Công thức nghiệm của phương trình bậc ba và bậc bỗn

PHƯƠNG TRÌNH BẬC BA
Lịch sử ra đời:
Bốn nghìn năm trước đây người Hi Lạp đã biết cách giải các phương trình bậc nhất và bậc
hai. Trải qua nhiều thế kỉ, các nhà toán học tìm cách giải tổng quát các phương trình bậc ba nhưng
không có kết quả.
Mãi đến năm 1526, nhà toán học I-ta-li-a Phe-rô (Ferro) mới tìm được cách giải tổng quát
phương trình bậc ba dạng x 3  px  q với p, q  0 nhưng ông không công bố phát minh của mình.
Nắm được cách giải này, tháng 2 năm 1935, các học trò của Phe-rô thách nhà toán học có tiếng
lúc đó là Tac-ta-li-a (Tartaglia) giải phương trình bậc ba và họ tin chắc mình nắm chắc phần
thắng. Một tuần trước ngày thi tài, Tac-ta-li-a đã tìm được cách giải tổng quát phương trình
x 3  px  q  0 với mọi giá trị p và q . Ông đã giải được 30 bài toán của đối phương trong ngày
đọ sức, trong khi đối phương không giải được bài nào trong 30 bài ông đưa ra.
Theo lời khẩn khoản của Cac-đa-nô (Cardano), Tac-ta-li-a đã truyền lại cách giải ấy, nhưng
yêu cầu giữ bí mật. Năm 1545, Cac-đa-nô đã công bố công thức tìm nghiệm của phương trình bậc
ba trong một cuốn sách của mình.
CÔNG THỨC NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC BA
Phương trình bậc ba tổng quát có dạng: ax 3  bx 2  cx  d  0 (a �0)
3

2

�p � �q �
Đối với phương trình bậc ba một ẩn: ax  bx  cx  d  0 (a �0) và biệt thức  '  � � � �
�3 � �2 �
b3  3ac
2b3  9abc  27 a 2 d
với p  
, ta có:
,
q


3a 2
27a 3
- Nếu  '  0 thì phương trình có một nghiệm thực duy nhất:
q
q
b
x  3   '  3   ' 
2
2
3a
- Nếu  '  0 thì phương trình có hai nghiệm thực phân biệt trong đó có một nghiệm kép:
b
x1   3 4q 
3a
q b
x2  x3  3 
2 3a
- Nếu  '  0 thì phương trình có ba nghiệm thực phân biệt:
b
x1  u1  v1 
3a
1
3
b
x2   .(u1  v1 )  i
.(u1  v1 ) 
2
2
3a
1

3
b
x3   .(u1  v1 )  i
.(u1  v1 ) 
2
2
3a
p
q
q
Trong đó: u1  3    ' , v1  3    ' và u1.v1  
3
2
2
3

2


PHƯƠNG TRÌNH BẬC BỐN
Năm 1545, nhà toán học I-ta-li-a Phe-ra-ri (Ferrari), học trò của Các-đa-nô, đã tìm ra cách
giải tổng quát phương trình bậc bốn. Công thức ra đời đã giải quyết sự bế tắc suốt nhiều thế kỉ khi
giải phương trình bậc bốn
CÔNG THỨC NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC BỐN
- Phương trình bậc bốn có dạng: ax 4  bx3  cx 2  dx  e  0 (a �0)



- Nguyên tắc chung: Biến đổi phương trình bậc bốn về dạng x 2   x  



2

   x  

2

- Công thức:
Ta thực hiện phép biến dổi sau:
ax 4  bx3  cx 2  dx  e  0 (a �0)
b
c
d
e
� x 4  x 3  x 2  x   0 (1)
a
a
a
a

Đặt B 

b
c
d
e
, C  , D  , E  được:
a
a

a
a

(1) � x 4  Bx 3  Cx 2  Dx  E  0
2

2

B 2
� B �
� �x 2  x � Cx 2 
x  Dx  E  0
4
� 2 �
2

2
�
y � B � y 2 �B 2
� B �
� B � y
� �x 2  x � 2. �x 2  x �
 �  C �x 2  Dx  E  y �x 2  x �
2 � 2 � 4 �4
� 2 �
� 2 � 4
�
2

2

� �By
y � �B 2
� B
� y
� �x 2  x  � �  C  y �x 2  �  D �x   E  2 
2 � �4
� 2
� 4
� �2
2
2
Để đưa được về dạng x 2   x      x    thì y phải thỏa mãn VP  0 hay:





2

2
�
�y 2
�
�By
� �B

D

4


C

y
�
�  E � 0
�
� �
�2
� �2
�
�4
�
3
2
2
2
�  y  Cy  (4 E  BD) y  D  B E  4EC  0

Đến đây ta sẽ sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc ba để tìm y , sau đó thế ngược
vào (2) để tiếp tục giải phương trình bậc bốn. Trong trường hợp có nhiều giá trị y phù hợp ta
chọn giá trị thuận lợi cho các phép biến dổi tiếp theo.
- Ví dụ áp dụng: Giải phương trình: x 4  8 x 3  15 x 2  4 x  2  0 ()
Giải:
Theo
công
thức
biến
dổi
như
2

�y 2
�
y�
�
() � �x 2  4 x  � (1  y ) x 2  (4  4 y ) x  �  2 � ()
2�
�
�4
�

trên

ta

y  1
�
3
2
Tìm y �R thỏa mãn:  y  15 y  24 y  8  0 � �
y  8 �6 2
�
2
�
�
x2  4 x  1  0
x  2 � 3
1� 9
�2
��
Thay y  1 thay vào (-) ta được: �x  4 x  � � �2

2� 4
x  4x  2  0
�
x  2 � 6
�
�



Vậy phương trình có tập nghiệm là: S  2 � 3; 2 � 6



được:


PHƯƠNG TRÌNH BẬC BỐN
Năm 1545, nhà toán học I-ta-li-a Phe-ra-ri (Ferrari), học trò của Các-đa-nô, đã tìm ra cách
giải tổng quát phương trình bậc bốn. Công thức ra đời đã giải quyết sự bế tắc suốt nhiều thế kỉ khi
giải phương trình bậc bốn
CÔNG THỨC NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC BỐN
- Phương trình bậc bốn có dạng: ax 4  bx3  cx 2  dx  e  0 (a �0)



- Nguyên tắc chung: Biến đổi phương trình bậc bốn về dạng x 2   x  



2

   x  

2

- Công thức:
Ta thực hiện phép biến dổi sau:
ax 4  bx 3  cx 2  dx  e  0
� 4a 2 x 4  4abx 3  4acx 2  4adx  4ae  0
�  2ax 2  bx    b 2  4ac  x 2  4adx  4ae
2

�  2ax 2  bx  y    b 2  4ac  4ay  x 2  2  2ad  by  x  4ac  y 2
2



Để đưa được về dạng x 2   x  

 2ad  by 

2



2

   x    thì y phải thỏa mãn  'VP  0 hay
2

  4ac  y 2   b 2  4ac  4ay   0

� a 3 y 3  a 2 cy 2   4a 2e  abd  y  ad 2  b 2e  4ace  0
Đến đây ta sẽ sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc ba để tìm y , sau đó thế
ngược
vào (2) để tiếp tục giải phương trình bậc bốn. Trong trường hợp có nhiều giá trị y phù hợp ta
chọn giá trị thuận lợi cho các phép biến dổi tiếp theo.
- Ví dụ áp dụng: Giải phương trình: x 4  8 x 3  15 x 2  4 x  2  0 ()
Giải:
Theo công thức biến dổi như trên ta được:

() �  2 x 2  8 x  y   (4  4 y ) x 2  (16  16 y ) x   y 2  8 
2

()

y  1
�
3
2
Tìm y �R thỏa mãn:  y  15 y  24 y  8  0 � �
y  8 �6 2
�
�
�
x2  4x 1  0
x  2 � 3
2
2
��

Thay y  1 thay vào (-) ta được:  2 x  8 x  1  9 � �2
x  4x  2  0
x  2 � 6
�
�



Vậy phương trình có tập nghiệm là: S  2 � 3; 2 � 6

