Nghiên cứu sức căng mặt ngoài của ngưng tụ bose einstein một thành phần trong thống kê chính tắc (2018)

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA VẬT LÝ

NGUYỄN THỊ THANH
 
 
 
 

NGHIÊN CỨU SỨC CĂNG MẶT NGOÀI CỦA NGƯNG
TỤ BOSE-EINSTEIN MỘT THÀNH PHẦN TRONG
THỐNG KÊ CHÍNH TẮC
 
 
Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết
 
 
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
 
 
HÀ NỘI, 2018
 


TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA VẬT LÝ

NGUYỄN THỊ THANH
 
 
 
 

NGHIÊN CỨU SỨC CĂNG MẶT NGOÀI CỦA NGƯNG
TỤ BOSE-EINSTEIN MỘT THÀNH PHẦN TRONG
THỐNG KÊ CHÍNH TẮC
 
 
Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết
 
 
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
 
 
 
Người hướng dẫn khoa học

PGS.TS. Nguyễn Văn Thụ
 
 
 
 
 
 
 
HÀ NỘI, 2018
 


LỜI CẢM ƠN

Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn, tôi xin gửi lời cảm ơn 
sâu sắc tới PGS.TS. Nguyễn Văn Thụ người đã định hướng chọn đề tài và tận 
tình giúp đỡ, hướng dẫn để tôi có thể hoàn thành khóa luận này. 
Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới các thầy cô giáo giảng 
dạy chuyên ngành vật lý lý thuyết khoa vật lý, trường Đại học Sư phạm Hà 
Nội 2 đã nhiệt tình giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và làm khóa luận. 
 
Hà Nội, tháng 5 năm 2018. 
Tác giả luận văn 
 
Nguyễn Thị Thanh

 


LỜI CAM ĐOAN

Dưới sự giúp đỡ và hướng dẫn của PGS.TS. Nguyễn Văn Thụ luận văn 
chuyên ngành Vật lý lý thuyết với đề tài “Nghiên cứu sức căng mặt ngoài của 
ngưng  tụ  Bose-Einstein  một  thành  phần  trong  thống  kê  chính  tắc”  và  được 
hoàn thành bởi chính sự nghiên cứu tìm hiểu của bản thân, không trùng lặp 
với bất cứ luận văn nào khác. 
Trong quá trình nghiên cứu, tôi đã kế thừa những thành tựu của các nhà 
khoa học với sự trân trọng và biết ơn. 
Hà Nội, tháng 5 năm 2018. 
Tác giả luận văn 

Nguyễn Thị Thanh

 


 
MỤC LỤC
Trang
MỞ ĐẦU ........................................................................................................... 1 
1. Lý do chọn đề tài. ...................................................................................... 1 
2. Mục đích nghiên cứu. ................................................................................ 1 
3. Nhiệm vụ nghiên cứu. ............................................................................... 2 
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu. ............................................................ 2 
5. Những đóng góp mới của đề tài. ............................................................... 2 
6. Phương pháp nghiên cứu. .......................................................................... 2 
NỘI DUNG ....................................................................................................... 3 
CHƯƠNG 1: LÝ THUYẾT CHUNG CỦA NGƯNG TỤ BOSE-EINSTEIN  3 
1.1.  Tổng quan về ngưng tụ Bose-Einstein. ................................................. 3 
1.1.1. Tổng quan nghiên cứu lý thuyết về ngưng tụ Bose-Einstein .......... 3 

1.1.2. Tổng quan nghiên cứu thực nghiệm về ngưng tụ Bose-Einstein .... 4 
1.1.2.1.  Ngưng tụ Bose-Einstein đầu tiên của nguyên tố Erbium ... 4 
1.1.2.2.  Lần đầu tiên quan sát thấy hiệu ứng Hall ở một BEC ........ 5 
1.2.  Lý thuyết trường trung bình .................................................................. 6 
1.2.1. Thế tương tác .................................................................................. 6 
1.2.2. Phương trình Gross-Pitaevskii. ..................................................... 10 
1.3. Phương pháp gần đúng parabol kép (Double parabola approximationDPA). ............................................................................................................... 12 
KẾT LUẬN CHƯƠNG 1 ................................................................................ 14 
CHƯƠNG 2: SỨC CĂNG MẶT NGOÀI CỦA NGƯNG TỤ BOSEEINSTEIN MỘT THÀNH PHẦN TRONG THỐNG KÊ CHÍNH TẮC ....... 15 
2.1.  Các hệ thống kê. .................................................................................. 15 
2.1.1. Hệ hạt đồng nhất. .......................................................................... 15 
 


2.1.2. Hệ vi chính tắc .............................................................................. 16 
2.1.3. Hệ chính tắc .................................................................................. 19 
2.2.  Trạng thái cơ bản trong gần đúng Parabol kép. .................................. 25 
2.3.  Khái niệm sức căng mặt ngoài. ........................................................... 27 
2.4. Sức căng mặt ngoài trong hệ chính tắc. ............................................... 31 
KẾT LUẬN CHƯƠNG 2 ................................................................................ 33 
KẾT LUẬN ..................................................................................................... 34 
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................... 35 

 


KÍ HIỆU VIẾT TẮT

BEC 

(Bose-Einstein condensate): Ngưng tụ Bose- Einstein 

GPE 

(Gross-Pitaevskii equation): Phương trình Gross-Pitaevskii 

DPA 

(Double-parabola approximation): Gần đúng parabol kép 

CE 

 

(Canoical ensemble): Chính tắc 


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài.
Ngưng tụ Bose-Einstein (BEC) là trạng thái vật chất được tạo thành khi 
làm lạnh khí boson, tới gần độ không kenvin (0K). Ở nhiệt độ này, một lượng 
lớn  các  boson nằm ở trạng thái lượng tử thấp  nhất, khi đó  ở  mức  vĩ  mô  các 
hiệu ứng lượng tử trở lên rõ nhất và được gọi là hiện tượng lượng tử mức vĩ 
mô. 
Năm  1924,  Albert  Einstein  và  Satyendra  Nath  Bose  đã  dự  đoán  là  có 
trạng  thái  “Ngưng  tụ  Bose-Einstein”,  hay  còn  gọi  là  trạng  thái  thứ  năm  của 
vật chất. Trong trạng thái BEC này, thì vật chất không còn hoạt động độc lập 
với nhau nữa mà chúng rơi vào một trạng thái mà được diễn tả với cùng một 
hàm sóng duy nhất. 
Ở  thể  khí,  Ngưng  tụ  Bose-Einstein  là  một  lý  thuyết  bị  nghi  ngờ  trong 

suốt một thời gian dài. Năm 1995, một đội nghiên cứu đến từ trường đại học 
Colorado ở Bouder lần đầu tiên đã tạo ra thành công được trạng thái này bằng 
thực nghiệm.  
Việc phát hiện ra trạng thái ngưng tụ Bose-Einstein đã mang lại những 
phát minh quan trọng và mở đường cho sự phát triển của khoa học và công 
nghệ hiện đại. 
Trong  các  nghiên  cứu  về  ngưng  tụ  Bose-Einstein  thì  nghiên  cứu  sức 
căng  mặt  ngoài  của  nó  có  ý  nghĩa  quan  trọng,  đặc  biệt  trong  việc  tìm  hiểu 
chuyển  pha  ướt  của  hệ.  Đây  là  vấn  đề  được  đưa  vào  vận  dụng  nhiều  trong 
công  nghệ ngày  nay.  Vì  lí  do  trên  mà  tôi  lựa  chọn  đề tài “Nghiên cứu sức
căng mặt ngoài của ngưng tụ Bose-Einstein một thành phần trong thống
kê chính tắc” làm đề tài nghiên cứu của mình. 
2. Mục đích nghiên cứu.

1 


Nghiên  cứu sức  căng  mặt  ngoài  của ngưng  tụ  Bose-Einstein  một thành 
phần trong thống kê chính tắc. 
3. Nhiệm vụ nghiên cứu.
Xây  dựng  phương  trình  Gross-Pitaevskii  và  phương  pháp  gần  đúng 
parabol kép.
Nghiên  cứu sức  căng  mặt  ngoài  của ngưng  tụ  Bose-Einstein  một thành 
phần trong thống kê chính tắc.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu.
Hệ ngưng tụ Bose-Einstein một thành phần trong thống kê chính tắc, tức 
là hệ cô lập với số hạt không đổi. 
5. Những đóng góp mới của đề tài.
Nghiên  cứu sức  căng  mặt  ngoài  của ngưng  tụ  Bose-Einstein  một thành 
phần trong thống kê chính tắc có những đóng góp quan trọng trong lý thuyết 

lượng tử và vật lý thống kê nói riêng, trong vật lý lý thuyết nói chung.  
6. Phương pháp nghiên cứu.
-

Sử dụng gần đúng trường trung bình. 

-

Sử dụng gần đúng parabol kép. 

-

Sử dụng thống kê chính tắc. 

-

Tính toán và vẽ hình dựa vào phần mềm Mathematical. 

2 


NỘI DUNG
CHƯƠNG 1
LÝ THUYẾT CHUNG CỦA NGƯNG TỤ BOSE-EINSTEIN
1.1. Tổng quan về ngưng tụ Bose-Einstein.
1.1.1. Tổng quan nghiên cứu lý thuyết về ngưng tụ Bose-Einstein
Ngưng tụ Bose-Einstein (BEC) là trạng thái vật chất được tạo thành khi 
làm lạnh khí boson, tới gần độ không kenvin (0K). Ở nhiệt độ này, một lượng 
lớn  các  boson nằm ở trạng thái lượng tử thấp  nhất, khi đó  ở  mức  vĩ  mô  các 
hiệu ứng lượng tử trở lên rõ nhất và được gọi là hiện tượng lượng tử mức vĩ 

mô. Einstein đã đưa ra dự đoán này vào năm 1925 với các nguyên tử có spin 
nguyên. Tiếp đó Einstein đã cải tiến quan điểm của Bose cho một hệ các hạt. 
Sự cố gắng của hai nhà khoa học đã đưa ra lý thuyết về khí bose trong phạm 
vi  của  thống  kê  Bose-Einstein.  Einstein  giải  thích  được  nếu  các  nguyên  tử 
boson được làm lạnh đến độ không tuyệt đối thì hệ này sẽ bị tụ lại trong một 
trạng thái lượng tử thấp nhất có thể sau đó vật chất hình thành lên một trạng 
thái mới. 
Hiện nay, người ta đã ngưng tụ được tổng cộng 13 nguyên tố. Trong đó 
mười  nguyên tố được  tìm  ra  bởi  mười  nhóm  nghiên  cứu  khác nhau trên thế 
giới [4]. 
Năm 1995, khí đầu tiên đã được ngưng tụ thành công bởi hai nhà khoa 
học Eric Cornell và Carl Wieman, đó là nguyên tử Rubidi được làm lạnh tới 
nhiệt độ 170 nanokelvin (nK). Cùng thời điểm, nhà vật lý Wolfgang Ketterle 
đã ngưng tụ thành công nguyên tử Natri để tạo ngưng tụ Bose-Einstein. Sau 
đó Cornell, Wieman, Ketterle đã được trao giải Nobel Vật lý năm 2001.  
Trong  vật  lý  có  hai  lớp  hạt  cơ  bản:  lớp  hạt  boson  và  lớp  hạt  fermion. 
Boson  bao  gồm  các  hạt  với  “spin  nguyên”  (photon,  -meson,  K-meson,...); 
fermion  bao  gồm  hạt  với  “spin  bán  nguyên”  (electron,  các  nucleon,...).  Các 
3 


hạt  boson  tuân  theo  thống  kê  Bose-Einstein,  còn  các  hạt  fermion  tuân  theo 
thống kê Fermi-Dirac. Bên cạnh đó các hạt fermion còn tuân theo nguyên lí 
loại  trừ  Pauli,  đó  là:  “Nếu  có  một  bộ  bốn  đại  lượng  động  lực 
( ,

,

,

)bất kì đủ để đặc trưng cho trạng thái của một hạt, thì trong hệ 

fermion  không  thể  có  hai  hạt  có  trạng  thái  được  đặc  trưng  bởi  bốn  số 
( ,

,

,

)giống nhau” [2]. 

Ở điều kiện bình thường khí fermi và boson tạo ra các biến đổi như nhau 
và tuân theo gần đúng thống kê Maxwell-Boltzman (vì từ thống kê Maxwell- 
Boltzman  có  thể  suy  ra  thống  kê  Bose-Einstein  và  thống  kê  Fermi-Dirac). 
Một quan điểm được đưa ra đó là khí bose và khí fermi khác nhau về tính chất 
khi  ở  nhiệt  độ  thấp.  Đúng  thế,  do  các  hạt  boson  không  bị  ảnh  hưởng  bởi 
nguyên lý cấm Pauli nên ở nhiệt độ thấp năng lượng của các hạt đạt cực tiểu 
= 0,  vì  vậy  tất  cả  các  chất  khí  đều  ở  trạng  thái  cơ  bản  và  có  năng  lượng 
= 0 . Ngược lại, đối với khí fermi khi ở độ không tuyệt đối các hạt có các 
mức năng lượng lần lượt từ 0 đến mức fermi, từ đó năng lượng của cả hệ khác 
không ( ≠ 0). 
Dựa trên quan điểm vĩ mô ngưng tụ Bose-Einstein gồm các hạt có spin 
nguyên ở trạng thái cơ bản có nhiệt độ thấp và mật độ cao. Chứa khí nguyên 
tử lạnh và vật lý chất rắn chuẩn hạt. Nhưng phổ biến nhất vẫn là khí boson. 
1.1.2. Tổng quan nghiên cứu thực nghiệm về ngưng tụ Bose-Einstein
1.1.2.1. Ngưng tụ Bose-Einstein đầu tiên của nguyên tố Erbium
Nhờ  các  đặc  trưng  quan  trọng  của  chất  khí  lượng  tử  siêu  lạnh  đã  giúp 
cho việc tìm hiểu các hiện tượng Vật lý trở nên dễ dàng hơn. Nhóm nghiên 
cứu của Francesca Ferlaino đã quyết định tìm hiểu nguyên tố Erbium, đó là vì 
những tính chất đặc biệt của nó giúp giải quyết những nghi ngờ trong lĩnh vực 

Vật lý cơ bản. 

4 


Theo Ferlaino, “Erbium tương đối nặng và có từ tính mạnh. Những tính 
chất này dẫn tới một trạng thái lưỡng cực cực độ của các hệ lượng tử”. 
Bà và các cộng sự đã dựa vào kĩ thuật làm lạnh bay hơi và phương tiện 
laser  đã  ngưng  tụ  thành  công  các  nguyên  tố  phức  tạp.  Ở  nhiệt  độ  gần  độ 
không  kenvil  (0K),  một  ngưng  tụ  Bose-Einstein  từ  tính  được  tạo  ta  từ  một 
đám mây chứa một lượng lớn các hạt erbium. Ở trạng thái này, tính chất đơn 
lẻ của các hạt bị mất đi và đồng bộ hóa thành trạng thái của chúng.  
Ba nguyên tố hóa học đó là Strontium, Cesium và Erbium đã được các 
nhà nghiên cứu ở Innsbruck ngưng tụ thành công trong những năm trở lại đây. 
Một bước tiến quan trọng mà Rudolf Grimm cùng nhóm đồng nghiệp của ông 
đã  thực hiện hồi năm 2002, đó là Cesium đã được ngưng tụ thành công, đã 
đem lại hàng loạt những thành tựu cho khoa học trong những năm tiếp theo. 
Florian Schreck, một thành viên thuộc nhóm nghiên cứu của Rudolf Grimm, 
là người đầu tiên hiện thực hóa một ngưng tụ của Strontium hồi năm 2009. Và 
nay Francesca Ferlaino lập tiếp kì công này với nguyên tố Erbium. 
1.1.2.2. Lần đầu tiên quan sát thấy hiệu ứng Hall ở một BEC
Hiệu ứng Hall được tạo thành từ sự tương tác của dòng điện và từ trường 
phổ  biến  với  kim  loại  và  chất  bán  dẫn.  Hiệu  ứng  Hall  được  thay  đổi  và  cải 
tiến để ứng dụng rất nhiều trong kĩ thuật và trong vật lý từ những hệ thống tự 
đánh lửa tự động  cho  đến những phép đo  cơ bản  của điện  học. Những phát 
hiện mới này làm cho các nhà vật lý hiểu được tường minh hơn về cơ sở vật 
lý của các hiện tượng lượng tử như hiệu ứng Hall lượng tử. 
Hiệu  ứng  Hall  do  Edwin  Hall  tìm  ra  vào  năm  1879,  để  hiểu  một  cách 
đơn giản ta hãy xét một chất dẫn điện hình chữ nhật ví dụ một tấm đồng hình 
chữ nhật và dọc theo chiều dài của tấm đồng ta cho một dòng điện đi qua nó. 

Khi  đó  ta  đặt  vuông  góc  miếng  đồng  vào  trong  một  từ  trường,  thì  dưới  tác 
dụng của một lực vuông góc với mặt phẳng chứa dòng điện và từ trường làm 
5 


cho đường đi của các hạt mang điện bị lệch. Dưới tác dụng của từ trường các 
hạt mang điện bị dồn một bên của tấm đồng từ đó hình thành nên một hiệu 
điện thế gọi là hiệu điện thế Hall. Hiệu điện thế này có thể dùng để xác định 
những đặc tính bên trong các hệ thống điện như nồng độ hạt mang điện. 
“Các hệ nguyên tử lạnh là một nền tảng quan trọng để nghiên cứu nền 
Vật lý phức tạp vì chúng gần như không có tạp chất gây cản trở, các nguyên 
tử chuyển động chậm hơn nhiều so với các electron trong chất rắn, và các hệ 
cũng đơn giản hơn nhiều”, nhà nghiên cứu NIST Lindsay LeBlanc nói. 
Dựa vào công trình NIST làm cơ sở việc xác định hiệu ứng Hall ở một 
ngưng tụ Bose-Einstein được thực hiện để hình thành nên điện từ trường nhân 
tạo.  Trước  hết,  họ  sử  dụng  laser  gắn  kết  năng  lượng  của  các  nguyên  tử  với 
xung  lượng  của  chúng,  tức  là  nhóm  hai  trạng  thái  bên  trong  thành  một  liên 
kết.  Dẫn  đến  những  nguyên  tử  trung  hòa  về  điện  tác  dụng  như  thể  chúng 
mang điện. Từ một đám mây chứa một lượng lớn các nguyên tử, các nhà khoa 
học cho lực bắt giữ biến thiên tuần hoàn - đẩy các nguyên tử trong đám mây 
lại gần nhau rồi lại hút chúng ra xa - để diễn tả sự di chuyển của các hạt tích 
điện. Kết quả, về mặt toán học các nguyên tử bắt đầu chuyển động giống với 
cách  chuyển  động  của  các  hạt  mang  điện  dưới  tác  dụng  của  hiệu  ứng  Hall, 
nghĩa là vuông góc với mặt phẳng của từ trường và dòng điện. 
1.2. Lý thuyết trường trung bình
1.2.1. Thế tương tác
Xét hệ ngưng tụ Bose-Einstein một thành phần được hình thành từ trạng 
thái cơ bản của hệ hạt có spin nguyên (hệ boson) ở điều kiện độ không tuyệt 
đối.  Để  tìm  hiểu  một  hệ  khí  nào  đó,  ta  đi  nghiên  cứu  năng  lượng  của  hệ  ở 
trạng thái cơ bản. Phương trình Hamilton dạng tổng quát cho hệ có dạng 

 p 2
  1 N N
 
i
ˆ
ˆ

H 
 Vext  ri    V ri  rj ,
 2 i 1 j 1
i 1  2m


N



6 



(1.1)


với số hạng thứ nhất bên vế phải là động năng của hạt thứ i, số hạng thứ hai 
mô tả trường thế năng bên ngoài, thông thường nó là trường thế giam cầm hệ 
trong một không gian nhất định, số hạng còn lại biểu thị tương tác cặp giữa N
hạt trong hệ. Để tìm năng lượng của hệ ta sử dụng phương pháp cực trị. Từ 
năng  lượng  tự  do  ta  có  năng  lượng  cần  làm  cực  tiểu F  E   N ,  với  E  là 

năng lượng và    là thế hóa học. 
 

Với toán tử Hamilton  Hˆ  và hàm sóng y  năng lượng có dạng 

E y  

y Hˆ y
yy

.

(1.2)

Dựa vào (1.2) để tìm giá trị nhỏ nhất của năng lượng tự do F. Vì hệ đang 
khảo sát có  N  hạt, nên ta có thể phối hợp hàm sóng y i với mọi hàm sóng của 
các hạt trong hệ. Nhưng để giải được của bài toán chúng ta phải dùng phương 
pháp  gần  đúng  trường  trung  bình.  Tức  là  bỏ  qua  tất  cả  các  chỉ  số  của  hàm 
sóng. 
Bằng phương pháp này, năng lượng tự do cần  được  cực tiểu hóa trong 
không  gian  hàm  sóng  có  dạng    y  y   y , trong  đó    là  tích 
tenxơ và do đó   là tích tenxơ của N hàm sóng của các hạt trong hệ; ta đang 
khảo sát bài toán với điều kiện chuẩn hóa     1.  
Việc giải bài toán từ đây tương đương với việc tìm giá trị nhỏ nhất của 
năng lượng tự do  F      Hˆ      . Xét từng số hạng trong biểu 
thức.  
Xét động năng của hệ  

7 

2

 

 
y *  ri  y  ri  dri

i 1 2m
i 1 2m

ˆ i2

N

N

2
 
* 
N

y
r

y
r




i
i  dri
2m 
2
 2 
N

y
r

 dr
2m 
2
 
* 
2
 N
y
r

y
r



 dr .
2m 

(1.3)

Như đã trình bày ở trên    là tích tenxơ của  N  hàm sóng của các hạt 

và y  ri   là  hàm  sóng  của  một  hạt,  để  có  được  kết  quả  sau  cùng  trong  biểu 
thức (1.3) chúng ta áp dụng tính chất của hàm Green. Khi đó thế năng của hệ 
có dạng 

V  r  
N



ext

i

i 1


 
 N y *  r   2y  r  dr .

(1.4)

Số hạng cuối cùng mô tả tương tác giữa N hạt trong hệ có dạng sau 
1 N N
 
 V ri  rj 
2 i 1 j 1





1 N N
 *  * 
 

 
(1.5)
dr
y
r
y
r
V
r

r
y
r
y
r









i
i
j
i
j
i
j  drj
2 i 1 j 1  
 
N  N  1 N N
 *  * 
 



 d r .

dr
y
r
y
r
V
r

r
y
r
y
r








2
i 1 j 1







  



 

Xét số hạng cuối cùng ở biểu thức của năng lượng tự do  





 

     y *  r y  r dr



N

,

(1.6)

Biểu thức có dạng như trên để dễ dàng cho việc tính toán. 

Tiếp theo ta sẽ khảo sát biến thiên nhỏ của hàm sóng y  r  , thực ra ta 

phải khảo sát sự biến thiên của các thành phần thực và ảo của hàm sóng khi 
đó chúng ta xem như y  và y *  độc lập với các biến số. Từ đây ta có đạo hàm  

8 



 cho các biểu thức (1.3) và (1.4). Với biểu thức (1.5), ta có đạo hàm hai 
y *

lần của hàm sóng y * , nhưng  r có thể biến đổi vì vậy ta có  


1 N N
 



V
r


i  rj
y *
2 i 1 j 1



 N  N  1  y *





(1.7)

 
 
*  2
y  r  V r  r  y  r  dr .





Đối với thế hóa ta có công thức sau 

 

 
 N y *  r y  r  dr
*
y



N 1

  y

*







 r y  r  dr


 
 N  y *  r y  r  dr .

(1.8)

Thế đồng thời các công thức trên vào biểu thức lấy biến phân của năng 

lượng tự do  F  ta thu được 
 2 2 

ˆ  r y  r 


y
r

V


ext

 *
F
 2m

0

N
y . (1.9) 

  * 
2
y *



  N  1  y  r  V r  r  d r y  r   y  r  





  





Đa số thế tương tác được chọn có dạng sau 
 
4  2
 
V r  r 
a r  r  ,  
2m









với  a  là chiều dài tán xạ sóng s, sử dụng gần đúng  N  1  N  cuối cùng ta thu 
được 

2 2 


 4 2
 2 

ˆ

 y  r   Vext  r y  r  
a y  r  y  r   y  r  .
2m
2m

(1.10)

Công thức (1.10) gọi là phương trình Gross-Pitaevskii không phụ thuộc 
vào thời gian. Chiều dài tán xạ  a xác định độ tương tác giữa các boson. Nếu 
a  0 biểu thị tương tác hút, nếu  a  0  biểu thị tương tác đẩy. Do đó ta có kết 

9 


luận cực tiểu hóa năng lượng E tương đương với cực tiểu hóa năng lượng tự 
do  F  E   N . 
1.2.2. Phương trình Gross-Pitaevskii.
Xét  hệ  ngưng  tụ  Bose-Einstein  một  thành  phần  được  diễn  tả  bởi  hàm 
Lagrangian  L  và hàm tác dụng  S  có dạng, 

S      dtL   dtdrL1.

(1.11)

Trong gần đúng trường trung bình hàm Lagrangian được viết như sau 

*
L1     i
    .
t
*

(1.12) 

Đại lượng   trong (1.12) gọi là mật độ Hamilton, nó có dạng 

2 * 2
g 4
   
    ,
2m
2

(1.13)


với      r , t  là hàm sóng của hệ ở trạng thái cơ bản; m là khối lượng của 

hạt,  g  là hằng số tương tác dương theo  as  được xác định bởi công thức 

g

4 2
as .

m

(1.14)

Thông qua việc cực tiểu hóa hàm tác dụng  S theo  *  

S
 0.
*

(1.15)

Phương trình Gross-Pitaevskii phụ thuộc vào thời gian thu được có dạng 

  2 2
2
i

  U  g   ,
t  2m


(1.16)

với U là thế năng tương tác ngoài. 
Bây giờ ta có thể viết hàm sóng dưới dạng 


(r , t )  y (r ).eit /  .                                                    (1.17) 
Thế (1.17) vào (1.16) ta có được công thức sau 

10 




2 2
3
 y  y  g y  0.
2m

(1.18) 

Khi các thành phần ngưng tụ được phân bố dọc theo phương Oz và có 
tính chất đối xứng tịnh tiến theo các phương Ox, Oy thì (1.18) sẽ được viết lại 

 2 d 2y
3

 y  g y  0.                              (1.19) 
2
2m dz
 
Đưa  phương  trình  (1.19)  về  dạng  không  thứ  nguyên  bằng  cách  đưa  ra 
một số đại lượng sau 


. 
2mgn0

-

Độ dài đặc trưng:          

-

Tọa độ:                          z /  .

(1.20) 

Hàm sóng rút gọn:          y / n0  với  n0 là mật độ khối của hạt. 
Từ đây, ta có 
-

       

dy dy d  1 dy


dz d  dz  d 

d 2y
1
1
d 2
 2  2  2 n0 2 .
dz


d

                                       (1.21) 

Thế (1.20) và (1.21) vào (1.19) ta thu được biểu thức sau 

      2 gn0

1



. n0
2

d 2
 gn0 n0   gn0 n0  3  0.  
2
d

Khi đó phương trình (1.19) dưới dạng không thứ nguyên có dạng 
 2     3  0.

(1.22) 



N  n0   2 d  ,                                             (1.23) 
0

Phương  trình  (1.22)  chính  là  phương  trình  Gross-Pitaevskii  không  phụ 

thuộc vào thời gian. 

11 


1.3. Phương pháp gần đúng parabol kép (Double parabola approximationDPA).
Xuất phát từ ngưng tụ Bose-Einstein một thành phần để tìm hiểu thế nào 
là  gần  đúng  parabol  kép?  Xét  BEC  một  thành  phần  chỉ  bị  giới  hạn  bởi  một 
tường  cứng  (optical  wall)  tại  đó  z  0.  Xét  thế  tương  tác  trong  công  thức 
(1.19) có dạng 
V   y 2 

g 4
y .                                (1.24) 
2

Đưa về dạng không thứ nguyên như (1.20), ta có 
g
       V   gn0 n0 . 2  n02  4
2
2
0

2

   V  gn ( 


Đặt 

4
2

)

 

V
4
2

(



).
gn02
2

V
 VGP ,  khi đó ta có
gn02
VGP   2 

4
2

(1.25) 

.

Các  tham  số  trật  tự   giảm  dần  từ  một  ở  gần  mặt  thoáng,  do  đó  trong  gần 
đúng bậc nhất ta có thể đặt 

  1  a,

(1.26) 

với a nhỏ và là số thực. 
Thế (1.26) vào (1.25) thu được 
1
VGP  (1  a)2  (1  a)4
2
1
       1  2a  a 2  1  4a  6a 2  4a3  a 4
2
1
1
         2a 2  2a3  a 4 .
2
2



12 




Khai triển VGP lấy đến gần đúng bậc hai ta có 

VDPA  2a 

1
1
 2(  1) 2  ,
2
2

(1.27) 

trong đó VDPA là thế gần đúng trong parabol kép.
0.4

V

0.2

0.0

0.2

0.4
1.5

1.0

0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

Hình 1.1: Thế tương tác theo tham số trật tự    
Trên hình 1.1 là đồ thị biểu diễn thế tương tác theo tham số trật tự   , với 
đường nét liền biểu diễn thế GP, đường nét đứt biểu diễn thế DPA. Vì  VGP có 
hai giá trị nhỏ nhất và khi thay vào phương trình Gross-Pitaevskii thì không 
thể giải trực tiếp. Vì vậy thế GP được thay thế bởi hai đường parabol ghép lại 
với nhau nên được gọi là gần đúng parabol kép. 

13 


KẾT LUẬN CHƯƠNG 1

Trong  chương  này,  chúng  tôi  đã  nêu  được  tổng  quan  về  nghiên  cứu  lý 
thuyết  và  thực  nghiệm  của  trạng  thái  ngưng  tụ  Bose-Einstein.  Đưa  ra  được 
phương trình Gross-Pitaevskii không phụ thuộc vào thời gian và phương trình 
Gross-Pitaevskii phụ thuộc vào thời gian, phép gần đúng parabol kép và trạng 
thái cơ bản trong gần đúng parabol kép. Sử dụng phần mềm Mathematical để 
vẽ đồ thị biểu diễn thế tương tác theo tham số trật tự   .

14 


CHƯƠNG 2

SỨC CĂNG MẶT NGOÀI CỦA NGƯNG TỤ BOSE-EINSTEIN MỘT
THÀNH PHẦN TRONG THỐNG KÊ CHÍNH TẮC
2.1. Các hệ thống kê.
2.1.1. Hệ hạt đồng nhất.
Khảo sát hệ gồm N hạt chuyển động phi tương đối tính. Khi đó phương 
trình viết cho toán tử Hamilton có dạng  
N
ˆ i2 ˆ  

ˆ
ˆ
H 
 V  r1 , r2 ,, rN   W,
2
m
i 1

(2.1)

ˆ  là toán tử biểu thị cho 
với  Vˆ  là toán tử thế năng tương tác giữa các hạt,  W

tương tác spin - quỹ đạo. 
Hàm sóng của phương trình Schrodinger có dạng 
 
ˆ
 i  H y 1, 2,, N , t   0,
 t


(2.2) 

trong đó toán tử Hamilton là hàm của tọa độ không gian, thời gian và spin. 
Tính không phân biệt được các hạt đồng nhất theo các trạng thái trong cơ 
học lượng tử dẫn tới nguyên lý về tính đồng nhất: Trong hệ các hạt đồng nhất
chỉ tồn tại những trạng thái không thay đổi khi đổi chỗ các hạt đồng nhất cho
nhau. 
Hệ hạt đồng nhất được chia thành hai nhóm dựa vào tính chất nội tại của 
nó: 
1 3 
+  Hệ  fermion:  gồm  các  hạt  fermi  có  spin  bán  nguyên   , ...  ;  ví  dụ  hạt 
2 2 

quark,  hạt  neutrino,…  Hệ  này  chịu  sự  chi  phối  của  nguyên  lý  cấm  Pauli: 
“không thể tồn tại hai hoặc nhiều hơn các hạt fermion giống nhau ở cùng một 
trạng thái lượng tử”.  

15 


+Hệ boson: gồm các hạt bose có spin nguyên; ví dụ photon,… Hệ này không 
chịu sự chi phối của nguyên lý cấm Pauli. 
Vì hệ boson tuân theo thống kê Bose-Einstein do đó các nhà khoa học đã 
vận dụng thống kê Bose-Einstein tìm ra các đặc trưng của boson là ngưng tụ 
Bose-Einstein trong đó nhiều hạt giống nhau có vai trò như nhau và như một 
hạt. 
2.1.2. Hệ vi chính tắc
Đối với hệ nằm trong trạng thái cân bằng nhiệt động, hàm phân bố thống 
kê là hàm chỉ của năng lượng [3]: 

  X   f H  X , a 

(2.3)

Đồng thời hàm phân bố phải thỏa mãn điều kiện chuẩn hóa 

   X  dX  1.

(2.4)

 x

Rõ ràng là, dạng cụ thể của hàm  f ( H )  phụ thuộc vào hệ vĩ mô (hệ nhiệt 
động), hoặc là theo quan điểm vĩ mô, thì nó phụ thuộc vào tính chất của mối 
liên hệ của hệ với các vật bên ngoài và vào phương pháp lựa chọn hệ. Thường 
có hai loại hệ là hệ đoạn nhiệt (hệ không tương tác với các vật bên ngoài) và 
hệ  đẳng  nhiệt  (hệ  có  nhiệt  độ  rất  cao  được  xác  định  và  cho  trước,  có  nhiệt 
dung rất lớn). 
Ta xét một hệ đoạn nhiệt với các thông số ngoại là hằng số. Đối với một 
hệ như vậy, hiển nhiên có 
H  X , a   E  const.

(2.5)

Hàm f  a   phải có dạng cực đại nhọn, bởi vì năng lượng của hệ phải có 
giá  trị  hoàn  toàn  xác  định  và  sẽ  không  thay  đổi  với  thời  gian.  Nói  khác  đi 
năng lượng của hệ không thể sai lệch một cách đáng kể với giá trị hoàn toàn 

16 

xác định  E , tức là 

E
 phải tiến đến 0. Như vậy, đối với hệ đoạn nhiệt ta có 
E

thể viết 

X  

1
  E  H  X , a .
  E, a 

(2.6)

Chú ý rằng không thể có một hệ thực nào có thể hoàn toàn cô lập, có một 
năng lượng triệt để không đổi, mà bao giờ bên trong hệ cũng luôn luôn có các 
thăng  giáng.  Với 

1
là  thừa  số  chuẩn  hóa  được  xác  định  từ  điều  kiện 
  E, a 

chuẩn hóa nghĩa là 
  E , a      E  H  X , a  dX .

(2.7)

x

Công thức (2.7) được gọi là phân bố vi chính tắc Gipxơ. Từ đó ta có thể 
tính được trị trung bình của các đại lượng vật lí bất kì đối với hệ cô lập đoạn 
nhiệt dựa vào công thức 
F  FX 
x

1
 E  H  X , a  dX ,
  E, a 

(2.8)

với đại lượng    E , a   có ý nghĩa hình học cụ thể. Ta hãy xét tích phân của 
  E , a   theo năng lượng lấy trong khoảng giới hạn từ giá trị cực tiểu khả hữu 
E0  của năng lượng của hệ tới giá trị  E :  
E

E

  E , a       , a d        H  X , a  d  dX .
E0

(2.9)

x E0

Do đó tính chất của hàm   , biểu thức dưới dấu tích phân trong (2.9) (tức 
là tích phân theo x) có trị số bằng 1 khi E0  H  X , a   E , và bằng không khi

H  X , a   E . 

Do đó 

17 


  E, a  

dX ,



(2.10)

H  X , a  E

tức là    E , a   chính là thể tích pha chứa đựng trong siêu diện năng lượng xác 
định bởi phương trình  H  X , a   E . Như vậy 

  , a  

  E , a 
.
E

(2.11)

Và do đó    E , a  dE  có nghĩa là thể tích pha của một lớp vô cùng mỏng bao 
gồm các siêu diện  H  X , a   E  và  H  X , a   E  dE  trong không gian pha. 

Để làm sáng tỏ ý nghĩa nhiệt động của đại lượng    E , a   ta xét vi phân 
của 

  : 

d  ln   

1  
 
dE 
da  .  

  E
a 

Theo (2.9) 
  E , a 

E
 H  X , a  E 

E0




H
X
,
a

d



E

H
X
,
a






 0
 dX  
( x)  a E  

a
0


H  X , a 
E
  E0  H  X , a  dX  0   E0 , a .
a
a
 x



Hiển  nhiên  là    0  khi  E  E0 theo  (2.9),  nghĩa  là      E0 , a   0  từ  đó 
  E0 , a 
 0 , và tận dụng khái niệm về trị trung bình (2.8), ta được 
E0


 H
  
a
 a


  A,


18 

(2.12)