TOÁN 8 CHUYÊN ĐỀ 8 BIẾN ĐỔI CÁC BIỂU THỨC HỮU TỈ

 
 

Chuyên đề 4
BIẾN ĐỔI CÁC BIỂU THỨC HỮU TỈ
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. Nhờ các quy tắc của các phép toán cộng, trừ, nhân, chia các phân thức ta có thể 
biến đổi một biểu thức hữu tỉ thành một phân thức. 
2. Khi làm tính trên các phân thức ta chỉ việc thực hiện theo các quy tắc của các 
phép toán, không cần quan tâm đến giá trị của biến. Nhưng khi giải những bài toán 
liên quan đến giá trị của phân thức ta phải tìm điều kiện để giá trị của phân thức 
được xác định, đó là điều kiện của biến để giá trị tương ứng của mẫu thức khác 0. 
B. MỘT SỐ VÍ DỤ

2
x2
x 2 -y 2
y2
x-y
 - (
 + 
 + 
).
.   
Ví dụ 17. Rút gọn biểu thức:
y
x 2 -xy
xy
xy-y 2 x 2 -xy+y 2
2
x2

x 2 -y 2
y2
x-y
 + 
 + 
). 2
.
Giải.  - ( 2
2
y
x -xy
xy
xy-y x -xy+y 2
2
x2
x 2 -y 2
y2
x-y
 - ( 2
 + 
 + 
).
y
x -xy
xy
xy-y 2 x 2 -xy+y 2
2
x2
x 2 -y 2
y2

x-y
=   - [
 + 
 + 
]. 2
y
x(x-y)
xy
y(x-y) x -xy+y 2
2 (x+y)(x 2 -xy+y 2 )
1
2 x+y
 2x-x-y
x-y
=   - 
. 2
 =   - 
 = 
 = 
2
y
xy
x -xy+y
y
xy
xy
xy

1
1

Ví dụ 18. Rút gọn rồi tính giá tị của biếu thức A với  x =  ; y =  .   
2
3
Giải.
ĐKXĐ: y  0; x  ±y; x  2y; x  3y. 

 
 


 
 

A = 

4y 2  -   x - y 

2

.

y 2  x - y 

y  y - x 
x - 3y

 + 

x  x - 2y   - 2  x 2  - xy 
2  x - 2y 

 : 

y  x + y 
2  x - 2y 

2y + x - y  2y - x + y  y  y - x 

x 2  - 2xy - 2x 2  + 2xy 2  x -2y 
   = 
.
 + 
.
y 2  x - y 
x - 3y
2  x - 2y 
y(x+y)
-x 2 .2(x-2y)
(x+y)(3y-x).y(x-y)
 + 
   =  2
2(x-2y)(x+y)
y  x - y  .(3y-x)
   = 

 x + y   - 
y

  

x2
(x+y) 2 -x 2
2xy+y 2
y(2x+y)
2x+y
 = 
 = 
 = 
 = 
y(x+y)
y(x+y)
y(x+y)
y(x+y)
x+y

  

1
1
Vì  x =  ; y =  .  thỏa mãn ĐKXĐ, khi đó giá trị của biếu thức A là  
2
3
 
1 1
1
2.(- )+
-1+
2 3  = 
3 =4.  
A = 

1 1
1 1
- +
- +
2 3
2 3

 

 
 

1
x 3 -x
1
1
 -  2 .( 2
 -  2 )   
Ví dụ 19. Cho biểu thức :  B = 
x+1 x +1 x +2x+1 x -1
a) Rút gọn B ; 

 

b) Với giá trị nào của x thì B = 1 ? 
Giải. ĐKXĐ : x  ± 1. 
a) B = 

1
x(x-1)(x+1) (x-1)-(x+1)

1
-2x
 - 
.
 = 
 - 
x+1
x 2 +1
(x+1) 2 (x-1)
x+1 (x 2 +1)(x+1)

x 2 +1+2x
(x+1) 2
x+1
       =  2
 =  2
 =  2 .
(x -1)(x+1)
(x +1)(x+1)
x +1

  


 
 

 
Vậy khi x = 0 thì B = 1.  
3

Ví dụ 20. Cho biểu thức  P = [(x  - 8) : 

x 2  + 2x + 4
x 2  - 4
x 3  - 8
 -  2
.
] : (x - 1)  
x + 2
x  + 2x + 4 x + 2

a) Rút gọn P; 
b) Tìm x  Z để P có giá trị nguyên. 
Giải. a) ĐKXĐ: x  -2; x  1. 

(x - 2)(x 2  + 2x + 4).(x + 2) (x - 2)(x + 2) (x  -2)(x 2 + 2x + 4) 1
 = [
- 2
.
].
x 2 + 2x + 4
x + 2x + 4
x + 2
x-1
2
2
1
x  -4 - x  + 4x - 4
4x - 8
= [(xP 2  - 4) - (x - 2)2 ].

=
 = 
.
  
x - 1
x - 1
x - 1
4
4
4x - 4 - 4
4(x - 1)
 - 
 = 4 - 
.
b)     P = 
 = 
x - 1
x - 1
x - 1
x - 1
P có giá trị nguyên  

4
có giá trị nguyên 
x 1

                                 x  1Ư(4) ={  1;   2;   4} 
x - 1 

-1 

1 

2 

-2 

4 

-4 

x 

0 

2 

3 

-1 

5 

-3 

 
Vậy khi x {-3; -1; 0; 2; 3; 5} thì P có giá trị nguyên. 
1 - (x 2 + y 2 )
1
1

 + 1](1 + 
):(1 - 
)   
Ví dụ 21. Cho biểu thức  Q= [
2xy
x - y
x - y

a) Rút gọn Q ; 

 
 


b) Chứng minh rằng khi x và y trái dấu thoả mãn điều kiện x  y + 1 thì giá trị của
biểu thức Q luôn luôn không âm.
Giải.
1 - x 2 - y 2 + 2xy x - y +1 x- y - 1 1 - (x - y) 2 x - y +1 x - y
a) Q =
.
:
=
.
.
2xy
x-y
x-y
2xy
x-y x-y-1
=

(1 - x + y )(1 + x - y) x - y + 1
(x - y + 1) 2
.
=.
2xy
x-y-1
2xy

b) Vì x và y là hai số trái dấu nên các giá trị các mẫu thwusc 2xy, x – y đều khác 0.
Mặt khác do x  y + 1 nên giá trị mẫu thức xx – y -1  0.
Ta có -(x - y +1) 2  0 ; 2xy < 0 nên Q  0.
C. BÀI TẬP
1. Cho biểu thức

A=

1
1 1
3
1 1
6
1 1
(
)
+
(
+
)
+

(
- ).
(x-y)3 x 3 y3
(x-y) 4 x 2 y 2
(x-y)5 x y

Chứng minh rằng A là lập phương của một biểu thức hữu tỉ.
2. Chứng minh rằng với những giá trị thích hợp của biến thì các biểu thức sau có giá
trị là hằng số:
a) A = (

x
y
x+y
2
):(
- 2 2 );
x-y x+y
x-y x -y

(x+y) 2
x
x
5x-3y
b) B =
.[
- 2 2].
2
x
(x+y)

x -y
y-x

3. Chứng minh rằng với những giá trị thích hợp của biến thì các biểu thức sau có giá
trị bằng nhau:


x
x3
x3
2
( +1)
1- 3
+1
y
y
y3
M=
.
:
;
x y x2 x
x y
+ +1 + -1
y x y2 y
y x
N=(

x
x+6

2x+6
x
- 2
): 2
.
x -36 x -6x
x -6x x+6
2

4. Chứng minh các đẳng thức sau:

x 2 +xy+y 2
x 2 -xy+y2
y2
2x
a) (
+
) : (x + y +
)=
;
x+y
x-y
x-y
x+y
x+2 4(y+1)
x 2 (y+1) y 2 (x+2)
1
b) [
]:[
]=

.
x+1
y+2
x+1
y+2
y-x

5. Cho biểu thức

y 2 - yz + z 2
x2
3yz 2xy + 2xz
A=(
+
).
+ (x + y + z) 2 ,
x
y+z y+z x+y+z
trong đó x, y, z  Z, x  0; y + z  0 và x + y + z  0.
Chứng minh rằng A 3.

y 2 -yz+z 2
x2
3yz 2xy+2xz
+
).
+ (x+y+z) 2 ,
6. Cho biểu thức B = (
x
y+z y+z x+y+z

trong đó xyz  0 và x + y + z  0.
Chứng minh rằng biểu thức B có giá trị không âm.
7. Cho biểu thức

1
4x 2 -8xy+4y 2
M=[
+ 2(x-y) - 1] : (2x - 2y )
1+2x-2y
2x-2y+1
trong đó x, y Z. Chứng minh rằng giá trị của M là một số chẵn với x, y là, cho M
có nghĩa.


8. Cho biểu thức

x-1
2
(x-1)4 +2
N=(
):(
- x + 1) , trong đó x là số nguyên.
(x-1)2 +x x-2
(x-1)3 -1
Chứng minh rằng với mọi giá trị thích hợp của x thì giá trị của N luôn là một số
nguyên.
x 2 x 2 +16
.(
+ 8) + 9.
9. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =

x+4
x

10. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
x 3 +8 4x 2 +8x+16 4x
-16
Q=( 3 .
): 4 3
.
2
x -8
x -4
x-2
x -6x +12x 2 -8x