Rèn luyện kỹ năng giải toán tổ hợp xác suất cho sinh viên trường cao đẳng sư phạm ở nước cộng hòa dân chủ nhân dân lào

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

XAYKHAM INTHAPHONE

RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN TỔ HỢP-XÁC SUẤT
CHO SINH VIÊN TRƯỜNG CAO ĐẲNG SƯ PHẠM
Ở NƯỚC CỘNG HÒA DÂN CHỦ NHÂN DÂN LÀO

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

THÁI NGUYÊN - 2018


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

XAYKHAM INTHAPHONE

RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN TỔ HỢP-XÁC SUẤT
CHO SINH VIÊN TRƯỜNG CAO ĐẮNG SƯ PHẠM
Ở NƯỚC CỘNG HÒA DÂN CHỦ NHÂN DÂN LÀO
Ngành: Lý luận và Phương pháp giảng dạy bộ môn Toán
Mã số: 8.14.01.11

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Hướng dẫn khoa học: PGS.TS. Trần Việt Cường

THÁI NGUYÊN - 2018

LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan: Đề tài Rèn luyện kỹ năng giải toán Tổ hợp - Xác suất
cho sinh viên trường Cao đẳng Sư phạm ở nước Cộng hòa Dân chủ Nhân dân
Lào là của bản thân tôi, các số liệu và kết quả nghiên cứu trong luận văn này là
hoàn toàn trung thực, chưa từng được công bố trong bất kì một công trình của
tác giả nào khác.
Thái Nguyên, tháng 6 năm 2018
Tác giả luận văn

XAYKHAM INTHAPHONE

i


LỜI CẢM ƠN
Tôi xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn khoa học
PGS.TS Trần Việt Cường, đã tận tình hướng dẫn tôi trong suốt quá trình thực
hiện luận văn Rèn luyện kỹ năng giải toán Tổ hợp - Xác suất cho sinh viên
trường Cao đẳng Sư phạm ở nước Cộng hòa Dân chủ Nhân dân Lào.
Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, Phòng Đào tạo (bộ phận Sau đại
học), Khoa Toán, các thầy cô giáo giảng dạy và toàn thể các bạn học viên lớp cao
học Lí luận và phương pháp dạy học bộ môn Toán K24B - Trường Đại học Sư
phạm - Đại học Thái Nguyên đã tận tình giảng dạy, góp nhiều ý kiến quý báu cho
tôi trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu khoa học và làm luận văn.
Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, các thầy cô giáo, các em sinh
viên của trường Cao đẳng Sư phạm Luông Pha Bang nước Cộng hòa Dân chủ
Nhân dân Lào đã giúp đỡ tôi trong quá trình nghiên cứu.
Tôi xin chân thành cảm ơn những tình cảm quý báu của người thân, bạn
bè, đồng nghiệp đã cổ vũ, động viên, góp ý và tiếp thêm động lực để tôi hoàn

thành luận văn này.
Mặc dù có nhiều cố gắng, nhưng do thời gian có hạn và năng lực của bản
thân còn nhiều hạn chế trong kinh nghiệm nghiên cứu, nên luận văn không tránh
khỏi những thiếu xót. Tôi rất mong nhận được ý kiến đóng góp, chỉ bảo của các
thầy, cô giáo và các bạn đồng nghiệp.
Thái Nguyên, tháng 6 năm 2018
Tác giả luận văn

XAYKHAM INTHAPHONE

ii


MỤC LỤC
LỜI CAM ĐOAN .................................................................................................. i
LỜI CẢM ƠN ....................................................................................................... ii
MỤC LỤC............................................................................................................iii
DANH MỤC CÁC BẢNG, BIỂU.......................................................................... iv
MỞ ĐẦU .............................................................................................................. 1

1. Lí do chọn đề tài .............................................................................................. 1
2. Mục đích nghiên cứu ....................................................................................... 2
3. Giả thuyết khoa học ......................................................................................... 2
4. Nhiệm vụ nghiên cứu ...................................................................................... 2
5. Phương pháp nghiên cứu ................................................................................. 3
6. Cấu trúc của đề tài ........................................................................................... 3
Chương 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN .................................................. 4

1.1. Kỹ năng, kỹ năng giải toán ........................................................................... 4
1.1.1. Kỹ năng ...................................................................................................... 4

1.1.2. Kỹ năng giải toán ....................................................................................... 5
1.2. Dạy học giải bài tập toán .............................................................................. 8
1.2.1. Mục đích, vị trí, vai trò và ý nghĩa của bài tập toán .................................. 8
1.2.2. Chức năng của bài tập toán...................................................................... 10
1.2.3. Dạy học giải bài tập toán học theo tư tưởng của G.Polya ....................... 12
1.3. Nội dung và yêu cầu của dạy học nội dung Tổ hợp - Xác suất cho sinh viên
Cao đẳng Sư phạm ở nước Cộng hòa Dân chủ Nhân dân Lào .................... 17
1.3.1. Nội dung Tổ hợp - Xác suất ở trường Cao đẳng Sư phạm nước Cộng
hòa Dân chủ Nhân dân Lào ..................................................................... 17
1.3.2. Mục đích, yêu cầu của nội dung Tổ hợp - Xác suất ở trường Cao đẳng
Sư phạm nước Cộng hòa Dân chủ Nhân dân Lào ................................... 18
1.4. Thực trạng dạy học nội dung Tổ hợp - Xác suất cho sinh viên trường
Cao đẳng Sư phạm ở nước Cộng hòa Dân chủ Nhân dân Lào ............... 20

iii


1.5. Kết luận chương 1....................................................................................... 24
Chương 2: MỘT SỐ BIỆN PHÁP NHẰM RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI
TOÁN TỔ HỢP - XÁC SUẤT CHO SINH VIÊN TRƯỜNG CAO ĐẲNG SƯ
PHẠM Ở NƯỚC CỘNG HÒA DÂN CHỦ NHÂN DÂN LÀO .......................... 25

2.1. Một số định hướng xây dựng các biện pháp .............................................. 25
2.2. Một số biện pháp rèn luyện kỹ năng giải toán Tổ hợp - Xác suất cho
sinh viên trường Cao đẳng Sư phạm ở nước Cộng hòa Dân chủ Nhân
dân Lào .................................................................................................... 26
2.2.1. Phân dạng và hệ thống phương pháp giải cho từng dạng toán................ 26
2.2.2. Rèn luyện kỹ năng giải toán Tổ hợp - Xác suất thông qua việc giúp
sinh viên phát hiện và sửa chữa sai lầm trong lời giải bài toán .............. 48
2.2.3. Rèn luyện kỹ năng giải toán nội dung Tổ hợp - Xác suất dựa vào quy

trình giải toán của G.Polya ...................................................................... 57
2.3. Kết luận chương 2....................................................................................... 64
Chương 3: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM ........................................................... 66

3.1. Mục đích thực nghiệm sư phạm ................................................................. 66
3.2. Nội dung thực nghiệm sư phạm ................................................................. 66
3.3. Đối tượng thực nghiệm sư phạm ................................................................ 67
3.4. Hình thức tổ chức thực nghiệm .................................................................. 68
3.5. Kết quả thực nghiệm sư phạm .................................................................... 68
3.5.1. Phân tích định lượng ................................................................................ 68
3.5.2. Phân tích định tính ................................................................................... 74
3.6. Kết luận chương 3....................................................................................... 74
KẾT LUẬN ........................................................................................................ 75
DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................ 77
PHỤ LỤC ...............................................................................................................

iv


DANH MỤC CÁC BẢNG, BIỂU
Bảng 3.1.

Nội dung thực nghiệm sư phạm ................................................ 66

Bảng 3.2.

Chất lượng học tập học kì I năm học 2017- 2018 của hai lớp
3A và 3B Trường Cao đẳng Sư phạm Luông Pha Bang Nước
Cộng hòa Dân chủ Nhân dân Lào ............................................. 67

Bảng 3.3.

Thời gian thực nghiệm sư phạm ............................................... 68

Bảng 3.4.

Bảng phân bố tần số kết quả kiểm tra 45 phút của sinh viên
hai lớp năm thứ 3A lớp thực nghiệm và lớp năm thứ 3B lớp
đối chứng ................................................................................... 72

Biểu đồ 1.1.

Mức độ rèn luyện kỹ năng giải toán trong dạy học Tổ hợp Xác suất cho sinh viên ............................................................... 20

Biểu đồ 1.2.

Thái độ của sinh viên một số trường Cao đẳng Sư phạm ở
nước Cộng hòa Dân chủ Nhân dân Lào khi học nội dung Tổ
hợp - Xác suất............................................................................ 23

iv


MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
1.1. Dưới sự lãnh đạo của Đảng Nhân dân Cách mạng Lào, nước Công
hòa Dân chủ Nhân dân Lào đã sớm thoát khỏi tình trạng kém phát triển và đã có
nhiều cải thiện đời sống nhân dân. Đảng Nhân dân Cách mạng Lào đã đề ra nhiều
chủ trương, biện pháp để phát triển kinh tế - xã hội, văn hóa, giáo dục. Hiện nay,
nước Cộng hòa Dân chủ Nhân dân Lào đang trong thời kỳ đổi mới, đòi hỏi Ngành

Giáo dục và Đào tạo có những bước đi đổi mới về mọi mặt, nhằm đào tạo ra
những con người lao động có đủ kiến thức, năng lực sáng tạo, trí tuệ và phẩm
chất đạo đức tốt, đáp ứng được yêu cầu nhân lực của đất nước.
1.2. Trong dạy học môn Toán ở nước Công hòa Dân chủ Nhân dân Lào,
dạy học giải bài tập được xem là một trong những tình huống điển hình. Nội
dung kiến thức môn Toán cần trang bị cho người học không chỉ bao gồm các
khái niệm, định lí mà còn bao gồm các kỹ năng, phương pháp, mà giải bài tập
toán chính là phương diện không thể thiếu trong việc giúp người học nắm vững
các tri thức, hình thành các kỹ năng, kỹ xảo cho bản thân.
Thực tiễn cho thấy, rèn luyện kỹ năng cho người học là một khâu quan
trọng không thể tách rời của quá trình đào tạo ở trương. Đó là hoạt động cần thiết
để người học biến tri thức nhân loại thành vốn hiểu biết và khả năng tri thức của
riêng mình, đặc biệt quá trình rèn luyện kỹ năng tốt thì chất lượng học tập mới
đem lại hiệu quả cao. Tuy nhiên, kỹ năng giải toán của người học còn nhiều hạn
chế.
1.3. Chương trình học phần Xác suất thống kê ở trường Cao đẳng Sư phạm
nước Công hòa Dân chủ Nhân dân Lào, nội dung Tổ hợp - Xác suất gồm các nội
dung: Đại số tổ hợp và Xác suất. Để sinh viên hiểu đúng được bản chất và làm
được các dạng toán này không phải là điều đơn giản, sinh viên thường mắc phải
những sai lầm trong quá trình giải toán vì đây là những nội dung tương đối khó.
Để giúp sinh viên học tốt học phần Xác suất thống kê nói chung và học tốt nội
1


dung Tổ hợp - Xác suất nói riêng thì việc hiểu đúng bản chất bài toán và làm
thành thạo các dạng toán là điều rất cần thiết.
Xuất phát từ nhu cầu của bản thân trong việc học tập, tự nghiên cứu các
vấn đề dạy học, tự rèn luyện và nâng cao kĩ năng, nghiệp vụ sư phạm.
Vì vậy, chúng tôi mạnh dạn lựa chọn đề tài nghiên cứu: Rèn luyện kỹ năng
giải toán Tổ hợp - Xác suất cho sinh viên trường Cao đẳng Sư phạm ở nước

Công hòa Dân chủ Nhân dân Lào.
2. Mục đích nghiên cứu
Trên cơ sở nghiên cứu về kỹ năng, kỹ năng giải toán và nội dung nội dung
Tổ hợp - Xác suất trong chương trình học phần Xác suất thống kê ở trường Cao
đẳng Sư phạm nước Công hòa Dân chủ Nhân dân Lào, đề xuất một số biện pháp
sư phạm nhằm rèn luyện kỹ năng giải toán Tổ hợp - Xác suất cho sinh viên trường
Cao đẳng Sư phạm ở nước Công hòa Dân chủ Nhân dân Lào.
3. Giả thuyết khoa học
Nếu đề xuất được một số biện pháp sư phạm phù hợp để rèn luyện kỹ năng
giải toán Tổ hợp - Xác suất cho sinh viên trường Cao đẳng Sư phạm ở nước Công
hòa Dân chủ Nhân dân Lào thì sẽ góp phần phát triển kỹ năng giải toán cho sinh
viên và nâng cao chất lượng dạy học học phần Xác suất thống kê ở trường Cao
đẳng Sư phạm nước Công hòa Dân chủ Nhân dân Lào.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu cơ sở lí luận và thực tiễn của vấn đề được nghiên cứu.
- Đề xuất một số biện pháp sư phạm nhằm rèn luyện kỹ năng giải toán Tổ
hợp - Xác suất cho sinh viên trường Cao đẳng Sư phạm nước Công hòa Dân chủ
Nhân dân Lào, góp phần phát triển kỹ năng giải toán cho sinh viên và nâng cao
chất lượng dạy học học phần Xác suất thống kê ở trường Cao đẳng Sư phạm
nước Công hòa Dân chủ Nhân dân Lào.
- Thực nghiệm sư phạm nhằm kiểm nghiệm tính khả thi của đề tài.

2


5. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu các tài liệu về giáo dục, tìm
hiểu một số tạp chí và các tài liệu có liên quan đến đề tài, nghiên cứu nội dung
nội dung Tổ hợp - Xác suất trong chương trình học phần Xác suất thống kê ở
trường Cao đẳng Sư phạm nước Công hòa Dân chủ Nhân dân Lào.

- Phương pháp quan sát, điều tra: Điều tra tình hình dạy học nội dung Tổ
hợp - Xác suất ở trường Cao đẳng Sư phạm cũng như việc rèn luyện kỹ năng giải
toán cho sinh viên nước Công hòa Dân chủ Nhân dân Lào thông qua dạy học chủ
đề này.
- Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Nhằm kiểm nghiệm tính khả thi và
hiệu quả của giải pháp đã đề xuất.
6. Cấu trúc của đề tài
Ngoài phần mở đầu, kết luận và danh mục tài liệu tham khảo, nội dung
luận văn gồm 3 chương:
- Chương 1. Cơ sở lý luận và thực tiễn.
- Chương 2. Một số biện pháp sư phạm nhằm rèn luyện kỹ năng giải toán
cho sinh viên trường Cao đẳng Sư phạm ở nước Công hòa Dân chủ Nhân dân
Lào qua dạy học nội dung Tổ hợp - Xác suất.
- Chương 3. Thực nghiệm sư phạm.

3


Chương 1
CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Kỹ năng, kỹ năng giải toán
1.1.1. Kỹ năng
Tâm lý học đại cương cho rằng: “Kỹ năng là năng lực sử dụng các dữ liệu,
các tri thức hay khái niệm đã có, năng lực vận dụng chúng để phát hiện những
thuộc tính bản chất của sự vật và giải quyết thành công những nhiệm vụ lý luận
hay thực hành xác định” [10].
Theo K.K.Platơnôp[10]: “Cơ sở tâm lí của kỹ năng là sự thông hiểu mối
liên hệ giữa mục đích hành động, các điều kiện và phương thức hành động”.
Theo [15], “Kỹ năng là một nghệ thuật, là khả năng vận dụng hiểu biết có
được ở bạn để đạt được mục đích của mình, kỹ năng còn có thể đặc trưng như toàn

bộ thói quen nhất định, kỹ năng là khả năng làm việc có phương pháp”.
Bắt nguồn từ góc nhìn chuyên môn khác nhau, có nhiều định nghĩa khác
nhau về kỹ năng. Như vậy, dù phát biểu dưới góc độ nào thì kỹ năng là khả năng
vận dụng kiến thức (khái niệm, cách thức, phương pháp...) để giải quyết nhiệm
vụ đặt ra. Để có được kỹ năng, chúng ta phải trải qua quá trình lặp đi lặp lại một
hoặc một nhóm hành động nhất định nào đó. Nói đến kỹ năng là nói đến khả
năng của chủ thể thực hiện thuần thục một hay một chuỗi hành động trên cơ sở
hiểu biết để đạt được mục đích đã định. Kỹ năng luôn có chủ đích và định hướng
rõ ràng.
Để hiểu rõ hơn về kỹ năng, cần phân biệt kỹ năng với một số dấu hiệu gần
giống kỹ năng [dẫn theo 16]:
- Kỹ năng khác phản xạ: Phản xạ là phản ứng của cơ thể với môi
trường. Phản xạ mang tính thụ động. Ngược lại, kỹ năng là phản ứng có ý thức
và mang tính chủ động.
- Kỹ năng khác với thói quen: Hầu hết thói quen được hình thành một cách
vô thức và khó kiểm soát, trong khi kỹ năng được hình thành một cách có ý thức
qua quá trình luyện tập.
4


- Kỹ năng khác với kiến thức: Kiến thức là sự hiểu biết nhưng chưa từng
làm. Còn kỹ năng là hành động trên nền tảng kiến thức.
1.1.2. Kỹ năng giải toán
a) Khái niệm
G. Polya đã khẳng định [14]: “Trong Toán học, kỹ năng là khả năng giải
các bài toán, thực hiện các chứng minh cũng như các phân tích có phê phán các
lời giải và chứng minh nhận được kỹ năng trong toán học quan trọng hơn nhiều
những kiến thức thuần túy, so với thông tin trên”.
Theo tác giả Hoàng Chúng [2]: “Kỹ năng giải toán là khả năng vận
dụng các tri thức toán học để giải các bài tập toán học (bằng suy luận, chứng

minh…)”.
Như vậy, cơ sở của kỹ năng giải toán là các tri thức toán học, khi giải một
bài toán tức là thực hiện một hệ thống hành động có mục đích. Do đó, chủ thể
hành động cần phải nắm vững tri thức về hành động, thực hiện theo các yêu cầu
cụ thể của tri thức đó. Kỹ năng giải toán của người học có thể hiểu là khả năng
vận dụng có mục đích những tri thức, kinh nghiệm đã có vào giải những bài toán
cụ thể, thực hiện một hệ thống hành động để tìm ra lời giải bài toán một cách
khoa học. Kỹ năng có thể được rút ngắn, bổ sung và thay đổi trong quá trình hoạt
động.
Kỹ năng toán học được hình thành và phát triển thông qua việc thực hiện
các hoạt động Toán học và các hoạt động học tập trong môn Toán. Kỹ năng có
thể được rút ngắn, bổ sung, thay đổi trong quá trình hoạt động.
Trong giải toán, người giáo viên cần tổ chức để người học biết cách tìm ra
yếu tố đã cho, yếu tố phải tìm và mối liên hệ giũa chúng. Khả năng bao quát vấn
đề. Hình thành được một mô hình khái quát để giải quyết các bài tập cùng loại.
Xác lập được mối liên quan giữa bài tập mô hình khái quát và những kiến thức
có liên quan tương ứng. Biết quy lạ về quen, biết khái quát hóa, đặc biệt hóa…
Để hình thành một kỹ năng cho người học cần phải tổ chức cho người học luyện
tập những hoạt động tương ứng với những kỹ năng đó.
5


Sự trừu tượng hóa trong Toán học diễn ra trên nhiều cấp độ, cần rèn luyện
cho người học những kỹ năng trên những bình diện khác nhau:
+) Kỹ năng vận dụng tri thức trong nội bộ Toán học: là sự thể hiện mức
độ thông hiểu tri thức Toán học. Một người hiểu tri thức Toán học sẽ vận dụng
được để làm toán.
+) Kỹ năng vận dụng Toán học vào các môn khác: Kỹ năng trên bình diện
này thể hiện vai trò công cụ của Toán học đối với những môn học khác, điều này
thể hiện tính liên hệ giữa những môn học trong nhà trường, đòi hỏi người giáo viên

dạy toán cần có quan điểm tích hợp trong việc dạy học bộ môn.
+) Kỹ năng vận dụng Toán học vào thực tiễn: Đây là mục tiêu quan trọng
của môn toán, nó cho sinh viên thấy rõ mối liên hệ giữa Toán học và đời sống.
b) Một số kỹ năng cần thiết khi giải toán
Các kỹ năng giải toán của người học có thể chia làm ba cấp độ: Biết làm,
thành thạo và sáng tạo trong việc giải các bài toán cụ thể. Trong giải toán người
học cần có nhóm kỹ năng sau [dẫn theo 16]:
- Nhóm kỹ năng chung.
- Nhóm kỹ năng thực hành.
+ Kỹ năng tính toán: Người giáo viên cần chú ý rèn luyện cho người học khả
năng tư duy, khả năng suy luận độc lập, sáng tạo, không xem nhẹ việc rèn luyện kỹ
năng tính toán vì nó có vai trò quan trọng đối với người học trong việc học tập hiện
tại và cuộc sống sau này. Trong hoạt động thực thực tế ở bất kỳ các lĩnh vực nào
cũng đòi hỏi kỹ năng tính toán: tính đúng, tính nhanh, tính hợp lý.
+ Kỹ năng sử dụng thành thạo các quy tắc: Về mặt kỹ năng này thì cần
yêu cầu người học vận dụng một cách linh hoạt, tránh máy móc.
+ Kỹ năng vận dụng tri thức vào giải toán: Người học được rèn luyện kỹ
năng này trong quá trình họ tìm tòi lời giải bài toán. Nên hướng dẫn người học
thực hiện giải toán theo quy trình giải toán của G.Polya: Tìm hiểu nội dung bài
toán; Xây dựng chương trình giải; Thực hiện chương trình giải; Kiểm tra, nghiên
cứu lời giải.
6


+ Kỹ năng đọc và vẽ hình, đo đạc: Đây là kỹ năng cần thiết và phải rèn
luyện cho người học một cách cẩn thận. Đặc biệt, với kỹ năng vẽ hình, người học
phải hình thành và rèn luyện thói quen vẽ hình chính xác theo quy ước và phù
hợp với lý thuyết biểu diễn hình, vẽ cẩn thận, đẹp.
+ Kỹ năng tự kiểm tra, tự đánh giá trình bày lời giải và tránh sai lầm khi
giải toán. Trong giải toán việc phát hiện sai lầm và sửa sai lầm của lời giải là một

thành công của người học toán. Trên thực tế, có nhiều người học, kể cả người
học khá giỏi vẫn mắc sai lầm khi giải toán. Do vậy, người giáo viên cần giúp
người học có khả năng và thói quen phát hiện những sai lầm (nếu có) sau mỗi
bài tập, mỗi bài kiểm tra, phân tích được những nguyên nhân dẫn đến sai lầm đó.
Qua đó, người học cũng cần được rèn luyện kỹ năng trình bày lời giải chẳng hạn
như: câu chữ, các ký hiệu, vẽ hình chính xác… Việc hình thành và rèn luyện kỹ
năng tự kiểm tra, đánh giá và tự điều chỉnh góp phần nâng cao thành tích, chất
lượng dạy và học.
- Nhóm kỹ năng về tư duy:
+ Kỹ năng chứng minh toán học: Theo Hoàng Chúng [2]: Để có kỹ năng
chứng minh toán học, học sinh cần đạt được: Hình thành động cơ chứng minh,
rèn luyện những hoạt động thành phần trong chứng minh, truyền thụ những tri
thức phương pháp về chứng minh, các phép suy luận.
+ Kỹ năng chuyển từ tư duy thuận sang tư duy nghịch, kỹ năng biến đổi
xuôi chiều và ngược chiều: Là một điều kiện quan trọng để người học nắm vững
và vận dụng kiến thức, đồng thời nó cũng là một thành phần tư duy quan trọng của
toán học. Bên cạnh đó cần rèn luyện cho người học kỹ năng biến đổi xuôi chiều
và ngược chiều song song với nhau giúp cho việc hình thành các liên tưởng ngược
diễn ra đồng thời với việc hình thành các liên tưởng thuận.
+ Kỹ năng toán học hóa các tình huống thực tiễn: Kỹ năng toán học hóa các
tình huống thực tiễn được cho trong bài toán hoặc nảy sinh từ thực tế đời sống nhằm
tạo điều kiện cho người học biết và vận dụng những kiến thức toán học trong nhà

7


trường gây hứng thú trong việc học tập giúp người học nắm được thực chất nội dung
vấn đề và tránh hiểu các sự kiện toán học một cách hình thức.
+ Kỹ năng hoạt động tư duy hàm: Tư duy hàm là quá trình nhận thức liên quan
đến sự tương ứng, những mối liên hệ phụ thuộc giữa các phần tử của một hay nhiều

tập hợp trong sự vận động của chúng. Những hoạt động tư duy hàm: Hoạt động phát
hiện và thiết lập sự tương ứng; hoạt động nghiên cứu sự tương ứng.
+ Kỹ năng tìm ra vấn đề và giải quyết vấn đề: Trong cuộc trò chuyện với
giáo sư Ngô Bảo Châu, giáo sư Đàm Thanh Sơn chia sẻ: “Có lẽ trong ngành khoa
học nào cũng vậy, muốn thành công ít nhất phải có hai kỹ năng: tìm ra vấn đề
hay và giải quyết được vấn đề.”
1.2. Dạy học giải bài tập toán
1.2.1. Mục đích, vị trí, vai trò và ý nghĩa của bài tập toán
G.Polya cho rằng [15]: “Trong toán học, nắm vững bộ môn toán quan
trọng hơn rất nhiều so với một kiến thức thuần túy mà ta có thể bổ sung nhờ một
cuốn sách tra cứu thích hợp. Vì vậy cả trong trường trung học cũng như trong
các trường chuyên nghiệp, ta không chỉ truyền thụ cho học sinh những kiến thức
nhất định, mà quan trọng hơn nhiều là phải dạy cho họ đến một mức độ nào đó
nắm vững môn học. Vậy thế nào là nắm vững môn toán? Đó là biết giải toán!”.
Trên cơ sở đó, chúng ta có thể thấy rõ mục đích, vị trí, vai trò và ý nghĩa của bài
tập toán như sau:
a) Mục đích
Để đào tạo được nguồn nhân lực đáp ứng được nhu cầu ngày càng cao của
xã hội ngày nay đòi hỏi cả hệ thống giáo dục nói chung và các nhà trường nói
riêng đã và đang phải đặt ra nhiều mục đích, mục tiêu cụ thể cho việc đào tạo.
Môn Toán có vai trò quan trọng trong việc thực hiện mục tiêu chung của
giáo dục. Môn Toán góp phần phát triển nhân cách, phát triển phẩm chất trí tuệ
chung như: phân tích, tổng hợp, khái quát hóa, trừu tượng hóa… rèn luyện những
đức tính của người lao động mới như: cẩn thận, chính xác, kỉ luật, phê phán, sáng
tạo, bồi dưỡng óc thẩm mỹ.
8


Hoạt động giải bài tập toán là điều kiện để thực hiên tốt các nhiệm vụ dạy
học toán trong nhà trường. Có thể thấy rõ một số mục đích bài tập toán trong nhà

trường là:
- Phát triển ở người học những năng lực và phẩm chất trí tuệ, giúp người
học biết những tri thức khoa học của nhân loại được tiếp thu thành kiến thức của
bản thân, thành công cụ để nhận thức và hành động đúng đắn trong các lĩnh vực
động cũng như trong học tập hiện nay và sau này.
- Làm cho người học từng bước nắm được một cách chính xác, vững chắc
và có hệ thống những kiến thức và kỹ năng toán học cơ bản, hiện đại, phù hợp
với thực tiễn và có năng lực vận dụng những tri thức đó vào những tình huống
cụ thể, vào đời sống, vào lao động sản xuất, vào việc học tập các bộ môn khoa
học khác.
- Thông qua việc giải bài tập, người học khắc sâu các kiến thức đã học,
biết xâu chuỗi các kiến với nhau, kích thích sự tìm tòi, sáng tạo các kiến thức
mới đối với người học; qua đó rèn luyện, phát triển tư duy lôgic, sáng tạo, tính
kiên trì, cần cù, chịu khó... ở người người học.
- Phát triển thế giới quan duy vật biện chứng, hình thành những phẩm chất
đạo đức của người lao động mới.
b) Vị trí và vai trò của bài tập toán
Trong dạy học toán, bài tập toán có vai trò quan trọng, vì dạy toán là dạy
hoạt động toán học. Đối với người học, có thể xem giải toán là hình thức chủ yếu
của hoạt động toán học. Các bài tập toán là một phương tiện hiệu quả và không
thể thay thế được trong việc giúp người học nắm vững những tri thức, phát triển
tư duy, hình thành kĩ năng kĩ xảo, ứng dụng toán học vào thực tiễn. Hoạt động
giải bài tập toán là điều kiện để thực hiện tốt các nhiệm vụ dạy học toán trong
nhà trường. Vì vậy, tổ chức có hiệu quả việc dạy giải bài tập toán học có vai trò
quyết định đối với chất lượng dạy học toán [7].
Theo Nguyễn Bá Kim [5]: “Bài tập toán học có vai trò quan trọng trong
môn toán. Điều căn bản là bài tập có vai trò là giá mang hoạt động của học sinh.
9

Thông qua giải bài tập, học sinh phải thực hiện những hoạt động nhất định bao
gồm cả nhận dạng và thể hiện định nghĩa, định lý, quy tắc hay phương pháp,
những hoạt động toán học phức hợp, những hoạt động trí tuệ phổ biến trong toán
học, những hoạt động trí tuệ chung và những hoạt động ngôn ngữ”. Như vậy, bài
tập toán học có vị trí, vai trò quan trọng trong hoạt động dạy, hoạt động học toán
trong nhà trường. Vì thế, giáo viên cần lựa chọn các bài tập toán sao cho phù hợp
với từng đối tượng và năng lực của từng người học, như thế mới phát huy được
năng lực giải toán của người học.
c)Ý nghĩa
Trong nhà trường, dạy toán là dạy hoạt động toán học. Đối với người học
có thể xem việc giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học. Việc giải
toán có nhiều ý nghĩa. Cụ thể:
- Hình thành củng cố tri thức, kỹ năng, kĩ xảo ở những giai đoạn khác nhau
của quá trình dạy học, kể cả kỹ năng ứng dụng Toán học vào thực tiễn.
- Việc giải toán có tác dụng lớn gây hứng thú học tập của người học, phát
triển năng lực trí tuệ: rèn luyện những thao tác tư duy, hình thành và phát triển
những phẩm chất trí tuệ.
- Là hình thức tốt để giáo viên kiểm tra người học và người học tự kiểm
tra về năng lực, về mức độ tiếp thu và vận dụng kiến thức đã học.
1.2.2. Chức năng của bài tập toán
Trong dạy học, bài tập toán được sử dụng với nhiều dụng ý khác nhau. Một
bài tập có thể tạo tiền đề xuất phát, để gợi động cơ, để làm việc với một nội dung
mới, để củng cố hoặc kiểm tra... Mỗi bài tập cụ thể được đặt ra ở một thời điểm
nào đó của quá trình dạy học đều chứa đựng một cách tường minh hay ẩn tàng
những chức năng khác nhau, những chức năng này đều hướng đến các mục đích
dạy học trong môn Toán, hệ thống bài tập có các chức năng sau [5].

10

- Với chức năng dạy học: Bài tập nhằm hình thành, củng cố cho người học
những tri thức, kĩ năng, kĩ xảo ở những giai đoạn khác nhau của quá trình dạy
học. Cụ thể như: Làm sáng tỏ và khắc sâu những vấn đề về lý thuyết; thu gọn,
mở rộng, bổ sung cho lý của lý thuyết. Đặc biệt, bài tập còn mang tác dụng giáo
dục kĩ thuật, tổng hợp thể hiện qua việc giúp người học rèn luyện kĩ năng tính
toán, kĩ năng đọc hình vẽ, kĩ năng sử dụng các phương tiện học tập, kĩ năng thực
hành toán học; phương pháp tư duy, thói quen đặt vấn đề một cách hợp lí, ngắn
gọn tiết kiệm thời gian...
- Với chức năng giáo dục: Bài tập giúp người học hình thành thế giới quan
duy vật biện chứng, từng bước nâng cao hứng thú học tập, tạo niềm tin ở bản
thân người học và phẩm chất của con người lao động, rèn luyện, phát triển cho
người học đức tính kiên nhẫn, bền bỉ, không ngại khó, sự chính xác và chu đáo
trong khoa học.
- Với chức năng phát triển: Bài tập giúp người học ngày càng nâng cao khả
năng suy nghĩ, rèn luyện, phát triển các thao tác tư duy như: phân tích, tổng hợp,
suy diễn, quy nạp, tương tự, đặc biệt hóa, khái quát hóa... thông thạo một số
phương pháp suy luận toán học, biết phát hiện và giải quyết vấn đề một cách
thông minh sáng tạo. Từ đó, người học hình thành phẩm chất tư duy khoa học.
- Với chức năng kiểm tra: Bài tập giúp giáo viên và người học đánh giá
được mức độ và kết quả của quá trình dạy và học, đồng thời nó cũng đánh giá
khả năng độc lập học toán và trình độ pháp triển của người học.
Thông qua giải bài tập, giáo viên có thể tìm thấy những điểm mạnh, những
hạn chế trong việc tiếp thu và trình bày tri thức của người học. Qua đó có thể bổ
sung, rèn luyện, phát triển và phát triển tiếp cho người học. Có thể nói rằng, hiệu
quả của việc dạy toán trong nhà trường phần lớn phụ thuộc vào việc khai thác và
thực hiện một cách đầy đủ các chức năng có thể có của các tác giả viết sách đã có
dụng ý đưa vào chương trình. Người giáo viên phải có nhiệm vụ khám phá và thực
hiện dụng ý của tác giả bằng năng lực sư phạm của mình.

11

1.2.3. Dạy học giải bài tập toán học theo tư tưởng của G.Polya
Trong chương trình môn toán, nhiều bài tập toán chưa có hoặc không có
thuật giải và cũng không có một thuật giải tổng quát nào để giải các bài toán.
Chúng ta chỉ có thể thông qua việc dạy học giải một số bài toán cụ thể mà dần
truyền thụ cho người học cách thức, kinh nghiệm trong việc suy nghĩ, tìm tòi lời
giải cho mỗi bài toán. Dạy học giải bài tập toán không có nghĩa là giáo viên cung
cấp cho người học lời giải bài toán. Biết lời giải bài toán không quan trọng bằng
làm thế nào để giải được bài toán, vì vậy cần trang bị những hướng dẫn chung,
gợi ý các suy nghĩ tìm tòi, phát hiện cách giải bài toán là cần thiết. Dựa trên
những tư tưởng tổng quát cùng với những gợi ý chi tiết của G.Polya về cách thức
giải toán, phương pháp tìm tòi lời giải cho một bài toán thường được tiến hành
theo bốn bước sau [15]:
- Bước 1: Tìm hiểu nội dung bài toán. Để tìm hiểu nội dung của bài toán,
cần chú ý các yếu tố cơ bản như:
+ Phân biệt cái đã cho, cái phải tìm và cái phải chứng minh.
+ Có thể dùng công thức, kí hiệu, hình vẽ… để diễn tả đề bài.
+ Phân biệt các thành phần khác nhau của điều kiện. Có thể diễn tả các
điều kiện đó thành công thức không?...
+ Phát biểu đề bài với những dạng khác nhau để hiểu rõ nội dung bài toán.
- Bước 2: Xây dựng chương trình giải. Yếu tố quan trọng khi giải được bài
toán chính là việc xây dựng chương trình giải cho bài toán đó. Vì vậy khi thực
hiện, chúng ta cần chú ý:
+ Phân tích bài toán đã cho thành nhiều bài toán đơn giản quen thuộc.
+ Lựa chọn những kiến thức đã học (Định nghĩa, định lí, quy tắc...) gần
gũi hơn cả với dữ kiện của bài toán rồi mò mẫm dự đoán kết quả.
+ Sử dụng những phương pháp đặc thù với từng dạng toán như chứng
minh (phản chứng, qui nạp toán học...), toán dựng hình, toán quỹ tích...

12


- Bước 3: Trình bày lời giải. Trình bày lại lời giải sau khi đã điều chỉnh
những chỗ cần thiết.
- Bước 4: Kiểm tra và nghiên cứu lời giải.
+ Kiểm tra lại kết quả, xem lại các lập luận trong quá trình giải.
+ Nghiên cứu khả năng ứng dụng của lời giải.
+ Có thể sử dụng kết quả của bài toán khác vào việc giải bài toán này hay
không? Có thể đưa ra một bài toán tương tự hay một bài toán tổng quát hơn bài
toán đã cho hay không?
+ Từ bài toán đã cho lật ngược vấn đề, từ đó có thể phát sinh những bài
toán mới hay những lời giải mới.
- Lời giải của một bài toán cần đạt được những yêu cầu sau:
+ Lời giải đầy đủ;
+ Lập luận chặt chẽ;
+ Kết quả đúng, kể cả bước trung gian;
+ Ngôn ngữ chính xác, khoa học;
+ Trình bày rõ ràng, đảm bảo tính mỹ thuật;
+ Tìm ra nhiều lời giải, chọn cách ngắn gọn, hợp lí.
Ví dụ 1.1. Chứng minh đẳng thức:

1 1 2 1 2 3
( 1)n n n 1 1  ( 1)n
2C  C n .2  C n .2  .... 
C n .2 
2
3
n 1
n 1

0
n

Bước 1: Tìm hiểu nội dung đề bài.
Giáo viên: Bài toán yêu cầu ta cái gì?
Người học: Chứng minh một đẳng thức.
Giáo viên: Đặc điểm của đẳng thức cần chứng mình?
Người học: Đẳng thức có chứa ký hiệu tổ hợp .
Bước 2: Tìm hướng giải quyết.
Giáo viên: Để chứng minh một đẳng thức ta có thể làm theo những
cách nào?

13


Người học: Biến đổi vế trái thành về phải; biến đổi vế phải bằng vế trái;
chứng minh 2 vế bằng một biểu thức trung gian.
Giáo viên: Ký hiệu tổ hợp xuất hiện nhiều ở dạng toán nào?
Người học: Nhị thức Niutơn.
Giáo viên: Vế phải của đẳng thức cần chứng minh có đặc điểm gì?
Người học: Vế phải của đẳng thức có dạng:

C nk
k 1.

Giáo viên Với đặc điểm đó ta thường liên tưởng đến công cụ nào để
giải quyết?
Người học: Công cụ tích phân.
Bước 3: Trình bày lời giải.
n

0
1
2 2
n
n n
Xét nhị thức (1  x )  C n  C n x  C n x  ...  ( 1) C n x .

Lấy tích phân hai vế ta có:
2

2

0

0

n
0
1
2 2
3 3
n
n n
 (1  x ) dx   (C n  C n x  C n x  C n x  ....  ( 1) C n x )dx

2

2
3
n 1

1
n 1
0
1 x
2 x
n
n x

(1  x )
 (C n x  C n  C n  .....  ( 1) C n
)
n 1
2
3
n 1 0
0
2

Do đó, ta có
1
1
( 1)n n n 1 1  ( 1)n
2C n0  C n1 .22  C n2 .23  .... 
C n .2 
2
3
n 1
n 1

Đây chính là điều phải chứng minh.

Bước 4: Kiểm tra và nghiên cứu lời giải.
Giáo viên: Nêu phương pháp chung để giải các bài toán tương tự
Người học: Để chứng minh các đẳng thức có dạng trên ta thực hiện theo
bốn bước:
- Tìm một nhị thức Newton.
- Khai triển nhị thức ở bước 1.
- Lấy tích phân với cận thích hợp.
- Kết luận.
14


Ví dụ 1.2. Có ba khách hàng không quen biết nhau cùng đi mua hàng ở
một của hàng có 5 quầy hàng. Giả sử các khách hàng chọn quầy mua hàng một
cách ngẫu nhiên. Tính xác suất của các biến cố sau:
a) A = {cả 3 khách vào cùng một quầy}
b) B = {3 khách vào ba quầy khác nhau}
c) C = {Có 2 người vào quầy số 1}
d) D = {Có 2 người vào cùng một quầy}
Bước 1: Tìm hiểu nội dung bài toán.
Giáo viên: Bài toán yêu cầu tính những cái gì?
Người học: Bài toán yêu cầu tính xác suất của các biến cố A, B, C, D; tức
là tính P(A), P(B), P(C), P(D).
Bước 2: Xây dựng chương trình giải.
Giáo viên: Để tính xác suất của một biến cố ta thường sử dụng công thức nào?
Người học: Có thể dùng định nghĩa xác suất cổ điển; hay các tính chất của
xác suất
Giáo viên: Với những bài toán nào ta có thể dùng tính chất để tính xác suất?
Người học:Khi có thể biểu diễn mối quan hệ giữa các biên cố.
Giáo viên: Khi nào ta có thể tính xác suất theo định nghĩa cổ điển?
Người học: Khi xác định được các kết quả đồng khả năng của không gian

mẫu và số các kết quả thuận lợi của biến cố.
Giáo viên: Với bài toán này ta có thể tính được các kết quả đồng khả năng
của không gian mẫu và số các kết quả thuận lợi của biến cố không?
Người học: Có thể tính được.
Bước 3: Trình bày lời giải.
Ta có P(A) =

m
với m là số các kết quả thuận lợi của biến cố A và n là các
n

kết quả đồng khả năng của không gian mẫu.
15


Ta có n là số cách chọn 3 người vào 5 quầy:

C51C51C51  53 .
a. Ta có m là số cách chọn để 3 khách vào cùng một quầy:

C51  5  P( A) 

5
1

53 25

b. Ta có m là số cách chọn để 3 khách vào ba quầy khác nhau từ 5 quầy:

C53.3!  60

Do đó, ta có P( B) 

60
 0,48
53

c. Ta có m là số cách chọn để 2 trong 3 người vào quầy số 1 và người kia
vào một trong bốn quầy còn lại:

C32 .1.4  12  P(C ) 

12
 0,096
53

d. Ta có m là số cách chọn để 2 người vào cùng một quầy:

4C32C51  60  P( D) 

60
 0,48
53

Bước 4: Kiểm tra và nghiên cứu lời giải.
Giáo viên: Nêu các bước để giải một bài toán theo định nghĩa xác suất
cổ điển?
Người học: Để tính Xác suất theo định nghĩa cổ điển ta thực hiện theo bốn
bước:
- Xác định không gian mẫu, từ đó tính n là các kết quả đồng khả năng của
không gian mẫu.

- Tính m là số các kết quả thuận lợi của biến cố A.
- Áp dụng công thức: P(A) =

m
.
n

- Kết luận.
16


1.3. Nội dung và yêu cầu của dạy học nội dung Tổ hợp - Xác suất cho sinh
viên Cao đẳng Sư phạm ở nước Cộng hòa Dân chủ Nhân dân Lào
1.3.1. Nội dung Tổ hợp - Xác suất ở trường Cao đẳng Sư phạm nước Cộng hòa
Dân chủ Nhân dân Lào
Nội dung Tổ hợp - Xác suất trong chương trình học phần Xác suất thống
kê cho sinh viên ở trường Cao đẳng Sư phạm nước Cộng hòa Dân chủ Nhân dân
Lào gồm 03 tín chỉ, gồm những nội dung chính sau [27]:
Bài

Nội dung

Bài 1 Lý thuyết xác suất
1.1

Số tiết
20

Khái niệm và Khái niệm xác suất

4 tiết

- Nhóm (Thuật ngữ cơ bản)
- Một số trong lý thuyết xác suất
1.2

Quy tắc nhân và quy tắc cộng

7 tiết

- Quy tắc đếm, quy tắc cộng
- Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp
-Tổ học xác suất có điều kiện và xác suất một biến cố
1.3

Mẫu ngẫu nhiên.

9 tiết

-Xác suất có điều kiện
-Biến cố độc lập.
- Các ví dụ tổ hợp xác suất thống kê
- Các bài tập
Bài 2 Sự phân phối của biến cố ngẫu nhiên
2.1

15

Khái niệm và Biến cố ngẫu nhiên
- Sự phân phối

6 tiết

- Giá trị trung bình và biến đổi của sự phân phối
2.2

Tính chất và ví dụ của biến cố ngẫu nhiên không liên tục
- Giá trị trung bình và giá trị đổi biến
- Các ví dụ của Sự phân phối và biến cố ngẫu nhiên
- Các bài tập
17

8 tiết


Bài
2.3

Nội dung
Kiểm tra 45 phút

1 tiết

Bài 3 Sự phân phối của biến đổi ngẫu nhiên
3.1

Số tiết

Khái niệm và Sự phân phối

12
6 tiết

- Sự phân phối thông thường
- Sư phân phối theo Possion Probability Districbution
3.2

Sự phân phối theo Hypergeometric Distribution

6 tiết

- Các ví dụ của phân phối biến đổi ngẫu nhiên và phân phối
thong thường
- Các bài tập
Bài 4 Sự phân phối của biến đổi ngẫu nhiên liên tục
4.1

Khái niệm Sự phân phối biến ngẫu nhiên liên tục

17
7 tiết

- Phân phối xác suất của biến cố ngẫu nhiên.
- Sự phân phối t
- Sự phân phối x2
4.2

Sự phân phối F

7 tiết

- Các ví dụ của biến đổi ngẫu nhiên liên tục và Phân phối xác
suất của biến cố ngẫu nhiên
- Các bài tập
4.3

Câu hỏi và bài tập ôn chương I

2 tiết

4.4

Kiểm tra 45 phút

1 tiết

1.3.2. Mục đích, yêu cầu của nội dung Tổ hợp - Xác suất ở trường Cao đẳng
Sư phạm nước Cộng hòa Dân chủ Nhân dân Lào
a) Mục đích, yêu cầu
- Về kiến thức: Thông qua dạy học nội dung Tổ hợp - Xác suất cho sinh
viên trường Cao đẳng Sư phạm ở nước Cộng hòa Dân chủ Nhân dân Lào, sinh
viên có được các kiến thức cơ bản sau:

18