Bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động chung của một họ ánh xạ không giãn (Luận văn thạc sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
-------------------------------

LÊ NGỌC TÂN

BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN TRÊN TẬP
ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG CỦA MỘT HỌ
ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2018


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
-------------------------------

LÊ NGỌC TÂN

BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN TRÊN TẬP
ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG CỦA MỘT HỌ
ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN
Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số
: 8460112

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS.TS. Nguyễn Thị Thu Thủy

THÁI NGUYÊN - 2018


iii

Mục lục
Bảng ký hiệu

1

Mở đầu

2

1 Bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động của một
ánh xạ không giãn
1.1

1.2

4

Không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.1

Không gian Banach lồi và trơn . . . . . . . . . . . . 5

1.1.2

Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc . . . . . . . . . . . . . . 6

1.1.3

Ánh xạ j-đơn điệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

Phương pháp lặp giải bất đẳng thức biến phân trên tập
điểm bất động của ánh xạ không giãn . . . . . . . . . . . . 11
1.2.1

Bất đẳng thức biến phân j-đơn điệu . . . . . . . . 11

1.2.2

Phương pháp lặp và sự hội tụ . . . . . . . . . . . . 12

2 Bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động chung
của một họ các ánh xạ không giãn
2.1

23

Bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động chung
của một họ ánh xạ không giãn . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.2

2.1.1

Bài toán

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.1.2

Một số bổ đề bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

Phương pháp lặp giải bất đẳng thức biến phân . . . . . . . 25
2.2.1

Mô tả phương pháp . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.2.2

Sự hội tụ

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25


iv

Kết luận

30

Tài liệu tham khảo

31

1

Bảng ký hiệu
H

không gian Hilbert thực

E

không gian Banach

E∗

không gian đối ngẫu của E

SE

mặt cầu đơn vị của E

R

tập các số thực

R+

tập các số thực không âm

∅

tập rỗng

∀x

với mọi x

D(A)

miền xác định của toán tử A

R(A)

miền ảnh của toán tử A

A−1

toán tử ngược của toán tử A

I

toán tử đồng nhất

C[a, b]

không gian các hàm liên tục trên đoạn [a, b]

lp , 1 ≤ p < ∞

không gian các dãy số khả tổng bậc p

Lp [a, b], 1 ≤ p < ∞

không gian các hàm khả tích bậc p trên đoạn [a, b]

lim supn→∞ xn

giới hạn trên của dãy số {xn }

lim inf n→∞ xn

giới hạn dưới của dãy số {xn }

xn → x0

dãy {xn } hội tụ mạnh về x0

xn

dãy {xn } hội tụ yếu về x0

x0

J

ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc

j

ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc đơn trị

Fix(T )

tập điểm bất động của ánh xạ T


2

Mở đầu
Bài toán bất đẳng thức biến phân đã được nghiên cứu và đưa ra lần
đầu tiên bởi Hartman và Stampacchia vào những năm đầu của thập
niên 60 thế kỉ XX. Mô hình bài toán bài toán bất đẳng thức biến phân,
kí hiệu là VIP(A, C), có dạng
Tìm x ∈ C sao cho:

A(x), y − x ≥ 0 ∀y ∈ C,

(1)

trong đó C là tập con lồi đóng khác rỗng trong không gian Hilbert thực
H hoặc không gian Banach thực E và A : (D(A) = C) → C là ánh xạ
mục tiêu xác định trên C.
Người ta thường nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của bất đẳng thức biến
phân và đề xuất các phương pháp lặp giải bất đẳng thức biến phân.
Cho đến nay có nhiều phương pháp giải bất đẳng thức biến phân hữu
hiệu được xây dựng, chẳng hạn phương pháp chiếu của Lions, phương
pháp nguyên lý bài toán phụ của Cohen, phương pháp điểm gần kề của
Martinet, phương pháp điểm gần kề quán tính của Alvarez và Attouch
và phương pháp hiệu chỉnh Browder–Tikhonov đối với bất đẳng thức
biến phân đặt không chỉnh. Ở Việt Nam, bất đẳng thức biến phân cũng
là một chủ đề được nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu, như nhóm

nghiên cứu của GS. Nguyễn Bường (Viện Công nghệ Thông tin), GS.
Nguyễn Đông Yên (Viện Toán học), GS. Lê Dũng Mưu (Trường Đại học
Thăng Long, Hà Nội), GS. Phạm Kỳ Anh (Trường Đại học Khoa học
tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội), GS. Phan Quốc Khánh (Trường
Đại học Quốc tế thành phố Hồ Chí Minh) . . . .
Mục đích của đề tài luận văn nhằm tổng hợp và trình bày lại hai


3

phương pháp lặp giải bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động
chung của một ánh xạ không giãn, một họ vô hạn đếm được các ánh xạ
không giãn trong không gian Banach trong các bài báo [3] và [5] công
bố năm 2008 và 2015.
Trong quá trình học tập và thực hiện luận văn này, các thầy cô của
Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên đã tạo mọi điều kiện
tốt nhất để tác giả học tập, nghiên cứu. Tác giả xin được bày tỏ lòng
biết ơn chân thành đến các thầy, cô. Đặc biệt, tác giả xin bày tỏ lòng
biết ơn sâu sắc tới PGS.TS. Nguyễn Thị Thu Thủy - Người đã tận tình
hướng dẫn tác giả hoàn thành luận văn này.
Thái Nguyên, tháng 5 năm 2018
Tác giả luận văn

Lê Ngọc Tân


4

Chương 1

Bất đẳng thức biến phân trên tập
điểm bất động của một ánh xạ
không giãn
Chương này trình bày một số khái niệm và tính chất của không gian
Banach; ánh xạ j-đơn điệu, ánh xạ không giãn và phương pháp lặp giải
bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động của một ánh xạ không
giãn trong không gian Banach. Kiến thức của chương này được viết dựa
trên kết quả của Ceng và các cộng sự công bố trong [3] và các tài liệu
được tham chiếu trong đó.

1.1

Không gian Banach

Cho E là không gian Banach với không gian đối ngẫu ký hiệu là E ∗ .
Ta dùng ký hiệu . cho chuẩn trong E và E ∗ và viết tích đối ngẫu
x, x∗ thay cho giá trị của phiếm hàm tuyến tính x∗ ∈ E ∗ tại điểm
x ∈ E, tức là x, x∗ = x∗ (x). Kiến thức của mục này được tham khảo
từ các tài liệu [1], [2], [6] và [7].


Luận văn đủ ở file: Luận văn full