Câu 1:
(ĐỀ THI THAM KHẢO BỘ GD & ĐT NĂM 2018) Tổng giá trị tất cả các
nghiệm của phương trình log 3 x.log 9 x.log 27 x.log81 x
A.
82
9
B.
80
9
2
bằng
3
C. 9
D. 0
Đáp án A
Điều kiện: x 0. Ta có
log 3 x.log 9 x.log 27 x.log81 x
2
1
1
1
2
log 3 x. log 3 x . log 3 x . log 3 x
3
2
3
4
3
x 9
log 3 x 2
1
2
82
4
4
log 3 x log 3 x 16
S x1 x 2
1
x
24
3
9
log 3 x 2
9
Câu 2
(ĐỀ THI THAM KHẢO BỘ GD & ĐT NĂM 2018) Với a là số thực dương bất
kì,mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. log 3a 3log a
1
B. log a 3 log a
3
C. log a 3 3log a
1
D. log 3a log a
3
Đáp án C
Ta có log 3a log 3 log a , log a 3 3log a.
Câu 3 (ĐỀ THI THAM KHẢO BỘ GD & ĐT NĂM 2018)Có bao nhiêu giá trị nguyên
dương của tham số m để phương trình 16 x 2.12 x m 2 .9 x 0 có nghiệm dương?
A. 1
B. 2
C. 4
Đáp án B
2x
x
4
4
Ta có PT 2 m 2 0
3
3
x
4
Đặt t 0 t 2 2t m 2 0 t 2 2t 2 m
3
Khi đó PT có nghiệm dương PT có nghiệm lớn hơn 1.
Xét hàm số g t t 2 2t 2 t 0 và đường thẳng y m
D. 3
Dựa vào đồ thị ta thấy PT có nghiệm lớn hơn 1 m 3 m 3
Vậy có 2 giá trị nguyên dương của m là m 1; m 2 thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 4 (ĐỀ THI THAM KHẢO BỘ GD & ĐT NĂM 2018): Cho dãy số u n thỏa mãn
log u1 2 log u1 2 log u10 2 log u10 và u n 1 2u n với mọi n 1. Giá trị nhỏ nhất của n
để u n 5100 bằng
A. 247
B. 248
C. 229
D. 290
Đáp án B
Đặt t 2 log u1 2 log u10 0 log u1 2 log u10 t 2 2, khi đó giả thiết trở thành:
t 1
log u1 2 log u10 2 log u1 2 log u10 0 t 2 t 2 0
.
t 2
log u1 2 log u10 1 log u1 1 2 log u10 log 10u1 log u10 10u1 u10
2
Từ 1 , 2 suy ra 10u1 29 u1 218 u 21 10u1 u1
2
Do đó u n 5100
10
2n.10
n 1 10
u
2
.
.
n
218
218
219
5100.219
2n.10 100
5
n
log
log 2 10 100 log 2 5 19 247,87.
2
219
10
Vậy giá trị n nhỏ nhất thỏa mãn là n 248.
Câu 5 (ĐỀ THI THỬ 2018)Tập giá trị của m thỏa mãn bất phương trình
2.9 x 3.6 x
2 x là ;a b;c . Khi đó a b c bằng
6x 4x
A. 3.
Đáp án D
2
B. 1
C. 2
D. 0
1 .
2.9 x 3.6 x
2.9 x 5.6 x 2.4 x
Điều kiện: x 0 . Ta có
2
0
6x 4x
6x 4x
Chia cả tử và mẫu của vế trái cho 4 x 0 , bất phương trình tương đương với
2x
x
3
3
2. 5 2
x
3
2
2
0 . Đặt t , t 0 bất phương trình trở thành
x
2
3
1
2
1
x
2t 2 5t 2
0
2
t 1
1 t 2
x
Với t
1
1
1
3
ta có x log 3 x log 3 2
2
2
2
2 2
2
x
3
Với 1 t 2 ta có 1 2 0 x log 3 2
2
2
Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là S ; log 3 2 0;log 3 2
2
2
Câu 6
(ĐỀ THI THỬ 2018) Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để phương trình sau
2
có đúng 3 nghiệm thực phân biệt 9 x 2.3x
A. m
10
3
B. 2 m
10
3
2
1
3m 1 0
C. m 2
D. m 2
Đáp án C
Đặt t 3x , t 1 pt t 2 6t 3m 1 0 * . Đặt f t t 2 6t 3m 1
2
3x 2 a
x 2 log 3 a
2
Giả sử phương trình f t có 2 nghiệm là a và b thì 2
3x b
x log 3 b
Vậy ta có nhận xét rằng để
log a 0
a 0
(*) có 3 nghiệm thì 3
b 1
log 3 b 0
Khi đó f 1 1 6 3m 1 0 m 2
t 1
Với m 2 f t t 2 6t 5 0
tm
t 5 0
Câu 7 (ĐỀ THI THỬ 2018)Cho a log 4 3, b log 25 2 . Hãy tính log 60 150 theo a, b
1 2 2b ab
A. log 60 150 .
2 1 4b 2ab
B. log 60 150
1 b 2ab
1 4b 4ab
1 1 b 2ab
C. log 60 150 .
4 1 4b 2ab
D. log 60 150 4.
1 b 2ab
1 4b 4ab
Đáp án B
Ta có b log 25 2 log 52 2 2b log 5 2 4b log 5 4 log 4 5
1
4b
Khi đó
1
1
1
2
a
log 4 3 2.log 4 5
1
1 log 4 2.3.5 1 2
1 2
2b 1 b 2ab
150 .log 60 150 .
.
.
2
2 log 4 4.3.4 2 1 log 4 3 log 4 5 2 1 a 1
1 4b 4ab
4b
log 60
Câu 8
(TOÁN HỌC VÀ TUỔI TRẺ 2018)Với hai số thực dương a, b tùy ý và
log 3 5log 5 a
log 6 b 2 . Khẳng định nào là khẳng định đúng?
1 log 3 2
A. a b log 6 2
B. a 36b
D. a b log 6 3
C. 2a 3b 0
Đáp án B
Ta có
log 3 5log 5 a
log 3 a
log 6 b 2
log 6 b 2 log 6 a log 6 b 2
1 log 3 2
log 3 6
log 6
a
a
2 36 a 36b
b
b
Câu 9 (TOÁN HỌC VÀ TUỔI TRẺ 2018)Gọi x, y là các số thực dương thỏa mãn điều
kiện log 9 x log 6 y log 4 x y và
x a b
, với a, b là hai số nguyên dương. Tính
y
2
ab
A. a b 6
B. a b 11
C. a b 4
D. a b 8
Đáp án A
Đặt log 9 x t
1
2
3
x 9t
t
y ' 6
log 9 x log 6 y t
x y 4t
Theo đề ra ta có
log 9 x log 4 x y t
t
x 3
y 2
Từ
(1),
(2) và
(3) ta có 9 6 4 3
t
t
t
t 2
4
2t
t
3
3
3.2 4 0 1 0
2
2
t
t
3 t
1 5
TM
2
2
3 t 1 5
L
2
2
t
Thế vào
x 3 1 5 a b
(4) ta được
a 1; b 5
y 2
2
2
Câu 10 (TOÁN HỌC VÀ TUỔI TRẺ 2018)Tìm các giá trị thực của tham số m để bất
phương trình log 0,02 log 2 3x 1 log 0,02 m có nghiệm với mọi x ;0
B. m 2
A. m 9
D. m 1
C. 0 m 1
Đáp án D
TXĐ: D
ĐK tham số m: m 0
Ta có log 0,02 log 2 3x 1 log 0,02 m log 2 3x 1 m
Xét hàm số f x log 2 3x 1 , x ;0 có f '
3x.ln 3
0, x ;0
3x 1 ln 2
Bảng biến thiên f x :
x
0
+
f'
f
1
0
Khi đó với yêu cầu bài toán thì m 1
Câu 11:
(TOÁN HỌC VÀ TUỔI TRẺ 2018) Biết x1 , x 2 , là hai nghiệm của phương trình
4x 2 4x 1
1
2
log 7
4x 1 6x và x1 2x 2 a b với a, b là hai số nguyên dương.
4
2x
Tính a b
A. a b 16
Đáp án C
x 0
Điều kiện
1
x 2
B. a b 11
C. a b 14
D. a b 13
2x 12
4x 2 4x 1
2
Ta có log 7
4x
1
6x
log
4x 2 4x 1 2x
7
2x
2x
log 7 2x 1 2x 1 log 7 2x 2x
2
2
Xét hàm số f t log 7 t t f ' t
1
1
1 0 với t 0
t ln 7
Vậy hàm số đồng biến
Phương trình
(1) có dạng f
2x t
2
3 5
x
2
4
f 2x 2x 1 2x
3 5
x
4
9 5
l
4
a 9;b 5 a b 9 5 14
Vậy x1 2x 2
9 5
tm
4
Cách 2: Bấm Casio
Câu 12
(Toán Học Tuổi Trẻ) Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn
2
2
2
a log2 5 4, b log4 6 16, c log7 3 49 . Tính giá trị của T a log2 5 b log4 6 c log7 3 .
B. T 5 2 3 .
A. T 126.
D. T 3 2 3 .
C. T 88 .
Đáp án C
T a log2 5
log 2 5
b log4 6
og 4 6
3 c log7 3
log 7 3
4log2 5 16log4 6 3.49log7 3 52 62 32 88.
Câu 13 (Toán Học Tuổi Trẻ)Trong các khẳng định dưới đây, khẳng định nào sai?
A. Với mọi a b 1 , ta có a b b a .
B. Với mọi a b 1 , ta có log a b log b a .
C. Với mọi a b 1 , ta có a a b bb a .
D. Với mọi a b 1 , ta có log a
ab
1.
2
Đáp án A
Khẳng định: với mọi a b 1 , ta có a b b a là sai ví dụ ta thử a 31, b 3 thì sẽ thấy.
Câu 14:
.
(Toán Học Tuổi Trẻ) Cho phương trình: 8 x 1 8 0,5 3.2 x 3 125 24. 0,5
3x
x
Khi đặt t 2 x
1
, phương trình đã cho trở thành phương trình nào dưới đây?
2x
A. 8t 3 3t 12 0.
B. 8t 3 3t 2 t 10 0.
C. 8t 3 125 0.
D. 8t 3 t 36 0.
Đáp án C
1
Phương trình đã cho viết lại: 8 8 x x
8
x 1
24 2 x 125 0 .
2
3
1
1
1
Đặt t 2 x t 3 2 x x 8 x x 3t
2
2
8
x
Từ đó cho ta 8t 3 125 0
Câu 15:
(Toán Học Tuổi Trẻ) Tập nghiệm của bất phương trình
2.7 x 2 7.2 x 2 351. 14 x có dạng là đoạn S a; b . Giá trị b 2a thuộc khoảng nào dưới
đây?
A. 3; 10
B. 4; 2
C.
7; 4 10
2 49
D. ;
9 5
Đáp án C
x
2
2
BPT đã cho tương đương với 98 28 351
7
7
x
x
2
Đặt t , t 0 thì bất phương trình trên trở thành
7
2
28t 2 351t 98 0
Từ đó b 2a 2 2 4 10
Câu 16
3
4
7; 4 10 .
(Toán Học Tuổi Trẻ) Cho các số thực a,b thỏa mãn
(
)
a > a 7 , log b 2 a + 1 < log b
14
x
2
49
2 2 2
t
4 x 2.
7
4
7 7 7
4
(
A. a > 1, b > 1 B. 0 < a < 1 < b
Đáp án C
)
a + a + 2 . Khẳng định nào sau đây là đúng?
C. 0 < b < 1 < a
D. 0 < a < 1, 0 < b < 1
Vì 3 a14 > 4 a 7 nên a > 1. Với a > 1 thì 2 a + 1 > a + a + 2 Û a + 1 > a 2 + 2a Û 1 > 0
( luôn đúng )
(
)
Mặt khác log b 2 a + 1 < log b
Câu 17:
(
)
a + a + 1 nên 0 < b < 1
(Toán Học Tuổi Trẻ) Từ phương trình:
(3 + 2 2 ) - 2(
x
Đặt t =
(
)
)
x
2 -1 = 3
x
2 -1 ta thu được phương trình nào sau đây
A. t 3 - 3t - 2 = 0
B. 2t 3 + 3t -1 = 0
C. 2t 3 + 3t -1 = 0
D. 2t 3 + 3t -1 = 0
Đáp án A
Câu 18: (Toán Học Tuổi Trẻ) Tìm tất cả các giá trị của m , để phương trình 812 xcó nghiệm
A. m ³
1
3
B. m ³ 0
C. m ³ 1
D. m ³ -
x
=m
1
8
Đáp án C
Câu 19: (Toán Học Tuổi Trẻ) Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên không dương của
m để phương trình log 1 ( x + m) + log 5 (2 - x ) = 0 có nghiệm. Tập S có bao nhiêu tập con?
5
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
Đáp án D
Tập S = {-1;0} có 4 tập con
Câu 20:
(Toán Học Tuổi Trẻ) Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số
ép ö
y = 8cot x + (m - 3).2cot x + 3m - 2 đồng biến trên ê ; p÷÷÷
êë 4 ø
A. -9 £ m < 3
B. m £ 3
C. m £ -9
D. m < -9
Đáp án C
ép ö
Đặt t = 2cot x thì t = t ( x) = 2cot x nghịch biến trên ê ; p÷÷÷ và tập giá trị của t là (0; 2]
êë 4 ø
Bài toán trở thành tìm m để hàm số f (t ) = t 3 + (m - 3) t + 3m - 2, t Î (0; 2]
Câu 21 (Toán Học Tuổi Trẻ)Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn
a
log 4 a log 6 b log9 (a b) . Tính
b
A.
1
2
B.
1 5
2
C.
1 5
2
D.
1 5
2
Đáp án B
Đặt log 4 a log 6 b log9 (a b) t
a 4t
4t 6t 9t (*)
b 6t
a 2 t
t
b 3
a b 9
Vì 9 0, t nên chia hai vế phương trình
t
2t
t
2
2
(*) cho 9 ta có: 1 0
3
3
t
2 t 1 5
2
a 1 5
3
t
b
2
2 1 5 (loai )
3
2
Câu 22 (Toán Học Tuổi Trẻ): Bất phương trình 2
x 2 3 x 4
1
2
2 x 10
có bao nhiêu nghiệm
nguyên dương?
A. 2
B. 4
C. 6
D. 3
Đáp án D
Bất phương trình: 2 x
2x
2
3 x 4
2
3 x 4
1
2
2 x 10
22 x 10
x 2 3 x 4 2 x 10 vì 2 1
x2 x 6 0
2 x 3
Vậy
Câu 23 (Toán Học Tuổi Trẻ)Số nghiệm của phương trình log3 ( x 2 6) log3 ( x 2) 1 là
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
bất phương trình có 3 nghiệm nguyên dương
Đáp án B
TXĐ: D
6;
Phương trình: log3 ( x 2 6) log3 ( x 2) 1
log3 ( x 2 6) log3 (3 x 6)
x 2 3x 0
x 0 D
x 3 D
Vậy phương trình có một nghiệm duy nhất.
Câu 24
(Toán Học Tuổi Trẻ) Cho log a x 2, log b x 3 với a, b là các số thực lớn hơn 1.
Tính P log a x
b2
B. 6
A. 6
C.
1
6
D.
Đáp án B.
Ta có: log a x 2 a x ;log b x 3 b 3 x
Thay vào biểu thức, ta được:
log a x log
b
2
x
3
x 6
x2
Câu 25 (Toán Học Tuổi Trẻ)Tìm tập nghiệm S của bất phương trình:
x
log 2
2
2 log 2 x 1
log 2 x log 2 x 1
1
A. 0; 1, 2 2;
2
1
C. 0; 2;
2
Đáp án A.
1
B. 0; 1, 2
2
1
D. 0; 1;
2
1
6
Điều kiện: x 0; \ 1; 2 (*).
x
2
2 log 2 x 1 log 2 x 1 2 log 2 x 1.
log 2 x log 2 x 1
log 2 x
log 2 x 1
log 2
Đặt t log 2 x
t 1 2t
1
1 t ; 1 0; 1;
t
t 1
2
1
1
x ; 1; 2 2; . Kết hợp điều kiện (*) x 0; 1; 2 2; .
2
2
Câu 26:
(Toán Học Tuổi Trẻ) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình
log x 3log 3 x 2m 7 0 có hai nghiệm thực x1 , x2 thỏa mãn: x1 3 x2 3 72
2
3
A. m
61
2
B. m 3
C. Không tồn tại
D. m
9
2
Đáp án D.
x1 3t1
. Ta có:
Đặt t log 3 x
t2
x
3
2
t1 t2 3
t1.t2 2m 7
Ta có: x1 3 x2 3 72 3t1 t2 3 3t1 3t2 9 72
3t1 3t2 12
Thế t2 3 t1 vào
(1)
(1) ta có:
3t1 33t1 12 32t1 12.3t1 27 0
3t1 3
t 1
t
1
1
t1 2
3 9
9
9
t1.t2 2 2m 7 2 m . Thử lại ta thấy m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
2
2
Câu 27:
log
P
3
(Toán Học Tuổi Trẻ) Xét các số thực dương x, y thỏa mãn
x y
x x 3 y y 3 xy. Tìm giá trị lớn nhất Pmax của
x y 2 xy 2
2
3x 2 y 1
x y6
A. 3
B. 2
C. 1
D. 4
Đáp án C.
Ta có: log
log
3
3
x y
x x 3 y y 3 xy
x y 2 xy 2
2
3x 3 y 3x 3 y log
3
x
2
Xét hàm số f t log 3 t t có f t
y 2 xy 2 x 2 y 2 xy 2
1
1 0 với mọi t 0. Từ đó ta có
t ln 3
f 3 x 3 y f x 2 y 2 xy 2
3 x 3 y x 2 y 2 xy 2
Khi đó P
3x 2 y 1
có giá trị lớn nhất là 1.
x y6
(Toán Học Tuổi Trẻ) Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của m sao cho 10m
Câu 28:
và phương trình: 2 log mx 5 2 x 2 5 x 4 log
mx 5
x
2
2 x 6 có nghiệm duy nhất. Tìm số
phần tử của S
A. 15
B. 14
C. 13
D. 16
Đáp án A.
Phương trình tương đương với:
log
mx 5
2x
2
5 x 4 log
mx 5
x
2
2x 6
0 mx 5 1
0 mx 5 1
2
2 x 5 x 4 0
x 2
2 x 2 5 x 4 x 2 2 x 6
x 5
kx
0 10 5 1
Đặt 10m k , ta có:
. Để phương trình có nghiệm duy nhất thì có 2 trường
x2
x 5
hợp sau:
2k
10 5 0
2k
5 1 k 11;13;14;...; 25;30
10
5k
5 1
0
10
5k
10 5 0
5k
5 1
(vô nghiệm)
10
2k
5 1
0
10
Vậy có tất cả 15 số nguyen k tương ứng với 15 giá trị của m.