( gv nguyễn thanh tùng) 10 câu lượng giác image marked image marked

Câu 1(GV Nguyễn Thanh Tùng 2018)Biết có một số điểm biểu diễn nghiệm của phương
trình tan x = − 3 trên đường tròn lượng giác ở hình bên, đó là
những điểm nào?
A. A và E.
B. B và F.
C. C và G.
D. D và H.
Đáp án C
tan x = − 3  x = −


+ k
3

( k  Z)

Điểm biểu diễn nghiệm của phương trình là C và G.
Câu 2(GV Nguyễn Thanh Tùng 2018). Biết S = ( a; b ) là tập tất cả các giá trị thực của m để
phương trình cos3x − cos 2x + mcos x −1 = 0 có đúng 8 nghiệm thực phân biệt thuộc khoảng
 

 − ; 2  . Tính tổng T = a + b .
 2


A. 4.

B. -2.

C.

17
.
4

D.

25
.
4

Đáp án D.

cos3x − cos 2x + mcos x −1 = 0
 4 cos3 x − 3cos x − ( 2 cos 2 x − 1) + m cos x − 1 = 0

 4cos3 x − 2cos2 x + ( m − 3) cos x = 0
cos x = 0 (1)

2
 4 cos x − 2 cos x + m − 3 = 0


(1)  x = + k
2

(2)

 

x − ;2  

 2


( k  Z) ⎯⎯⎯⎯→−

 

3
 + k  2 → −1  k  1,5 → k = 0;1 → x1 = ; x 2 =
2 2
2
2

 

→ (1) có 2 nghiệm thuộc  − ; 2 
 2


 

Để phương trình đã cho có đúng 8 nghiệm thuộc  − ; 2  thì (2) phải có đúng 6 nghiệm
 2


 

phân biệt thuộc  − ; 2  và khác x1; x2.
 2


Đặt t = cos x (-1 ≤ t ≤ 1), (2) trở thành: f(t) = 4t2 – 2t + m – 3 = 0 (3)


 

+ Nếu 0 < t < 1 thì phương trình cos x = t có 3 nghiệm phân biệt thuộc  − ; 2  .
 2

 

+ Nếu -1 < t < 0 thì phương trình cos x = t có 2 nghiệm phân biệt thuộc khoảng  − ; 2  .
 2


 

Do đó, (2) có đúng 6 nghiệm phân biệt thuộc  − ; 2   (3) có 2 nghiệm t1; t2 thỏa mãn 0
 2

< t1 < t2 < 1.

4f ( 0 )  0
m − 3  0

13 25

 13 
 4f (1)  0  m − 1  0
 m   3;  → a + b = 3 + = .
4

4
 4
 '  0

1 − 4 ( m − 3)  0

Câu 3. (GV Nguyễn Thanh Tùng 2018) Phương trình 2sin x −1 = 0 có bao nhiêu nghiệm
thuộc khoảng từ (0;3 ) ?
A. 2.

B. 3.

C. 4.

D. 6

Đáp án C



x = + k 2

1
6
PT  sin x =  
2
 x = 5 + k 2

6
Xét 0 

Xét 0 


6

+ k 2  3  0 

(k  ) .

1
−1
17
  13 
+ 2k  3 
k
 k  0;1  x   ;

6
12
12
6 6 

5
5
−5
13
 5 17 
+ k 2  3  0  + 2k  3 
 k   k  0;1  x   ;


6
6
12
12
 6 6 

Vậy có 4 nghiệm thoản mãn yêu cầu.
Câu 4 (GV Nguyễn Thanh Tùng 2018)Có bao nhiêu giá trị nguyên của a nhỏ hơn 2018 để
phương trình

3
+ 3 tan 2 x + tan x + cot x = a có nghiệm?
2
sin x

A. 2017.

B. 3.

C. 2010.

D. 2011.

Đáp án D
ĐK: sin 2 x  0
PT

 3 ( cot 2 x + 1) + 3tan 2 x + tan x + cot x = a  3 ( tan 2 x + cot 2 x + 2 ) + tan x + cot x − 3 − a = 0
 3( tan x + cot x ) + tan x + cot x − 3 − a = 0
2

Đặt t = tan x + cot x  t  2 . Phương trình trở thành 3t 2 + t = a + 3 .
Xét hàm số f ( t ) = 3t 2 + t

( t  2 ) ; f  ( t ) = 6t + 1 . Ta có bảng biến thiên sau

−

t

f  (t )

-2
-

f (t )

+

2
+

+

+
10

14

Do đó phương trình có nghiệm khi a + 3  10  a  7 .
Vậy số giá trị nguyên của a nhỏ hơn 2018 thỏa mãn yêu cầu đề bài là 2017 − 7 + 1 = 2011.
Câu 5 (GV Nguyễn Thanh Tùng 2018)Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình

  7 
3 sin x − cos x = m có nghiệm trên đoạn  ;  ?
6 6 
A. 2.

B. 3.

C. 4.

D. 5.

Đáp án B
PT 

3
1


sin x − cos x = m  sin  x −  = m .
2
2
6





  7 

x   ;   x −   0;    sin  x −    0;1
6
6
6 6 

Do đó phương trình có nghiệm 

m
  0;1  m   0;2 . Do m   m 0;1;2.
2

Câu 6 (GV Nguyễn Thanh Tùng 2018). Gọi S là tập nghiệm của phương trình

sin 6x − cos 2x +1 = sin 4x trên đoạn  0;   . Tính tổng các phần tử của tập S .
A.

7
.
2

B.

89
.
24

C.

65
.
24

D.

Đáp án A

(

)

2
2
PT  sin 6 x − sin 4 x − 1 − 2sin x + 1 = 0  2cos5 x sin x + 2sin x = 0

17
.
8



 x = k
 x = k

sin x = 0



.



 x = + k





cos5
x
=
cos
+
x
cos5
x
=
−
sin
x
8
2




2





x = − + k
12
3




Xét trên 0;   thì x  0;  ;

 5  7 11 

; ; ; ;
.
8 8 4 12 12 

Vậy tổng các nghiệm cần tìm là

7
.
2

Câu 7 (GV Nguyễn Thanh Tùng 2018)Gọi a, b lần lượt là nghiệm âm lớn nhất và nghiệm
dương nhỏ nhất của phương trình

.
3

A. T =

1 − cos 2x
+ 3 sin x = 3. Tình tổng T = a + b.
2 (1 − cos x )

B. T = −

4
.
3


C. T = − .
3

D. T = −

5
.
3

Đáp án B.
ĐKXĐ: x ≠ k2π ( k  Z ) .
2 (1 − cos 2 x )
1 − cos 2x
3
1
+ 3 sin x = 3 
+ 3 sin x = 3 
sin x + cos x = 1
2 (1 − cos x )

2 (1 − cos x )
2
2

 


 sin  x +  = 1  x + = + k2  x = + k2
6
6 2
3


x0

( k  Z)


1

+ k2  0  k  − → nghiệm dương nhỏ nhất ứng với k = 0 → b =
3
6
3

1
5
4
x  0  k  − → nghiệm âm lớn nhất ứng với k = -1 → a = −
→T =a+b=− .

6
3
3

Câu 8 (GV Nguyễn Thanh Tùng 2018)Cho x thỏa mãn điều kiện tan x = 2 . Tính giá trị của
biểu thức T =
A. T =

1
4

3sin x − 2 cos x
sin x + 3cos x

B. T =

1
5

C. T =

4
5

D. T = −

3
4

Đáp án C

Do tan x = 2  cos x  0 . Khi đó: T =

( 3sin x − 2 cos x ) : cos x = 3 tan x − 2 = 3.2 − 2 = 4
.
( sin x + 3cos x ) : cos x tan x + 3 2 + 3 5


Câu

9

(GV

Nguyễn

Thanh

Tùng

2018)Số

nghiệm

phương

của

trình






cos − x  .s inx = 1 − sin  + x  với x 0;3  là
2

2

A. 2

B. 3

C. 4

D. 5

Đáp án D





Ta có cos  − x  = sin x và sin  + x  = cos x , biến đổi phương trình như sau
2
2


pt  sin x.sin x = 1 − cos x
 1 − sin 2 x − cos x = 0
 cos 2 x − cos x = 0

 x = k 2
cos x = 0


 x =  + k
 cos x = 1

2
5 
  3
Với x  [0;3 ] , ta suy ra x  0; ; ; 2 ;  , vậy số nghiệm của pt thỏa mãn yêu cầu đề
2 
 2 2
bài là 5.
Câu 10 (GV Nguyễn Thanh Tùng 2018)Tính tổng tất cả các nghiệm của phương trình

tan x + cot x =
A.


2

4 3
trên đoạn  0;   .
3

.

B.

3
.
2

C.


3

.

D.

2
.
3

Đáp án A.

tan x + cot x =

4 3
1
4 3
 tan x +
=
 3 tan 2 x − 4 3 tan x + 3 = 0
3
tan x

3


 tan x = 3
x =




3
tan
x
=
x =

3




+ k
0 
3
x0;
k

Z
⎯⎯⎯
→


(
)

0 
+ k

6




+ k  
x1 =


3
3
→k =0→
→ x1 + x 2 =

2
x = 
+ k  
2

6
6
