Giáo án Giải tích 12 Mẫu MỚI Ứng dụng của tích phân trong hình học

Trường THPT

Giáo án Giải tích 12

Ngày soạn:
Tiết:

§ 4: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC (phần 1)

I. MỤC TIÊU
1. Về kiến thức:
- Viết được công thức diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  f ( x) và trục
Ox , các đường thẳng x  a, x  b . Hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số
y  f ( x), y  g ( x) và các đường thẳng x  a, x  b .
2. Về kỹ năng:
- Kỹ năng tính diện tích hình phẳng, giải tích phân chứa dấu trị tuyệt đối.
3. Thái độ: Tư duy các vấn đề toán học một cách lôgic và hệ thống.
4. Định hướng hình thành năng lực:
4.1. Năng lực chung
Năng lực hợp tác.
Năng lực giải quyết vấn đề.
Năng lực tương tác giữa các nhóm và các cá nhân.
Năng lực vận dụng và quan sát.
Năng lực tính toán.
4.2. Năng lực chuyên biệt
Năng lực tìm tòi sáng tạo.
Năng lực vận dụng kiến thức trong thực tiễn.
II. CHUẨN BỊ CỦA GIÁO VIÊN VÀ HỌC SINH
1. Chuẩn bị của giáo viên
Thiết bị dạy học: Thước kẻ, giáo án, các hình vẽ mô tả, các thiết bị cần thiết cho tiết
này,…

Giáo viên:

Trang 1


Trường THPT

Giáo án Giải tích 12

Học liệu: Sách giáo khoa, tài liệu liên quan tích phân
2. Chuẩn bị của học sinh
Chuẩn bị các nội dung liên quan đến bài học theo sự hướng dẫn của giáo viên như
chuẩn bị tài liệu, bảng phụ. Ôn tập kiến thức đã học về Nguyên hàm.
3. Bảng tham chiếu các mức yêu cầu cần đạt của câu hỏi, bài tập, kiểm tra, đánh giá

Nội dung

Nhận biết

Thông hiểu

Vận dụng

Vận dụng cao

MĐ1

MĐ2

MĐ3

MĐ4

Biết phân biệt được các
loại hình phẳng để sử
dụng công thức hợp lí.

- Biết vận dụng các
công thức để tính
diện tích hình phẳng.

- Áp dụng vào
việc giải các
bài toán thực
tế về diện tích

Tính Diện Biết công thức
tích hình tính diện tích
phẳng
hình phẳng

Biết tính tích phân chứa
trị tuyệt đối.

III. TỔ CHỨC CÁC HOẠT ĐỘNG HỌC TẬP (Tiến trình dạy học)
A. KHỞI ĐỘNG
HOẠT ĐỘNG 1. Tình huống xuất phát (mở đầu)
(1) Mục tiêu: Làm cho hs thấy vấn đề cần thiết phải nghiên cứu ứng dụng của tích phân trong
hình học và việc nghiên cứu xuất phát từ nhu cầu thực tiễn.

(2) Phương pháp/Kĩ thuật dạy học: Nêu vấn đề
(3) Hình thức tổ chức hoạt động: Học sinh quan sát bài toán và trả lời một số câu hỏi để giải
quyết vấn đề thì đi vào bào mới
(4) Phương tiện dạy học: Máy chiếu
(5) Sản phẩm: Học sinh cần thêm công cụ để giải quyết được bài toán
Nêu nội dung của Hoạt động 1: Hãy tìm hiểu các bài toán sau đây và lắng nghe các câu hỏi
nảy sinh công cụ mới để giải quyết bài toán.

Bài toán 1. (Trích đề minh họa THPT Quốc gia 2017) . Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
3
2
đồ thị hàm số y  x  x và đồ thị hàm số y  x  x

Giáo viên:

Trang 2


Trường THPT

37
A. 12

Giáo án Giải tích 12

9
B. 4

81
C. 12

D. 13

=> Bài toán này học sinh có thể gặp trong thực tế như ông A có rẫy cà phê được giới hạn bởi
hàng rào là hai đường cong nói trên. Hãy tính diện tích rẫy cà của ông A.

Bài toán 2.(Trích đề thử nghiệm THPT Quốc gia 2017). Cho hình thang
x
cong ( H ) giới hạn bới các. Đường y  e , y  0, x  0 và x  ln 4 . Đường
thẳng x  k (0  k  ln 4) chia ( H ) thành hai phần có diện
tích là S1 S 2 và như hình vẽ bên. Tìm x  k để S1  2 S2 .

A.

C.

k

2
ln 4
3

B. k  ln 2

8
3

D. k  ln 3

k  ln

=> Bài toán này học sinh có thể gặp trong thực tế như ông A có rẫy cà phê được giới hạn bởi
hàng rào là các đường nói trên. Hãy xác định đường k để ông A chia rẫy cho hai con theo tỉ lệ
2:1?
Vậy hôm nay ta sẽ nghiên cứu công cụ để giải quyết các bài toán trên.
B. HÌNH THÀNH KIẾN THỨC
HOẠT ĐỘNG 2. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hoành.
(1) Mục tiêu: Nắm được công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục
hoành.
(2) Phương pháp/Kĩ thuật dạy học: Vấn đáp
(3) Hình thức tổ chức hoạt động: Hoạt động theo cá nhân, hoạt động theo nhóm nhỏ.
(4) Phương tiện dạy học: Có thể sử dụng Phiếu bài tập hoặc máy chiếu để chiếu nhanh câu
hỏi.
(5) Sản phẩm: Nhận biết được công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục
hoành.
Nêu nội dung của Hoạt động 2
Nội dung kiến thức
Giáo viên:

Hoạt động của GV
Trang 3

Hoạt động của HS


Trường THPT

Giáo án Giải tích 12

I. Tính diện tích hình phẳng.

1. Hình phẳng giới hạn bởi 1 đường cong và trục
hoành

- Treo hình vẽ, giải
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y thích và giới thiệu công
= f(x) liên tục, trục Ox và các đường thẳng x = a, x thức tính đến học sinh
= b được tính theo công thức:

Hs vẽ hình, theo dõi và
nắm vững công thức

Ví dụ 1: SGK
Ví dụ 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
Parabol và trục hoành Ox .
Bài giải

Hướng dẫn học sinh
- Học sinh nghiên cứu
đọc ví dụ 1 (SGK)
vd1.

Hoành độ giao điểm của Parabol và trục hoành Ox
là nghiệm của phương trình .

- So với ví dụ 1 đối với
2
ví dụ 2 để tính diện tích
� x3
�
x2

2
S �

x

3
x

2
.
dx



3

2
x

...


hình phẳng theo công
�3
�
2
�
�
1
1

thức ta còn thiếu gì?
2

- Hướng dẫn học sinh
cách tìm cận a, b bằng
cách giải phương trình
hoành độ giao điểm.

HS: Thiếu cận a, b

- Học sinh lắng nghe v
ghi nhớ.

HOẠT ĐỘNG 3. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong.
(1) Mục tiêu: Nắm được công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong .
(2) Phương pháp/Kĩ thuật dạy học: Vấn đáp
(3) Hình thức tổ chức hoạt động: Hoạt động theo cá nhân, hoạt động theo nhóm nhỏ.
Giáo viên:

Trang 4


Trường THPT

Giáo án Giải tích 12

(4) Phương tiện dạy học: Có thể sử dụng Phiếu bài tập hoặc máy chiếu để chiếu nhanh câu
hỏi.
(5) Sản phẩm: Nhận biết được công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong
Nêu nội dung của Hoạt động 3

Nội dung kiến thức

Hoạt động của GV

Hoạt động của HS

2. Hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong
Cho hai hàm số y  f ( x), y  g ( x) liên tục trên .  GV Vẽ hình và nêu
Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số công thức tính
Hs vẽ hình, theo dõi và
x

a
,
x

b
đó và các đường thẳng
trong hình 54
nắm vững công thức
thì diện tích của hình phẳng được tính theo công
GV Vậy bài toán diện
thức
tích 1 cũng chính là bài
toán 2 với hàm số y = 0.
Ví dụ 3 diện tích hình phẳng giới hạn bởi các
đường:

a)

y  sinx;y=cosx;x=0;x=


2
GV Nêu công thức tính
diện tích cho ví dụ 3a ?

2
b) y  x -3x+2;y  x  2

c)

y

x 1
x  1 , Trục Ox, Oy, x = 2


2

HS:

S�
sinx-cosx dx
0

Hướng dẫn:



2

a)

S 

S�
s inx-cosx dx

4

(s inx-cosx)dx
�
0

0





s inx-cosx=0 � tanx=1 � x= �(0; )
4
2
Xét pt

4



2

0


4

Giáo viên:

2

(s inx-cosx)dx
�



4

 1

S �
(s inx-cosx)dx  �
(s inx-cosx)dx
Vậy



Trang 5

2 

 2 2 2

GV hướng dẫn giải pt:

2 1


Trường THPT

 1 2 

Giáo án Giải tích 12

s inx-cosx=0 � tanx=1

2 1  2 2  2

� x=

b) Xét pt



�(0; )
4
2

x0
�

x 2 -3x+2  x  2 � �
x4
�
4

4

S�
( x 2  4 x) dx
0

4

S�
( x  4 x ) dx  �
( x  4 x )dx  ...
2

2

0

4

 �
( x 2  4 x )dx  ...

0

x 1

 0 � x 1
c) Xét pt x  1
2

- GV chú ý dấu suy ra

0

2

- Gọi hs lên bảng giải

2

x 1
2
S  � dx  �
(1 
)dx  ...
x 1
x 1
1
1

x 1
S  � dx
x 1
1
2

 �
(1 
1

Chú ý: PP tính tích phân chứa dấu giá trị tuyệt đối

GV chú ý cho hs

b

b

f ( x )dx
�f ( x) dx �

+ a
= a
vô nghiệm trên (a;b).

khi phương trình f(x) = 0

1 2

=?

* ) Phương pháp tính tích phân chứa dấu trị tuyệt
đối
C1: Lập Bảng xét dấu f(x)
C2: - Xét phương trình f ( x )  0 � x  c �( a; b)
c

b

- Vậy

GV gọi hs giải bai b, c

b

f ( x )dx �
f ( x )dx
�f ( x ) dx �
a

=

a

+

c

C. LUYỆN TẬP
(1) Mục tiêu: Học sinh tính được một số bài tậptrắc nghiệm đơn giản về diện tích hình
phẳng.
(2) Phương pháp/Kĩ thuật dạy học: Trình chiếu bài tập trắc nghiệm
(3) Hình thức tổ chức hoạt động: Thảo luận nhóm giải quyết bài tập trắc nghiệm.
Giáo viên:

Trang 6

2
)dx  ...
x 1


Trường THPT

Giáo án Giải tích 12

(4) Phương tiện dạy học: Máy chiếu
(5) Sản phẩm: Học sinh trả lời các câu hỏi trắc nghiệm
Nêu nội dung của Hoạt động
4
2
Câu 1: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  5 x  3 x  1 , trục hoành, và các
đường thẳng x  0, x  1 .

9
B. 2

A. 3

11
C. 4

16
D. 3
3
Câu 2: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y  4 x  3 x  1 ,trục hoành, hai đường

thẳng x  1, x  1.

25
A. 6

27
B. 6

C. 2

D. 4
3
2
Câu 3: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y   x  3 x  4 , trục hoành, trục
tung, đường thẳng x  3 .

5
A. 4

21
B. 4

C. 3

D.5

Câu 4: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
5
A. 4

16 3
B. 3

y

1 4
3
x  x2  , y  0
2
2
(trục hoành )
16 2
C. 5

16 3
D. 5
3
Câu 5: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y  x  3x và y  x .

Giáo viên:

Trang 7


Trường THPT

Giáo án Giải tích 12

8
B. 3

A. 8

C. 9

9
D. 2
3
Câu 6: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các h/số y  x  3x , y  x và các đường
thẳng x  0; x  3.

41
A. 2

41
B. 3

41
C. 5

D.

41
4

Câu 7: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
A. 3

y  cos x; y  0; x  

B. 4


;x 
2

C.

D. 2

Câu 8: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
đường thẳng x = 0, x = 3.

A.

4ln

2
5

B.
D.

4  ln

4  ln

y

3x  2

x  2 ,tiệm cận ngang và các

5
2

C.

4ln

5
2

5
2

Câu 9: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y  ln x; y  0; x  e.
e2  2e  1
e
A.

e2  2e  1
e
B.

e 2  2e  1
e
C.

D.

e 2  2e  1
e
x
x
Câu 10: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y  e ; y  e ; x  1 .

1
A. 2 .

1
B. 3 .

1
C. 4 .

1.

Giáo viên:

Trang 8

D.


Trường THPT

Giáo án Giải tích 12

D. VẬN DỤNG
(1) Mục tiêu: Vận dụng kiến thức đã học giải quyết các câu hỏi về diện tích hình phẳng.

(2) Phương pháp/Kĩ thuật dạy học: Gợi mở, vấn đáp
(3) Hình thức tổ chức hoạt động: Học sinh nhận nhiệm vụ và tự nghiên cứu
(4) Phương tiện dạy học:Máy chiếu
(5) Sản phẩm: Học sinh hoạt động nhóm ở nhà để có kết quả bài toán.
Nêu nội dung của Hoạt động ….
Câu 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
y   x 2  4 x  3; y  4 x  3; y  2 x  6
9
B. 3

9
A. 2

9
C. 4

4
D. 9

Câu 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
6
A. 109

109
B. 7

y  x 2  4 x  3 ; y  x  3.
109
C. 6

109
D. 8

E. TÌM TÒI, MỞ RỘNG
(1) Mục tiêu: Học sinh tìm tòi mối quan hệ các đại lượng vật lý: vận tốc, quãng đường...
(2) Phương pháp/Kĩ thuật dạy học: Gợi mở
(3) Hình thức tổ chức hoạt động: Học sinh nhận nhiệm vụ và nghiên cứu ở nhà
(4) Phương tiện dạy học: Bài tập về nhà
(5) Sản phẩm: Giải quyết được câu hỏi trong đề thi THPT quốc gia 2017.
Nêu nội dung của Hoạt động (Tất cả dữ liệu đều mang tính chất tham khảo)

Bài toán .(Trích đề thi THPT Quốc gia 2017 mã đề 101). Một vật
chuyển động trong 3 giờ với vận tốc v (km/h) phụ thuộc vào thời gian t
(h) có đồ thị vận tốc như hình bên. Trong khoảng thời gian 1 giờ kể từ
Giáo viên:

Trang 9


Trường THPT

Giáo án Giải tích 12

khi bắt đầu chuyển động, đồ thị đó là một phần của đường parabol có
đỉnh I (2;9) và trục đối xứng song song với trục tung, khoảng thời gian
còn lại đồ thị là một đoạn thẳng song song với trục hoành. Tính quãng
đường s mà vật di chuyển được trong 3 giờ đó (kết quả làm tròn đến hàng
phần trăm).
A. s  23, 25 (km)

B. s  21,58 (km)

C. s  15, 50 (km)

D. s  13,83 (km)

Giáo viên:

Trang 10


Trường THPT

Giáo án Giải tích 12

Ngày soạn:
Tiết:

§ 4: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC (tt)

I. MỤC TIÊU
1. Về kiến thức:
Nắm được công thức thể tích của một vật thể nói chung.
Nắm được công thức thể tích khối tròn xoay, công thức của khối nón, khối nón cụt,
khối trụ tròn xoay trong trường hợp hình phẳng giới hạn quay xung quanh trục Ox .
2. Về kỹ năng:
Kỹ năng tính thể tích vật thể, thể tích khối tròn xoay.
3. Thái độ: Tư duy các vấn đề toán học một cách lôgic và hệ thống.
4. Định hướng hình thành năng lực:
4.1. Năng lực chung

Năng lực hợp tác.
Năng lực giải quyết vấn đề.
Năng lực tương tác giữa các nhóm và các cá nhân.
Năng lực vận dụng và quan sát.
Năng lực tính toán.
4.2. Năng lực chuyên biệt
Năng lực tìm tòi sáng tạo.
Năng lực vận dụng kiến thức trong thực tiễn.
II. CHUẨN BỊ CỦA GIÁO VIÊN VÀ HỌC SINH
1. Chuẩn bị của giáo viên
Thiết bị dạy học: Thước kẻ, giáo án, các hình vẽ mô tả, các thiết bị cần thiết cho tiết
này,…
Giáo viên:

Trang 11


Trường THPT

Giáo án Giải tích 12

Học liệu: Sách giáo khoa, tài liệu liên quan tích phân
2. Chuẩn bị của học sinh
Chuẩn bị các nội dung liên quan đến bài học theo sự hướng dẫn của giáo viên như
chuẩn bị tài liệu, bảng phụ. Ôn tập kiến thức đã học về Nguyên hàm.
3. Bảng tham chiếu các mức yêu cầu cần đạt của câu hỏi, bài tập, kiểm tra, đánh giá

Nội dung

Thể

tích
vật thể, thể
tích khối
tròn xoay

Nhận biết

Thông hiểu

Vận dụng

MĐ1

MĐ2

MĐ3

Biết công thức
tính thể tích vật
thể, khối tròn
xoay, xoay quanh
Ox.

Phân biệt được thể tích
vật thể và thể tích khối
tròn xoay

- Biết vận dụng các
công thức để tính thể
tích vật thể, thể tích

khối tròn xoay

Vận dụng
cao
MĐ4
- Áp dụng
vào việc giải
các bài toán
thực tế về
thể tích

III. TỔ CHỨC CÁC HOẠT ĐỘNG HỌC TẬP (Tiến trình dạy học)
A. KHỞI ĐỘNG
HOẠT ĐỘNG 1. Tình huống xuất phát (mở đầu)
(1) Mục tiêu: Làm cho hs thấy vấn đề cần thiết phải nghiên cứu ứng dụng của tích phân trong
hình học và việc nghiên cứu xuất phát từ nhu cầu thực tiễn.
(2) Phương pháp/Kĩ thuật dạy học: Nêu vấn đề
(3) Hình thức tổ chức hoạt động: Học sinh quan sát bài toán và trả lời một số câu hỏi để giải
quyết vấn đề thì đi vào bào mới
(4) Phương tiện dạy học: Máy chiếu
(5) Sản phẩm: Học sinh cần thêm công cụ để giải quyết được bài toán
Nêu nội dung của Hoạt động 1: Hãy tìm hiểu các bài toán sau đây và lắng nghe các câu hỏi
nảy sinh công cụ mới để giải quyết bài toán.

Giáo viên:

Trang 12


Trường THPT

Giáo án Giải tích 12

Bài toán 1. (Trích đề thi THPT Quốc gia 2017 mã đề 104) . Cho hình phẳng D giới hạn bởi
2
đường cong y  x  1 , trục hoành và các đường thẳng x  0, x  1 . Khối tròn xoay tạo
thành khi quay D quanh trục hành có thể tích V bằng bao nhiêu ?

A.

V 

4
3

B. V  2

C.

V 

4
3

D. V  2

Bài toán 2. (Trích đề thi THPT Quốc gia 2017 mã đề 101) . Cho hình phẳng D giới hạn bởi
x  0, x 

đường cong y  2  cos x , trục hoành và các đường thẳng

thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích V bằng bao nhiêu ?
A. V    1

B. V  (  1)

C. V  (  1)


2 . Khối tròn xoay tạo
D. V    1

=> Bài toán này học sinh có thể gặp trong thực tế như ông A có rẫy cà phê được giới hạn bởi
hàng rào là hai đường cong nói trên. Hãy tính diện tích rẫy cà của ông A.
Bài toán 3. Một thùng rượu có bán kính các đáy là 30cm, thiết diện vuông góc với trục và
cách đều hai đáy có bán kính là 40cm, chiều cao thùng rượu là 1m (hình vẽ). Biết rằng mặt
phẳng chứa trục và cắt mặt xung quanh thùng rượu là các đường parabol. Thể tích của thùng
rượu (đơn vị lít) là bao nhiêu?

A. 425, 2 lít.
lít.

B. 425162 lít.

C. 212581 lít.

D. 212, 6

Vậy hôm nay ta sẽ nghiên cứu công cụ để giải quyết các bài toán trên.
B. HÌNH THÀNH KIẾN THỨC
HOẠT ĐỘNG 2. Thể tích vật thể.

(1) Mục tiêu: Nắm được công thức tính thể tích vật thể.
(2) Phương pháp/Kĩ thuật dạy học: Vấn đáp
(3) Hình thức tổ chức hoạt động: Hoạt động theo cá nhân, hoạt động theo nhóm nhỏ.
Giáo viên:

Trang 13


Trường THPT

Giáo án Giải tích 12

(4) Phương tiện dạy học: Có thể sử dụng Phiếu bài tập hoặc máy chiếu để chiếu nhanh câu
hỏi.
(5) Sản phẩm: Nhận biết được công thức tính thể tích vật thể.
Nêu nội dung của Hoạt động 2
Nội dung kiến thức

Hoạt động của GV

Hoạt động của HS

I. Tính diện tích hình phẳng.
II. Tính thể tích.
1. Thể tích của vật thể

- Treo hình vẽ, giải thích
và giới thiệu công thức
Gọi B là phần vật thể giới hạn bởi hai mặt tính đến học sinh
phẳng vuông góc với trục Ox tại các điểm

các điểm a và b. S(x) là diện tích thiết diện
của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc
với trục Ox tại điểm có hoành độ x (a  x 
b). Giả sử S(x) liên tục trên đoạn [a; b].

Hs vẽ hình, theo
dõi và nắm vững
công thức

b

V�
S(x)dx
a

Thể tích của B là

- Học sinh nghiên
cứu vd1.

Ví dụ 1: Tính thể tích của vật thể giới hạn
bởi hai mặt phẳng x  0 và x  3 , có thiết Hướng dẫn học sinh thảo
diện bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục luận và giải quyết ví dụ
Ox tại điểm có hoành độ x (0 �x �3) là 1.
một tam giác đều có cạnh x .
- Học sinh lắng
nghe và ghi nhớ.

Bài giải
Gọi S(x) là diện tích của thiết diện khi đó

x2 3
S(x) 
4 . Thể tích của vật thể là :
3

3
9 3
V  � x 2 dx 
4
4
0

(đvtt)

HOẠT ĐỘNG 3. Thể tích khối tròn xoay.
(1) Mục tiêu: Nắm được công thức tính thể tích khối tròn xoay khi cho hình phẳng (H) quay quanh
trục Ox.
Giáo viên:

Trang 14


Trường THPT

Giáo án Giải tích 12

(2) Phương pháp/Kĩ thuật dạy học: Vấn đáp
(3) Hình thức tổ chức hoạt động: Hoạt động theo cá nhân, hoạt động theo nhóm nhỏ.
(4) Phương tiện dạy học: Có thể sử dụng Phiếu bài tập hoặc máy chiếu để chiếu nhanh câu

hỏi.
(5) Sản phẩm: Nhận biết được công thức tính thể tích khối tròn xoay khi cho hình phẳng (H) quay
quanh trục Ox.
Nêu nội dung của Hoạt động 3

Nội dung kiến thức

Hoạt động của GV

Hoạt động của HS

III. Thể tích khối tròn xoay
1. Thể tích khối tròn xoay giới hạn
bởi các đường
y  f ( x ); x  a; xy b; y  0 ( Trục
Ox) xoay quanh Ox.
O

a

GV treo hình vẽ và Hs vẽ hình, theo dõi và
nêu công thức tính
nắm vững công thức

f(x
)
b

x

Ví dụ 2: Tính thể tích vật tròn xoay
tạo thành khi quay hình phẳng (H) xác GV hướng dẫn học
định bởi các đường sau quanh trục Ox sinh thảo luận và ráp
công thức tính thể
a) , y = 0, x = 0 và x = 3
tích ví dụ 2
b) , y = 0, x = , x =
Giải:

Giáo viên:

3

2

�1 3 2 �
V �
� x  x �dx
3
�
0�

3
�x6 2 5 4 �
�
dx
�  x x �
9 3
0�
�

81

35
GV chú ý không có a)
dấu trị tuyệt đối vì

Trang 15


Trường THPT

Giáo án Giải tích 12

đã có bình phương.

2

3

�1 3 2 �
V �
� x  x �dx
3
�
0�
3

Chú ý hệ số 

�x 2 5 4 � 81

�
dx 
�  x x �
9 3
35
0�
�
6







V �
e .cos x dx

2

b)



2x

2

  2x
  2x

e
.
dx

e .cos2xdx
2�
2�


2

 ... 

Chú ý các hằng đẳng
thức bậc 2 cho 3 số
a,b,c.







V �
e2x .cos2 x dx

2

b)

  2x
  2x
 �
e .dx  �
e .cos2xdx
2
2
2

 ... 

2


(3.e2  e )
8

GV gọi hs lên bảng
giải

2


(3.e2  e )
8

2. Thể tích vật tròn xoay do hình phẳng giới
hạn bởi hai đường y = f(x), y = g(x)
khi quay quanh Ox (f(x)  g(x),
x[a; b]) được tính bởi công thức:

b





V �
�
g  x �
�f  x  �
� �
�
� dx
2

2

.
Ví dụ 3: Thể tích của khối tròn xoay
tạo nên kho cho hình phẳng (H) giới
a

Hs vẽ hình, theo dõi và
nắm vững công thức

2
hạn bởi các đường y   x  2 ; y  1
và trục Ox khi quay xung quanh Ox

là

�1
�
V   ��
( x 2  2) 2  1�
dx.

1
�
�
A.
�1
�
V   ��
(  x 2  2) 2  12 �
dx.
�1
�
B.
�1
�
V   ��
(  x 2  2) 2 �
dx.

1
�
�
C.
�1
�

V  ��
( x 2  2) 2  1�
dx.

1
�
�
D.

Giáo viên:

GV treo hình vẽ và
giới thiệu công thức
tính

GV hướng dẫn học
sinh thảo luận và ráp
công thức tính thể
tích ví dụ 3

Trang 16


Trường THPT

Giáo án Giải tích 12

C. LUYỆN TẬP
(1) Mục tiêu: Học sinh tính được một số bài tập trắc nghiệm đơn giản về thể tích vật thể.
(2) Phương pháp/Kĩ thuật dạy học: Trình chiếu bài tập trắc nghiệm

(3) Hình thức tổ chức hoạt động: Thảo luận nhóm giải quyết bài tập trắc nghiệm.
(4) Phương tiện dạy học: Máy chiếu
(5) Sản phẩm: Học sinh trả lời các câu hỏi trắc nghiệm
Nêu nội dung của Hoạt động
2
Câu 1: Tính thể tích của khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường y  1  x , y  0
quay quanh trục Ox.

13

A. 15 .

16

B. 15 .

15

C. 16 .

D.

14

15 .

Câu 2: Tính thể tích của khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường
y  cos x, y  0, x  0, x   quay quanh trục Ox.

2

A. 5 .

2
B. 4 .

2
C. 3 .

2
D. 2 .

Câu 3: Tính thể tích của khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường
y  sin x, y  0, x  0, x   quay quanh trục Ox.

2
A. 2 .

2
B. 4 .

2
C. 3 .

2
D. 4 .

Câu 4: Tính thể tích của khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường
y  tan x, y  0, x  0, x 

A.





2
5 .


4 quay quanh trục Ox.

B.



2
4 .

2
2 .

Giáo viên:

Trang 17

C.



2
3

.

D.


Trường THPT

Giáo án Giải tích 12

Câu 5. (Trích đề thi THPT Quốc gia 2017 mã đề 104) . Cho hình phẳng D giới hạn bởi
2
đường cong y  x  1 , trục hoành và các đường thẳng x  0, x  1 . Khối tròn xoay tạo
thành khi quay D quanh trục hành có thể tích V bằng bao nhiêu ?

A.

V 

4
3 .

B. V  2 .

C.

V 

4
3.

D. V  2 .

Câu 6. (Trích đề thi THPT Quốc gia 2017 mã đề 101) . Cho hình phẳng D giới hạn bởi
x  0, x 

đường cong y  2  cos x , trục hoành và các đường thẳng
thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích V bằng bao nhiêu ?
A. V    1 .
V   1.

B. V  (  1) .


2 . Khối tròn xoay tạo

C. V  (  1) .

D.

Câu 7. Thể tích V của vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng x  0 và x  3 , có thiết diện bị cắt
bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x (0 �x �3) là một hình chữ nhật
2
có kích thước bằng x và 2 9  x , bằng.

A. V  3.

B. V  20.

C. V  22.

D. V  18.

D. VẬN DỤNG
(1) Mục tiêu: Vận dụng kiến thức đã học giải quyết các câu hỏi về thể tích vật thể.
(2) Phương pháp/Kĩ thuật dạy học: Gợi mở, vấn đáp
(3) Hình thức tổ chức hoạt động: Học sinh nhận nhiệm vụ và tự nghiên cứu
(4) Phương tiện dạy học:Máy chiếu
(5) Sản phẩm: Học sinh hoạt động nhóm ở nhà để có kết quả bài toán.
Nêu nội dung của Hoạt động ….

Bài toán: Chứng minh rằng khối cầu bán kính R có thể tích

V

4 R 3
3 .

2
2
2
Giải. Khối cầu bán kính R do hình tròn (C ) : x  y  R quay quanh Ox.
2
2
Hoành độ giao điểm của (C) và Ox là x  R � x  �R .

2
2
2
2

2
2
Ta có phương trình (C ) : x  y  R � y  R  x

Giáo viên:

Trang 18


Trường THPT

Giáo án Giải tích 12

R

�
x 3 � 4 R 3
V  �
 R 2  x2  dx  2 �
 R 2  x 2  dx  2 �R 2 x  3 �  3
�
�0
R
0
Khi đó
. Vậy
R

V

R

4 R 3
3 (đvtt).

E. TÌM TÒI, MỞ RỘNG
(1) Mục tiêu: Học sinh tìm tòi giải các bài toán trong thực tế về thể tích vật thể.
(2) Phương pháp/Kĩ thuật dạy học: Gợi mở
(3) Hình thức tổ chức hoạt động: Học sinh nhận nhiệm vụ và nghiên cứu ở nhà
(4) Phương tiện dạy học: Bài tập về nhà
(5) Sản phẩm: Giải quyết được các bài toán trong thực tế về thể tích vật thể.
Nêu nội dung của Hoạt động (Tất cả dữ liệu đều mang tính chất tham khảo)
Bài toán. Thành phố định xây cây cầu bắc ngang con sông dài
500m, biết rằng người ta định xây cầu có 10 nhịp cầu hình dạng
parabol, mỗi nhịp cách nhau 40m, biết 2 bên đầu cầu và giữa mối
nhịp nối người ta xây 1 chân trụ rộng 5m. Bề dày nhịp cầu không
đổi là 20cm. Biết 1 nhịp cầu như hình vẽ. Hỏi lượng bê tông để xây
các nhịp cầu là bao nhiêu (bỏ qua diện tích cốt sắt trong mỗi nhịp
cầu)
3
A. 20m .

3
B. 50m .

3
C. 40m .

D. 100m .

Giáo viên:

3

Trang 19