Bài toán ổn định hệ phương trình vi phân suy biến có trễ (Luận văn thạc sĩ)

BỘ GIÁO DỤC
VÀ ĐÀO TẠO

VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC
VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM

HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ
————————-

Đoàn Ngọc Hiển

BÀI TOÁN ỔN ĐỊNH
HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CÓ TRỄ

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội - 2018


BỘ GIÁO DỤC
VÀ ĐÀO TẠO

VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC
VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM

HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ
————————-

Đoàn Ngọc Hiển

BÀI TOÁN ỔN ĐỊNH

HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CÓ TRỄ
CHUYÊN NGÀNH: TOÁN ỨNG DỤNG
MÃ SỐ: 8 46 01 12

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
GS. TSKH VŨ NGỌC PHÁT
Hà Nội - 2018


Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan những gì viết trong luận văn là do sự tìm tòi, học hỏi của bản
thân và sự hướng dẫn tận tình của GS.TSKH. Vũ Ngọc Phát. Mọi kết quả nghiên
cứu cũng như ý tưởng của tác giả khác, nếu có đều được trích dẫn cụ thể. Đề tài
luận văn này cho đến nay chưa được bảo vệ tại bất kỳ một hội đồng bảo vệ luận
văn thạc sĩ nào và cũng chưa hề được công bố trên bất kỳ một phương tiện nào.
Tôi xin chịu trách nhiệm về những lời cam đoan trên.
Hà nội, ngày 12 tháng 09 năm 2018
Người cam đoan
Đoàn Ngọc Hiển


Lời cảm ơn
Luận văn thạc sĩ này được thực hiện tại Học Viện khoa học và công nghệ, Viện
Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam, dưới sự hướng dẫn khoa học của
GS.TSKH. Vũ Ngọc Phát.
Tôi xin tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS.TSKH. Vũ Ngọc Phát người thầy đã tận tình
hướng dẫn để tôi hoàn thành được luận văn thạc sĩ. Trong những ngày tháng học
tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn thạc sĩ dưới sự hướng dẫn của thầy, tôi

nhận ra rằng niềm đam mê nghiên cứu khoa học trong thầy, cùng sự quan tâm, chỉ
bảo tận tình của thầy đã thôi thúc tôi cần cố gắng nhiều hơn nữa để hoàn thiện
bản thân.
Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới các thầy, các cô trong
phòng Tối ưu và Điều khiển đã ân cần chỉ bảo, dạy dỗ tôi từ khi tôi học Cao học
cho tới khi tôi hoàn thành luận văn. Tôi xin trân trọng cảm ơn sự giúp đỡ của các
thầy cô đã giảng dạy tôi trong những năm học cao học. Tôi xin chân thành cảm ơn
Ban lãnh đạo Học Viện Khoa học và Công nghệ và Viện Toán học đã tạo mọi điều
kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn,
đã quan tâm, trao đổi, góp ý cho tôi trong suốt quá trình học tập và làm luận văn
thạc sĩ.
Đặc biệt, tôi thực sự thấy hạnh phúc và tự hào khi họ luôn bên tôi, chia sẻ và động
viên, là động lực để tôi cố gắng và hoàn thành luận án đó là bố, mẹ và em trai.


MỤC LỤC

Lời nói đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 Giới thiệu cơ sở toán học
1.1

1.2

1
3

Hệ phương trình vi phân hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.1

Hệ phương trình vi phân có trễ . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.2

Hệ phương trình vi phân suy biến có trễ . . . . . . . . . . .

5

Các bổ đề hỗ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

2 Bài toán ổn định hệ phương trình vi phân suy biến có trễ.
2.1

Hệ phương trình vi phân suy biến có trễ hằng. . . . . . . . . . . . .

2.2

Hệ phương trình vi phân suy biến có trễ hằng với tham số không

9
9

chắc chắn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

2.2.1

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

Hệ phương trình vi phân suy biến có trễ biến thiên . . . . . . . . .

21

2.3.1

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

3. Kết luận chung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

4. Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

2.3

Ví dụ

Ví dụ


Kí hiệu toán học
R, C

Tập các số thực và phức tương ứng.

Rn

Không gian thực n-chiều với tích vô hướng xT y.

Rn×r

Không gian các ma trận thực cỡ n × r.

A−1

Nghịch đảo của ma trận vuông A.

AT

Ma trận chuyển vị của ma trận A.

diag(A1 , A2 , ..., Ar ) Ma trận chéo với các khối A1 , A2 , ..., Ar nằm trên đường chéo.
Ir

Ma trận đơn vị cỡ (r × r)

λ(A)

Tập các giá trị riêng của ma trận A
λmax (A) = max {Re(λ), λ ∈ λ(A)}
λmin (A) = max {Re(λ), λ ∈ λ(A)} .

C ([0, h] , Rn )

Tập hợp các hàm liên tục trên [0, h] giá trị trong Rn .

C 1 ([a, b] , Rn )

Tập các hàm khả vi liên tục trên [a, b] giá trị trong Rn .

∗

Phần tử đối xứng trong một ma trận.

A

0, A > 0

Ma trận nửa xác định dương, ma trận xác định dương.

A

B

A − B là ma trận nửa xác định không âm.

A>B

x

A − B là ma trận xác định dương.
Chuẩn Euclide của véc tơ x ∈ Rn được xác định bởi
n

xi 2 .

x =
i=1

xt

Chuẩn trong không gian C ([−h, 0] , Rn ) được cho bởi
xt = sup−h≤t≤0 x(t) .


1

LỜI NÓI ĐẦU
Lý thuyết ổn định các hệ phương trình vi phân là một trong những hướng nghiên
cứu quan trọng, có nhiều ứng dụng trong thực tế kĩ thuật. Các công trình nghiên
cứu về nó được bắt đầu từ những năm cuối thế kỉ XIX bởi nhà toán học người
Nga A. M. Lyapunov khi ông nghiên cứu tính ổn định của một chuyển động. Do lý
thuyết ổn định được nghiên cứu xuất phát từ những đòi hỏi thực tiễn và nhu cầu
phát triển của một số ngành khoa học nên đã hơn một thế kỷ trôi qua nhưng lý
thuyết ổn định vẫn là một lĩnh vực toán học được quan tâm và có nhiều kết quả
được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực như cơ học, vật lý toán, khoa học kỹ
thuật công nghệ, sinh thái học . . . Hầu hết các quá trình vật lý, sinh học, hóa học,
kinh tế đều liên quan đến độ trễ thời gian. Không những thế, độ trễ thời gian còn

là nguyên nhân trực tiếp dẫn đến tính không ổn định và hiệu suất kém của các hệ
động lực. Do đó lớp hệ phương trình vi phân có trễ thu hút được nhiều sự quan
tâm của các nhà toán học. Mặt khác, các bài toán xuất phát từ thực tế thường
được mô tả bởi các hệ phương trình vi phân suy biến. Vì thế, giải quyết được bài
toán về sự ổn định của hệ phương trình vi phân suy biến có trễ sẽ góp phần giải
quyết được hàng loạt các bài toán thực tiễn có tính ứng dụng cao.
Trong luận văn này chúng tôi sử dụng phương pháp hàm Lyapunov-Krasovskii như
một cách tiếp cận để đưa ra các điều kiện đủ đảm bảo sự ổn định của hệ phương
trình vi phân suy biến có trễ. Các điều kiện được đưa ra dưới dạng các bất đẳng
thức ma trận tuyến tính (LMIs). Ngoài ra chúng tôi còn trình bày vấn đề tính ổn
định vững của hệ suy biến không chắc chắc với trễ hằng. Chúng tôi sử dụng phương
pháp ổn định Lyapunov để giải quyết bài toán ổn định vững cho hệ suy biến không
chắc chắn có trễ.
Luận văn gồm hai chương.
Chương 1 Giới thiệu cơ sở toán học trình bày một số khái niệm và kết quả cơ sở
về hệ phương trình vi phân có trễ, hệ phương trình vi phân suy biến có trễ, giới


2

thiệu về bài toán ổn định của hệ phương trình vi phân, phương trình vi phân suy
biến có trễ. Đồng thời trình bày các mệnh đề bổ trợ sẽ được dùng để chứng minh
các tiêu chuẩn ổn định ở chương hai.
Chương 2 Bài toán ổn định hệ phương trình vi phân suy biến có trễ trình bày
các định lý về ổn định của hệ phương trình vi phân suy biến có trễ hằng cũng như
của hệ phương trình vi phân có trễ biến thiên và các ví dụ minh họa cho các định lý.


3

Chương 1
Giới thiệu cơ sở toán học
Trong chương này chúng tôi trình bày kiến thức cơ sở về hệ phương trình vi
phân có trễ, hệ phương trình vi phân suy biến có trễ, bài toán ổn định hệ phương
trình vi phân có trễ và bài toán ổn đinh hệ phương trình vi phân suy biến có trễ.
Chúng tôi cũng trình bày một số bổ đề kỹ thuật cần thiết cho việc chứng minh
các định lý trong chương tiếp theo. Nôi dung chương này trình bày từ các tài liệu
[1],[2],[3].

1.1
1.1.1

Hệ phương trình vi phân hàm
Hệ phương trình vi phân có trễ

Như chúng ta đã biết, phương trình vi phân x(t)
˙
= f (t, x(t)) mô tả mối quan
hệ giữa biến thời gian t, trạng thái x(t) của hệ thống và tốc độ thay đổi của trạng
thái x(t) tại cùng một thời điểm t. Tuy nhiên, trong thực tế, các quá trình xảy ra
trong tự nhiên thường có sự liên quan với quá khứ và ít nhiều mang tính di truyền.
Vì vậy lớp hệ phương trình vi thường không miêu tả được hết các quá trình này.
Do đó, để mô tả một cách chính xác các quá trình này, người ta thường miêu tả
chúng bằng các phương trình vi phân hàm - phương trình vi phân có trễ. Giả sử
h là một số thực không âm. Ký hiệu C = C([−h, 0], Rn ) là không gian Banach
các hàm liên tục trên đoạn [−h, 0], nhận giá trị trong không gian Rn và chuẩn
của một phần tử ϕ ∈ C được cho bởi ϕ =

sup
−h θ 0

ϕ(θ) . Với t0 ∈ R, σ ≥ 0


4

và x ∈ ([t0 −h, t0 +σ] , Rn ), hàm xt ∈ C với t ∈ [t0 −h, t0 +σ] được xác định bởi
xt (s) := x(t + s), s ∈ [−h, 0]. Như vậy, xt là một quỹ đạo trên đoạn [t − h, t]
của hàm x(.) với chuẩn trong C được xác định bởi xt = sup

x(t + s)) . Cho

−h θ 0

D ∈ Rn × C là một tập mở và hàm f : D → Rn . Một phương trình vi phân có trễ
trên D là phương trình dạng


x(t)
˙
= f (t, xt ), t

0,

(1.1)


x(t) = φ(t), t ∈ [−h, 0] .
Cho trước t0 ∈ R, φ ∈ C, ta nói x(t0 , φ, f ) là một nghiệm của phương trình (1.1)
nếu nó thỏa mãn điều kiện ban đầu x(t0 ) = φ(t0 ), t0 ∈ [−h, 0] và phương trình

(1.1). Giả sử f (t, 0) = 0, với mọi t ∈ R+ nghĩa là ta luôn giả thiết hệ có nghiệm
cân bằng x = 0. Khi đó ta có các định nghĩa về tính ổn định của nghiệm như sau.
Định nghĩa 1.1.1. Giả sử f (t, 0) = 0 với mọi t ∈ R,
(i) Nghiệm x(t) = 0 của phương trình (1.1) được gọi là ổn định nếu với bất kì
t0 ∈ R, > 0, tồn tại δ = δ(t0 , ) sao cho nếu φ

c

≤ δ thì x(t, t0 , φ)

c

≤

với t ≥ t0 .
(ii) Nghiệm x(t) = 0 của phương trình (1.1) được gọi là ổn định tiệm cận nếu nó ổn
định và tồn tại b0 = b0 (t0 ) > 0 sao cho nếu φ

b0 thì limt→∞ x(t, t0 , φ) = 0.

c

(iii) Giả sử f (t, 0) = 0, t ∈ R và α > 0 cho trước. Khi đó, nghiệm x(t) = 0 của
phương trình (1.1) được gọi là α - ổn định mũ nếu tồn tại hằng số M > 0 sao
cho mọi nghiệm x(t, t0 , φ) của hệ (1.1) thỏa mãn
x(t, t0 , φ)

M e−α(t−t0 ) φ

c , ∀t

≥ t0 ,

số M được gọi là hệ số ổn định Lyapunov, α được gọi là số mũ ổn định. α, M
cũng được gọi chung là các chỉ số ổn định Lyapunov.
Định lý 1.1.1. (Định lý tồn tại duy nhất nghiệm địa phương)
Giả sử Ω là một tập mở của R × C, f (t, .) : Ω → Rn liên tục theo t và f (t, φ) là


5

Lipschitz theo φ trong mỗi tập con compact của Ω. Nếu (t0 , φ) ∈ Ω thì tồn tại duy
nhất nghiệm đi qua điểm (t0 , φ) của phương trình (1.1).
Định lý 1.1.2. (Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm toàn cục). Cho
f : [0, +∞) × P C([−h, 0], Rn ) → Rn ,
thỏa mãn các điều kiện sau:
(i) Với bất kỳ H > 0, tồn tại M (H) > 0 sao cho f (t, φ)
(t, φ) ∈ [0, ∞) × P C([−h, 0], Rn ), φ

M (H),

H;

C

(ii) Hàm f (t, φ) là hàm liên tục theo cả hai biến;
(iii) Hàm f (t, φ) thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo biến thứ hai, tức là tồn tại hằng
số Lipschitz L(H) > 0 sao cho
f (t, φ1 ) − f (t, φ2 )
với mọi t

(iv) f (t, φ)

0,φi ∈ P C([−h, 0], Rn ), φi
η( φ

C ), t

L(H) φ1 − φ2
C

C,

H, i = 1, 2.

0, φi ∈ P C([−h, 0], Rn ) trong đó η(r), r ∈ [0, +∞) là

hàm liên tục, không giảm và sao cho với r0

0 bất kỳ điều kiện sau thỏa mãn

R

dr
= +∞.
η(r)

lim

R→∞
r0

Khi đó, với t0

0 và φ ∈ P C([−h, 0], Rn ) cho trước, hệ (1.1) có duy nhất

nghiệm x(t0 , φ, f ) xác định trên [t0 −h, +∞) với điều kiện ban đầu xt0 = φ.

1.1.2

Hệ phương trình vi phân suy biến có trễ

Xét hệ phương trình vi phân tuyến tính suy biến có trễ sau:


E x(t)
˙
= Ax(t) + Ad x(t − h(t)), t ≥ 0,

x(t)

= φ(t),

t ∈ [−h, 0],

(1.2)


6

trong đó E ∈ Rn×m là ma trận suy biến, rankE = r < n, A và Ad là các ma trận

hệ số với số chiều thích hợp. Khi đó ta có các định nghĩa về sự ổn định của hệ (1.2)
như sau.
Định nghĩa 1.1.2. Hệ suy biến (1.2) được gọi là chính quy (regular) nếu ∃s ∈ C
sao cho đa thức đặc trưng det(sE − A) là không bằng không.
Định nghĩa 1.1.3. Hệ suy biến (1.2) được gọi là impulse-free nếu
∃s ∈ C :

deg(det(sE − A)) = rank(E).

Định nghĩa 1.1.4. Hệ suy biến (1.2) được gọi là ổn định tiệm cận nếu với bất kỳ
ε > 0, tồn tại một số δ(ε) > 0 sao cho với bất kỳ hàm điều kiện ban đầu thỏa mãn
φ

ε với t ≤ 0 và lim x(t) = 0.

δ(ε), nghiệm x(t) của (1.2) thỏa mãn x(t)

t→∞

Định nghĩa 1.1.5. Hệ (1.2) được gọi là ổn định mũ nếu tồn tại số α > 0 và γ > 0
sao cho với bất kỳ nghiệm x(t, φ) của hệ suy biến có trễ thỏa mãn điều kiện sau
x(t, φ)

γ φ e−αt ,

∀t ≥ 0.

Mệnh đề 1.1.1. [3, 4] Nếu hệ phương trình (1.2) là chính quy và impulse−free thì
tồn tại duy nhất một nghiệm liên tục trên [0, +∞].
Mệnh đề 1.1.2. [3, 4] Hệ suy biến

E x(t)
˙
= Ax(t),

t ≥ 0,

là chính quy, impulse-free và ổn định tiệm cận nếu và chỉ nếu tồn tại ma trận P
sao cho
E P T = P ET

0,

và
A P T +P AT < 0.


7

1.2

Các mệnh đề bổ trợ

Chúng tôi trình bày các mệnh đề và bổ đề kỹ thuật ([3, 4, 5]) sẽ được sử dụng
để chứng minh các đinh lý trong chương tiếp theo.
Bổ đề 1.2.1. Với bất kỳ hai ma trận M, N ∈ Rn×n , M = M T > 0, x, y ∈ Rn . Khi
đó
2xT N y ≤ xT M x + y T N T M −1 N y.
Bổ đề 1.2.2. Với bất kì ma trận đối xứng xác định dương M , số γ > 0 và hàm
vectơ ω : [0, γ] → Rn khả tích, khi đó bất đẳng thức sau thỏa mãn


 γ
T
 γ
γ
ω(s)ds M


0

ω(s)ds
0

ω T (s)M ω(s)ds .

γ
0

Bổ đề 1.2.3. (Schur complement lemma).
Cho các ma trận đối xứng hằng X, Y, Z với số chiều tương thích thỏa mãn
X = X T , Y = Y T > 0. Khi đó


T
X Z

 < 0,
Z −Y
khi và chỉ khi X < 0 và X + Z T Y −1 Z < 0.
Bổ đề 1.2.4. Cho hai ma trận A ∈ Rm×n và B ∈ Rn×m , nếu AB + AT B T < 0.
Khi đó, A, B lần lượt là các ma trận full-row rank và full-column rank.

Cho r thỏa mãn 1

r

r
n. Chúng ta định nghĩa Mblock
(Rn×n ) là tập hợp các

ma trận r − block






A11 A12
r
n×n
n×n
r×r
(n−r)×(n−r)


Mblock (R ) = A ∈ R |A =
, A11 ∈ R , A22 ∈ R
.


A21 A22
r

Bổ đề 1.2.5. Cho các ma trận A, B, C ∈ Mblock
(Rn×n ), A = AT , C = C T và


A B

 < 0.
T
B C


8

Khi đó,



A22 B22
T
C22
B22


 < 0.

Bổ đề 1.2.6. Giả sử hàm ρ(t) thỏa mãn
0

ρ(t)

γ ρ¯τ (t) + δ,

t ≥ 0,

trong đó τ > 0, δ > 0, γ ∈ (0, 1), ρ¯τ (t) = sup ρ(t + s). Khi đó
−τ s 0

ρ(t)

γ ρ¯τ (0) +

δ
,
1−γ

∀t ≥ 0.

Bổ đề 1.2.7. Giả sử các số thực dương thỏa mãn τ, λ, δ1 , δ2 , δ1 eλτ < 1 và f (t) là
hàm liên tục thỏa mãn
0

f (t)

−λt
δ1 f¯τ + δ2 e ,

t ≥ 0,

trong đó f¯τ (t) = sup f (t + s). Khi đó
−τ s 0

f (t)

λt
δ1 e f¯τ +

δ2
e−λt ,
1 − δ1 eλt

∀t ≥ 0.

Bổ đề 1.2.8. Cho hàm ϕ : R+ → R. Nếu ϕ˙ bị chặn trên đoạn [0, +∞) nghĩa là,
tồn tại một số α > 0 sao cho ϕ(t)
˙

α, ∀t ∈ [0, +∞). Khi đó ϕ là hàm liên tục

đều trên đoạn [0, +∞).
Bổ đề 1.2.9. (Babarlat’s lemma [4])
Cho hàm ϕ : R

+

∞

→ R. Nếu ϕ là hàm liên tục đều và

ϕ(s)ds < ∞. Khi đó,
0

lim ϕ(t) = 0

t→∞


9

Chương 2
Bài toán ổn định hệ phương trình vi
phân suy biến có trễ.
Trong chương này, chúng tôi nghiên cứu tính ổn định của hệ suy biến có trễ và
đồng thời đưa ra một tiêu chuẩn để hệ là ổn định, nội dung chủ yếu trình bày từ
tài liệu [4],[5].

2.1

Hệ phương trình vi phân suy biến có trễ hằng.

Xét hệ phương trình vi phân có trễ hằng sau
E x(t)
˙
=Ax(t) + Ad x(t − τ ),
x(t) =φ(t),

t ≥ 0,

(2.1)

t ∈ [−τ, 0],

trong đó x(t) ∈ Rn là vectơ trạng thái, E ∈ Rn×n là ma trận suy biến,
Rank(E) = r < n, A, Ad là các ma trận hằng số thực với số chiều thích hợp, φ(t)
là hàm liên tục trên [−τ, 0].
Định nghĩa 2.1.1.
(i) Bộ (E,A) được gọi là chính qui nếu ∃s ∈ C, det(sE − A) không bằng không.
(ii) Bộ (E,A) được gọi là impulse-free nếu
∃s ∈ C :

deg(det(sE − A)) = rank(E).


10

Định nghĩa 2.1.2.

(i) Hệ (2.1) được gọi là chính qui và impulse−free nếu bộ

(E, A) là chính qui và impulse−free.
(ii) Hệ (2.1) được gọi là ổn định nếu ∀ε > 0 thì tồn tại δ(ε) sao cho với bất kỳ
điều ban đầu φ(t) thỏa mãn Sup

φ(t)

δ(ε) thì nghiệm của hệ (2.1) sẽ

−τ t 0

thỏa mãn x(t)

ε, t

0. Hơn nữa lim x(t) = 0.
t→∞

Bổ đề 2.1.1. ([4]) Giả sử bộ (E, A) là chính qui và impulse−free, khi đó hệ (2.1)
có nghiệm duy nhất trên đoạn [0, +∞).
Định lý 2.1.1. ([4]) Hệ phương trình vi phân suy biến có trễ hằng (2.1) là chính
qui, impulse–free và ổn định mũ nếu tồn tại ma trận Q > 0 và ma trận P thỏa mãn
EP T = P E T ≥ 0,

(2.2)

AP T + P AT + Ad P T Q−1 P ATd + Q < 0.

(2.3)

Chứng minh. Chứng minh Định lý (2.1.1)
Giả sử (2.2) và (2.3) đúng với mọi ma trận Q > 0. Khi đó từ (2.3) ta dễ dàng thấy
rằng
AP T + P AT < 0.

(2.4)

Sử dụng mệnh đề (1.1.2), từ (2.2) và (2.4) suy ra bộ (E, A) là chính qui và
impulse−free. Bước tiếp theo chúng ta chứng minh tính ổn định của hệ phương
trình vi phân suy biến có trễ hằng (2.1). Theo chứng minh trên ta có bộ (E, A) là
chính qui và impulse−free do đó tồn tại hai ma trận khả nghịch G và H ∈ Rn×n
sao cho



Ir 0
,
E¯ := GEH = 
0 0


A¯ := GAH = 

A1

0

0

In−r


.

(2.5)

Trong đó Ir ∈ Rr×r và In−r ∈ R(n−r)×(n−r) là các ma trận đơn vị, A1 ∈ Rr×r . Dựa
vào (2.5) ta đặt

A¯d := GAd H = 

Ad11 Ad12
Ad21 Ad22


,


11


P¯11
P¯ := GP H −T = 
P¯21

¯
Q
¯ := GQGT =  11
Q
¯T
Q
12


¯
P12
,
P¯22

¯
Q12

¯ 22

Q

(2.6)

Khi đó, từ (2.2) và (2.3) ta có
E¯ P¯ T = P¯ E¯ T ≥ 0,

(2.7)

¯ −1 P¯ A¯Td + Q
¯ < 0.
A¯P¯ T + P¯ A¯T + A¯d P¯ T Q

(2.8)

Áp dụng bổ đề (1.2.3) (Schur complement lemma), từ (2.8) suy ra rằng


T
T
T
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
AP + P A + Q
Ad P


<0
¯
P¯ A¯Td
−Q

(2.9)

Dựa vào cách đặt của E¯ trong (2.5) và sử dụng (2.7) ta có thể suy ra rằng P¯11 =
T
P¯11
0 và P¯21 = 0, do đó P¯ có thể biểu diễn lại như sau


¯
¯
P11 P12
.
P¯ = 
(2.10)
0 P¯22
Thay thế (2.5), (2.6) và (2.10) vào (2.9) ta được


T
T
¯ 11
¯ 12
P¯11 AT1 + A1 P¯11 + Q
P¯12 + Q

Ad11 P¯11 + Ad12 P¯12
Ad12 P¯22



T
T
T
T
T
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
P
+
Q
P
+
P
+
Q
A
P
+
A

P
A
P
22
22
d21 11
d22 12
d22 22 

12
12
22

 < 0,
 P¯11 AT + P¯12 AT
¯11 AT + P¯12 AT
¯ 11
¯ 12 
P
−
Q
−
Q
d11
d12
d21
d22


T

T
T
¯
¯ 22
P¯22 Ad12
P¯22 Ad22
−Q
−Q
12
(2.11)
Do đó



T
T
¯
¯
¯
¯
P + P22 + Q22 Ad22 P22
 22
<0
T
¯
¯
P22 Ad22
−Q22

(2.12)

¯ 22 > 0 và bất đẳng thức (2.12) đúng, chúng ta suy ra rằng P¯22 là khả nghịch.
Do Q
Do đó từ bất đẳng thức (2.12) ta suy ra


T ¯ −1
˜
− Q22
Ad22 P22

 < 0,
−T
−1
−T
¯
¯
¯
˜
P22 Ad22 P22 + P22 + Q22


12

trong đó
˜ 22 = P¯ −1 Q
¯ 22 P¯ −T .
Q
22
22

(2.13)

Sử dụng [5, Th.1], từ (2.13) suy ra rằng
˜ 22 Ad22 − Q
˜ 22 < 0.
ATd22 Q

(2.14)

ρ(Ad22 ) < 1.

(2.15)

Do đó

Bây giờ, ta đặt



ζ1 (t)
 = H −1 x(t),
ζ(t) = 
ζ2 (t)
trong đó ζ1 (t) ∈ Rr , ζ2 (t) ∈ Rn−r . Sử dụng cách đặt của (2.5) và (2.6) thì hệ suy
biến có trễ hằng (2.1) có thể được biểu diễn lại dưới dạng sau
(ΣD ) :

ζ˙ 1 (t) = A1 ζ1 (t) + Ad11 ζ1 (t − τ ) + Ad12 ζ2 (t − τ ),

(2.16)

0 = ζ2 (t) + Ad21 ζ1 (t − τ ) + Ad22 ζ2 (t − τ ).

(2.17)

Dễ dàng thấy rằng tính ổn định của hệ (2.1) là tương đương với tính ổn định của
hệ (ΣD ). Do đó thay vì chứng minh tính ổn định của hệ (2.1) ta sẽ chứng minh
T
tính ổn định của hệ (ΣD ). Từ P¯11 = P¯11
0 và
¯ 11 < 0,
P¯11 AT1 + A1 P¯11 + Q
ta suy ra P¯11 > 0. Định nghĩa
t

V (ζt ) =

−1
T
ζ1 (t) P¯ 11 ζ1 (t)

−1 ¯ ¯ −T
T
ζ(s) P¯ Q
P ζ(s)ds,

+
t−τ

trong đó, ζt = ζ(t + β), β ∈ [ − τ, 0]. Nhắc lại, cho ba trận K1 , K2 , K3 với số chiều
thích hợp và K2 > 0 ta có
T

T

K1 K3 +K 3 K1

T
T
−1
K1 K 2 K1 + K3 K2 K3 .


13

Đạo hàm theo biến thời gian t của V (ζt ) sau đó thế (2.16) và (2.17) vào công thức
đạo hàm. Ta có
−1 ¯
−1 ¯ ¯ −T
T
T
d
ζ(t) P¯ Eζ(t)
+ ζ(t) P¯ Q
P ζ(t)
V˙ (ζt ) = dt
−1 ¯ ¯ −T
T
− ζ(t − τ ) P¯ Q

P ζ(t − τ )
−1
−1
T
˙ + ζ(t)
˙ T E¯ T P¯ ζ(t) + ζ(t)T P¯ −1 Q
¯ P¯ −T ζ(t)
= ζ(t) P¯ E¯ ζ(t)
−1 ¯ ¯ −T
T
− ζ(t − τ ) P¯ Q
P ζ(t − τ )
−1 ¯
−1 ¯ ¯ −T
−1
T
T
T
= 2 ζ(t) P¯ Aζ(t)
+ ζ(t) P¯ Q
P ζ(t) + 2 ζ(t) P¯ A¯d ζ(t − τ )
−1 ¯ ¯ −T
T
− ζ(t − τ ) P¯ Q
P ζ(t − τ )
−1
T
T
T ¯ −1 ¯ ¯ T
T

¯ × P¯ −T ζ(t)
ζ(t) P¯
A¯ P¯ +P¯ A¯ + A¯d P¯ Q
P Ad +Q

Kết hợp bất đẳng thức trên với bất đẳng thức (2.8) ta suy ra rằng V˙ (ζt ) < 0 và
λ ζ1 (t)

2

−1
T
ζ1 (t) P¯ 11 ζ1 (t) − V (ζ0 )

−V (ζ0 )
t

T

ζ1 (t)

−1
P¯ 11 ζ1 (t)

−1 ¯ ¯ −T
T
ζ(s) P¯ Q
P ζ(s)ds − V (ζ0 )

+

t−τ

V˙ (ζs )ds

=

t

t

t

2

− λ2

ζ1 (s) ds < 0

(2.18)

0

0

0

2

− λ2

ζ(s) ds

trong đó
−1
λ1 = λmin (P¯ 11 ) > 0,
T
T
T ¯ −1 ¯ ¯ T
¯ × P¯ −T ] > 0.
P A d +Q
λ2 = λmax [P¯ −1 A¯ P¯ +P¯ A¯ + A¯d P¯ Q

Từ bất đẳng thức (2.18) ta suy ra rằng
t

λ ζ1 (t)

2

2

+ λ2

ζ1 (t) ds

V (ζ0 ).

0

Do đó

ζ1 (t)
và

2

< m1 ,

(2.19)

t
2

ζ1 (t) ds
o

m2 ,

(2.20)


14

trong đó
m1 =

1
V (ζ0 ) > 0,
λ1

m2 =

1
V (ζ0 ) > 0
λ2

Do đó ζ1 (t) bị chặn. Kết hợp điều này với (2.15) ta có thể suy ra từ (2.17) là
ζ2 (t) cũng bị chặn. Do vậy từ (2.16) ta suy ra được ζ˙ 1 (t) bị chặn. Từ đó ta có
dt
t

ζ1 (t)

2

cũng bị chặn. Áp dụng bổ đề (1.2.8) ta có ζ1 (t)

2

liên tục đều. Kết hợp

(2.20) với bổ đề (2.1.2) (Barbalat’s lemma) ta có
lim ζ1 (t) = 0.

(2.21)

t→∞

Chú ý rằng, với mọi số t > 0 tồn tại một số nguyên dương k sao cho
kτ − τ

t < kτ,

và từ (2.17) ta có
k
i−1

k

ζ2 (t) = (−Ad22 ) ζ2 (t − kτ ) −

(− Ad22 )

Ad21 ζ1 (t − iτ ).

i=1

Kết hợp đẳng thức trên với (2.15) và (2.21) ta có
lim ζ2 (t) = 0.

t→∞

Vậy hệ (ΣD ) ổn định, từ đó suy ra hệ (2.1) ổn định.

2.2

Hệ phương trình vi phân suy biến có trễ hằng với
tham số không chắc chắn.

Xét hệ suy biến có trễ với tham số không chắc chắn sau
(Σ) : E x(t)

˙
= (A + ∆A)x(t) + (Ad +∆ Ad )x(t − τ ) + (B + ∆B)u(t),
x(t) = φ(t), t ∈ [ − τ, 0].

(2.22)
(2.23)

Trong đó x(t) ∈ Rn là vectơ trạng thái, E ∈ Rn×n là ma trận có thể suy biến, A, Ad
và B là các ma trận hằng số thực với số chiều thích hợp, φ(t) là hàm vectơ thực


15

liên tục với mọi t ∈ [−τ, 0]. ∆A, ∆ Ad và ∆B là các ma trận biểu diễn cho tham số
không chắc chắn thỏa mãn điều kiện sau đây
∆A ∆Ad ∆B = M F (σ) NA Nd NB ,

(2.24)

trong đó, M, NA , Nd và NB là các ma trận thực hằng số với số chiều thiều thích
hợp. Ma trận không chắc chắn F (σ) thỏa mãn
F (σ)F (σ)T

I,

(2.25)

và σ ∈ Θ trong đó Θ là tập compact trong R. Hơn nữa, ta có thể giả sử ma
trận F thỏa mãn F F T

I, nghĩa là tồn tại σ sao cho F = F (σ). Các ma trận

∆A, ∆Ad , ∆B được gọi là chấp nhận được nếu thỏa mãn cả hai điều kiện (2.24) và
(2.25).
Định nghĩa 2.2.1. Hệ không chắc chắc (Σ) với u(t) ≡ 0 được gọi là ổn định toàn
phương tổng quát nếu hệ không chắc chắn (Σ) là chính qui, impulse−free và ổn
định với mọi ma trận tham số không chắc chắn chấp nhận được ∆A, ∆Ad .
Định nghĩa 2.2.2. Hệ không chắc chắc (Σ) được gọi là ổn định hóa được toàn
phương tổng quát nếu tồn tại hàm điều khiển tuyến tính u(t) = Kx(t), K ∈ Rm×n
sao cho hệ đóng ( hệ (Σ) với u(t) = Kx(t)) là ổn định toàn phương tổng quát. Khi
đó, u(t) = Kx(t) được gọi là hàm điều khiển phản hồi của hệ (Σ).
Mệnh đề 2.2.1. Hệ không chắc chắn (Σ) là ổn định toàn phương tổng quát nếu
tồn tại hai ma trận Q > 0 và P sao cho
EP T = P E T

0,

(2.26)

(A + ∆A)P T + P (A + ∆A)T + (Ad + ∆Ad )P T Q−1 P (Ad + ∆Ad )T + Q < 0, (2.27)
với mọi ma trận tham số không chắc chắn chấp nhận được ∆A và ∆Ad .
Mệnh đề 2.2.2. Hệ không chắc chắn (Σ) là ổn định hóa được nếu tồn tại một hàm
điều khiển tuyến tính u(t) = Kx(t), K ∈ Rm×n , ma trận Q > 0 và ma trận P thỏa
mãn
EP T = P E T

0,

(2.28)

16

(AK + ∆AK )P T + P (AK + ∆AK )T
+(Ad + ∆Ad )P T Q−1 P (Ad + ∆Ad )T + Q < 0,

(2.29)

với mọi ma trận tham số không chắc chắn chấp nhận được ∆A, ∆Ad , ∆B. Trong
đó
AK = A + BK,

∆AK = ∆A + ∆BK.

(2.30)

Bổ đề 2.2.1. ([4] ) Xét hệ không chắc chắn (Σ). Nếu hệ không chắc chắn (Σ) là
ổn định toàn phương tổng quát thì hệ ổn định vững. Nếu hệ không chắc chắn (Σ)
là ổn định hóa được toàn phương tổng quát thì hệ là ổn định hóa được vững.
Bổ đề 2.2.2. ([4] ) Cho các ma trận Ω, Γ, Ξ với số chiều thích hợp và Ω là ma trận
đối xứng thì khi đó
Ω + ΓF (σ)Ξ + (ΓF (σ)Ξ)T < 0,
với mọi ma trận F thỏa mãn F (σ)F (σ)T

I, khi và chỉ khi tồn tại ε > 0 sao cho

Ω + εΓΓT + ε−1 ΞT Ξ < 0.
Để chứng minh đinh lý sau chúng ta sử dụng ký hiệu xét ma trận Φ ∈ Rn×(n−r)
thỏa mãn EΦ = 0 và rank(Φ) = n − r và
W = A(EX + Y ΦT )T + (EX + Y ΦT )AT + M M T + Q.

Định lý 2.2.1. Hệ không chắc chắn (Σ) được gọi là ổn định toàn phương tổng quát
khi và chỉ khi tồn tại ε > 0 và các ma trận X > 0, Q > 0, Y thỏa mãn bất đẳng
thức ma trận tuyến tính


W



 (EX + Y ΦT )ATd


Ad (EX + Y ΦT )T (EX + Y ΦT )NAT
−Q

NA (EX + Y ΦT )T Nd (EX + Y ΦT )T

T



T

d 

(EX + Y Φ )N
−εI



< 0.

(2.31)


17

Chứng minh. Điều kiện đủ:
Giả sử rằng tồn tại số ε > 0, ma trận X > 0, Q > 0 và Y thỏa mãn bất đẳng thức
(2.31). Bằng cách đặt P = EX + Y ΦT , khi đó ta dễ dàng thấy rằng
EP T = P E T

0.

(2.32)

Với
 mọi ma trận F (σ) thỏamãn(2.25)
 và mọi ε > 0 ta có
∆AP T + P ∆AT ∆Ad P T
M

 =   F (σ) × NA P T Nd P T
P ∆ATd
0
0


T
P NA

 F (σ)T × M T 0
+
T
P Nd




T
T
εM M 0
P NA

 + ε−1 
 × NA P T Nd P T
0
0
P NdT
Do đó


T
T
T
(A + ∆A)P + P (A + ∆A) + Q (Ad + ∆Ad )P


P (Ad + ∆Ad )T
−Q





T
T
T
T
T
AP + P A + εM M + Q Ad P
P NA

 + ε−1 
 NA P T Nd P T .
T
T
P Ad
−Q
P Nd
Áp dụng bổ đề (1.2.3) (Schur complement lemma), từ bất đẳng thức trên và bất
đẳng thức (2.31) ta suy ra


T
T
T
(A + ∆A)P + P (A + ∆A) + Q (Ad + ∆Ad )P

 < 0,
T
P (Ad + ∆Ad )

−Q
điều này tương đương với
(A + ∆A)P T + P (A + ∆A)T + (Ad + ∆Ad )P T Q−1 P (Ad + ∆Ad )T + Q < 0.
Từ bất đẳng thức trên cùng với bất đẳng thức (2.32), theo định nghĩa (2.2.3) ta
suy ra hệ đã cho là ổn định toàn phương tổng quát.
Điều khiện cần:
Giả sử hệ không chắc chắn, suy biến có trễ hằng (Σ) là ổn định toàn phương tổng
quát. Theo mệnh đề (2.2.1) nghĩa là tồn tại các ma trận Q > 0 và P sao cho (2.26)


18

và (2.27) đúng. Do đó với mọi F (σ) thỏa mãn (2.24) và (2.25) thì bất đẳng thức
sau đúng


T
T
T
(A + ∆A)P + P (A + ∆A) + Q (Ad + ∆Ad )P

 < 0,
T
P (Ad + ∆Ad )
−Q
ta
 có thể biểu diễn lại nhưsau 
AP T + P AT + Q Ad P T
M


 +   F (σ) NA P T Nd P T
P ATd
−Q
0


P NAT

 F (σ)T M T 0 < 0.
+
T
P Nd
Áp dụng bổ đề (2.2.2), từ 
bất đẳng

 thức
AP T + P AT + Q Ad P T
MMT

 + ε
P ATd
−Q
0

trên
 suy ra
 tồn ε> 0 sao cho
0
P NAT
 + ε−1 

 NA P T Nd P T < 0.
T
0
P Nd

Áp dụng một lần nữa bổ đề (1.2.3) (Schur complement lemma), ta có


AP T + P AT + εM M T + Q Ad P T P NAT


T
T  < 0.

P
A
−Q
P
N
d
d 

T
T
NA P
Nd P
−εI

(2.33)

Áp dụng bổ đề (1.1.2), từ (2.33) chứng tỏ rằng bộ (E, A) là chính qui và impulsefree. Do đó theo [4] tồn tại hai ma trận khả nghịch U và V ∈ Rn×n sao cho




Ir 0
A1 0
;
,
E¯ := U EV = 
A¯ = U AV = 
(2.34)
0 0
0 In−r
trong đó, Ir ∈ Rr×r và In−r ∈ R(n−r)×(n−r) là các ma trận đơn vị, A1 ∈ Rr×r . Đặt
P¯ := U P V −T . Theo định lý (2.1.1) ta có P¯ có dạng


¯
¯
P11 P12
,
(2.35)
P¯ = 
¯
0 P22
trong đó P¯11 > 0, P¯12 ∈ Rr×(n−r) và P¯22 ∈ R(n−r)×(n−r) Mặt khác, từ EΦ = 0
và rank(Φ) = n − r, chúng ta có thể chỉ ra rằng tồn tại ma trận khả nghịch

19

Λ ∈ R(n−r)×(n−r) sao cho


Φ=V 

0
In−r


 Λ.

(2.36)



¯
¯
P11 P12
V T
Do đó, P = U −1 
¯
0 P22



 



¯
Ir 0
P
0
 V −1  V  11
V T
= U −1 
0 0
0 In−r

 

P¯
−1  12  −T 

+ U
Λ
ΛT 0 In−r V T
P¯22
= EX + Y ΦT ,
trong đó,


¯
P11 0
V T,
X=V 
0 In−r

 

P¯
−1  11  −T
Y =U
Λ .
P¯22

Cuối cùng, từ X > 0 và thay P vào (2.33) suy ra điều cần chứng minh.
Định lý 2.2.2. ([4]) Hệ không chắc chắn, suy biến có trễ hằng (Σ) là hệ ổn định
hóa được toàn phương tổng quát nếu tồn tại một số ε > 0 và các ma trận
X > 0, Q > 0, Y, Z thỏa mãn bất đẳng thức ma trận tuyến tính sau


T
W
Ad Υ(X, Y )T Υ(X, Y )NAT + Z T BN


T
T

 < 0,
Υ(X,
Y
)A
−Q
Υ(X,
Y
)N
d
d



T
T
NA Υ(X, Y ) + NB Z Nd Υ(X, Y )
−εI

(2.37)

trong đó,
W = AΥ(X, Y )T + Υ(X, Y )AT + BZ + Z T B T + εM M T + Q,
Υ(X, Y ) = EX + Y ΦT với Υ(X, Y ) là khả nghịch. Khi đó, hàm điều khiển phản
hồi là
u(k) = ZΥ(X, Y )−T x(t).

(2.38)

Chứng minh. Theo mệnh đề (2.2.2), hệ (Σ) là ổn định hóa được toàn phương tổng
quát trong trường hợp đối với điều kiện tham số không chắc chắn (2.24) nếu và chỉ