Luận văn Toán Phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua việc dạy học giải bài tập toán

PHẦN MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Trong nhà trường phổ thông, người giáo viên không chỉ đơn thuần truyền thụ
kiến thức cho học sinh mà còn phải biết rèn luyện kỹ năng, nâng cao tầm hiểu biết,
phát huy tính sáng tạo linh hoạt cho học sinh thông qua những giờ luyện tập, thực hành
thí nghiệm. Đối với môn toán, việc giải bài tập được xem là một hình thức vận dụng
những kiến thức đã học vào thực tế, vào những trường hợp cụ thể. Bài tập môn toán
không những giúp học sinh củng cố, đào sâu, hệ thống hoá kiến thức, rèn luyện kỹ
năng mà còn là hình thức rất tốt để dẫn dắt học sinh tự mình đi tìm kiến thức mới. Tuy
nhiên, để đạt được hiệu quả như trên, người giáo viên phải biết tổ chức một cách khéo
léo, hợp lí để giúp học sinh nắm kiến thức theo hệ thống từ thấp đến cao, từ dễ đến khó
qua việc sử dụng linh hoạt các phương pháp dạy học tích cực.
Là một giáo viên dạy toán trong tương lai, thấy được tác dụng tích cực của việc
dạy học giải bài tập toán nên em quyết định nghiên cứu đề tài: “Phát triển tư duy sáng
tạo cho học sinh thông qua việc dạy học giải bài tập toán”. Đồng thời, qua đó giúp bản
thân có điều kiện nắm vững lí luận dạy học toán, bổ sung kiến thức, rèn luyện kỹ năng
giải bài tập, nghiên cứu phát triển bài toán, tìm cách giải khác,… Nhằm giúp nâng cao
hiệu quả của việc dạy học sau này.
2. Mục đích nghiên cứu
Tìm một số phương pháp giải bài tập giúp phát huy tính tích cực, sáng tạo của
học sinh.
Trang bị cho bản thân phương pháp dạy học tích cực để vận dụng tốt vào công
việc giảng dạy sau này.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Tìm hiểu cơ sở lý thuyết về phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh và cơ sở lí
thuyết của dạy học giải bài tập toán học.
Tìm ví dụ để minh hoạ cho cơ sở lý thuyết.
Vận dụng các phương pháp dạy học giúp phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh
thông qua việc dạy học giải bài tập toán.
Thực nghiệm sư phạm nhằm rút kinh nghiệm để vận dụng vào việc dạy học sau
này.

4. Phạm vi nghiên cứu
Nghiên cứu các tài liệu về dạy học giải bài tập toán.
Nghiên cứu sách giáo khoa lớp 10, 11, 12 và tham khảo các sách bài tập khác.
5. Phương pháp nghiên cứu
5.1 Nghiên cứu lí luận
1


So sánh, phân tích, tổng hợp các tài liệu liên quan.
Thực hành giải các bài tập.
5.2 Nghiên cứu thực tiễn
Tìm hiểu quá trình phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua việc dạy
học giải bài tập toán bằng thực nghiệm giảng dạy và thăm dò ý kiến học sinh để nhằm
kiểm nghiệm vấn đề nghiên cứu.
6. Cấu trúc nội dung
Luận văn gồm 4 chương:
Chương 1: Phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh.
Chương 2: Dạy học giải bài tập.
Chương 3: Phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua việc dạy học giải
bài tập toán.
Chương 4: Thực nghiệm sư phạm.

2


PHẦN NỘI DUNG
CHƯƠNG 1: PHÁT TRIỂN TƯ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH
1. Phát triển trí tuệ và bồi dưỡng năng lực nghiên cứu toán học cho học sinh
1.1 Phát triển các thao tác tư duy
Khi học tập toán học học sinh luôn thực hiện các thao tác tư duy như phân tích,

tổng hợp, so sánh, trừu tượng hoá, khái quát hoá,… Vì vậy trong dạy học toán, giáo
viên phải chú ý phát triển cho học sinh những thao tác này.
1.1.1 Phát triển năng lực phân tích và tổng hợp
Phân tích là chia cái toàn thể ra thành từng thành phần, hoặc tách ra từng thuộc
tính hay từng khía cạnh riêng biệt nằm trong cái toàn thể để nhận thức sâu vào từng
phần, từng khía cạnh.
Ngược lại với phân tích, tổng hợp là hợp lại các phần riêng lẻ của cái toàn thể,
hoặc kết hợp lại những thuộc tính hay khía cạnh khác nhau của cái toàn thể.
Phân tích và tổng hợp là hai thao tác tư duy trái ngược nhau nhưng lại là hai mặt
của một quá trình thống nhất. Nếu không tiến hành tổng hợp mà chỉ dừng lại ở phân
tích thì sự nhận thức sự vật và hiện tượng sẽ phiến diện, không nắm được các sự vật và
hiện tượng đó một cách đầy đủ và chính xác được. Chúng là hai thao tác cơ bản của
quá trình tư duy. Những thao tác tư duy khác có thể coi là những dạng xuất hiện của
phân tích và tổng hợp.
Năng lực phân tích và tổng hợp luôn luôn là một yếu tố quan trọng giúp học
sinh nắm vững kiến thức và vận dụng kiến thức toán học.
Ví dụ: Khi học tập khái niệm, học sinh phải biết phân tích các dấu hiệu bản chất
của khái niệm, phát hiện những mối liên hệ (tổng hợp) giữa các khái niệm với nhau.
Khi học định lí, học sinh phải biết phân tích giả thiết và kết luận của định lí, mối liên
hệ giữa giả thiết và kết luận,… mối liên hệ giữa định lí này với các định lí khác,… Khi
giải bài tập, học sinh phải nhìn bao quát (tổng hợp) để nhận được dạng bài toán (biết
bài toán loại nào); phải biết phân tích cái đã cho và cái phải tìm, tìm ra mối liên hệ giữa
chúng; phân chia bài toán thành những bài toán nhỏ khác nhau (xét riêng các trường
hợp góc nhọn, vuông, tù,…), giải các bài toán đơn giản đó, rồi tổng hợp lại để được lời
giải bài toán đã cho.
1.1.2 Phát triển năng lực so sánh
So sánh là xác định sự giống nhau và khác nhau giữa các sự vật và hiện tượng.
Muốn so sánh hai sự vật (hay hai hiện tượng), ta phải phân tích các dấu hiệu, các thuộc
tính của chúng, đối chiếu các dấu hiệu các thuộc tính đó với nhau, rồi tổng hợp lại xem
hai sự vật đó có gì giống nhau và khác nhau.

3


Giáo viên nên chú ý hướng dẫn học sinh so sánh những khái niệm định lí, quy
tắc mới học với những khái niệm, định lí, quy tắc đã biết. Nhờ thấy được sự giống
nhau và khác nhau giữa chúng nên học sinh nắm vững, hiểu biết sâu sắc hơn và có hệ
thống hơn về kiến thức toán học.
1.1.3 Phát triển năng lực trừu tượng hoá và khái quát hoá
Trừu tượng hoá là sự trừu xuất (lãng quên) những dấu hiệu không bản chất và
tách riêng những đặc điểm cơ bản của một nhóm đối tượng và hiện tượng.
Sức mạnh của trí tuệ được đánh giá ở năng lực trừu tượng hoá. Trừu tượng hóa cho
phép ta đi sâu vào bản chất của đối tượng, hiện tượng cần nhận thức. Vì vậy, trong dạy
học toán, phải luôn chú ý phát triển năng lực trừu tượng hoá cho học sinh.
Để phát triển năng lực trừu tượng hoá cho học sinh, cần nắm vững mối liên hệ
chặt chẽ giữa tư duy cụ thể và tư duy trừu tượng: từ trực quan sinh động đến tư duy
trừu tượng, rồi từ đó đến thực tiễn.
Ví dụ: Khi dạy học về khái niệm góc, giáo viên cần đi theo con đường
cụ thể (1) – trừu tượng (2) – cụ thể (3)

Cụ thể (1)
Trừu tượng (2)
Cụ thể (3)

- Hình tạo bởi kim phút và kim giờ trong đồng hồ
- Hình tạo bởi hai cạnh của ê-ke
- Hình tạo bởi hai cạnh bàn
Góc là hình tạo bởi hai tia chung gốc
Góc nhọn, góc vuông, góc tù, góc bẹt

Trong quá trình trừu tượng hoá, việc tách những đặc điểm cơ bản của một nhóm

đối tượng để hình thành một khái niệm được gọi là sự khái quát hoá.
Ví dụ: Qua xét các dãy số:
2, 4, 6, 8, 10.
2, 0, 2, 4, 6,..., 2n  4
5, 9, 13, 17, 21,..., 4n  1

có một đặc điểm chung là kể từ số thứ hai mỗi số đều bằng số đứng liền trước nó cộng
với một số không đổi, từ đó khái quát hoá để hình thành khái niệm cấp số cộng.
Để giúp học sinh phát triển năng lực khái quát hóa đúng đắn, cần luyện tập cho
học sinh biết phân tích, tổng hợp, so sánh để tìm ra cái chung ẩn náu trong các hiện
tượng, sau những chi tiết tản mạn khác nhau, phát hiện mối liên hệ bản chất của sự vật
mà hình thức bên ngoài rất đa dạng. Khi tổ chức cho học sinh thực hiện khái quát hoá,
giáo viên cần chú ý nguyên tắc: “biến thiên dấu hiệu không bản chất và giữ nguyên dấu
hiệu bản chất của sự vật, hiện tượng”.

4


Cùng với phân tích, tổng hợp, trừu tượng hoá, khái quát hoá, trong môn toán
học sinh còn thường phải thực hiện các phép tương tự hóa, so sánh, đặc biệt hoá,… Do
đó, khi có điều kiện giáo viên cần rèn luyện cho học sinh những thao tác trí tuệ này.
Việc thực hiện một số trong các thao tác trí tuệ trên được minh họa qua ví dụ tìm
công thức tính sin 3x theo những hàm số lượng giác của đối số x .
Trước tiên, thao tác phân tích làm biến đổi sin 3x thành sin(2 x  x) . Sự phân tích
này diễn ra trên cơ sở tổng hợp, liên hệ biểu thức sin 3x với công thức
sin(a  b)  sin a cos b  sin b cos a . Việc khớp trường hợp riêng sin(2 x  x) vào biểu thức
tổng quát sin(a  b) là một sự khái quát hóa; việc này được thực hiện nhờ trừu tượng
hóa, nêu bật các đặc điểm bản chất “Hàm số sin ”, “Đối số có dạng tổng hai số” và tách
chúng khỏi những đặc điểm không bản chất như: “Một số hạng của tổng gấp đôi số
hạng kia”. Tiếp theo việc khái quát hóa là việc đặc biệt hóa công thức

sin(a  b)  sin a cos b  sin b cos a cho trường hợp a  2 x, b  x để đi đến công thức
sin(2 x  x )  sin 2 x cos x  sin x cos 2 x . Thao tác phân tích lại diễn ra khi tách riêng sin 2x

và cos 2x trong công thức trên để biến đổi thành:
sin 2 x  2sin x cos x; cos 2 x  cos 2 x  sin 2 x.

Từ đó dẫn tới biến đổi vế phải thành 3sin x cos 2 x  sin 3 x.
Cuối cùng, việc liên kết biểu thức xuất phát sin 3x với kết quả biến đổi
3sin x cos 2 x  sin 3 x là một sự tổng hợp dẫn tới:
sin 3x  3sin x cos 2 x  sin 3 x.

Sơ đồ sau đây minh họa quá trình tư duy vừa trình bày:

5


sin(a  b)

sin a cos b  sin b cos a

Đặc biệt hóa

sin 2 x cos x  sin x cos 2 x

Khái quát hóa

Phân tích

sin x  cos x

sin 2x

2sin x cos x

sin(2 x  x)

Phân

cos 2x

cos2 x  sin 2 x

tích
2sin x cos 2 x  sin x(cos 2 x  sin 2 x )

3sin x cos 2 x  sin 3 x.

sin 3x

Tổng hợp
Các hoạt động vừa phân tích ở trên thật ra mới chỉ ở dạng tiềm năng. Nếu giáo
viên có ý thức phát triển năng lực trí tuệ chung cho học sinh thì ở những lúc thích hợp
có thể kích thích việc thực hiện những hoạt động này bằng những câu hỏi gợi ý như:
- Hãy viết sin 3x dưới dạng thích hợp với công thức biến đổi lượng giác nào đó?
(kích thích phân tích, khái quát hóa);
- Hãy áp dụng công thức biến đổi sin của một tổng vào biểu thức sin(2 x  x) ?
(khuyến khích đặc biệt hóa).
1.2 Rèn luyện tư duy logic và ngôn ngữ chính xác
Vì toán học là một khoa học suy diễn nên môn toán có nhiều khả năng to lớn để
dạy cho học sinh tư duy chính xác, tư duy hợp logic. Nhưng tư duy không tách rời

ngôn ngữ, tư duy diễn ra dưới hình thức ngôn ngữ, được hoàn thiện trong sự trao đổi
ngôn ngữ của con người và ngược lại ngôn ngữ được hình thành và phát triển nhờ tư
duy. Vì vậy, rèn luyện tư duy logic không thể tách rời việc rèn luyện ngôn ngữ chính
xác cho học sinh.

6


Việc rèn luyện tư duy logic và ngôn ngữ chính xác qua dạy học môn toán được
thực hiện theo ba hướng liên hệ chặt chẽ với nhau:
- Nắm vững các thuật ngữ toán học và các kí hiệu toán học (ngôn ngữ toán học).
- Phát triển khả năng định nghĩa và phân chia các khái niệm.
- Phát triển khả năng suy luận chính xác, chặt chẽ, hợp logic.
Để rèn luyện tư duy logic cho học sinh có hiệu quả, giáo viên phải không ngừng
bồi dưỡng cho học sinh các quy tắc suy luận, giúp học sinh hiểu được các cấu trúc
logic của chứng minh mỗi định lí khi giáo viên dạy chúng, yêu cầu học sinh biết trình
bày đúng đắn các chứng minh định lí, bài toán toán học.
Giáo viên luôn coi trọng việc giáo dục học sinh sử dụng chính xác ngôn ngữ
trong môn toán. Đặc biệt là biết sử dụng đúng các phép toán logic: và, hoặc, nếu…
thì…, khi và chỉ khi, có ít nhất một, với mỗi,…
Giáo viên cần thường xuyên uốn nắn những sai lầm của học sinh về mặt thiếu
chính xác trong sử dụng ngôn ngữ và kí hiệu toán học. Cần chống thói quen không tốt
là sử dụng các kí hiệu toán học một cách tuỳ tiện, chẳng hạn như: “Đây là hai việc 
nhau”; hay “Anh có  lòng không?” (Hoàng Chúng, 1995).
1.3 Phát triển tư duy độc lập và tư duy sáng tạo
Tư duy độc lập biểu hiện ở khả năng tự mình phát hiện được vấn đề cần phải
giải quyết, và tự bản thân có thể đề ra phương án giải quyết khi gặp một trở ngại hay
tìm ra được lời giải đáp cho các vấn đề gặp phải; không đi tìm lời giải sẵn. Tính độc
lập liên hệ mật thiết với tính phê phán của tư duy, luôn đề cao sự đánh giá mọi tư
tưởng và ý kiến của người khác, có tinh thần hoài nghi khoa học, luôn tự vấn: “vì

đâu?”, “tại sao?”,… Tư duy sáng tạo luôn suy nghĩ tìm tòi những điều mới, nó luôn
gắn liền tính độc lập, tính phê phán và tính linh hoạt của tư duy. Tính linh hoạt của tư
duy biểu hiện ở các mặt chính yếu sau đây:
Khả năng thay đổi phương hướng giải quyết vấn đề phù hợp với sự thay đổi của
các điều kiện, biết tìm ra phương pháp mới để nghiên cứu và giải quyết vấn đề, dễ
dàng chuyển từ dạng hoạt động trí tuệ này sang hoạt động trí tuệ khác, khắc phục thái
độ rập khuôn theo mẫu định sẵn, máy móc, suy nghĩ theo lối mòn.
Khả năng xác lập sự phụ thuộc giữa các kiến thức theo trật tự ngược với cách đã
biết.
Khả năng nhìn một vấn đề, một hiện tượng theo những quan điểm khác nhau.
Để rèn luyện cho học sinh tư duy độc lập và sáng tạo, trong dạy học toán cần chú ý
thường tập dượt cho học sinh “suy luận có lí”, dự đoán thông qua quan sát, so sánh,
đặc biệt hoá, khái quát hoá, tương tự,… Chú ý đến mối liên hệ giữa cái riêng và cái
chung; cái cụ thể và cái trừu tượng; qui nạp và suy diễn trong khi giảng dạy toán học.

7


Đặc biệt là trang bị cho các em phương pháp nghiên cứu khoa học thường dùng trong
toán học.
1.4 Bồi dưỡng khả năng vận dụng các phương pháp nghiên cứu khoa học thường
dùng trong toán học
Thông qua quá trình dạy học, giáo viên cần chú ý giúp học sinh từng bước nhận
biết được và nắm được hai phương pháp thường dùng trong nghiên cứu toán học là:
phương pháp cụ thể – trừu tượng, phương pháp qui nạp – suy diễn.
1.4.1 Phương pháp cụ thể – trừu tượng
Toán học là một khoa học có tính trừu tượng cao độ. Tuy nhiên, sự hình thành
và sự phát triển của toán học thường được xuất phát từ mối quan hệ giữa cụ thể và trừu
tượng: không có cái cụ thể cảm tính thì không thể có cái trừu tượng; và không có cái
trừu tượng thì không thể có cái cụ thể trong tư duy (cái đến sau những cái trừu tượng).

Như giáo sư Nguyễn Cảnh Toàn viết: “Trong quá trình giải quyết một đề tài, những
khái quát có tính chất lí luận thường ra đời một cách không đơn giản, có khi phải xét
rất nhiều trường hợp đặc biệt, cụ thể để rồi từ đó lần mò ra cái trừu tượng, khái quát.
Tôi đã xây dựng nên lí thuyết tổng quát về “các không gian có tuyệt đối động” bằng
cách phân tích, mổ xẻ một trường hợp đặc biệt trước; có nhiều trừu tượng tôi khó nghĩ
ra nếu như không có những gợi ý của những phát hiện cụ thể đi trước.
Ngược lại, trong quá trình giải quyết một đề tài thì càng nắm vững những lí luận
trừu tượng, hiện đại, khái quát bao nhiêu thì có nhiều công cụ sắc bén để phát hiện ra
cái cụ thể bấy nhiêu. Đối với toán học thì rõ ràng những lí luận và khái quát chung
quanh khái niệm “tập hợp, ánh xạ, cấu trúc, mô hình” đã từng cung cấp những công cụ
hiệu lực của những người nghiên cứu, trong đó có tôi”.
Trong dạy học toán trong nhà trường phổ thông, “việc tăng cường khả năng cho
học sinh vận dụng kiến thức lí thuyết vào việc giải toán hay giải quyết các nhiệm vụ
thực tiễn là biện pháp phù hợp với qui luật về sự kết hợp biện chứng giữa cái cụ thể và
cái trừu tượng” (Đavưđốp, 1973). Nhưng giáo viên cũng không thể nào không quan
tâm khía cạnh: từ cái cụ thể đến cái trừu tượng, giáo viên phải chú ý dùng phép tổng
quát hoá, khái quát hóa để trình bày nhiều vấn đề toán học như: từ một tính chất trong
tam giác vuông đặt vấn đề mở rộng sang tam giác bất kỳ; từ nhiều vấn đề cụ thể dường
như rất khác nhau như bài toán tìm vận tốc tức thời và bài toán tìm hệ số góc của tiếp
tuyến của một đường cong tại một điểm mà khái quát lên thành khái niệm đạo hàm. Từ
một số bài toán cụ thể trong chương trình giáo viên gợi ý học sinh mở rộng và khái
quát hoá thành những bài toán tổng quát hơn với những cách giải tổng quát hơn.
1.4.2 Phương pháp qui nạp – suy diễn
Toán học khác với các khoa học khác ở phương pháp của nó. Trong khi các nhà
vật lý, hoá học, sinh học,… cần có phòng thí nghiệm với rất nhiều máy móc, dụng cụ,
8


có khi rất phức tạp thì nhà toán học, trong đại đa số trường hợp, hầu như chỉ cần sách
báo, bút với tờ giấy hay một viên phấn với cái bảng. Toán học dùng phương pháp suy

diễn logic mà không dùng phương pháp thí nghiệm để chứng minh các định lí vì hai lí
do:
- Có khả năng áp dụng suy diễn logic vào những đối tượng đã được trừu tượng
hoá thành thuần tuý số lượng và hình dạng không gian.
- Không có khả năng làm thí nghiệm để trực tiếp xem các định lí hình học trong
không gian n chiều (n  3) là đúng hay không, vì không gian thực tế chỉ có ba chiều.
Văn phong của toán học hiện đại là phương pháp tiên đề. Nội dung của phương
pháp đó là lập ra cho bằng được một bảng khái niệm cơ bản (gồm đối tượng cơ bản và
quan hệ cơ bản) và các “tiên đề” để rồi sau đó hoàn toàn dùng logic để định nghĩa bất
cứ khái niệm mới nào và chứng minh bất cứ định lí nào. Các “khái niệm cơ bản” trong
hệ tiên đề không được định nghĩa, mô tả gì hết. Điều này đưa đến một thuận lợi lớn là
các “khái niệm cơ bản” ta tuỳ ý gán cho cái gì cụ thể cũng được, miễn sao các tiên đề
của hệ đều nghiệm đúng, như vậy ta có một “mô hình” của hệ tiên đề đã cho. Đối với
các hệ tiên đề, có ba yêu cầu: tính đầy đủ, tính độc lập, tính không mâu thuẫn. Điều
này mở ra một khả năng sáng tạo ra các bộ môn toán học mới.
Tư duy suy diễn logic đóng vai trò chủ yếu trong phương pháp toán học, nhưng
vai trò của qui nạp cũng không phải là không quan trọng. Qui nạp lại liên hệ mật thiết
với suy diễn: qui nạp giúp xây dựng giả thuyết toán học, tri thức thu được bằng qui nạp
thì không đầy đủ, không hoàn chỉnh, có tính chất dự đoán; các kiến thức ấy biến thành
tri thức chân thực cần phải chứng minh bằng suy diễn.
Trong dạy học toán ở trường phổ thông, giáo viên phải dạy học sinh biết trình
bày lời giải một bài toán hay chứng minh một mệnh đề toán học một cách chặt chẽ
bằng suy luận diễn dịch, nhưng cũng phải chú ý bồi dưỡng khả năng tìm tòi sáng tạo,
khả năng dự đoán, biết vận dụng các phép suy luận qui nạp để phát hiện ra cách giải
một bài toán, để dự đoán một qui tắc, một kết quả.
2. Sáng tạo và tư duy sáng tạo
2.1 Các khái niệm
2.1.1 Sáng tạo là gì?
Sáng tạo là tìm ra cái mới, cách giải quyết mới, không phụ thuộc vào cái đã có.
Theo Solso R.L (1991) định nghĩa: “Sáng tạo là một hoạt động nhận thức mà nó đem

lại một cách nhìn nhận, hay cách giải quyết mới mẽ đối với một vấn đề hay một tình
huống”, hay cố thủ tướng Phạm Văn Đồng đã nói: “Nghề dạy học là nghề sáng tạo nhất
vì nó sáng tạo ra những con người sáng tạo, cho nên nhà trường phải vũ trang cho học
sinh cái khả năng sáng tạo vô tận”.

9


Như vậy sáng tạo là một phẩm chất của tư duy, sáng tạo cần thiết cho bất kỳ
lĩnh vực hoạt động nào của xã hội loài người. Thực chất sáng tạo không chỉ là một đặc
trưng chỉ sự khác biệt giữa loài người và sinh vật mà còn là một đặc trưng chỉ sự khác
biệt về sự đóng góp cho tiến bộ xã hội giữa người này với người khác.
Xét về bản chất, nguồn gốc của sự sáng tạo là năng lực độc đáo riêng, là sản
phẩm vô thức. Để đánh giá cũng như đo lường năng lực sáng tạo của mỗi cá nhân,
thường người ta đưa ra một tình huống với một số điều kiện rồi yêu cầu đề ra càng
nhiều giải pháp càng tốt.
2.1.2 Sáng tạo toán học là như thế nào?
Sáng tạo toán học là một khía cạnh của sáng tạo. Ở đây sáng tạo toán học chỉ
yêu cầu học sinh giải được các bài toán không đòi hỏi những kiến thức vượt quá giới
hạn chương trình, nhưng đòi hỏi sự tập trung chú ý nhất định với kỹ năng suy luận hay
giải những bài toán vượt ra ngoài tiêu chuẩn thông thường.
Biểu hiện sáng tạo toán học của học sinh trong giải toán có thể hiểu như sau: Đó
là khả năng tiếp thu nhanh chóng các kiến thức mới, nắm vững một cách hệ thống sâu
sắc và toàn diện kiến thức cũ, biết vận dụng linh hoạt để giải quyết các tình huống vấn
đề của bài toán bằng những phương thức mới. Trên cơ sở đó tìm tòi và phát hiện những
cái mới hơn, toàn diện hơn để đi đến kết quả bài toán.
Theo một số nhà nghiên cứu, những biểu hiện đặc trưng của sự sáng tạo toán
học trong giải bài toán bao gồm:
Nhận ra những vấn đề mới trong điều kiện đã biết, dự đoán các sai lầm hướng
khắc phục.

Nhìn thấy cấu trúc mới của bài toán, kết hợp các phương thức giải đã biết, tạo
thành phương thức mới để giải bài toán.
Nhìn bài toán ở những góc độ khác nhau để tìm cách giải quyết có thể có, tìm
nhiều cách giải, luôn có ý tưởng tìm cách giải mới lạ độc đáo và ngắn gọn.
Nhận ra những chức năng mới trong việc mở rộng các bài toán, tìm tòi và xác
định hướng giải cho các bài tập mở rộng.
Biết kết hợp hoàn thiện các phương pháp đã có, vận dụng vào toán học, toán
học hoá các tình huống thực tiễn, sản xuất kỹ thuật.
Biết hệ thống hoá tri thức phương pháp khi giải toán, xây dựng các phương
pháp, qui tắc cho một bài toán.
Biết khái quát hoá, đặc biệt hoá phương pháp giải cho những bài toán mở rộng.
2.1.3 Nguyên nhân của sự sáng tạo
Đã từ lâu, các nhà nghiên cứu muốn đi sâu tìm hiểu bản chất của sự sáng tạo,
dưới đây là các ý kiến tổng kết về nguyên nhân của sự sáng tạo:

10


- Cách giải quyết những nhiệm vụ phức tạp mà trước đó không giải quyết được,
sẽ nảy sinh những người có đầu óc sáng tạo trong bất kì thời gian nào. Có người cho
rằng sự khám phá của các nhà khoa học là sự khám phá ngẫu nhiên. Nhưng khoa học
sinh lý học về lao động trí óc quan niệm rằng: “Đó là qui luật quán tính của tư duy”.
Nghĩa là khi theo đuổi ý tưởng nào đó thì “luồng tư tưởng” sẽ tiếp diễn và đó là qui
luật của sự sáng tạo.
- Theo Gauss: Các ý nghĩ hay “ưa” xuất hiện trong thời gian đi dạo nhẹ nhàng,
trong thời tiết có ánh nắng mặt trời, chỉ cần một ly rượu nhỏ là có thể làm mất hết
những ý nghĩ đó.
Muốn tư duy sáng tạo cần phải nắm được những qui luật khách quan của sự vật
– đây là đối tượng nghiên cứu. Một nhà khoa học đã từng khuyên “Hãy suy nghĩ theo
những qui luật khách quan về sự phát triển, chắc chắn bạn sẽ có sự cải tiến cao hơn nữa

là sự sáng chế phát minh”.
- Newton nói: “Thiên tài là lao động”, ở đây ông nói đến quá trình lao động kiên
trì và bền bỉ như việc tích luỹ tri thức, khắc phục khó khăn. Còn T.Edison nói: “Trong
những công trình của tôi có 99% là kết quả của lao động cực lực chỉ có 1% là cảm
hứng, may mắn và tài năng”.
- Phương pháp là điều kiện đầu tiên, điều kiện cơ bản nhất để hình thành sự
sáng tạo. Hegen cho rằng: “Phương pháp là sự vận động của bản thân nội dung, vì vậy
phương pháp nghiên cứu không thể tách rời nội dung”.
- Phải có những điều kiện để nghiên cứu, nhiều khám phá nổi tiếng đã có thể
không bao giờ thực hiện được nếu như các nhà khoa học không có những điều kiện để
làm việc.
- Phải biết làm việc một cách khoa học. Chẳng hạn như:
+ Bắt tay vào làm việc từ từ, nhịp nhàng không hấp tấp;
+ Làm việc theo trình tự theo hệ thống;
+ Có chế độ luân phiên giữa làm việc và nghỉ ngơi;
+ Kết hợp giữa lao động chân tay và lao động trí óc;
+ Rèn luyện chuyên môn thường xuyên và đều đặn.
- Phải có lòng nhiệt tình hăng say lao động nghiên cứu. Việc sáng tạo là một quá
trình sáng tạo công phu và phức tạp, đòi hỏi phải có “lòng hăng say cao độ”, có nhiệt
tình công tác. Chiến công đòi hỏi toàn bộ năng lực sáng tạo.
- Cần có sự ủng hộ của xã hội đối với lao động sáng tạo. Trong đó, gia đình là
môi trường xã hội ảnh hưởng đến tâm lí trong lao động trí óc. Đối với người lao động
trí óc, trong nhà cần có góc độ yên tĩnh để đọc, viết, suy nghĩ dễ dàng.
Rất tiếc trong trường học hiện nay, xu hướng dạy học cho thế hệ trẻ biết tư duy
sáng tạo vẫn chưa thực hiện rõ nét.
11


2.2 Cơ sở tâm lí của tư duy sáng tạo
2.2.1 Tư duy sáng tạo

Theo tâm lí học người Đức Mehlhorn cho rằng: “Tư duy sáng tạo là hạt nhân
của sự sáng tạo cá nhân, đồng thời là mục tiêu cơ bản của giáo dục”. Còn theo
J.Danton (1995) cho rằng: “Tư duy sáng tạo là những năng lực tìm những ý nghĩ mới,
tìm những mối quan hệ mới; là một chức năng của kiến thức, trí tưởng tượng và sự
đánh giá, là một quá trình”. Theo ông, một cách dạy và học phát triển tư duy sáng tạo
cho học sinh bao gồm một chuỗi chứa đựng những điều như: sự khám phá, sự phát
minh, sự đổi mới, trí tưởng tượng, sự thí nghiệm, sự thám hiểm”.
Theo Tôn Thân: “Tư duy sáng tạo là một dạng tư duy độc lập, tạo ra ý tưởng
mới, độc đáo và có hiệu quả cao trong quyết định vấn đề”.
2.2.2 Một số yếu tố đặc trưng của tư duy sáng tạo
Theo các nhà nghiên cứu, tư duy sáng tạo bao gồm năm thành phần sau đây:
+ Tính mềm dẻo là khả năng dễ dàng chuyển từ hoạt động trí tuệ này sang hoạt
động trí tuệ khác.
+ Tính nhuần nhuyễn là khả năng tìm được nhiều giải pháp trên nhiều góc độ và
tình huống khác nhau.
+ Tính độc đáo là khả năng tìm kiếm và quyết định phương thức giải quyết lạ
hoặc duy nhất.
+ Tính hoàn thiện là khả năng lập kế hoạch, phối hợp các ý nghĩ và hành động,
phát triển ý tưởng, kiểm tra và chứng minh ý tưởng.
+ Tính nhạy cảm vấn đề là năng lực nhanh chóng phát hiện ra vấn đề, mâu
thuẫn, sai lầm, sự thiếu logic,… Do đó, nảy ra ý muốn cấu trúc lại hợp lí, hài hoà, tạo
ra cái mới.
2.2.3 Các giai đoạn của sự sáng tạo
a) Giai đoạn chuẩn bị
Ở giai đoạn này cần nghiên cứu có ý thức những vấn đề đặt ra, thu thập tư liệu,
củng cố và tìm hiểu những thông tin có liên quan đến vấn đề cần giải quyết. Poncaré kể
rằng: “Trong hai tuần liền tôi cố gắng chứng minh rằng không thể tồn tại một hàm số
nào mà sau này tôi gọi là hàm số tự đẳng cấu. Tuy nhiên tôi đã không đúng, mỗi ngày
làm việc ở bàn làm việc, tôi theo đuổi ý định đó một hoặc hai giờ đồng hồ, tôi nghiên
cứu một số lớn kết hợp, nhưng tôi đã không đi đến một kết quả nào”.

b) Giai đoạn ấp ủ
Ở giai đoạn quá trình suy nghĩ ít bị sự kiểm soát của ý thức hơn giai đoạn trước.
Từ ấp ủ đặt cho giai đoạn này gợi cho ta quá trình con gà mái ấp trứng: giữ cho trứng
một nhiệt độ không đổi cần thiết và “chờ đợi” con gà nở. Đối với nhà toán học thì tư
tưởng đã manh nha trong đầu óc không rời bỏ ông ta nữa, nó được lật đi lật lại mà
12


dường như không cần có sự cố gắng nào của nhà toán học. Poncaré viết: “Có một buổi
tối trái với thường lệ, tôi uống một cốc café đen, tôi đã không thể nào chợp mắt được.
Những ý tưởng chen chúc nhau, tôi cảm thấy hình như chúng va chạm nhau, không có
hai tư tưởng nào móc nối với nhau để được một kết nối vững chắc”.
c) Giai đoạn bừng sáng
Đây là giai đoạn đột nhiên ta tìm được lời giải đáp cho vấn đề đặt ra. Poncaré
kể: “Đến sáng thì tôi thiết lập được sự tồn tại một lớp các hàm ấy, loại hàm số tương
ứng với một dãy siêu bội; tôi chỉ việc viết lại kết quả, và việc đó chỉ chiếm một vài
giờ”.
Đối với học sinh, khi giải bài tập đôi lúc nảy ra trong óc chúng hoàn toàn bất
ngờ. Chúng đã mày mò thật lâu mà không tìm được tia sáng nào, nhưng bỗng trong óc
chúng loé ra một ý tưởng hay, nhen lên một niềm cổ vũ như bỗng thấy như ấnh sáng
bùng lên trong đêm tối mịt mù. Nảy ra ý hay chính là ánh sáng bừng lên bất thình lình,
chiếu rọi vào những chi tiết trước đó, tưởng chừng như mơ hồ lộn xộn không tài nào
nắm được, khiến chúng trở nên sáng tỏ, có trật tự có mạch lạc và hợp lí.
d) Giai đoạn kiểm chứng
Đây là giai đoạn có sự tham gia tích cực của ý thức để xét lại kết quả, khái quát
hoá kết quả. Poncaré viết: “ Tôi muốn biểu thị những hàm số ấy dưới dạng một quan
hệ giữa hai dãy số; tôi hoàn toàn có ý thức về tư tưởng này và đó là tư tưởng mà tôi suy
nghĩ kĩ. Phép tương tự đối với hàm eliptic đã hướng dẫn tôi. Tôi tự hỏi những dãy số
trên có tính chất gì nếu chúng tồn tại và tôi đã không vất vả lắm để xây dựng được
những dãy số ấy”.

3. Một số biện pháp phát triển năng lực tư duy sáng tạo cho học sinh
3.1 Biện pháp 1: Chú trọng bồi dưỡng các thao tác tư duy và trang bị cho học sinh
những tri thức về phương pháp của hoạt động nhận thức
Quan điểm này cho rằng, để phát triển năng lực tư duy sáng tạo cho học sinh,
giáo viên cần dạy cho học sinh thành thạo các thao tác tư duy: phân tích, tổng hợp, so
sánh, quy nap, tương tự, trừu tượng hoá, đặc biệt hoá, khái quát hoá,… Trong đó, phân
tích và tổng hợp đóng vai trò trọng tâm.
Quan điểm trên chỉ rõ trong quá trình dạy học giáo viên phải cung cấp cho học
sinh những tri thức về phương pháp để học sinh có thể tìm tòi, tự mình phát hiện và
phát biểu vấn đề, dự đoán được các kết quả, tìm được hướng giải của một bài toán,
hướng chứng minh một định lí, giúp học sinh hiểu sâu sắc bản chất các khái niệm, các
mệnh đề, ý nghĩa và nội dung các công thức, các chứng minh, từ đó mà nhớ lâu các
kiến thức toán học và nếu quên thì có thể tìm lại được.
3.2 Biện pháp 2: Bồi dưỡng từng yếu tố cụ thể của tư duy sáng tạo cho học sinh

13


Các nhà nghiên cứu đã đưa ra nhiều yếu tố đặc trưng cho tư duy sáng tạo cho
học sinh. Đối với học sinh thì các yếu tố đó là tính mềm dẻo, tính nhuần nhuyễn và tính
nhạy cảm vấn đề.
Trên cơ sở đó, để phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh thì trong quá trình dạy
học, giáo viên cần chú ý bồi dưỡng từng yếu tố của tư duy sáng tạo. Có thể khai thác
nội dung các vấn đề giảng dạy, đề xuất các câu hỏi sư phạm nhằm giúp học sinh lật đi
lật lại vấn đề theo các khía cạnh khác nhau để học sinh nắm thật vững bản chất các
khái niệm, các mệnh đề, tránh được lối học thuộc lòng máy móc và lối vận dụng thiếu
sáng tạo.
Để phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh, trong quá trình dạy học giáo viên
cần sử dụng từng loại câu hỏi và bài tập tác động đến từng yếu tố của tư duy sáng tạo
như: Những bài tập có cách giải riêng đơn giản hơn là áp dụng công thức tổng quát để

khắc phục hành động máy móc, không thay đổi phù hợp với điều kiện mới; những bài
có nhiều lời giải khác nhau, đòi hỏi học sinh phải biết chuyển từ phương pháp này sang
phương pháp khác; những bài tập trong đó có những vấn đề thuận nghịch đi liền với
nhau, song song nhau, giúp cho việc hình thành các liên tưởng ngược được xảy ra đồng
thời với việc hình thành các liên tưởng thuận,…
3.3 Biện pháp 3: Rèn luyện và bồi dưỡng năng lực phát hiện vấn đề mới cho học
sinh
Về giảng dạy lí thuyết, cần tận dụng phương pháp tập dượt nghiên cứu trong đó
giáo viên tạo ra các tình huống gợi vấn đề để dẫn dắt học sinh tìm tòi, khám phá kiến
thức mới. Nói cách khác là vận dụng tối đa phương pháp dạy học giải quyết vấn đề qua
các giờ lên lớp.
Về thực hành giải toán, cần coi trọng các bài tập trong đó chưa rõ điều phải
chứng minh, bài tập “mở”, học sinh phải tự lập, tự tìm tòi để phát hiện vấn đề và giải
quyết vấn đề. Cần hướng dẫn học sinh khai thác, khám phá những kết quả mới từ các
bài toán đã giải.
3.4 Biện pháp 4: Phát triển năng lực tư duy sáng tạo cho học sinh là một quá trình
lâu dài cần tiến hành trong tất cả các khâu của quá trình dạy học
Phát triển năng lực tư duy sáng tạo là một quá trình lâu dài, cần tiến hành
thường xuyên hết tiết học này sang tiết học khác, năm này sang năm khác trong tất cả
các khâu của quá trình dạy học, trong nội khoá cũng như các hoạt động ngoại khóa.
Cần tạo điều kiện cho học sinh có dịp được rèn luyện khả năng tư duy sáng tạo trong
việc toán học hóa các tình huống thực tế, trong việc viết báo toán với những đề toán tự
sáng tác, những cách giải mới khai thác từ các bài toán đã giải.

14


CHƯƠNG 2: DẠY HỌC GIẢI BÀI TẬP TOÁN HỌC
1. Vị trí và chức năng của bài tập toán học
Quá trình giải bài tập toán giúp học sinh vận dụng thành thạo kiến thức đã học

và phát huy tính tích cực sáng tạo. Do vậy, dạy học giải các bài tập toán có tầm quan
trọng đặc biệt trong dạy học toán.
Ở trường phổ thông, dạy toán là dạy hoạt động toán học. Đối với học sinh, có
thể xem việc giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học. Bài tập toán ở
trường phổ thông là một phương tiện có hiệu quả và không thể thay thế được trong
việc giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển tư duy, hình thành kỹ năng, kỹ xảo ứng
dụng toán học vào thực tiễn. Hoạt động giải bài tập toán học là điều kiện để thực hiện
tốt các mục đích dạy học toán ở trường phổ thông. Vì vậy tổ chức có hiệu quả việc dạy
giải bài tập toán học có vai trò quyết định đối với chất lượng dạy học toán.
Trong thực tiễn dạy học, bài tập toán học được sử dụng với những dụng ý khác
nhau. Mỗi bài tập có thể dùng để tạo tiền đề xuất phát để gợi động cơ học tập, để làm
việc với nội dung mới, để củng cố hoặc kiểm tra kiến thức,… Tất nhiên, việc dạy giải
một bài tập cụ thể thường không chỉ nhằm vào một ý đơn thuần nào đó mà thường bao
hàm những ý đồ nhiều mặt như đã nêu. Giải bài tập là hình thức chủ yếu tập dượt cho
học sinh vận dụng kiến thức và kỹ năng toán học vào đời sống và lao động sản xuất.
Đồng thời, việc giải bài tập giúp giáo viên kiểm tra học sinh và học sinh tự kiểm tra
mình về mức độ nắm vững kiến thức đã học, về khả năng vận dụng chúng vào giải
quyết những vấn đề cụ thể. Giải bài tập có tác dụng giáo dục cho học sinh đức tính của
người lao động mới, bồi dưỡng các phương pháp suy luận, phương pháp suy nghĩ tìm
tòi sáng tạo,…
Mỗi bài tập toán cụ thể được đặt ra ở thời điểm nào đó của quá trình dạy học
đều chứa đựng một cách tường minh hay ẩn tàng những chức năng khác nhau. Những
chức năng này đều hướng đến việc thực hiện các mục đích dạy học. Trong môn Toán,
các bài tập mang các chức năng sau (Vũ Dương Thụy 1980):
Với chức năng dạy học, bài tập nhằm hình thành, củng cố cho học sinh những
tri thức, kĩ năng, kĩ xảo ở các giai đoạn khác nhau của quá trình dạy học.
Với chức năng giáo dục, bài tập nhằm hình thành cho học sinh thế giới quan duy
vật biện chứng, hứng thú học tập, niềm tin và phẩm chất đạo đức người lao động mới.
Với chức năng phát triển, bài tập nhằm phát triển năng lực tư duy của học sinh,
đặc biệt là rèn luyện những thao tác trí tuệ, hình thành những phẩm chất của tư duy

khoa học.
Với chức năng kiểm tra, bài tập nhằm đánh giá mức độ, kết quả dạy và học,
đánh giá khả năng độc lập học toán và trình độ phát triển của học sinh.
15


Trên thực tế, các chức năng không bộc lộ một cách riêng lẻ và tách rời nhau.
Khi nói đến chức năng này hay chức năng khác của một bài tập cụ thể tức là hàm ý nói
việc thực hiện chức năng ấy được tiến hành một cách tường minh và công khai. Hiệu
quả của công việc khai thác và thực hiện một cách đầy đủ các chức năng có thể có của
một bài tập mà người viết sách giáo khoa đã có dụng ý chuẩn bị. Người giáo viên chỉ
có thể khám phá và thực hiện được những dụng ý đó bằng năng lực sư phạm và trình
độ nghệ thuật dạy học của mình.
Ta hãy minh hoạ điều vừa trình bày bằng một ví dụ: “Cho tam giác ABC với
  

  



trọng tâm G . Hãy dựng vectơ tổng GA  GB  GC . Từ đó suy ra GA  GB  GC  0 ”.
Bài tập này trước hết nhằm củng cố kỹ năng dựng vectơ tổng theo quy tắc hình
bình hành, củng cố các tri thức về tính chất trung tuyến tam giác, tính chất tâm của
hình bình hành, tính chất trung điểm của đoạn thẳng. Điều đó thể hiện tường minh
chức năng dạy học của bài tập này.
Khi dạy giải bài tập này, giáo viên hướng dẫn học sinh liên tưởng đến kết quả
một bài tập đã giải trước đó về tính chất trung điểm của đoạn thẳng (nếu O là trung
 



 

điểm của đoạn thẳng AB thì OA  OB  0 ), biết thay thế tổng GA  GB ở đẳng thức


 



phải chứng minh bằng GD để đưa về đẳng thức mới phải chứng minh là GD  GC  0 ,
tức là biết vận dụng kĩ thuật chứng minh, đồng thời thấy được sự thống nhất giữa tính
chất trung điểm đoạn thẳng với tính chất trọng tâm tam giác. Như vậy là khai thác
được chức năng giáo dục của bài toán trên.
Mặt khác từ sự thống nhất nêu trên giữa tính chất của một điểm và trung điểm
của đoạn thẳng (hai điểm) với một điểm là trọng tâm tam giác (ba điểm) gợi lên một ý
tưởng khái quát đối với một tứ giác ABCD (bốn điểm), một ngũ giác hay một đa giác
nói chung: có hay không một điểm O sao cho:
    
OA  OB  OC  OD  0
Rõ ràng nếu ABCD là hình bình hành thì O chính là tâm của nó. Như thế chức

năng phát triển của bài toán đã cho được thể hiện rõ ràng: luyện tập cho học sinh kĩ
năng vận dụng tương tự hoá, khái quát hoá, phát triển ở học sinh tư duy biện chứng,
khả năng dự đoán khoa học.
Qua ví dụ trên ta thấy rằng các chức năng của mỗi bài tập toán phụ thuộc vào
nội dung cũng như phương pháp khai thác lời giải của nó. Điều đó định hướng việc lựa
chọn bài tập của giáo viên, tránh tình trạng ra bài tập cho học sinh một cách tuỳ tiện
hoặc chỉ chú trọng đến số lượng thuần tuý.
2. Yêu cầu đối với lời giải bài toán

Để khai thác tốt các chức năng của bài tập toán học, giáo viên và học sinh cần
nắm vững các yêu cầu của một lời giải.
2.1 Lời giải không có sai lầm
16


Yêu cầu này có nghĩa là lời giải không có sai sót về kiến thức toán học, về
phương pháp suy luận, về kĩ năng tính toán, về kí hiệu, hình vẽ, kể cả không có sai lầm
về ngôn ngữ diễn đạt. Giáo viên cần phải rèn luyện cho học sinh thói quen xem xét
kiểm tra lại kết quả giải toán và lời giải của mình, qua đó giáo dục ý thức trách nhiệm
đối với công việc, đồng thời phát triển óc phê phán. Cần giúp học sinh biết kiểm tra kết
quả bằng cách đối chiếu bài làm với từng câu hỏi của đề tài, xét tính hợp lí của đáp số
với đầu bài hoặc bằng cách tìm một phương pháp giải khác nếu có thể, rồi so sánh các
kết quả giải được theo những phương pháp khác nhau. Cũng cần yêu cầu học sinh kiểm
tra lại bằng hình thức vận dụng linh hoạt những kiến thức đã học chứ không chỉ đơn
thuần bằng cách so sánh với đáp số cho sẵn như nhiều học sinh vẫn làm.
Chẳng hạn khi giải phương trình x 2  3mx  4m 2  0 ( m là tham số) nếu học sinh
tìm được hai nghiệm là m và 4m thì bằng cách áp dụng định lí Vi-ét, phải thấy ngay là
sai, vì phương trình này các hệ số a  1 và c  4m 2 trái dấu nên hai nghiệm phải trái
dấu.
Chỉ ra những sai lầm trong lời giải của học sinh là cần thiết, song điều quan
trọng hơn là phân tích được nguyên nhân chính dẫn đến sai sót đó, bởi vì “con người
phải biết học ở những sai lầm và những thiếu sót của mình” (Pôlya 1975). Nguyên
nhân chủ yếu về mặt kiến thức dẫn đến sai lầm là học sinh nắm không vững chắc các
định nghĩa, định lí, quy tắc,… vận dụng chúng một cách máy móc, không chú ý đến
các điều kiện ấy hạn chế phạm vi tác dụng của chúng.
Ví dụ, với bài toán “Giải phương trình

tan 5 x
 0 ” thì lời giải sau đây của học

sin x

sinh là có sai lầm:
“

tan 5 x
k
 0  tan 5 x  0  x 
sin x
5

( k  ) ”

Ở đây, học sinh đã quên đặt điều kiện sin x  0 cho phương trình nên không loại
được những giá trị không thích hợp khi k  5m (m  )
Một ví dụ khác, khi giải bất phương trình x 2  2 thì một số học sinh thường đi
đến kết quả x   2 . Các em đã áp dụng một cách máy móc cách giải phương trình
bậc hai vào giải bất phương trình bậc hai nên dẫn đến sai lầm.
Những sai lầm về mặt suy luận học sinh thường khó thấy hơn. Chẳng hạn bài
toán “Chứng minh rằng với những số thực không âm bất kì a, b, c ta có bất đẳng thức
a 2  b 2  c 2  ab  bc  ca suy ra 2(a 2  b 2  c 2 )  2(ab  bc  ca)  0 hay
( a  b) 2  ( b  c ) 2  ( c  a ) 2  0

Bất đẳng thức sau cùng này đúng, do đó bất đẳng thức phải chứng minh cũng
đúng”.

17


Lời giải này sai vì đã coi phép suy ngược tiến (phép phân tích đi xuống) là một

phép chứng minh.
Trong giải toán, học sinh còn có thể mắc sai lầm do hấp tấp, cẩu thả, sai sót
trong tính toán, không ghi chép đúng và xem xét kĩ đầu bài,…
2.2 Lập luận phải có căn cứ chính xác
Yêu cầu này đòi hỏi từng bước biến đổi trong lời giải phải có cơ sở lí luận, phải
dựa vào các định nghĩa, định lí, quy tắc, công thức,… đã học. Đặc biệt phải chú ý đảm
bảo thoả mãn điều kiện nêu trong giả thiết của định lí.
Chẳng hạn, khi giải bất phương trình sau:
1
1

( x  1)( x  2) ( x  3)2

Một số học sinh mắc sai lầm khi lập luận rằng theo quy tắc so sánh hai phân số
có cùng tử số, từ bất phương trình đã cho suy ra ( x  1)( x  2)  ( x  3)2 . Nguyên nhân
sai lầm là do học sinh không biết rằng quy tắc so sánh hai phân số nói trên chỉ thực
hiện với các phân số mà tử số và mẫu số đều là số tự nhiên và mẫu số đương nhiên
phải khác không.
Một sai lầm loại khác là đánh tráo luận đề, tức thực chất đã thay đổi mục tiêu
của lời giải. Ví dụ, với bài toán “Tìm các giá trị của m để phương trình
sin 2 x  m sin x  m  1  0 có nghiệm”, có học sinh giải như sau: “Đặt t  sin x , bài toán
đưa về tìm các giá trị của m để phương trình: t 2  mt  m  1  0 có nghiệm. Đó là các
giá trị của m sao cho:   m 2  4m  4  0  m  2  2 2 hoặc m  2  2 2 ”.
Thật ra, bài toán tương đương với bài toán đã cho phải là: “Tìm các giá trị của
m để phương trình t 2  mt  m  1  0 có ít nhất một nghiệm t thoả mãn điều kiện
1  t  1 ”. Học sinh đã phạm sai lầm đánh tráo luận đề khi không nói gì đến điều kiện
của t .
2.3 Lời giải phải đầy đủ
Điều kiện này có nghĩa là không được bỏ sót một trường hợp, một khả năng,
một chi tiết nào. Nó cũng có ý nghĩa là lời giải vừa không thừa, vừa không thiếu. Muốn

vậy, cần chú ý tập cho học sinh trong quá trình giải toán phải luôn suy xét và tự trả lời
các câu hỏi như: Ta đang phải xem xét cái gì? Như vậy đã đủ chưa? Còn trường hợp
nào nữa không? Đã đủ các trường hợp đặc biệt chưa?
Học sinh thường bộc lộ thiếu sót là không xét được đầy đủ các trường hợp, các
khả năng xảy ra ở một tình huống, nhất là các bài toán có tham số, những bài toán đòi
hỏi phải biện luận,…


Ví dụ, với bài toán sau: “Cho vectơ AB và một điểm C , hãy dựng điểm D sao





cho AB  CD ”, học sinh thường quên không xét đến trường hợp điểm C thuộc đường
thẳng AB nên lời giải không đầy đủ.
18


Một ví dụ khác, chẳng hạn bài toán: “Các số 10, 11, 12 có thể là các số hạng của
một cấp số nhân được không?”. Có học sinh giải như sau: “Nếu 10, 11, 12 tạo thành
một cấp số nhân thì công bội phải bằng

11
12
11 12
và
. Nhưng

(vì 121  120 ) nên

10
11
10 11

ba số này không thể là các số hạng của một cấp số nhân”.
Lời giải này không đầy đủ vì mới chỉ xét đến khả năng ba số 10, 11, 12 là ba số
hạng liên tiếp của một cấp số nhân. Đúng ra phải xét trường hợp ba số này là ba số
hạng nào đó của cùng một cấp số nhân có cùng công bội q tức là 11  10.q k và
12  10.q m ( k , m là số tự nhiên) rồi từ đó mới tiếp tục lập luận.

Ngoài ba yêu cầu cơ bản nói trên, người giáo viên còn cần yêu cầu lời giải ngắn
gọn, đơn giản nhất, cách trình bày rõ ràng, hợp lí. Tìm được lời giải hay của một bài
toán tức là đã khai thác được những đặc điểm riêng của bài toán, điều đó làm cho học
sinh “có thể biết được cái quyến rũ của sự sáng tạo cùng niềm vui thắng lợi” (Pôlya
1975)
Nói chung dạy giải bài tập bao gồm nhiều vấn đề phong phú, ở đây sẽ đề cập ba
vấn đề sau:
- Dạy học giải các bài tập có phương pháp giải nhất định (dạy học các algorit
giải toán)
- Dạy học giải các bài tập không thuộc những loại bài có cách giải nhất định
(dạy học tìm tòi lời giải toán)
- Bồi dưỡng cho học sinh một số phương pháp tìm tòi sáng tạo qua việc giải
toán.
3. Dạy học các thuật toán
3.1 Thuật toán
3.1.1 Khái niệm về thuật toán
Thuật toán (algorithm) được hiểu như một qui tắc mô tả những chỉ dẫn rõ ràng
và chính xác để người hay máy thực hiện một loạt thao tác nhằm đạt được mục đích đặt
ra hay giải quyết một lớp bài toán nhất định.
Đây chưa phải là một định nghĩa chính xác mà chỉ là một cách phát biểu giúp ta

hình dung khái niệm thuật toán một cách trực giác.
Thuật toán dẫn từ dữ kiện ban đầu đến kết quả cần tìm qua một số hữu hạn bước
(phép toán).
Ở nhà trường phổ thông học sinh được hoạt động với nhiều thuật toán như thuật
toán cộng, trừ, nhân, chia các số tự nhiên và số hữu tỉ, thuật toán tìm ước số chung lớn
nhất của hai số, bội chung nhỏ nhất của hai số, thuật toán giải hệ phương trình bậc nhất
hai ẩn, thuật toán giải phương trình bậc hai,…
3.1.2 Những đặc trưng cơ bản của thuật toán
19


- Tính tổng quát: Thuật toán không đề cập chỉ bài toán riêng lẻ mà bao hàm một
lớp bài toán cùng một kiểu, hay phải dùng được để giải một loại xác định các bài toán.
- Tính xác định: Toàn bộ quá trình biến đổi cũng như trật tự thực hiện phải được
xác định và là duy nhất.
Như vậy khi dùng thuật toán cùng một tin tức ban đầu phải cho cùng một kết
quả. Trong thuật toán ở mỗi giai đoạn phải nêu chính xác các bước tiếp theo, có nghĩa
là thứ tự thực hiện, các thao tác phải được qui định rõ ràng.
- Tính kết quả: Nếu hoàn thành đúng các thao tác theo trình tự đã vạch ra thì
nhất định giải được bài toán thuộc loại đã cho.
3.1.3 Tư duy thuật toán
Khái niệm thuật toán là một yếu tố của phương thức tư duy được gọi là tư duy
thuật toán. Trong thời đại ngày nay, người giáo viên phải có ý thức thông qua việc dạy
học các qui tắc, phương pháp mà rèn luyện cho học sinh loại hình tư duy quan trọng
này.
3.1.4 Sự cần thiết phải phát triển tư duy thuật toán
Phát triển tư duy thuật toán trong nhà trường phổ thông là cần thiết vì những lý
do sau đây:
Thứ nhất, tư duy thuật toán giúp học sinh hình dung được việc tự động hóa
trong những lĩnh vực hoạt động khác nhau của con người. Góp phần khắc phục sự ngăn

cách giữa nhà trường và xã hội tự động hoá. Nó giúp học sinh thấy được nền tảng của
việc tự động hoá. Cụ thể là nhận thức rõ đặc tính hình thức, thuần tuý máy móc của
quá trình thực hiện thuật toán. Đó là cơ sở cho việc chuyển giao một số chức năng của
con người cho máy thực hiện.
Thứ hai, tư duy thuật toán giúp học sinh làm quen với cách làm việc trong khi
giải bài toán bằng máy tính điện tử. Do thiết kế thuật toán là một khâu rất cơ bản của
việc lập trình.
Thứ ba, tư duy thuật toán giúp học sinh học tập tốt những môn học ở nhà trường
phổ thông, rõ nét nhất là môn toán. Nó tạo điều kiện thuận lợi cho học sinh lĩnh hội
kiến thức và rèn luyện kỹ năng, kỹ xảo khi học các phép tính trên những tập hợp số,
giải phương trình bậc nhất, bậc hai,…
Thứ tư, tư duy thuật toán cũng góp phần phát triển những năng lực trí tuệ chung
như phân tích, tổng hợp, khái quát hoá, trừu tượng hoá và hình thành những phẩm chất
của người lao động mới như tính ngăn nắp, kỹ luật, tính phê phán và thói quen tự kiểm
tra,…
3.1.5 Phương hướng phát triển tư duy thuật toán
Tư duy thuật toán liên hệ chặt chẽ với khái niệm thuật toán đã trình bày ở trên.
Do đó phương thức tư duy này thể hiện ở những khả năng sau:
20


- Thực hiện những thao tác theo một trình tự xác định phù hợp với một thuật
toán cho trước.
- Phân tích một hoạt động thành những thao tác thành phần được thực hiện theo
một trình tự xác định.
- Mô tả chính xác quá trình tiến hành một hoạt động.
- Khái quát hoá một hoạt động trên những đối tượng riêng lẻ thành một hoạt
động trên một lớp đối tượng.
- So sánh những thuật toán khác nhau cùng thực hiện một việc và phát hiện
thuật toán tối ưu.

Thành phần thứ nhất thể hiện khả năng thực hiện thuật toán. Bốn thành phần
còn lại thể hiện khả năng xây dựng thuật toán.
Hiện nay định nghĩa thuật toán, những tính chất và những hình thức biểu diễn
thuật toán,… đang được nghiên cứu để đưa vào dạy tường minh trong nhà trường phổ
thông. Điều đó sẽ tạo điều kiện thuận lợi cho việc phát triển tư duy thuật toán và việc
học tập về máy tính điện tử và làm việc với công cụ này. Tuy nhiên, ngay cả trong
trường hợp khái niệm thuật toán chưa được đưa ra một cách tường minh vào trong
chương trình, ta vẫn có thể phát triển ở học sinh tư duy thuật toán theo phương hướng
rèn luyện cho các em những khả năng đã liệt kê như những thành tố của phương thức
tư duy này.
Chúng ta biết rằng, các nội dung dạy học cụ thể vừa là mục đích, vừa là phương
tiện để phát triển tư duy cho học sinh, trong đó có tư duy thuật toán.
Từ năm phương thức thể hiện tư duy thuật toán được trình bày vắn tắt như sau:
3.1.5.1 Thực hiện thuật toán
Để tập luyện cho học sinh thực hiện những thao tác theo một trình tự xác định
phù hợp với thuật toán cho trước có thể phát biểu một số qui tắc toán học, một số dạng
toán có phương pháp giải như giải và biện luận phương trình bậc nhất, bậc hai, bất
phương trình bậc nhất, bất phương trình bậc hai một ẩn, hệ phương trình bậc nhất hai
ẩn,… thành những thuật toán dưới dạng ngôn ngữ tự nhiên hoặc sơ đồ thể hiện rõ các
bước tiến hành, rồi yêu cầu học sinh thực hiện các qui tắc ấy, thông qua đó nhấn mạnh
các bước và trình tự tiến hành các bước trong mỗi qui tắc.
3.1.5.2 Phân tích một hoạt động
Cách làm như trên nhằm tập cho học sinh biết phân tích một hoạt động thành
những thao tác thành phần theo một trình tự xác định, qua đó cũng đồng thời giúp học
sinh dễ dàng hơn trong giải toán. Cần rèn luyện cho học sinh hoạt động này ngay cả
đối với những qui tắc thể hiện phần nào nhưng không hoàn toàn đầy đủ yêu cầu chặt
chẽ của khái niệm thuật toán trong toán học.
Ví dụ 1: Qui tắc xác định góc giữa một đường thẳng và một mặt phẳng:
21

Bước 1: Xác định hình chiếu của đường thẳng trên mặt phẳng.
Bước 2: Xác định góc giữa đường thẳng và hình chiếu của nó.
Qui tắc này tỏ ra có hiệu quả, ví dụ như đối với bài toán:
“Cho hình chóp S.ABC có hai mặt bên SAB và SAC vuông góc với đáy, đáy
ABC là tam giác cân đỉnh A , trung tuyến AD  a . Cạnh SB tạo với đáy một góc  và
tạo với mặt phẳng SAD một góc  . Xác định góc  và  ”.
Theo các bước trên thì việc xác định góc  không có gì khó khăn, còn với góc
 , chắc chắn xác định được hình chiếu của SB trên mặt phẳng (SAD) chính là SD , do
 .
đó SBD

Ví dụ 2: Qui tắc xác định góc giữa hai mặt phẳng theo các bước:
Bước 1: Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng.
Bước 2: Tìm hai đường thẳng thuộc hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao
tuyến tại một điểm.
Bước 3: Xác định góc giữa hai đường thẳng này, đó là góc cần tìm.
Cần chú ý rằng, tùy theo dữ kiện của bài toán cụ thể mà bước này hoặc bước kia
đã quá rõ ràng, nhưng việc luyện tập cho học sinh ý thức được việc xác định góc theo
trình tự trên là cần thiết và sẽ luôn đạt được kết quả. Hơn nữa cũng theo trình tự ấy
giúp học sinh biết lập luận xác định góc một cách rõ ràng, ngắn gọn, góp phần khắc
phục nhược điểm về cách diễn đạt vốn vẫn là một trong những khó khăn đáng kể của
học sinh trong học tập môn toán.
3.1.5.3 Mô tả thuật toán (tường minh hóa thuật toán)
Để rèn luyện cho học sinh hoạt động ngôn ngữ mô tả chính xác một quá trình,
cần yêu cầu học sinh phát biểu những qui tắc đã học hoặc đã biết bằng lời lẽ của mình.
Giáo viên theo dõi phân tích tính chính xác, xác định của những phát biểu như vậy.
Chẳng hạn yêu cầu học sinh nêu cách tính đạo hàm bằng định nghĩa
“Để tính đạo hàm f ' ( x0 ) của hàm số y  f (x ) bằng định nghĩa cần thực hiện
các bước sau:

1) Giả sử x là số gia của đối số tại x0 , tính y  f ( x0  x )  f ( x0 )
y
x
y
3) Tính lim
”
x  0  x

2) Lập tỉ số

Hoặc có thể sử dụng những bài tập kiểu như: “Hãy nêu một loạt chỉ dẫn sao cho
bạn em có thể căn cứ vào đó và thực hiện từng bước để giải bất phương trình dạng
P ( x) H ( x )

”
Q( x) G( x)

22


Những đề bài dạng này muốn nhấn mạnh yêu cầu mô tả chính xác các bước và
trình tự tiến hành, nhờ đó góp phần rèn luyện cho học sinh khả năng mô tả một quá
trình hoạt động.
3.1.5.4 Khái quát hóa một hoạt động
Để tập cho học sinh hoạt động khái quát hóa một quá trình diễn ra trên những
đối tượng riêng lẻ thành những hoạt động trên một lớp đối tượng, có thể hướng dẫn các
em đi từ việc giải những bài toán cụ thể sang giải những bài toán dạng tổng quát, từ
việc giải phương trình bậc hai cụ thể sang giải phương trình bậc hai tổng quát dạng
ax 2  bx  c  0 (a  0) ; từ việc giải bất phương trình cụ thể

giải bất phương trình tổng quát dạng
5 sin 2 x  12(sin x  cos x)  12  0
a sin x cos x  b(sin x  cos x)  c  0 ;

x 2  x  12  7  x sang

f ( x)  g ( x) ; từ giải phương trình cụ thể như

sang

giải

phương

từ

việc

giải

trình

phương

quát

tổng
trình

cụ

thể

dạng
như

25 x  5.15 x  6.9 x  0 sang giải phương trình đẳng cấp bậc hai tổng quát dạng:
a( f ( x))2  bf ( x ) g ( x )  c( g ( x))2  0 ,…

3.1.5.5 Chọn thuật toán tối ưu
Để tập cho học sinh biết so sánh những thuật toán khác nhau (thực hiện cùng
một công việc) và phát hiện thuật toán tối ưu, ta cần rèn luyện cho các em ý thức tiết
kiệm thao tác khi xây dựng thuật toán, chẳng hạn để giải bất phương trình:
2x2  x  3 2
 thì sau khi qui đồng mẫu số và rút gọn, bỏ qua việc xét dấu mẫu số;
x2  1
3

hoặc giải và biện luận bất phương trình (m 2  1) x  m  0 thì không cần xét trường hợp
hệ số a  0 ,…
Phát hiện thuật toán tối ưu, ít nhất là về phương diện tiết kiệm thao tác đó là yếu
tố của tư duy thuật toán, một trong những nét đặc trưng của sự làm việc với máy tính
điện tử.
Thông qua việc dạy học toán ở trường phổ thông, trong mọi trường hợp có thể,
giáo viên cần phát triển cho học sinh tư duy thuật toán theo năm phương hướng như đã
trình bày trên.
3.1.6 Vị trí và ý nghĩa của thuật toán
Trong thực tế cuộc sống khái niệm thuật toán dường như ít được đề cập và có vẻ
xa lạ. Tuy nhiên, sự bắt chước hay học hỏi của con người từ thời xưa đến nay chính là
thực hiện những thao tác theo một trình tự xác định phù hợp với một phương pháp tổng

quát cho trước nhằm đem lại sự thành công trong công việc. Người ta đã dạy nhau nấu
một món ăn ngon hay cắm một lọ hoa đẹp bằng cách chỉ cụ thể bước 1 làm gì, bước 2
phải làm như thế nào,… chính là thực hiện thuật toán, sự thành thạo có được là do làm

23


nhiều lần theo một công thức có sẵn. Từ đó cho thấy sự cần thiết phải có thuật toán và
rèn luyện việc thực hiện thuật toán trong đời sống.
Trong toán học, thuật toán còn có một vị trí và ý nghĩa sâu sắc hơn, quan trọng
hơn. Nhờ có thuật toán mà học sinh có thể giải được những bài toán tương tự nhau,
nhìn thấy sự tổng quát và ghi nhớ phương pháp một cách toàn diện, việc truyền thụ tri
thức của giáo viên trở nên có hệ thống. Học tập với thuật toán giúp người học rèn
luyện cho mình những đức tính trật tự, kỷ cương; phát triển năng lực trí tuệ chung như
phân tích, tổng hợp, khái quát hóa, hình thành những kỹ năng, kỹ xảo, linh hoạt, nhạy
bén và giải quyết triệt để mọi tình huống xảy ra trong học tập môn toán và cả trong đời
sống.
3.2 Qui trình tựa thuật toán
3.2.1 Khái niệm về qui trình tựa thuật toán
Những qui tắc thể hiện phần nào nhưng không hoàn toàn đầy đủ yêu cầu chặt
chẽ của khái niệm thuật toán trong toán học gọi là qui trình tựa thuật toán.
Một qui trình tựa thuật toán không phải là một thuật toán mà qui trình đó chỉ tương tự
như một thuật toán. Tương tự ở chỗ nó cũng nêu lên trình tự các bước để giải quyết
một vấn đề, nhưng với các bước đó thì thuật toán cho ta một kết quả duy nhất còn qui
trình tựa thuật toán đòi hỏi tính mềm dẻo, linh hoạt trong tư duy thì vấn đề đặt ra mới
được giải quyết. Đối với một thuật toán thì cho dù người hay máy thực hiện đều mang
lại một kết quả duy nhất. Nhưng đối với một qui trình tựa thuật toán thì vấn đề có khác
hơn, đó là máy không thực hiện được qui trình này. Trong chương trình toán ở trường
phổ thông, học sinh đã được học những qui trình tựa thuật toán như: qui trình giải toán
bằng cách lập phương trình, qui trình xác định vectơ tổng của hai vectơ cho trước, qui

trình khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số,…
Ví dụ 1: Xác định đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau a và
b cho trước như sau:
Qui trình 1
Bước 1: Xác định mp (Q ) chứa b và song song với a ;
Bước 2: Xác định hình chiếu a' của a trên mp (Q ) ;
Bước 3: Xác định giao điểm N của a' với b ;
Bước 4: Xác định đường thẳng c qua N và c  (Q) .
Qui trình gồm 4 bước trên tỏ ra khá hiệu lực giúp học sinh giải các bài toán về
xác định đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau cho trước. Tuy nhiên,
khi vận dụng các qui trình tựa thuật toán đòi hỏi tính mềm dẻo, linh hoạt của tư duy thì
vấn đề đặt ra mới được giải quyết tốt nhất.
Qui trình trên sẽ không có ý nghĩa gì khi giải bài toán: “Cho hình lập phương
ABCD. A' B ' C ' D ' . Xác định đường vuông góc chung của hai đường thẳng AB và CC ' ”
24


Bài toán này chỉ đòi hỏi học sinh hiểu được khái niệm đường vuông góc chung của hai
đường thẳng chéo nhau mà không cần đến qui trình đã nêu.
Thông qua luyện tập giáo viên có thể hướng dẫn học sinh xây dựng những qui
trình để giải một lớp các bài toán.
Sau đây là một qui trình khác gồm 6 bước để xác định đường vuông góc chung
của hai đường thẳng chéo nhau a và b cho trước.
Qui trình 2
Bước 1: Xác định mp (P) vuông góc với đường thẳng a ;
Bước 2: Xác định giao điểm O của a với mp (P) ;
Bước 3: Xác định hình chiếu b' của b lên mp (P) ;
Bước 4: Xác định hình chiếu H của O lên b ;
Bước 5: Xác định N  b sao cho NH // a ;
Bước 6: Xác định M  a sao cho MN // OH .

Khi đó đường thẳng MN là đường vuông góc chung của a và b .
Nếu sau bước 3 của qui trình 2, giáo viên đặt câu hỏi: Trong trường hợp nào thì
b' // b ? Khi đó có nhận xét gì về hai đường thẳng a và b ? Thì ta có một qui trình khác
gồm 3 bước để xác định đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau và
vuông góc với nhau a và b cho trước.
Qui trình 3
Bước 1: Xác định mp (P) chứa b và vuông góc với a ;
Bước 2: Xác định giao điểm M của a với mp (P) ;
Bước 3: Xác định hình chiếu N của M trên b .
Khi đó đường thẳng MN là đường vuông góc chung của a và b .
Từ các qui trình trên có thể nói rằng các bước xác định đường vuông góc chung
của hai đường thẳng chéo nhau a và b là khá rõ ràng. Tuy nhiên việc áp dụng vào các
bài toán cụ thể vẫn xuất hiện nhiều khó khăn: Nên xác định mp (P) chứa b và song
song với a hay chứa a và song song với b ? Bằng cách nào để tìm hình chiếu của b
trên mp (P) ?... Trong những trường hợp đó cần sự giúp đỡ của giáo viên, đặc biệt là
tính mềm dẻo, linh hoạt trong tư duy của người làm toán.
Bài tập vận dụng: Cho hình lập phương ABCD. A' B ' C ' D ' cạnh a . Tính khoảng
cách giữa hai đường thẳng chéo nhau d1, d 2 . Trong đó d1, d 2 là hai đường thẳng chéo
nhau lần lượt chứa hai cạnh của hình lập phương.
Ví dụ 2: Đối với một số bài toán kết hợp phương pháp dự đoán và qui nạp toán
học, với qui trình thực hiện như sau:
Bước 1: Dự đoán kết quả qua xét một số trường hợp cụ thể.

25