Giải và khai thác một số dạng toán về lượng giác

1

MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài khóa luận
Lượng giác là một nội dung kiến thức quan trọng của chương trình
Toán phổ thông. Nó liên quan đến nhiều nội dung khác của Toán học như tích
phân, đạo hàm, hình học… Và bổ trợ cho nhiều môn khoa học quan trọng
khác như Vật lí và trong cả thực tiễn. Trong chương trình Toán phổ thông,
lượng giác được giảng dạy ở cuối năm lớp 10 và đầu năm lớp 11 với những
chủ đề cơ bản như: Công thức lượng giác, phương trình lượng giác, hệ thức
lượng trong tam giác, tính giá trị lượng giác của một góc, chứng minh bất
đẳng thức lượng giác, rút gọn biểu thức…
Các bài toán về lượng giác là mảng kiến thức thường xuyên xuất hiện
trong các kỳ thi học sinh giỏi Toán cũng như các kỳ thi Olympic Toán các cấp
và kỳ thi THPT Quốc Gia. Do đó, đây là một mảng Toán luôn thu hút được sự
quan tâm của người giáo viên, học sinh, sinh viên chuyên ngành Toán... Ý
thức được tầm quan trọng như vậy nhưng việc dạy và học về lượng giác ở các
trường THPT vẫn còn gặp nhiều khó khăn. Một trong những nguyên nhân
chính là do các bài toán về lượng giác có rất nhiều dạng và thời lượng dành
cho việc luyện bài tập theo phân phối chương trình còn hạn chế. Nên khi giải
một bài toán về lượng giác học sinh thường lúng túng và đặt ra câu hỏi: “ Phải
định hướng lời giải bài toán từ đâu? Phải biến đổi từ đâu?”. Một số học sinh
có thói quen là biến đổi tùy ý hay không đọc đề kỹ đã vội làm ngay, có khi
thử nghiệm đó sẽ dẫn đến kết quả, tuy nhiên hiệu suất giải toán sẽ không cao.
Do vậy, muốn đạt được kết quả cao trong mảng kiến thức lượng giác này thì
khi giải một bài toán không nên chỉ dừng lại ở bước hiểu lời giải, mà cần phải
biết cách khai thác, phân loại các dạng toán để đưa ra những hướng giải đúng
và lời giải chính xác. Việc khai thác bài toán thể hiện sự sáng tạo và hiểu sâu
hơn lời giải, giúp cho quá trình học tập đạt được kết quả cao. Vì vậy việc phát
triển kĩ năng thực hành giải và khai thác một số bài toán về lượng giác cho
học sinh là một nhiệm vụ vô cùng quan trọng của người giáo viên.

Với vai trò là một người giáo viên tương lai, việc nghiên cứu và trau


2

dồi kiến thức Toán phổ thông là một điều rất cần thiết. Nên tôi muốn đưa ra
những hướng dẫn cụ thể về cách giải và khai thác một số dạng toán lượng
giác dựa trên những kiến thức đã được trang bị trong quá trình học tập, nghiên
cứu về lượng giác. Việc này sẽ giúp ích rất nhiều trong quá trình giảng dạy,
bồi dưỡng chọn lọc những học sinh ưu tú. Vì vậy tôi quyết định chọn đề tài
“Giải và khai thác một số dạng toán về lượng giác” làm nội dung nghiên
cứu cho khóa luận của mình.
2. Mục tiêu khóa luận
Giải và khai thác một số dạng toán về nhận dạng tam giác, rút gọn biểu
thức lượng giác, chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức lượng giác và phương
trình lượng giác.
3. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn
Khóa luận là tài liệu tham khảo cho học sinh ở các trường phổ thông,
sinh viên các ngành đặc biệt là ngành sư phạm Toán. Giúp họ hiểu thêm về
các hàm lượng giác, biết cách khai thác một số dạng bài toán lượng giác.
Đồng thời, góp phần rèn luyện thói quen phân tích và tìm hiểu mối quan hệ
giữa các vấn đề trong quá trình giải toán cho học sinh.
Đối với bản thân, đây là cơ hội để mở rộng và đi sâu nghiên cứu về
kiến thức, phát triển kĩ năng tư duy và thực hành giải toán thực sự hữu ích cho
công tác giảng dạy sau này ở trường THPT.


3

CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CƠ SỞ

Trong chương này tôi trình bày sơ lược về giải và khai thác một số bài
toán, một số kiến thức về lượng giác.
1.1. Sơ lược về giải và khai thác một số bài toán.
Thông thường để giải một bài toán, cần qua nhiều công đoạn khác
nhau. Trong [5] đã đưa ra một số công đoạn như sau: Tìm hiểu sơ lược bộ đề,
khai thác đề bài, tìm tòi lời giải, trình bày lời giải, đánh giá lời giải, khai thác
lời giải, đề xuất bài toán mới. Tất nhiên không phải bài toán nào cũng trải qua
đủ các công đoạn đó, song chúng giúp ích rất nhiều trong việc giải các bài
toán, và đối với các bài toán được chọn lọc điển hình thì nên phân tích kỹ
theo trình tự đó để rèn luyện các thao tác tư duy.
1.1.1. Tìm hiểu sơ bộ đề toán.
Khi chọn bài toán, không nên chọn bài quá khó, mà cũng không nên
chọn bài quá dễ. Cần trình bày bài toán sao cho tự nhiên và gợi hứng thú, sự
tò mò cho người học. Trước hết, cần phải đọc kĩ đề toán để thấy được “toàn
cảnh” bài toán, càng sáng sủa, rõ ràng càng hay, không đi vội vào chi tiết,
nhất là các chi tiết rắc rối.
Cần cố gắng “khoanh vùng” phạm vi của đề toán: Bài toán này thuộc
“vùng” kiến thức nào? Sẽ cần có những kiến thức, kĩ năng gì? Nếu giải được
thì sẽ giải quyết được vấn đề gì?
1.1.2. Khai thác đề toán.
Nếu là bài toán tìm tòi thì cần xác định rõ đâu là ẩn, cần phải tìm cái
gì? Đâu là các dữ liệu? Đã cho biết những gì? Nếu bài toán chứng minh thì
cần nêu rõ giả thiết, kết luận.
Nếu bài toán có hình vẽ thì phải vẽ hình. Đối với các bài toán đại số và
số học, đó có thể là đồ thị, đoạn thẳng, có thể là các hình học (chẳng hạn các
bài toán về cực trị hoặc các bài toán hình học giải bằng phương pháp đại số).
Nếu cần có thể sử dụng các nét đậm, nét nhạt, nét đứt hoặc dùng màu trong


4

hình vẽ,… cảm nhận trực giác trên hình vẽ có thể giúp ta nắm bắt được dễ
dàng hơn nội dung của đề toán.
Đối với nhiều đề toán ta phải dựa vào một số kí hiệu. Cách kí hiệu thích
hợp có thể giúp ta hiểu rõ đề toán nhanh chóng hơn. Các kí hiệu dùng để ghi
các đối tượng và quan hệ giữa chúng trong bài toán cần được đưa vào một
cách ngắn gọn, dễ nhìn.
1.1.3. Tìm tòi lời giải.
Đây là bước quan trọng – nếu không nói là việc quan trọng nhất trong
giải toán. Không có một thuật giải tổng quát nào để giải được mọi bài toán,
mà chỉ có thể đưa ra những lời khuyên, những kinh nghiệm, chúng giúp cho
việc tìm tòi lời giải được hướng hơn, nhanh hơn, thuận lợi hơn và nhiều khả
năng dẫn tới thành công hơn. Tùy từng trường hợp cụ thể mà vận dụng kinh
nghiệm đó, càng linh hoạt, nhuần nhuyễn thì càng dẫn tới thành công hơn.
• Nhận dạng và tập hợp kiến thức
Cần “khoanh vùng” bài toán và vùng được khoanh càng hẹp càng tốt, giúp
ta nhận dạng được bài toán thuộc loại nào. Khi đã nhận dạng, đã phân loại
được bài toán thì trong óc phải nhanh chóng huy động và tổ chức các kiến
thức đã học, đã biết từ trước, phải nhớ lại để chuẩn bị vận dụng một cách linh
hoạt yếu tố cần thiết để giải bài toán này. Quá trình đó có thể là “tự phát” nhất
là đã quen với việc giải toán.
• Phân tích bài toán để đưa về những dạng đơn giản hơn
Một bài toán, nhất là bài toán tổng hợp, bài toán khó thường được xây
dựng từ những bài toán đơn giản hơn. Cần thử xem có thể phân tích bài toán
đang xét thành những bài toán đơn giản hơn không, rồi giải bài toán nhỏ ấy,
sau đó kết hợp chúng lại để có lời giải của bài toán đã cho.
• Liên hệ và sử dụng các bài toán đã giải
Thật ra khó mà đặt ra bài toán hoàn toàn mới, không giống bất kỳ bài toán
nào hoặc không liên hệ gì các bài toán khác. Vì thế, khi gặp một bài toán, ta
cố gắng nhớ lại xem đã gặp một bài toán tương tự hoặc gần giống với bài toán

5

cần giải chưa và con đường đi đến lời giải. Điều đó sẽ giúp chúng ta rút ngắn
việc tìm tòi lời giải của bài toán “mới” này và tạo thêm rất nhiều thuận lợi.
Khi nhớ được một hay một số bài toán tượng tự bài toán đang xét có thể về
dạng, có thể về phương pháp, về vấn đề đặt ẩn, về cái chưa biết phải tìm… ta
đã lợi dụng được những điểm tương đồng về phương pháp giải, về kinh
nghiệm, về kết quả.
• Mò mẫm, dự đoán
Trong khi tìm tòi lời giải cho bài toán, ta có thể thử nghiệm với một số
trường hợp đặc biệt, nhiều khi cho ta những gợi ý để giải quyết trong những
trường hợp tổng quát.
• Bản gợi ý Pôlya
Hãy trả lời các câu hỏi:
- Bạn đã gặp bài toán này lần nào chưa? Hay đã gặp bài toán này ở
dạng khác?
- Bạn có biết một bài toán nào liên quan không? Một định lí nào có
thể sử dụng ở đây không?
- Xét kĩ cái chưa biết (ẩn) và thử nhớ lại một bài toán quen thuộc có
cùng ẩn hay có ẩn tương tự?
- Đây là một bài toán liên quan mà bạn đã có lần giải rồi. Có thể sử
dụng nó không? Có thể sử dụng kết quả của nó không? Có thể sử
dụng phương pháp của nó không? Có cần đưa thêm một số yếu tố
phụ thì mới sử dụng được không?
- Có thể phát biểu bài toán một cách khác không? Nếu bạn vẫn chưa
giải được bài toán đã cho thì hãy thử giải một bài toán liên quan mà
dễ hơn được không? Một bài toán tổng quát hơn? Một trường hợp
đặc biệt? Một bài toán tương tự? Hoặc một phần của bài toán? Hãy

giữ lại một số điều kiện, bỏ qua các điều kiện khác. Khi đó ẩn được
xác định đến một chừng mực nào đó, nó biến đổi như thế nào? Bạn
có thể từ các dữ kiện đã biết rút ra một số yếu tố có ích không? Có
thể nghĩ ra các dữ kiện khác giúp bạn xác định được ẩn không? Có


6

thể thay đổi ẩn hoặc các dữ kiện sao cho các ẩn mới các dữ kiện mới
gần nhau hơn không?
- Bạn đã sử dụng hết mọi dữ kiện chưa? Đã sử dụng hết các quan hệ
chưa? Đã để ý đến các khái niệm chủ yếu trong bài toán chưa?
1.1.4. Trình bày lời giải
Khi đang tìm tòi lời giải, ta có thể mò mẫm, dự đoán và có thể dùng
cách lập luận tạm thời, cảm tính. Nhưng khi trình bày lời giải thì chỉ được
dùng những lí luận chặt chẽ, phải kiểm nghiệm lại từng chi tiết. Phải chú ý
đến trình tự các chi tiết, đến mối quan hệ giữa các chi tiết trong từng đoạn của
lời giải và trong toàn bộ lời giải. Không có chi tiết nào “bỗng nhiên” xuất hiện
mà không căn cứ vào những kiến thức đã học hoặc những chi tiết mà ta trình
bày trước đó.
Trình bày các chi tiết mà ta đã sử dụng trong việc tìm tòi lời giải có thể
rất khác nhau với trình tự đã sử dụng khi trình bày lời giải, thậm chí có thể
ngược nhau, vì khi tìm tòi lời giải ta thường dùng phương pháp phân tích (còn
gọi là pháp phân tích đi xuống), còn khi trình bày lời giải để cho ngắn gọn, ta
thường dùng phương pháp tổng hợp (thường gọi là phân tích đi lên). Lời giải
được trình bày gọn gàng, mạch lạc, sáng sủa, dễ đọc.
1.1.5. Kiểm tra, đánh giá lời giải, khai thác bài toán
Công đoạn cuối cùng này cùng cần thiết và bổ ích nhưng thường hay bị
bỏ qua. Trong khi trình bày lời giải, rất có thể có thiếu sót, nhầm lẫn. Việc
kiểm tra lại sẽ giúp ta đánh giá được những sai sót đó, và còn giúp ta tích lũy

thêm những kinh nghiệm từ bài toán khác. Hơn nữa, việc nhìn lại toàn bộ
cách giải có thể giúp ta phát hiện được cách giải khác tốt hơn, ngắn gọn hơn,
hay hơn hoặc sâu sắc hơn. Ngoài ra, nhìn lại toàn bộ lời giải nhiều khi gợi ý
cho ta tìm được những bài toán mới, mà bài toán vừa xét chỉ là trường hợp
đặc biệt. Công đoạn này còn được gọi là khai thác bài toán. Có thể khai thác
theo các hướng sau:
• Hướng 1: Phát biểu bài toán tương tự, bài toán này có thể giải được không?


7

• Hướng 2: Khái quát hóa, có thể phát biểu bài toán tổng quát được không? Bài
toán tổng quát có còn đúng nữa không? Trái lại với khái quát hóa là đặc biệt
hóa luôn luôn đưa đến kết quả đúng, có thể mạnh hơn.
• Hướng 3: Thay đổi giả thiết để được bài toán mới. Phương pháp giải một bài
toán khác.
• Hướng 4: Từ ý nghĩa bài toán đã dẫn đến phương pháp giải một bài toán
khác.
1.2. Một số kiến thức cơ bản về lượng giác
1.2.1. Định nghĩa các hàm lượng giác cơ bản
a. Các hàm số y = sin x và y = cosx
- Định nghĩa:
Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x với sin của góc lượng giác có số đo
rađian bằng x được gọi là hàm số sin. Kí hiệu là y = sin x.
Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x với côsin của góc lượng giác có số đo
rađian bằng x được gọi là hàm số côsin. Kí hiệu là y = cosx.
Tập xác định của các hàm số y = sin x và y = cosx là R. Do đó các hàm
số sin và côsin được viết là
sin: ¡ ® ¡

cos: ¡ ® ¡
x a cosx

x a sin x

- Tính chất tuần hoàn của hàm số y = sin x và y = cosx
Hàm số y = sin x và y = cosx là hàm số tuần hoàn với chu kỳ T = 2p.
b. Các hàm số y = tan x và y = cot x.
- Định nghĩa:
Hàm số tan là hàm số được xác định bởi công thức
y=

sin x
cosx

( cosx ¹ 0)

Kí hiệu y = tan x
Vì cosx ¹ 0 Û x ¹
là

p
+ kp ( k Î ¢ ) nên tập xác định của hàm số y = tan x
2


8

ỡù p
ỹ

ù
D = Ă \ ùớ + kp, k ẻ Âùý
ùợù 2
ùùỵ
Hm s cot l hm s c xỏc nh bi cụng thc
y=

cosx
sin x

( sin x ạ 0)

Kớ hiu y = cot x
Vỡ sin x ạ 0 x ạ kp ( k ẻ Â ) nờn tp xỏc nh ca hm s y = cot x l
D = Ă \ { kp, k ẻ Â}

Nhn xột: Hm s y = sin x l hm s l, hm s y = cosx l hm s chn.
Do ú , cỏc hm s y = tan x v y = cot x u l nhng hm s l
- Tớnh cht tun hon:
Cỏc hm s y = tan x v y = cot x tun hon vi chu k p.
1.2.2. Giỏ tr lng giỏc ca cỏc cung cú liờn quan c bit.
ã Hai cung i nhau
cos(- a ) = cosa
sin(- a) = - sin a
ã Hai cung bự nhau: ( a v p - a )
cos(p - a ) = - cosa
sin(p - a ) = sin a

tan(- a) = - tan a
cot(- a) = - cot a

tan(p - a) = - tan a
cot(p - a ) = - cot a

ã Hai cung ph nhau: ( a v p - a )
2
p
p
cos( - a ) = sin a
tan( - a) = cot a
2
2
p
p
sin( - a) = cosa
cot( - a) = tan a
2
2
ã Hai cung hn, kộm p ( a v p + a )
cos(p + a ) = - cosa
tan(p + a) = tan a
sin(p + a) = - sin a
cot(p + a) = cot a
ã Hai cung hn kộm p
2
p
cos( + a) = - sin a
2
p
sin( + a) = cosa
2

p
tan( + a) = - cot a
2
p
cot( + a) = - tan a
2


9

1.2.3. Công thức lượng giác cơ bản
· Các đẳng thức lượng giác
1

sin2 a + cos2 a = 1
1
sin2 a

2

cos a

= 1+ cot2 a

= 1+ tan2 a

tan a.cot a = 1

sin a

cosa
· Công thức cộng
tan a =

cot a =

sin(a + b) = sin a.cosb + sin b.cosa
sin(a - b) = sin a.cosb - sin b.cosa
cos(a + b) = cosa.cosb - sin a.sin b
cos(a - b) = cosa.cosb + sin a.sin b

cosa
sin a

tan a + tan b
1- tan a.tan b
tan a - tan b
tan(a - b) =
1+ tan a.tan b
cot a.cot b + 1
cot(a + b) =
cot a - cot b
cot a.cot b - 1
cot(a - b) =
cot a + cot b

tan(a + b) =

· Công thức nhân
sin2a = 2sin a.cosa

cos2a = cos2 a - sin2 a = 2cos2 a - 1 = 1- 2sin2 a
2tan a
cot2 a - 1
tan2a =
cot2
a
=
1- tan2 a
2cot a
3

sin3a = 3sin a - 4sin a
3

cos3a = 4cos a - 3cosa

tan3a =
cot 3a =

3tan a - tan3 a
1- 3tan2 a
cot3 a - 3cot a
3cot2 a - 1

· Công thức hạ bậc
1- cos2a
1+ cos2a
tan2 a =
cos2 a =
1+ cos2a

2
1- cos2a
1+ cos2a
sin2 a =
cot2 a =
2
1- cos2a
3sin a - sin3a
3cosa + cos3a
sin3 a =
cos3 a =
4
4
· Công thức biến đổi tích thành tổng
1
cosa.cosb = é
cos(a + b) + cos(a - b)ù
ê
ú
ë
û
2


10

sin a.sin b = -

1é
cos(a + b) - cos(a - b)ù

ê
ú
ë
û
2

1é
ù
êsin(a + b) + sin(a - bû
ú
2ë
tan a + tan b
tan a.tan b =
cot a + cot b
· Công thức biến đổi tổng thành tích
a +b
a- b
cosa + cosb = 2cos
.cos
2
2
a +b
a- b
cosa - cosb = - 2sin
.sin
2
2
a +b
a- b
sin a + sin b = 2sin

.cos
2
2
a +b
a- b
sin a - sin b = 2cos
.sin
2
2
sin( a ± b)
tan a ± tan b =
cosa.cosb
sin a.cosb =

cot a ± cot b =

sin( b ± a )

sin a.sin b
· Một số công thức đặc biệt
p
p
cosa + sin a = 2cos( - a) = 2sin( + a)
4
4
p
p
cosa - sin a = 2cos(a + ) = 2sin( - a)
4
4

p
p
sin a - cosa = 2sin(a - ) = 2cos( + a)
4
4
1.2.4. Các đẳng thức lượng giác cơ bản trong tam giác
· Định lý hàm số sin:
Trong tam giác ABC bất kỳ với AB = c, BC = a,CA = b và R là bán
kính đường tròn ngoại tiếp, ta có

a
b
c
=
=
= 2R.
sin A
sin B
sinC

Định lý sin được dùng để tính độ dài một cạnh khi biết độ dài hai cạnh còn
lại, đây là bài toán hay gặp trong kĩ thuật tam giác – một kĩ thuật dùng để đo
khoảng cách dựa vào việc đo góc và các khoảng cách dễ đo khác .
· Định lý hàm số cosin:


11

Trong tam giác ABC với a,b,c là độ dài ba cạnh của tam giác, ta có
a2 = b2 + c2 - 2bc.cosA

b2 = a2 + c2 - 2ac.cosB
c2 = a2 + b2 - 2ab.cosC
Đây là một kết quả mở rộng của định lý Pitago, và được dùng để tìm các dữ
liệu còn lại trong tam giác khi biết độ lớn hai cạnh và một góc.
· Định lý hàm số tan.

Tỉ số giữa tổng và hiệu hai cạnh của một tam giác bằng tỉ số giữa tan nửa tổng
và tang nửa hiệu của hai góc đối diện tương ứng trong tam giác đó.
é1
ù
tan ê ( A + B ) ú
ê2
ú
a +b
ë
û
=
Biểu thức
é
ù
a- b
1
tan ê ( A - B ) ú
ê2
ú
ë
û
Trong đó a,b,c là các cạnh trong tam giác ABC và A, B,C là các góc tương
ứng của tam giác đó.
· Định lý hàm số cot.

b2 + c2 - a2
cot A =
4S
2
a + c2 - b2
cot B =
4S
2
a + b2 - c2
cotC =
4S
· Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác


12

r=

B
C
sin
2
2 = ( p - a) tan A
A
2
cos
2

a sin

A
C
sin
2
2 = ( p - b) tan B
r=
B
2
cos
2
A
B
csin sin
2
2 = ( p - c) tan C
r=
C
2
cos
2
A
B
C
r = 4R sin sin sin
2
2
2
· Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác
B
C

a cos cos
2
2 = p tan A
ra =
A
2
cos
2
A
C
bcos cos
2
2 = p tan B
rb =
B
2
cos
2
A
B
ccos cos
2
2 = p tan C
rc =
C
2
cos
2
· Đường phân giác góc trong của tam giác
A

B
C
2bc cos
2ca cos
2abcos
2
2
2
la =
lb =
lc =
b +c
a +c
a +b
· Đường trung tuyến của tam giác
bsin

b2 + c2 a2
a2 + c2 b2
a2 + b2 c2
2
2
=
mb =
mc =
2
4
2
4
2

4
1.2.5. Phương trình lượng giác cơ bản
· Phương trình sinx = m
Nếu a là một nghiệm của phương trình sin x = m, nghĩa là sin a = m thì
ma2


13

éx = a + k2p
sin x = m Û ê
êx = p - a + k2p
ê
ë
Chú ý:
ùthì ta có:
1. Khi m Î é
ê- 1;1û
ú
ë

( k Î ¢)

p
+ k2p
2
p
sin x = - 1 Û x = - + k2p
2
sin x = 0 Û x = kp

2. Nếu m cho trước mà m £ 1, phương trình sinx = m có đúng một
sin x = 1 Û x =

é p pù
- ; ú.
m. Khi đó
nghiệm nằm trong đoạn ê
ê 2 2ú Nghiệm đó kí hiệu là arcsin
ë
û
éx = arcsin m + k2p
sin x = m Û ê
( k Î ¢)
êx = p - arcsin m + k2p
ê
ë
3. Nếu a và b là hai số thực thì sin b = sin a khi và chỉ khi có số nguyên k
để b = a + k2p hoặc b = p - a + k2p, k Î ¢
· Phương trình cosx = m
Nếu a là một nghiệm của phương trình cosx = m, nghĩa là cosa = m thì
éx = a + k2p
cosx = m Û ê
( k Î ¢)
êx = - a + k2p
ê
ë
Chú ý:
ùthì ta có:
1. Khi m Î é
ê- 1;1û

ú
ë
cosx = 1 Û x = k2p
cosx = - 1 Û x = p + k2p
p
cosx = 0 Û x = + kp
2
2. Nếu m cho trước mà m £ 1, phương trình cosx = m có đúng một
é0; pù. Nghiệm đó kí hiệu là arccos m. Khi đó
ê
ë ú
û
éx = arcsinm + k2p
cosx = m Û ê
( k Î ¢)
êx = - arcsin m + k2p
ê
ë
3. Nếu a và b là hai số thực thì cosb = cosa khi và chỉ khi có số nguyên

nghiệm nằm trong đoạn

k để b = a + k2p hoặc b = - a + k2p, k Î ¢


14

· Phương trình tanx = m
Nếu a là một nghiệm của phương trình tan x = m, nghĩa là tan a = m thì
tanx = m Û x = a + kp

( k Î ¢)
Chú ý:
1. Nếu với mọi số m cho trước, phương trình

tanx = m có đúng một

é p pù
- ; ú.
m. Khi đó
nghiệm nằm trong đoạn ê
ê 2 2ú Nghiệm đó kí hiệu là arctan
ë
û
tan x = m Û x = arctan m + kp
2. Nếu a và b là hai số thực thì tan b = tan a khi và chỉ khi có số nguyên
k để b = a + kp, k Î ¢
· Phương trình cotx = m
Nếu a là một nghiệm của phương trình cot x = m, nghĩa là cot a = m thì
cotx = m Û x = a + kp
( k Î ¢)

Chú ý.
1. Nếu với mọi số m cho trước, phương trình

cotx = m có đúng một

ù. Nghiệm đó kí hiệu là arccot m.
nghiệm nằm trong đoạn é
ê
ë0; pú

û
Khi đó cot x = m Û x = arccot m + kp


15

CHƯƠNG 2
GIẢI VÀ KHAI THÁC MỘT SỐ DẠNG TOÁN LƯỢNG GIÁC
2.1. Bài toán rút gọn biểu thức lượng giác.
Khai thác bài toán là vấn đề khó không chỉ đối với học sinh trung học
mà còn khó với cả sinh viên và giáo viên. Nó đòi hỏi người học phải vận dụng
linh hoạt có kĩ sảo những kiến thức đã học, phải có tư duy sáng tạo nắm bắt
vấn đề sâu sắc. Mặt khác, ta thấy rằng hầu hết các bài toán phức tạp là sự phối
hợp của nhiều bài toán cơ bản. Do đó, học sinh cần phải biết giải thành thạo
các bài toán cơ bản, nhìn ra vị trí của bài toán cơ bản trong bài toán phức tạp.
Như vậy, khi giải bài toán rút gọn biểu thức lượng giác cơ bản, đơn giản ta có
thể tìm được cách giải cho nhiều bài toán lượng giác khác có liên hệ với
những bài toán đó, giúp xây dựng một chuỗi bài toán từ dễ đến khó một cách
hệ thống hơn, và ngoài ra nó còn khơi dậy được óc tò mò cũng như khả năng
phán đoán cho người học khi giải các bài toán rút gọn biểu thức lượng giác.
Dưới đây ta đi xét một số bài toán rút gọn biểu thức lượng giác thông
qua các bài tập cụ thể sau.
Bài toán 1. Chứng minh rằng biểu thức sau không phụ thuộc vào biến số
A = cos2 3x + cos2 x - 2cosx.cos2x.cos3x
a. Lời giải.
Ta có
A = cos2 3x + cos2 x - 2cosx.cos2x.cos3x
2

= ( cosx + cos3x) - 2cosx cos3x ( cos2x + 1)

= 4cos2 x cos2 2x - 4cos2 x cosx cos3x

(

)

= 4cos2 x cos2 2x - cosx cos3x

é1+ cos4x 1
ù
= 4cos2 x ê
- ( cos2x + cos4x) ú
ê 2
ú
2
ë
û
2
= 2cos x ( 1- cos2x)
= sin2 2x
b. Khai thác.
Bài toán. Chứng minh rằng mọi biểu thức sau không phụ thuộc vào biến số
A = cos2 ( a + x) + cos2 x - 2cosx cosa cos( a + x)
Lời giải.


16

(

A = cosa + cos( a + x)

)

2

- 2( cosa+ 1) cosx cos( a + x)

æ aö
a
a
÷
= 4cos2 ç
cos2 - 4cos2 cosx cos( a + x)
çx + ÷
÷
÷
ç
2ø
2
2
è
æ æ aö
ö
2 a ç 2ç
÷
÷
= 4cos ç
cos çx + ÷
- cosx cos( a + x) ÷

÷
÷
ç
÷
÷
ç
ç
2è
2ø
è
ø
a
= 2cos2 1+ cos( 2x + a) - cosa - cos( 2a + x)
2
a
a
a
= 2cos2 ( 1- cosa) = 4cos2 sin2 = sin2 a.
2
2
2
Bài toán 2. Đơn giản biểu thức sau
2p
4p
6p
8p
B = cos + cos
+ cos + cos
5
5

5
5
a. Lời giải.
Ta có

(

)

p
p
2p
p
4p
p
6p
p
8p
2sin .B = 2sin cos + 2sin cos
+ 2sin cos + 2sin cos
5
5
5
5
5
5
5
5
5

p
3p
3p
5p
5p
7p
7p
9p
+ sin
- sin
+ sin
- sin
+ sin
- sin
+ sin
5
5
5
5
5
5
5
5
9p
p
4p
= sin
- sin = 2cosp sin
5
5

5
p
= 2cosp sin
5
Do đó B = cosp = - 1
b. Khai thác.
Bài toán 2.1. Rút gọn biểu thức
B1 = cos2a + cos4a + cos6a + ... + cos2na
= - sin

Lời giải.
2sina.B1 = 2sina cos2a + 2sina cos4a + 2sina cos6a + ... + 2sina cos2na
= sin3a - sina + sin5a - sin3a + ... + sin( 2n + 1) a - sin ( 2n - 1) a
= - sina + sin( 2n + 1) a
= 2sin na cos( n + 1) a


17

Do đó B =
1

sin na cos( n + 1) a

sina
Do tính chất tương tự giữa các hàm sin và cos ta có bài toán sau.
Bài toán 2.2. Rút gọn biểu thức
B2 = sin2a + sin4a + sin6a + ... + sin2na
Lời giải.
2sinaB2 = 2sina sin2a + 2sina sin4a + 2sina sin6a + ... + 2sina sin2na

= cosa - cos3a + cos3a - cos5a + ... + cos( 2n - 1) a - cos( 2n + 1) a

= cosa - cos( 2n + 1) a
= 2sin( n + 1) a sin na
Do đó B =
2

sin( n + 1) a sin na

sina
Bài toán 3. Rút gọn biểu thức
p
2p
3p
C = cos - cos + cos
7
7
7
a. Lời giải.

p
pæ
p
3p
5p ö
÷
ç
÷
2sin
.

C
=
2sin
cos
+
cos
+
cos
ç
Ta có
÷
ç
÷
7
7è 7
7
7ø
2p
4p
2p
6p
4p
+ sin
- sin
+ sin
- sin
7
7
7
7

7
p
= sin
7
= sin

1
2
b. Khai thác.
Rút gọn giá trị biểu thức
C 1 = cosa + cos3a + cos5a + ... + cos( 2n - 1) a
Do đó C =

Lời giải.
Nhân hai vế của C 1 với 2sina ta được

2sinaC
. 1 = 2sina cosa + 2sina cos3a + 2sina cos5a + ... + 2sina cos( 2n - 1) a

= sin2a + sin4a - sin2a + ... + sin2na - sin( 2n - 2) a
= sin2na
sin2na
Do đó C 1 =
2sina
Bài toán 4. Rút gọn biểu thức


18

D = sina + sin2a + sin3a + ... + sin na

a. Lời giải.
a
= 0 Þ a = 2kp Þ D = 0.
2
a
- Nếu sin ¹ 0 Þ a ¹ 2kp ta có:
2
a
a
a
a
a
2sin .D = 2sin sina + 2sin sin2a + 2sin sin3a + ... + 2sin sin na
2
2
2
2
2
- Nếu sin

( 2n - 1) a - cos( 2n + 1) a
a
3a
3a
5a
= cos - cos + cos - cos + ... + cos
2
2
2
2

2
2
( 2n + 1) a = 2sin na sin ( n + 1) a
a
= cos - cos
2
2
2
2
( n + 1) a
na
sin sin
2
2
Þ D=
a
sin
2
b. Khai thác.
Rút gọn biểu thức
D1 = cosa + cos2a + cos3a + ... + cosna
Lời giải
a
= 0 Þ a = 2kp Þ D1 = n.
2
a
- Nếu sin ¹ 0 Þ a ¹ 2kp ta có:
2
a
a

a
a
a
2sin .D1 = 2sin cosa + 2sin cos2a + 2sin cos3a + ... + 2sin cosna
2
2
2
2
2
- Nếu sin

= sin

( 2n + 1) a - sin ( 2n - 1) a
3a
a
5a
3a
- sin + sin - sin + ... + sin
2
2
2
2
2
2


19

( n + 1) a sin na

a
= 2cos
2
2
2
2
( n + 1) a sin na
cos
2
2
Þ D1 =
a
sin
2
Bài toán 5. Đơn giản biểu thức sau
E = cos20°cos40°cos60°cos80°
a. Lời giải.
Ta có
E = cos20°cos40°cos60°cos80°
1
= cos20°cos40°cos80°
2
1
=
( 2sin20°cos20°) cos40°cos80°
4sin20°
1
=
( 2sin40°cos40°) cos80°
8sin20°

1
sin160°
1
=
2sin80°cos80°) =
=
(
16sin20°
16sin20° 16
b. Khai thác.
Bài toán 5.1. Rút gọn biểu thức
E 1 = sin5°sin15°sin25°.....sin75°sin85°
= sin

( 2n + 1) a -

sin

Lời giải.
E 1 = ( sin5°sin85°) ( sin15°sin75°) ( sin25°sin65°) ( sin35°sin55°) sin45°
2
( sin5°cos5°) ( sin15°cos15°) ( sin25°cos25°) ( sin35°cos35°)
2
2
=
sin10°sin30°sin50°sin70°
5
2
2
=

sin10°cos20°cos40°
26
2
=
( 2sin10°cos10°) cos20°cos40°
27 cos10°
2
2
=
2sin20°cos20°) cos40° =
(
( 2sin40°cos40°)
28 cos10°
29 cos10°
2sin80°
2
=
=
29 cos10°
29
Bài toán 5.2. Rút gọn biểu thức
=

E 2 = cosa cos2a cos4a cos8a.....cos2na


20

Lời giải.
sinaE 2 = sina cosa cos2a cos4a cos8a.....cos2na

1
= sin2a cos2a cos4a cos8a.....cos2na
2
1
= sin4acos4a cos8a.....cos2na
22
........................................................
1
=
sin2n- 1 acos2n- 1 acos2na
2n- 1
1
1
=
sin2n acos2na =
sin2n+1a
n
n+1
2
2
Do đó E 2 =

sin2n+1a

2n+1 sina
2.2. Bài toán phương trình lượng giác.
Bài toán 6. Xác định m để phương trình

( m - 3m + 2) cos x = m( m - 1)
2

2

( 1)

có nghiệm.

a. Lời giải.

( 1) Û ( m - 1) ( m - 2) cos2 x = m( m - 1)
Khi m = 1: ( 1) Luôn đúng " x Î ¡
Khi m = 2: ( 1) Vô nghiệm

( 1¢)

Khi m ¹ 1;m ¹ 2

( 1¢) Û ( m - 2) cos2 x = m Û cos2 x = mm- 2 ( 2)
Khi đó ( 2) có nghiệm khi và chỉ khi
m
£ 1Û m £ 0
m- 2
Vậy ( 1) có nghiệm khi và chỉ khi m £ 0, m = 1
0£

b. Khai thác

(

)

2
2
Xác định m để phương trình m - 3m + 2 sin x = m( m - 1)

nghiệm.
Lời giải.

( 1) Û ( m - 1) ( m - 2) sin2 x = m( m - 1)
Khi m = 1: ( 1) Luôn đúng " x Î ¡

( 1¢)

( 1)

có


21

Khi m = 2: ( 1) Vụ nghim
Khi m ạ 1;m ạ 2

( 1Â) ( m - 2) sin2 x = m sin2 x = mm- 2 ( 2)
Khi ú ( 2) cú nghim khi v ch khi
m
Ê 1 m Ê 0
m- 2
Vy ( 1) cú nghim khi v ch khi m Ê 0, m = 1
0Ê

Bi toỏn 7. Gii phng trỡnh
a. Li gii.

3sin x + cosx = 2

3sin x + cosx = 2
3
1
2
sin x + cosx =
2
2
2
p
p
2
sin x cos + cosx sin =
6
6
2
ổ pử
p
ữ
sinỗ
= sin
ỗx + ữ
ữ
ữ
ỗ

6ứ
4
ố
ộ
ờx = p + k2p
ờ
ờ 12
( k ẻ Â)
7
p
ờx =
+ k2p
ờ
12
ở
ộ
ờx = p + k2p
ờ
Vy phng trỡnh cú nghim l ờ 12
( k ẻ Â)
ờx = 7p + k2p
ờ
12
ở
b. Khai thỏc.
Gii phng trỡnh n + 1sin x + cosx = n
Li gii.
n + 1sin x + cosx = n

n +1
n +2

sin x +

1
n +2

cosx =

n
n +2

ỡù n + 1
ùù
2
= cosa
2
ùù
ổ n + 1ử
ổ
ử
1
ữ
n +2
ữ
ữ
ữ

ỗ
Vỡ ỗ
ỗ
+ỗ
= 1 nờn $a sao cho ớù
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ữ
1
ỗ
ữ
ữ ỗ
ùù
ố n + 2ứ
ố n + 2ứ
= sina
ùù n + 2
ùợ
Khi ú phng trỡnh ban u cú dng


22

cosa sin x + sina cosx =
sin( x + a) =

n
n +2

n
n +1

õy l phng trỡnh c bn ca sin.
Bi toỏn 8. Gii phng trỡnh
2cos2x + sin2 x cosx + sin x cos2 x = 2( sin x + cosx)
a. Li gii.

( 1)

(

( 1)

)

2 cos2 x - sin2 x + sin x cosx ( sin x + cosx) = 2( sin x + cosx)

( sin x + cosx) ộ
2 cosx - sin x) + sin x cosx - 2ự
=0
ờ
ỳ
ở(
ỷ
ộsin x + cosx = 0
( 1Â)
ờ
ờ2 cosx - sin x + sin x cosx = 2 1ÂÂ

)
( )
ờ
ở(
ổ pử
ữ
, iu kin t Ê 2.
ỗx + ữ
t t = cosx - sin x = 2cosỗ
ữ
ữ
ỗ
4ứ
ố
ị t2 = 1- 2sin x cosx
Ta cú: ( 1Â) tan x = - 1 x = -

( 1ÂÂ) 2t +

p
+ kp
4

( k ẻ Â)

1- t2
= 2 t2 - 4t + 3 = 0
2

ột = 1( tm)

ờ
ờt = 3 ( l )
ờ
ở

ổ pử
2
ữ
ị cosỗ
x+ ữ
=
ỗ
ữ
ỗ
ữ 2
4ứ
ố
ộx = k2p
ờ
ờ
( k ẻ Â)
ờx = - p + k2p
ờ
2
ở
ộx = k2p
ờ
Vy phng trỡnh cú nghim l ờ
( k ẻ Â)
ờx = - p + k2p

ờ
2
ở
b. Khai thỏc.
Tỡm m phng trỡnh
2cos2x + sin2 x cosx + sin x cos2 x = m( sin x + cosx)
ộ pự
0; ỳ.
cú ớt nht mt nghim trờn on ờ
ờ 2ỳ
ở ỷ
Li gii.

( 2)


23

( 2)

(

)

2 cos2 x - sin2 x + sin x cosx ( sin x + cosx) = m( sin x + cosx)

ộsin x + cosx = 0
( 2Â)
ờ
ờ2 cosx - sin x + sin x cosx = m 2ÂÂ

)
( )
ờ
ở(
ổ pử
ữ
, iu kin t Ê
ỗx + ữ
t t = cosx - sin x = 2cosỗ
ữ
ữ
ỗ
4ứ
ố

2.

ị t2 = 1- 2sin x cosx
Ta cú: ( 2Â) tan x = - 1 x = -

p
+ kp
4

( k ẻ Â)

1- t2
( 2ÂÂ) 2t + 2 = m t2 + 4t + 1 = 2 ( *)
ộ pự
ổ pử

p ộp 3p ự
2
2
ữ
Ê cosỗ
x+ ữ
Ê
Ta cú: x ẻ ờ0; ỳ x + ẻ ờ ; ỳị ỗ
ữ
ỗ
ờ 2ỳ
ỳ
ữ 2
4 ờ
2
4ứ
ố
ở ỷ
ở4 4 ỷ
ị - 1Ê t Ê 1
ộ pự
p
0; ỳ, " k ẻ Â nờn yờu cu bi toỏn ( *) cú
Do nghim x = - + kp ẽ ờ
ờ
ỳ
4
ở 2ỷ
ự
nghim trờn on ộ

ờ- 1;1ỳ
ở
ỷ
ự
ựị y tng trờn ộ
Xột y = - t2 + 4t + 1 ị yÂ= - 2t + 4 > 0" t ẻ ộ
ờ
ờ- 1;1ỳ
ở- 1;1ỳ
ỷ
ở
ỷ
Do ú yờu cu bi toỏn - 4 = y ( - 1) Ê 2m Ê y ( 1) = 4 - 2 Ê m Ê 2.
Vy vi - 2 Ê m Ê 2 tha món yờu cu bi.
Bi toỏn 9. Gii phng trỡnh
sin2x + cos2x - 3sin x - cosx + 1 = 0
a. Li gii.
sin2x + cos2x - 3sin x - cosx + 1 = 0

2sin x cosx + 1- 2sin2 x - 3sin x - cosx + 1 = 0
( 2sin x - 1) ( cosx - sin x - 2) = 0
ộ2sin x = 1
ờ
ờcosx - sin x - 2 = 0
ờ
ở
1
sin x =
2
ộ

p
ờx = + k2p
ờ
6
ờ
( k ẻ Â)
5
p
ờx =
+ k2p
ờ
6
ở


24

é
êx = p + k2p
ê
6
Vậy phương trình có nghiệm là ê
( k Î ¢)
êx = 5p + k2p
ê
6
ë
b. Khai thác.
Với bài toán có chứa số hạng không chứa biến số thì ta sử dụng công
thức lượng giác để khử số đó đi, ta thường dùng công thức:

cos2x = 2cos2 x - 1 = 1- 2sin2 x
Từ đó ta có một số bài toán tương tự sau.
Bài toán. Giải các phương trình lượng giác sau
a)2sin2x - cos2x = 7sin x + cos2x - 4
b)sin2x - cos2x + 3sin x - cosx - 1 = 0
c)9sin x + 6cosx - 3sin2x + cos2x = 8
d)sin2x + 2cos2x = 1+ sin x - 4cosx
Bài toán 10. Giải phương trình
sin2014 x + cos2014 x = 1
a. Lời giải.
Ta có

(
cos x ( 1- cos

)
x) ³

sin2 x 1- sin2012 x ³ 0
2

2012

0

ìï sin2 x ³ sin2014 x
ï
Þ ïí
ïï cos2 x ³ cos2014 x
ïî

Þ sin2014 x + cos2014 x £ sin2 x + cos2 x = 1
Như vậy x là nghiệm hệ
ïìï ésin x = 0
ïï ê
ìï 2
2012
sin
x
1
sin
x
=
0
ïï
sin x = ±1
ïê
kp
ï
ë
Û íê
Û x=
í
ïï cos2 x 1- cos2012 x = 0 ïï écosx = 0
2
ïïî
ïï ê
cosx = ±1
ïï ê
ë
îê

b. Khai thác.
Trên cơ sở lời giải là tính chất cơ bản của lũy thừa và tính chất bị chặn

(
(

)
)

của các hàm số sinx và cosx ta có thể có một số hướng khai thác sau. Nếu
thay hằng số 2014- số mũ của các hàm sin và cos bởi biến số n khi đó ta
có.
Bài toán 10.1. Giải phương trình


25

sinn x + cosn x = 1( n 2)
Li gii.
Ta cú

(
)
cos x ( 1- cos
x)

sin2 x 1- sinn- 2 x 0
2

n- 2

0

ỡù sin2 x sinn x
ù
ị ùớ
ùù cos2 x cosn x
ùợ
ị sinn x + cosn x Ê sin2 x + cos2 x = 1
Nh vy x l nghim h
ùỡù ộsin x = 0
ùù ờ
ỡù 2
n- 2
sin
x
1
sin
x
=
0
ùù
sin x = 1
ùờ
kp
ù
ở
ớờ
x=
ớ

ùù cos2 x 1- cosn- 2 x = 0 ùù ộcosx = 0
2
ùùợ
ùù ờ
cosx = 1
ùù ờ
ở
ợờ
Trong trng hp c bit ca n ( n chn, n l) thỡ ta li cú bi toỏn sau.
Bi toỏn 10.2. Gii phng trỡnh

(
(

)
)

( k 1)
b)sin2k+1 x + cos2k+1 x = 1( k 1)
a)sin2k x + cos2k x = 1

Thay s m ca hm s sin v cos bi cỏc s khỏc nhau ta cú bi toỏn tip
theo.
Bi toỏn 10.3. Gii phng trỡnh
sinn x + cosn+m x = 1

(n

2, m 1)

Nu v phi ca phng trỡnh l hng s a > 1 thỡ cỏc phng trỡnh ú u
vụ nghim. T ú ta cú bi toỏn sau.
Bi toỏn 10.4. Chng minh rng cỏc phng trỡnh sau vụ nghim.

( n 2,a > 1)
b)sinn x + cosn+m x = a
( m 1,n
a)sinn x + cosn x = a

2,a > 1)

Cỏc bi toỏn cũn li ta gii tng t.
2.3. Bi toỏn chng minh ng thc, bt ng thc lng giỏc
Bi toỏn 11. Chng minh rng nu 0 Ê x, y Ê p thỡ
ổ
sinx+siny
x + yử
ữ
ữ
Ê sinỗ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
2
ố 2 ứ
a. Li gii.