 22;5) . Đẳng thức nào đúng trong các đẳng
thức sau?
A. x = 2a − 3b − c

B. x = 2a + 3b + c

C. x = 2a + 3b − c

D. x = 2a − 3b + c

Đáp án C

2m − n + 4p = −3 m = 2



Ta có: x = m.a + n.b + p.c  3m + 5n − p = 22  n = 3 .
m + 2n + 3p = 5
p = −1


Câu 62 (Lê Quý Đôn-Đà Nẵng 2018): Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho bốn
điểm A ( 2; −3;7 ) , B ( 0;4;l ) , C ( 3;0;5) , D ( 3;3;3) . Gọi M là điểm nằm trên mặt phẳng ( Oyz )
sao cho biểu thức MA + MB + MC + MD đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó tọa độ M là
A. M ( 0;1; −4 )

B. M ( 2;1;0 ) C. M ( 0;1; −2 ) D. M ( 0;1; 4 )

Đáp án D
Gọi I ( a; b;c ) thỏa mãn IA + IB + IC + ID = 0  I ( 2;1; 4 )
Khi đó MA + MB + MC + MD = 4MI + IB + IC + ID = 4 MI = 4MI
0

Suy ra MImin  M là hình chiếu của I trên ( Oyz )  M ( 0;1;4)


Câu 63 (Lê Quý Đôn-Đà Nẵng 2018): Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba
điểm A (1;0;0) , B ( 0;2;0 ) ,C ( 0;0;3) . Tập hợp các điểm M thỏa MA 2 = MB2 + MC2 là mặt
cầu có bán kính
A. R = 2

B. R = 3

C. R = 3

D. R = 2

Đáp án D
2

2

2

(

) (

) (

2

2

Ta có: MB2 + MC2 − MA2 = MB + MC − MA = MI + IB + MI + IC − MI + IA

(

)

2

)

= MI2 + 2MI IB + IC − IA + IB2 + IC2 − IA 2
Gọi I là điểm thỏa mãn IB + IC − IA = 0  I ( −1; 2;3)

Suy ra MB2 + MC2 − MA2 = MI2 + IB2 + IC2 − IA2 = 0  MI = IA2 − IB2 − IC2 = 2
Câu 64 (Thạch Thành 1-Thanh Hóa 2018): Trong không gian tọa độ Oxyz cho ba điểm

A ( 2;5;1) , B ( −2; −6;2) ,C (1;2; −1) và điểm M ( m; m; m ) , để MB − 2AC đạt giá trị nhỏ
nhất thì m bằng
A. 2

C. 1

B. 3

D. 4

Đáp án A
AC ( −1; −3; −2 ) = MB ( −2 − m, −6 − m, 2 − m )
MB − 2AC = m 2 + m 2 + ( m − 6 ) = 3m 2 − 12m + 36 = 3 ( m − 2 ) + 24
2

2

Để MB = 2AC nhỏ nhất thì m = 2 .
Câu 65

(Thạch Thành 1-Thanh Hóa 2018): Trong không gian Oxyz, cho 2 điểm

B (1; 2; −3) , C ( 7; 4; −2 ) . Nếu E là điểm thỏa mãn đẳng thức CE = 2EB thì tọa độ điểm E là
 8 8
A.  3; ; − 
 3 3

 8 8
B.  3; ; 
 3 3

8

C.  3;3; − 
3


1

D.  1; 2; 
3


Đáp án A


x = 3

8

E ( x; y;z ) , từ CE = 2EB   y =
3

8

z = − 3
Câu 66 (Thạch Thành 1-Thanh Hóa 2018)Ba đỉnh của một hình bình hành có tọa độ là

(1; 1; 1) , ( 2;3;4) , (7;7;5). Diện tích của hình bình hành đó bằng


A. 2 83

B.

83

C. 83

D.

83
2

Đáp án A
Gọi 3 đỉnh theo thứ tự là A, B,C
AB = (1; 2;3) , AC = ( 6;6; 4 )
Shbh = 2SABC = AB.AB.sin A = 2 83

Câu 67 (Thạch Thành 1-Thanh Hóa 2018): Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba
điểm A ( 3; −2; −2) , B (3;2;0) , C ( 0;2;1) . Phương trình mặt phẳng
A. 2x − 3y + 6z = 0

B. 4y + 2z − 3 = 0

C. 3x + 2y + 1 = 0

(ABC) là:
D. 2y + z − 3 = 0

Đáp án A

AB = ( 0; 4; 2 ) , AC = ( −3; 4;3)

( ABC) qua A ( 3; −2; −2) và có véc tơ pháp tuyến

 AB, AC = ( 4; −6;12 ) = 2 ( 2; −3;6 )



 ( ABC) : 2x − 3y + 6z = 0

Câu 68
d:

(Hoàng Văn Thụ-Hòa Bình 2018)Trong không gian Oxyz, đường thẳng

x −1 y + 2 z − 3
=
=
đi qua điểm
3
−4
−5

A. ( −1;2; −3)

B. (1; −2;3)

C. ( −3;4;5)

D. ( 3; −4; −5)

Đáp án B.

Câu 69 (Hoàng Văn Thụ-Hòa Bình 2018) Trong không gian Oxyz, cho điểm A ( 4;2;1) và

B ( 2;0;5) . Tọa độ vecto AB là:
A. ( 2;2; −4)

B. ( −2; −2; 4 )

C. ( −1; −1;2)

D. (1;1; −2 )

Đáp án B.
Câu 70

(Hoàng Văn Thụ-Hòa Bình 2018): Trong không gian Oxyz, mặt phẳng

( P ) : x + 2y − 3z + 3 = 0 có một vecto pháp tuyến là:
A. (1; −2;3)
Đáp án B.

B. (1;2; −3)

C. ( −1;2; −3)

D. (1;2;3)


Câu 71

(Hoàng Văn Thụ-Hòa Bình 2018): Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng

( P ) : 2x − 2y + z + 5 = 0. Khoảng cách từ điểm
A.

4
3

B. −

4
3

C.

2
3

D.

M ( −1;2; −3) đến mp (P) bằng:

4

9

Đáp án A.
Ta có: d ( M; ( P ) ) =
Câu 72

2. ( −1) − 2.2 − 3 + 5
22 + ( −2 ) + 12
2

4
= .
3

(Hoàng Văn Thụ-Hòa Bình 2018): Trong không gian Oxyz ,cho ba điểm

A (1;1;1) , B ( −1;2;0) ,C ( 2; −3;2 ). Tập hợp tất cả các điểm M cách đều ba điểm A, B, C là một
đường thẳng d. Phương triǹ h tham số của d là

 x = −8 − 3t

A.  y = t
z = 15 + 7t


 x = −8 + 3t

C.  y = t
z = −15 − 7t


 x = −8 + 3t

B.  y = t
z = 15 − 7t


 x = −8 + 3t

D.  y = t
z = 15 + 7t


Đáp án A.
Ta có: AB ( −2;1; −1) ; AC (1; −4;1)
Do đó u d =  AB; AC = ( −3;1;7 )

(loại B và D).

Xét đáp án A ta có d qua M ( −8;0;15)  MA2 = 278 = MB2 = MC2 .
Câu 73 (Hoàng Văn Thụ-Hòa Bình 2018): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai
điểm A ( −1;2;1) , B (1;2; −3) và đường thẳng d :

x +1 y − 5 z
=
= . Tim
̀ vectơ chỉ phương u
2
2
−1

của đường thẳng  đi qua A và vuông góc với d đồ ng thời cách B một khoảng lớn nhất.
A. u = ( 4; −3; 2 ) .

B. u = ( 2;0; −4 ) .

C. u = ( 2; 2; −1) .

D. u = (1;0; 2 ) .

Đáp án A.
Gọi u = ( a; b;c ) là vecto chỉ phương của đường thẳng .
Vì  ⊥ d suy ra u d .u  = 0  2a + 2b − c = 0.
 AB; u 


Khoảng cách từ điểm B đến đường thẳng  là d ( B;  ) =
u

Mà AB = ( 2;0; −4 )  AB; u  = ( 4b; −4a − 2c; 2b ) suy ra d ( B;  ) =

( 4a + 2c )

2

+ 20b 2

a 2 + b2 + c2

Mặt khác c = 2a + 2b suy ra d 2 =
Dấu bằng xảy ra 

(8a + 4b )

2

+ 20b 2

a + b + 4 (a + b)
2

2

2

(chia b 2 , đặt t =

 20

a
)
b

a
4
= −  Chọn b = −3  a = 4 và c = 2. Vậy u = ( 4; −3; 2 ) .
b
3

(Hoàng Văn Thụ-Hòa Bình 2018): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho

Câu 74

điểm A (1;0; −1) và mặt phẳng ( P ) : x + y − z − 3 = 0. Mặt cầu

(S) có tâm I nằm trên mặt

(P), đi qua điểm A và gố c tọa độ O sao cho chu vi tam giác OIA bằng 6 + 2.

phẳng

Phương trình mặt cầu

(S) là

A. ( x + 2 ) + ( y − 2 ) + ( z + 1) = 9 và ( x + 1) + ( y − 2 ) + ( z + 2 ) = 9.
2

2

2

2

2

2

B. ( x − 3) + ( y − 3) + ( z − 3) = 9 và ( x − 1) + ( y − 1) + ( z + 1) = 9.

2

2

2

2

2

2

C. ( x + 2 ) + ( y − 2 ) + ( z − 1) = 9 và x 2 + y 2 + ( z + 3) = 9.
2

2

2

2

D. ( x + 1) + ( y − 2 ) + ( z + 2 ) = 9 và ( x − 2 ) + ( y − 2 ) + ( z − 1) = 9.
2

2

2

2

2

2

Đáp án D.
Ta có POIA = OI + IO + OA = 2R + 2 = 6 + 2  R = 3.
IA 2 = IO 2
IA = IO
 2
Vì I  ( P )  I ( a;b;a + b − 3) mà 
suy ra
IA = 9
IA = 3

( a − 1)

2

a = −1; b = 2  I ( −1; 2; −2 )
2
2
+ b 2 + ( a + b − 2 ) = a 2 + b 2 + ( a + b − 3) = 9  
.
a = 2; b = 2  I ( 2; 2;1)

( x + 1)2 + ( y − 2 )2 + ( z + 2 )2 = 9
.
Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là 
( x − 2 )2 + ( y − 2 )2 + ( z − 1)2 = 9

Câu 75 (Hoàng Văn Thụ-Hòa Bình 2018): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai
điểm M ( 0;1;3) , N (10;6;0 ) và mặt phẳng ( P ) : x − 2y + 2z −10 = 0. Điểm I ( −10;a;b ) thuộc
mặt phẳng
A. T = 5.

(P) sao cho IM − IN lớn nhất. Khi đó tổng T = a + b bằng
B. T = 1.

C. T = 2.

D. T = 6.

Đáp án C.
Đặt f ( x, y, z ) = x − 2y + 2z −10, ta có f ( M ) .f ( N )  0 suy ra M,N cùng phía so với
Do đó IM − IN  MN. Dấu bằng xảy ra khi I là giao điểm của MN và (P).
Phương trình đường thẳng MN là

x y −1 z − 3
=
=
.
10
5
−3

(P).


Điểm I  MN  I (10t;5t + 1;3 − 3t ) mà I  ( P )  10t − 2 (5t + 1) + 2 (3 − 3t ) −10 = 0

 t = −1.
a = −4
 T = −4 + 6 = 2.
Vậy I ( −10; −4;6 ) = ( −10;a; b )  
b = 6
Câu 76 (Lý Thái Tổ-Bắc Ninh 2018): Cho mặt phẳng (  ) : 2x − 3y − 4z + 1 = 0. Khi đó, một
véc- tơ pháp tuyến của (  )
B. n = ( 2;3; −4 )

A. n = ( −2;3;1)

C. n = ( 2; −3; 4 )

D. n = ( −2;3; 4 )

Ninh

hai

Đáp án D
Câu

77

(Lý

Thái

Tổ-Bắc

( ) : 3x − 2y + 2z + 7 = 0, () : 5x − 4y + 3z + 1 = 0.

2018)Cho

mặt

phẳng

Phương trình mặt phẳng đi qua gốc tọa độ

O đồng thời vuông góc với cả ( ) và () là:
A. 2x − y − 2z = 0

C. 2x + y − 2z+1 = 0

B. 2x − y + 2z = 0

D. 2x + y − 2z = 0

Đáp án D
Gọi mặt phẳng cần tìm là ( P ) . Khi đó ( P ) nhận vtpt của ( ) và () là cặp vtcp
Ta có u  = ( 3; −2; 2 ) , u  = ( 5; −4;3)  n ( P) = u  ; u   = ( 2;1; −2 )

( P) : 2x + y − 2z = 0
Câu

78

(Lý

Thái

Tổ-Bắc

Ninh

2018):

Cho

tam

giác

ABC

với

A ( 2; −3;2) , B (1; −2;2 ) , C (1; −3;3). Gọi A’, B’, C’ lần lượt là hình chiếu vuông góc của A,
B, C lên mặt phẳng (  ) : 2x − y + 2z − 3 = 0. Khi đó, diện tích tam giác A’B’C’ bằng
A. 1

B.

3
2

C.

1

2

D.

3
2

=

3
3

Đáp án C
Ta có AB = ( −1:1: 0 ) , AC = ( −1: 0 :1)  AB; AC  = (1;1;1)
Suy ra phương trình mặt phăng

(ABC) là x + y + z − 1 = 0.

Diện tích tam giác ABC là SABC =

Góc giữa hai mặt phăng

1
3
 AB; AC  =
 2
2

(ABC) và

()

cos( ABC ) , (  ) =

là

n ( ABC) .n ()
n ( ABC) . n ()


Khi đó diện tích tam giác ( ABC) là SA 'B'C' = SABC .sos( ABC ) ; (  ) =
Chú ý lý thuyết: Nếu đa giác

( H)

1
2

trong mặt phẳng ( P ) có diện tích S, đa giác

mặt phẳng là hình chiếu vuông góc của

( H ) có

( H)

trong

diện tích S',  là góc giữa ( P ) , ( P ') thì

S' = S.cos

Câu 79

(Lý Thái Tổ-Bắc Ninh 2018): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho

3 3 1
A (1; 2; −3) , B  ; ; −  , C (1;1; 4 ) , D ( 5;3;0 ) , Gọi ( S1 ) là mặt cầu tâm A bán kính bằng 3,
2 2 2

(S2 )

là mặt cầu tâm B bán kính bằng

3
. Có bao nhiêu mặt phẳng tiếp xúc với 2 mặt cầu
2

(S1 ) , (S2 ) đồng thời song song với đường thẳng đi qua 2 điểm C D, .
A. 1

B. 2

C. 4

D. Vô số

Đáp án A
Gọi phương trình mặt phẳng cần tìm là ( P ) : ax + by + cz + d = 0
Vì CD / / ( P )  n ( P) .CD = 0  4a + 2b − 4c = 0  2a + b − 2c = 0

(1)

Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng ( P ) là d1 =

a + 2b − 3c + d

Khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng ( P ) là d 2 =

3a + 3b − c + 2d

a 2 + b2 + c2
2 a +b +c
2

2

( 2)

= R1 = 3

2

= R2 =

3
2

( 3)

a + 2b − 2c = 0
a


b = −a;c = ;d = −2a


Từ (1) , ( 2) , ( 3) suy ra  a + 2b − 3c + d = 3a + 3b − c + 2d 
2


2
2
2
 b = 2a;c = 2a;d = −8a

 a + 2b − 3c + d = 3 a + b + c

a
Với b = −a;c = ;d = −2a suy ra phương trình ( P ) : 2x − 2y + z − 4 = 0 loại vì chứa C, D
2

Với b = 2a;c = 2a;d = −8a suy ra phương trình ( P ) : x + 2y + 2z − 8 = 0
Vậy chỉ có duy nhất 1 mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán
Câu 80

(Phan Chu Trinh-Đắc Lắc 2018): Trong không gian Oxyz, mặt phẳng

( P ) : 2x − y + 3z −1 = 0
A. n1 = ( 2; −1;3)

có một vectơ pháp tuyến là:
B. n 2 = ( 2; −1; −1)

C. n 3 = ( −1;3; −1)

D. n 4 = ( 2; −1; −3)