CHUYÊN ĐỀ VECTO CHO TOÁN HỌC VÀ ỨNG DỤNG

1
Vec tơ và các phép toán

CHƯƠNG I
VECTƠ
I. VECTƠ
1. Các định nghĩa

uuu
r
 Vectơ là một đoạn thẳng có hướng. Kí hiệu vectơ có điểm đầu A, điểm cuối B là AB .
 Giá của vectơ là đường thẳng chứa vectơ đó.
uuu
r
AB
 Độ dài của vectơ là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ, kí hiệu
.
r
 Vectơ – không là vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau, kí hiệu 0 .
 Hai vectơ đgl cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau.
 Hai vectơ cùng phương có thể cùng hướng hoặc ngược hướng.
 Hai vectơ đgl bằng nhau nếu chúng cùng hướng và có cùng độ dài.
r r
a
Chú ý: + Ta còn sử dụng kí hiệu , b,... để biểu diễn vectơ.
r
+ Qui ước: Vectơ 0 cùng phương, cùng hướng với mọi vectơ.
r
Mọi vectơ 0 đều bằng nhau.
2. Các phép toán trên vectơ
a) Tổng của hai vectơ

uuu
r uuu
r uuur
AB

BC
 AC .
 Qui tắc ba điểm: Với ba điểm A, B, C tuỳ ý, ta có:
uuu
r uuur uuur
 Qui tắc hình bình hành: Với ABCD là hình bình hành, ta có: AB  AD  AC .
r r r r  r r
r r r r
r r r

a

b

c

a

b

c
a

b


b

a
a
 0 a
 Tính chất:
;
;
b) Hiệu của hai vectơ
r
r
r r r
r
r
 Vectơ đối của a là vectơ b sao cho a  b  0 . Kí hiệu vectơ đối của a là  a .
r
r
 Vectơ đối của 0 là 0 .
r r r  r
a
  b  a  b .
uuu
r uuu
r uuu
r
OB

OA

AB

 Qui tắc ba điểm: Với ba điểm O, A, B tuỳ ý, ta có:
.
c) Tích của một vectơ với một số
r
r
 Cho vectơ a và số k  R. ka là một vectơ được xác định như sau:
r
r
r
r
+ ka cùng hướng với a nếu k  0, ka ngược hướng với a nếu k < 0.
r
r
+ ka  k . a .
r
r
r r
r
r
r r
r

k  la  (kl )a
k
a

b

ka


kb
 Tính chất:
; (k  l )a  ka  la ;
r r
r r
ka  0  k = 0 hoặc a  0 .
r r r
r
r
r


a
va�
b
a
�
0
cu�
n
g
ph�
�
ng
�

k
�
R
:

b
 ka
 Điều kiện để hai vectơ cùng phương:
uuu
r
uuur
AB

kAC
 Điều kiện ba điểm thẳng hàng:
A, B, C thẳng hàng  k  0:
.
 Biểu thị một vectơ theo hai vectơ không cùng phương: Cho hai vectơ không cùng
r
r r
r
r
r
a
,
b
x
x

m
a

nb
phương
và tuỳ ý. Khi đó ! m, n  R:

.
Chú ý:
 Hệ thức trung điểm đoạn thẳng:

uuu
r uuu
r
uuur
uuur uuur r
M là trung điểm của đoạn thẳng AB  MA  MB  0  OA  OB  2OM (O tuỳ ý).

Gv: Phạm Thị Nhung

Năm học: 2013-2014


2
Vectơ và các phép toán
 Hệ thức trọng tâm tam giác:
uuu
r uuu
r uuur r
uuu
r uuu
r uuur
uuur
G là trọng tâm ABC  GA  GB  GC  0  OA  OB  OC  3OG (O tuỳ ý).

VẤN ĐỀ 1: Khái niệm vectơ
r

Baøi 1.Cho tứ giác ABCD. Có thể xác định được bao nhiêu vectơ (khác 0 ) có điểm đầu và
điểm cuối là các điểm A, B, C, D ?
Baøi 2.Cho tứ giác ABCD.uuGọi
ur M,
uuurN, P,
uuuQr lầnuulượt
ur là trung điểm của các cạnh AB, CD, AD,
BC. Chứng minh: MP  QN ; MQ  PN .

Baøi 3.Cho hình bình hành ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo. Chứng minh:
uuur uur uuur
uuu
r uuur
AC

BA

AD
;
AB
 AD  AC .
a)
uuu
r uuur uuu
r uuur
b) Nếu AB  AD  CB  CD thì ABCD là hình chữ nhật.
uuu
r uuur uuur
HA
, HB, HC .

Baøi 4..Cho ABC đều cạnh a, trực tâm H. Tính độ dài của các vectơ
r uuur
uuu
r uuur uuu
AB
 AC ,
AB

AD
Baøi 5.Cho
,
uuu
r hình
uuur vuông ABCD cạnh a, tâm O. Tính độ dài của các vectơ
AB  AD .
VẤN ĐỀ 2: Chứng minh đẳng thức vectơ – Phân tích vectơ
Để chứng minh một đẳng thức vectơ hoặc phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng
phương, ta thường sử dụng:
– Qui tắc ba điểm để phân tích các vectơ.
– Các hệ thức thường dùng như: hệ thức trung điểm, hệ thức trọng tâm tam giác.
– Tính chất của các hình.
Baøi 1.Cho
C,
uuu
r 6uuđiểm
ur uA,
uur B,uu
u
r D, E, F. Chứng minh:
uuur uuu

r uuu
r uuu
r uuu
r uuur
AB

DC

AC

DB
AD

BE

CF

AE

BF
 CD .
a)
b)
Baøi 2.Cho 4 điểm A, B, C, D. Gọi I, J lần lượt là
của
AB
CD.
uuutrung
r uuurđiểm
uuu

r u
uu
r và u
u
r Chứng minh:
uuu
r uuur
uuur uuur
 BD  AD  BC  2I J .
a) Nếu AB  CD thì AC  BD
b) AC
uuu
r uuu
r uuur uuur r
GA

GB
 GC  GD  0 .
c) Gọi G là trung điểm của IJ. Chứng minh:
d) Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của AC và BD; M, N lần lượt là trung điểm của AD và
BC . Chứng minh các đoạn thẳng IJ, PQ, MN có chung trung điểm.
Baøi 3.Cho
C,
uuu
r4 điểm
uur A,
uurB, u
uu
rD. Gọi
uuu

rI, J lần lượt là trung điểm của BC và CD. Chứng minh:
2( AB  AI  J A  DA)  3DB .
Baøi 4.Cho tam giác ABC,
uu
r ucó
ur AM
uur làrtrung tuyến. I là trung điểm của AM.
a) Chứng minh: 2IA  IB  IC  0 . uuu
r uuu
r uuur
uur
2
OA

OB

OC

4
OI
b) Với điểm O bất kỳ, chứng minh:
.
Baøi 5.Cho hai tam giác ABC và ABC lần lượt có các trọng tâm là G và G.
uuur uuur uuuu
r
uuuu
r
�
�
�

a) Chứng minh AA  BB  CC  3GG�
.
b) Từ đó suy ra điều kiện cần và đủ để hai tam giác có cùng trọng tâm.
Baøi 6.Cho tam giác ABC. Gọi M là điểm trên cạnh BC sao cho MB = 2MC. Chứng minh:
uuur 1 uuu
r 2 uuur
AM  AB  AC
3
3
.
Gv: Phạm Thị Nhung
Năm học: 2013-2014


3
Vec tơ và các phép toán
Baøi 7.Cho tam giác ABC.uuGọi
ur Muulà
u
r trung điểm của AB, D là trung điểm của BC, N là điểm
thuộc AC sao cho CN  2NA . K là trung điểm của MN. Chứng minh:
uuur 1 uuu
r 1 uuur
uuur 1 uuu
r 1 uuur
AK  AB  AC
KD  AB  AC
4
6
4

3
a)
b)
.
Baøi 8.Cho hình thang OABC. M, N lần lượt là trung điểm của OB và OC. Chứng minh rằng:
uuur 1 uuu
r uuu
r
uuur 1 uuur uuu
r
uuuu
r 1 uuur uuu
r
AM  OB  OA
BN  OC  OB
MN   OC  OB
2
2
2
a)
b) uuu
c)
.
r r uuur r
Baøi 9.Cho hình bình hành ABCD, đặt AB  a, AD  b .uGọi
Iurlà trung điểm của CD, G là
ur uu
r r
trọng tâm của tam giác BCI. Phân tích các vectơ BI , AG theo a, b .
Baøi 10.

Cho tam giác ABC. Gọi I là điểm trên cạnh BC sao cho 2CI=3BI. Gọi F là
điểm trên
dài
uurcạnh
uuu
r BC kéo u
uu
r sao
uuurcho 5FB=2FC.
a, Tính AI , AF theo AB , AC
uuur
uur
uuur
AG
AI
b, Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Tính
theo
và AF
Baøi 11.
Cho ABC có trọng tâm G. Gọi H là điểm đối xứng của G qua B.
uuu
r uuur uuur r
HA
 5HB  HC  0 .
a) Chứng
uuurminh:
uuu
r uuur
r
r uuur r

r
b.
b) Đặt AG  a, AH  b . Tính AB, AC theo a va�
VẤN ĐỀ 3: Xác định một điểm thoả mãn đẳng thức vectơ
Để xác định một điểm M ta cần phải chỉ rõ vị trí củauuđiểm
ur rđó đối với hình vẽ.r Thông
thường ta biến đổi đẳng thức vectơ đã cho về dạng OM  a , trong đó O và a đã được
xác định. Ta thường sử dụng các tính chất về:
– Điểm chia đoạn thẳng theo tỉ số k.
– Hình bình hành.
– Trung điểm của đoạn thẳng.
– Trọng tâm tam giác, …
uuur uuur uuur r
Baøi 1. Cho ABC . Hãy xác định điểm M thoả mãn điều kiện: MA  MB  MC  0.
Baøi 2. Cho đoạn thẳng AB có trung điểm I . M là điểm tuỳ ý không nằm trên đường thẳng
AB . Trên MIukéo
uur dài,
uur lấyuu1urđiểm N sao cho IN = MI.
a) Chứng minh: BN  BA  MBu.uu
r uur uuur uuur uuur uuur
NA
 NI  ND ; NM  BN  NC .
b) Tìm các điểm D, C sao cho:
Baøi 3. Cho hình bình hành
uuu
rABCD.
uuur uuur
uuur
AB


AC

AD

2
AC .
a) Chứng minh rằng:
uuur uuu
r uuur uuur
b) Xác định điểm M thoả mãn điều kiện: 3AM  AB  AC  AD .
Baøi 4.Cho tứ giác ABCD . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD, BC.
uuuu
r 1 uuu
r uuur
MN  (AB  DC)
2
a) Chứng minh:
uuu
r uu.u
r uuur uuur r
OA

OB
 OC  OD  0.
b) Xác định điểm O sao cho:
Baøi 5.Cho ABC. Hãy xác định các điểm I, J, K, L thoả các đẳng thức sau:
uur uur r
uur uur uur uur
2
IB  3IC  0

2J A  J C  J B  CA
a) uu
b)
u
r uuu
r uuur
uuu
r
uur uur uuu
r r
KA

KB

KC

2
BC
3
LA

LB

2
LC
 0. .
c)
d)

Gv: Phạm Thị Nhung

Năm học: 2013-2014


4
Vectơ và các phép toán
Baøi 6. Cho hình bình hành ABCD có tâm O. Hãy xác định các điểm I, F, K thoả các đẳng
uthức
u
r usau:
ur uur
uur
uur uuu
r
uuu
r uuur
IA

IB

IC

4
ID
2
FA

2
FB


3
FC
 FD
a) uuu
b)
r uuu
r uuur uuur r
c) 4KA  3KB  2KC  KD  0 .
VẤN ĐỀ 4: Chứng minh ba điểm thẳng hàng – Hai điểm trùng nhau
 Để chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng ta chứng minh ba điểm đó thoả mãn đẳng
uuu
r
uuur
AB

kAC
thức
, với k  0.
 Để chứng minh hai điểm M, N trùng nhau ta chứng minh chúng thoả mãn đẳng thức
uuur uuur
uuuu
r r
OM  ON , với O là một điểm nào đó hoặc MN  0 .
uuu
r uuu
r uuur r
OA

2
OB

 3OC  0 . Chứng tỏ rằng A, B, C thẳng
Baøi 1.Cho bốn điểm O, A, B, C sao cho :
hàng.
uur
uur
uu
r
uur J C   1 J A
2
Baøi 2.Cho ABC với I, J, K lần lượt được xác định bởi: IB  2IC ,
,
uuu
r
uuu
r
KA   KB .
uu
r uur
uuu
r
uuur
IJ
,
IK
theo
AB
va�
AC .
a) Tính
b) Chứng minh ba điểm I, J, K thẳng hàng (HD: J là trọng tâm AIB)

Bài 3. Cho
thẳng BC, AC, AB lần lượt lấy các điểm M, N, P
uuurtam giác
uuur ABC.
uuu
r Trên
uuurcácuuđường
r uuu
r r
MC NA  3CN , PA  PB  0 .
sao cho MBuuu3
r uuur,
uuu
r uuur
PM
,
PN
AB
, AC .
a) Tính
theo
b) Chứng minh ba điểm M, N, P thẳng hàng.
Bài 4. Cho hình bình hành ABCD. Trên BC lấy điểm H, trên BD lấy điểm K sao cho:
uuur 1 uuu
r uuur 1 uuur
BH  BC , BK  BD
5
6
. Chứng minh: A, K, H thẳng hàng.
Bài 5. Cho hình bình hành ABCD. Trên các tia AD, AB lần lượt lấy các điểm F, E sao cho AD

1
1
= 2 AF, AB = 2 AE. Chứng minh:
a) Ba điểm F, C, E thẳng hàng.
b) Các tứ giác BDFC, DBEC là hình bình hành.
uu
r uur r uur uur uuu
r r
IA

3
IC

0
JA

2
JB

3
JC
0
Bài 6. Cho tam giác ABC. Hai điểm I,J được xác định bởi
,

.Chứng minh ba điểm I,J,B thẳng hàng
Bài 7. Cho tam giác ABC, A là điểm đối xứng của A qua B, B là điểm đối xứng của B qua C,
C là điểm đối xứng của C qua A. Chứng minh các tam giác ABC và ABC có chung trọng
tâm.
uuur uuur r uuur uuur r

2
B  3A�
C  0 , 2B�
C  3B�
A  0,
Bài 8. Cho ABC. Gọi A, B, C là các điểm định bởi: A�
uuur uuur r
2C�
A  3C�
B  0 . Chứng minh các tam giác ABC và ABC có cùng trọng tâm.
Bài 9. Trên các cạnh AB, BC, CA của ABC lấy các điểm A, B, C sao cho:
AA� BB� CC�


AB BC AC
Chứng minh các tam giác ABC và ABC có chung trọng tâm.
VẤN ĐỀ 5: Tập hợp điểm thoả mãn đẳng thức vectơ
Gv: Phạm Thị Nhung

Năm học: 2013-2014


5
Vec tơ và các phép toán
Để tìm tập hợp điểm M thoả mãn một đẳng thức vectơ ta biến đổi đẳng thức vectơ đó để
đưa về các tập hợp điểm cơ bản đã biết. Chẳng hạn:
– Tập hợp các điểm cách đều hai đầu mút của một đoạn thẳng là đường trung trực của
đoạn thẳng đó.
– Tập hợp các điểm cách một điểm cố định một khoảng không đổi đường tròn có tâm là
điểm cố định và bán kính là khoảng không đổi.

Baøi 1.Cho 2 điểm cố định A, B. Tìm tập hợp các điểm M sao cho:
uuur uuur uuur 3 uuur uuur
uuur uuur uuur uuur
MA  MB  MC  MB  MC
2
a) MA  MB  MA  MB
b)
uuur uuu
r uuur uuur
c, . MA  BC  MA  MB
Baøi 2.Cho ABC.

uu
r uu
r uur r
a) Xác định điểm I sao cho: 3IA  2IB  IC  0 .
uuu
r uuu
r uuur uuu
r uuu
r
3
HA

2
HB

HC

HA


HB
b) Tìm tập hợp các điểm H sao cho:
.

uuu
r uuu
r uuur
uuu
r uuur
2
KA

KB

KC

3
KB
 KC
c) Tìm tập hợp các điểm K sao cho:
Baøi 3.Cho ABC.
uu
r uu
r uur r
3IB  2IC  0 .
a) Xác định điểm I sao cho: IAuuu
r uuur r
3
DB

 2DC  0.
b) Xác định điểm D sao cho:
c) Chứng minh 3 điểm A, I, D thẳng hàng.
uuur uuur uuur
uuur uuur uuur
MA

3
MB

2
MC

2
MA  MB  MC .
d) Tìm tập hợp các điểm M sao cho:

II. TOẠ ĐỘ
1. Trục toạ độ
 Trục toạ độ (trục) là một đường thẳng trên đó đã xác định một điểm gốc O và một vectơ
r
r
O
;
e

.
e
đơn vị . Kí hiệu
r

r
r
u  (a) � u  ae
. .
 Toạ độ của vectơ trên trục:
uuur
r
M
(
k
)
�
OM
 k.e .
 Toạ độ của điểm trên trục:
uuu
r
r
AB

a
�
AB
 ae
. .
 Độ dài đại số của vectơ trên trục:
uuu
r
r
AB

cu�
n
g
h�
�
�
n
g
v�
�
i
e
Chú ý: + Nếu uuu
thì AB  AB .
r
r
�
�
c h�
�
�
ng v�
�
i e thì AB   AB .
Nếu AB ng�
+ Nếu A(a), B(b) thì AB  b  a .
+ Hệ thức Sa–lơ: Với A, B, C tuỳ ý trên trục, ta có: AB  BC  AC .
2. Hệ trục toạ độ
 Hệ gồm hai trục toạ độ Ox, Oy vuông góc với nhau. Vectơ đơn vị trên Ox, Oy lần lượt là
r r

i , j . O là gốc toạ độ, Ox là trục hoành, Oy là trục tung.
r
r
r
r
u

(
x
;
y
)
�
u

x
.
i

y
.
j.
 Toạ độ của vectơ đối với hệ trục toạ độ:

Gv: Phạm Thị Nhung

Năm học: 2013-2014


6

Vectơ và các phép toán

uuur
r
r
M (x; y) � OM  xi.  y. j .

 Toạ độ của điểm đối với hệ trục toạ độ:
r
r
a

(
x
;
y
),
b
 (x�
; y�
), k �R , A(xA; yA ), B(xB; yB ), C(xC ; yC ) :
 Tính chất: Cho
�
r r
�x  x�
a b� �
r r
r
�
�

y  y�
�
a
+
+ �b  (x �x ; y �y )
+ ka  (kx; ky)
r
r r
�
y� ky.
+ b cùng phương với a �0  k  R: x  kx va�

+

uuu
r
AB  (xB  xA; yB  yA )

x� y�

x
y (nếu x  0, y  0).


.

+ Toạ độ trung điểm I của đoạn thẳng AB:
+ Toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC:

xI 

xG 

xA  xB
y y
; yI  A B
2
2 .
xA  xB  xC
3
xM 

+ Toạ độ điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k  1:
uuur
uuur
MA

kMB
( M chia đoạn AB theo tỉ số k 
).

; yG 

yA  yB  yC
3

.

xA  kxB
y  kyB
; yM  A

1 k
1 k .

VẤN ĐỀ 1: Toạ độ trên trục
Baøi 1.Trên trục x'Ox cho 2 điểm A, B có tọa độ lần lượt là 2 và 5.
uuu
r
AB
a) Tìm tọa độ của
.
b) Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn u
thẳng
uur AB.
uuur r
2
MA

5
MB  0 .
c) Tìm tọa độ của điểm M sao cho
d) Tìm tọa độ điểm N sao cho 2NA  3NB  1.
Baøi 2.Trên trục x'Ox cho 4 điểm A(2), B(4), C(1), D(6).
1
1
2


a) Chứng minh rằng: AC AD AB .
2

b) Gọi I là trung điểm của AB. Chứng minh: IC . ID  IA .
c) Gọi J là trung điểm của CD. Chứng minh: AC . AD  AB . AJ .
Baøi 3.Trên trục x'Ox cho 4 điểm A, B, C, D tuỳ ý.
a) Chứng minh: AB.CD  AC.DB  DA.BC  0.
b) Gọi I, J, K, L lần lượt là trung điểm của các đoạn AC, BD, AB, CD. Chứng minh rằng
các đoạn IJ và KL có chung trung điểm.
VẤN ĐỀ 2: Toạ độ trên hệ trục
Baøi 1.Viết tọa độ của các vectơ sau:
r r r 1r
r r
r r
r
r
a  2i  3j ; b  i  5j ; c  3i ; d  2 j
3
a)
.
Gv: Phạm Thị Nhung

Năm học: 2013-2014


7
Vec tơ và các phép toán
r
r
r
r
r r
r 3r r

r r
r
1
r
a  i  3j ; b  i  j ; c  i  j ; d  4j ; e  3i
2
2
b)
.
r r
r
r
Baøi 2. Viết dưới dạng u  xi  yj khi biết toạ độ của vectơ u là:
r
r
r
r
a) u  (2; 3); u  (1;4); u  (2;0); u  (0; 1) .
r
r
r
r
b) u  (1;3); u  (4; 1); u  (1;0); u  (0;0) .
r
r
a

(1
;


2),
b
 (0;3) . Tìm toạ độ của các vectơ sau:
Baøi 3. Cho

r r
r r
r
r
r 1r
r
r r r r r r r
r
u  3a  2b; v  2  b; w  4a  b
2 .
a) x  a  b; y  a  b; z  2a  3b .
b)
r � 1�r
r
a  (2;0), b  �
1; �
, c  (4; 6)
�
2
�
Baøi 4. Cho
.
r
r r r
a) Tìm toạ độ của vectơ d  2a  3b  5c .

r r r r
b) Tìm 2 số m, n sao cho: ma  b  nc  0 .
r
r r
c
theo
a
,b .
c) Biểu diễn vectơ

Baøi 5. Cho hai điểm A(3; 5), B(1;0)
uuur.
uuu
r
OC


3
AB
a) Tìm toạ độ điểm C sao cho:
.
b) Tìm điểm D đối xứng của A qua C.
c) Tìm điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k = –3.
Baøi 6. Cho ba điểm A(–1; 1), B(1; 3), C(–2; 0).
a) Chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng.
b) Tìm các tỉ số mà điểm A chia đoạn BC, điểm B chia đoạn AC, điểm C chia đoạn AB.
Baøi 7. Cho ba điểm A(1; 2), B(0; 4), C(3; 2).
uuu
r uuur uuu
r

AB
,
AC
,
BC
a) Tìm toạ độ các vectơ
.
b) Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn
uuur AB.uuu
r uuur
CM

2
AB
c) Tìm tọa độ điểm M sao cho: uuur uuur  3uAC
uur . r
d) Tìm tọa độ điểm N sao cho: AN  2BN  4CN  0 .
Baøi 8. Cho ba điểm A(1; –2), B(2; 3), C(–1; –2).
a) Tìm toạ độ điểm D đối xứng của A qua C.
b) Tìm toạ độ điểm E là đỉnh thứ tư của hình bình hành có 3 đỉnh là A, B, C.
c) Tìm toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC.
BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG I
Baøi 1. Cho tam giác ABC với trực tâm H, B là điểm đối xứng với B qua tâm O của đường
uuur uuur
uuur
uuur
�
�va�
AH
va�

B
C
;
AB
HC .
tròn ngoại tiếp tam giác. Hãy xét quan hệ giữa các vectơ
Baøi 2.Cho ABC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC. Chứng minh rằng:
uuu
r
uuur
uuuu
r 1 uuur 1 uuur
2 uuur 4 uuur
4 uuur 2 uuur
AB   CM  BN
AC   CM  BN
MN  BN  CM
3
3
3
3
3
3
a)
c)
c)
.
Baøi 3.Cho ABC có trọng tâm G. Gọi H là điểm đối xứng của B qua G.
uuur 2 uuur 1 uuu
r

uuur
r uuur
1 uuu
AH  AC  AB
CH    AB  AC 
3
3
3
a) Chứng minh:
và
.
uuuu
r 1 uuur 5 uuu
r
MH  AC  AB
6
6
b) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh:
.

Gv: Phạm Thị Nhung

Năm học: 2013-2014


8
Vectơ và các phép toán
Baøi 4. Cho bốn điểm
A,
B,

C,
Gọi
lượt
uuur uuur D.
uuu
r uI,uu
rJ lầnuu
r là trung điểm của AB và CD.
a) Chứng minh: AC  BD  AD  BC  2IJ . uuu
r uuu
r uuur uuur r
GA

GB
 GC  GD  0 .
b) Gọi G là trung điểm của IJ. Chứng minh:
c) Gọi P, Q là trung điểm của các đoạn thẳng AC và BD; M, N là trung điểm của các đoạn
thẳng AD và BC. Chứng minh rằng ba đoạn thẳng IJ, PQ và MN có chung trung điểm.
Baøi 5. Cho tam giác ABC và một điểm M tuỳuý.
uuu
r uuur uuu
r uuur uuur uuu
r
MD

MC

AB
ME


MA

BC
a)
Hãy
,
,
uuu
r uxác
uur định
uur các điểm D, E, F sao cho
MF  MB  CA . Chứng minh các điểm D, E, F không phụ thuộc vào vị trí của điểm M.
uuur uuur uuur
uuuu
r uuur uuur
MA

MB

MC
MD
 ME  MF .
b) So sánh hai tổng vectơ:
và
Baøi 6. Cho ABC với trung tuyến AM. Gọi I là trung điểm AM.
uu
r uur uur r
2
IA
 IB  IC  0 .

a) Chứng minh:
uuu
r uuu
r uuur
uur
2
OA

OB

OC

4
OI
b) Với điểm O bất kì, chứng minh:
.
Baøi 7. Cho hình bình hành ABCD tâm O. Gọi I là trung điểm BC và G là trọng tâm ABC.
Chứng
minh:
uur
uuur uuu
r
uuur uuu
r uuu
r uuur
2
AI

2
AO


AB
3
DG

DA

DB
 DC .
a)
.
b)
Baøi 8. Cho hình bình hành ABCD tâm O. Gọi I và J là trung điểm của BC, CD.
uur 1 uuur uuu
r
uuu
r uur uur r
AI   AD  2AB
OA
 OI  OJ  0 .
2
a) Chứng minh:
minh:
uuur uuur uuub)
r Chứng
r
c) Tìm điểm M thoả mãn: MA  MB  MC  0.
uuur
uuu
r

AD

2
AB
Baøi 9. Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Gọi D và E là các điểm xác định bởi
,
uuu
r 2 uuur
AE  AC
5
.r uuur
uuur uuu
uuu
r
uuur
AG
,
DE
,
DG
theo
AB
va�
AC .
a) Tính
b) Chứng minh ba điểm D, E, G thẳng hàng.
uuur 2 uuur
AD  AC
5
Baøi 10.

Cho ABC. Gọi D là điểm xác định bởi
và M là trung điểm đoạn
BD.
uuu
r
uuur
uuur
AB
va�
AC .
a) Tính AM theo
b) AM cắt BC tại I. Tính và .
Baøi 11.
Cho ABC. Tìm tập hợp các điểm M thỏa điều kiện:
uuur uuur uuur r
uuur uuur
MA

MB
a)
b) MA  MB  MC  0
uuur uuur uuur uuur
uuur uuur uuur uuur
MA

MB

MA

MB

c)
d) MA  MB  MA  MB
uuur uuur uuur uuur
e) MA  MB  MA  MC
uuu
r
uuur
uuu
r
uuu
r
BC
va�
BD
AB
va�
AF
Bài 12.Cho lục giác đều ABCDEF. Phân tích các vectơ
theo các vectơ
.
Bài 13. Cho hình thang
uuu
r OABC,
uuu
r uuurAM là trung tuyến của tam giác ABC. Hãy phân tích vectơ
uuur
AM theo các vectơ OA,OB,OC .
Bài 14. Cho ABC. Trên các đường thẳng BC, AC, AB lần lượt lấy các điểm M, N, P sao cho
uuur
uuur uuu

r
uuur uur uuu
r r
MB  3MC, NA  3CN, PA  PB  0 .
uuur uuur
uuu
r uuur
PM
,
PN
AB
, AC
a) Tính
theo
b) Chứng minh: M, N, P thẳng hàng.
Bài 15. Cho ABC. Gọi A1, B1, C1 lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB.
Gv: Phạm Thị Nhung

Năm học: 2013-2014


9
và
uuur uVec
uur tơuu
uu
r cácr phép toán
AA1  BB1  CC1  0
a) Chứng
uuuminh:

r r uuuu
r r
uuu
r uur uuu
r
r
r
BB1  u,CC1  v
v.
BC
,
CA
,
AB
b) Đặt
. Tính
theo u va�
Bài 16. Cho ABC. Gọi I là điểm trên cạnh BC sao cho 2CI = 3BI. Gọi F là điểm trên cạnh
BC kéo dài sao
2FC.
uur cho
uuu
r 5FB =
uuu
r
uuur
AI
,
AF
theo

AB
va�
AC .
a) Tính
uuur
uur
uuu
r
AG
theo
AI
va�
AF
b) Gọi G là trọng tâm ABC. Tính
.
Bài 17. Cho ABC có A(4; 3) , B(1; 2) , C(3; 2).
a) Tìm tọa độ trọng tâm G của ABC.
b) Tìm tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành.
Bài 18. Cho A(2; 3), B(1; 1), C(6; 0).
a) Chứng minh ba điểm A, B, C không thẳng hàng.
b) Tìm tọa độ trọng tâm G của ABC.
c) Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành.
Bài 19. Cho A(0; 2) , B(6; 4) , C(1; 1). Tìm toạ độ các điểm M, N, P sao cho:
a) Tam giác ABC nhận các điểm M, N, P làm trung điểm của các cạnh.
b) Tam giác MNP nhận các điểm A, B, C làm trung điểm của các cạnh.
Bài 20. Cho 4 điểm A, B, C, D. Gọi M và N lần lượt là trung
uur điểm
uur của
uurAB,
uuu

rCD, O
uuu
rlà trung
điểm của MN. Chứng minh rằng với điểm S bất kì, ta có: SA  SB  SC  SD  4SO .
Bài 21. Cho tam giác ABC và điểm M tùy ý. uuuu
r uuur uuu
r uuur uuur uuu
r
MD

MC

AB
ME

MA

BC
a)
Hãy
,
,
uuu
r uxác
uur định
uur các điểm D, E, F sao cho
MF  MB  CA . Chứng minh D, E, F không phụ thuộc vào vị trí của điểm M.
uuur uuur uuur
uuuu
r uuur uuur

MA

MB

MC
va�
MD
 ME  MF .
b) So sánh 2 véc tơ
Bài 22. Cho tứ giác ABCD.

uuu
r uuu
r uuur uuur r
a) Hãy xác định vị trí của điểm G sao cho: GA  GB  GC  GD  0 (G đgl trọng tâm của
tứ giác ABCD).
uuur 1 uuu
r uuu
r uuur uuur
OG   OA  OB  OC  OD 
4
b) Chứng minh rằng với điểm O tuỳ ý, ta có:
.
Bài 23. Cho G là trọng tâm của tứ giác ABCD. A, B, C, D lần lượt là trọng tâm của các
tam giác BCD, ACD, ABD, ABC. Chứng minh:
a) G là điểm chung của các đoạn thẳng AA, BB, CC, DD.
b) G cũng là trọng tâm của của tứ giác ABCD.
Bài 24. Cho tứ giác ABCD. u
Trong
uu

r mỗi trường hợp sau đây hãy xác định điểm I và số k sao
r
v đều bằng k.MI với mọi điểm M:
cho các vectơ
r uuur uuur uuur
r uuur uuur uuur
v

MA

MB

2
MC
v
 MB  2MC
a)
b)  MA
r
uuur uuur uuur uuuu
r
r uuur uuur uuur uuuu
r
v

MA

MB

MC


MD
v

2
MA

2
MB

MC

3
MD
c)
d)
.
uu
r uur r
Bài 25. Cho ABC. Hai điểm I, J được xác định bởi: IA  3IC  0 ,
uur uur uur r
J A  2J B  3J C  0 . Chứng minh 3 điểm I, J, B thẳng hàng.
r uuur r
uuur uuur r uuu
Bài 26. Cho ABC. Hai điểm M, N được xác định bởi: 3MA  4MB  0 , NB  3NC  0.
Chứng minh 3 điểm M, G, N thẳng hàng, với G là trọng tâm của ABC.
uuur uuur uuu
r uuur uur uuu
r r
MB


2
MC

NA

2
NC

PA

PB
0
Bài 27. Cho ABC. Lấy các điểm M N, P:
uuur uuur
uuu
r
uuur
AC .
a) Tính PM , PN theo AB va�
b) Chứng minh 3 điểm M, N, P thẳng hàng.

Gv: Phạm Thị Nhung

Năm học: 2013-2014


10
Vectơ và các phép toán

uuur uuur r
3
Bài 28. Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Các điểm M, N thoả mãn: MA  4MB  0 ,
uuur 1 uuu
r
CN  BC
2
. Chứng minh đường thẳng MN đi qua trọng tâm G của ABC.
Bài
uuur 29.uuCho
ur utam
uu
r giác ABC. Gọi I là trung điểm của BC, D và E là hai điểm sao cho
BD  DE  EC .
uuu
r uuur uuur uuu
r
AB

AC

AD

AE
a) Chứnguuminh
r uuu
r uuur uuur uuu
r . uur
b) Tính AS  AB  AD  AC  AE theo AI . Suy ra ba điểm A, I, S thẳng
hàng.

uuu
r uuu
r uuu
r
BM

BC

2
AB
Bài
Cho
,
uuur 30. u
uur tam
uuu
r giác ABC. Các điểm M, N được xác định bởi các hệ thức
CN  xAC  BC .
a) Xác định x để A, M, N thẳng hàng.
IM
b) Xác định x để đường thẳng MN đi trung điểm I của BC. Tính IN .
a  b  c �0.
Bài 31. Cho ba điểm cố định A, B, C và ba số thực a, b, c sao cho
uuu
r
uuu
r uuur r
aGA

bGB

 cGC  0.
a) Chứng minh rằng có một và chỉ một điểm
uuur G thoả
uuur mãnuuur uuur
b) Gọi M, P là hai điểm di động sao cho MP  aMA  bMB  cMC . Chứng minh ba điểm
G, M, P thẳng hàng.
uuuu
r
uuur uuur uuur
MN  2MA  3MB  MC .
Bài 32. Cho tam giác ABC. Các
điểm
M,
N
thoả
mãn
uu
r uu
r uur r
a) Tìm điểm I thoả mãn 2IA  3IB  IC  0 .
b) Chứng minh đường thẳng MN luôn đi qua một điểm
uuuu
r cố uđịnh.
uur uuur uuur
MN

2
MA
 MB  MC .
Bài 33. Cho tam giác ABC. Các

uu
r điểm
uu
r uM,
ur Nr thoả mãn
a) Tìm điểm I sao cho 2IA  IB  IC  0 .
b) Chứng minh rằng đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định.
c) Gọi P là trung điểm của BN. Chứng minh đường thẳng MP luôn đi qua một điểm cố
định.
Bài 34 Cho ABC. Hãy xác định các điểm I, J, K, L thoả các đẳng thức sau:
uu
r uur
uuu
r
uur uur uur r
2
IA

3
IB

3
BC
A  J B  2J C  0
a) uuu
b) Juu
r uuu
r uuur uuu
r
r uuu

r uuu
r uuur
KA

KB

KC

BC
LA

2
LC

AB
 2AC .
c)
d)
Bài 35. Cho ABC. Hãy xác định các điểm I, F, K, L thoả các đẳng thức sau:
uu
r
uur uuu
r
uur uuu
r uuu
r uuu
r uuur
IA

IB


IC

BC
FA

FB

FC

AB
 AC
a) uuu
b) uuuu
r uuu
r uuur r
r uur uuu
r r
c) 3KA  KB  KC  0
d) 3LA  2LB  LC  0
Bài 36. Trên trục x'Ox cho 2 điểm A, B có tọa độ lần lượt là 3 và 1.
a) Tìm tọa độ điểm M sao cho 3MA  2MB  1.
b) Tìm tọa độ điểm N sao cho NA  3NB  AB .
Bài 37. Trên trục x'Ox cho 3 điểm A, B, C có tọa độ lần lượt là a, b, c.
a) Tìm tọa độ trung điểm I của AB.
uuur uuur uuur r
 MB  MC  0.
b) Tìm tọa độ điểm M sao cho MA
uuu
r uuu

r uuur
2
NA

3
NB
 NC .
c) Tìm tọa độ điểm N sao cho

Gv: Phạm Thị Nhung

Năm học: 2013-2014