đề tài phương trình đường thẳng trong mặt phẳng

Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng
MỤC LỤC
1. Lý do chọn đề tài..........................................................................................2
2. Mục đích nghiên cứu.....................................................................................2
3. Nhiệm vụ nghiên cứu....................................................................................2
4. Phạm vi, đối tượng nghiên cứu......................................................................2
5. Phương pháp nghiên cứu..............................................................................2
6. Dự kiến đóng góp của đề tài..........................................................................3
CHƯƠNG I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT.................................................................4
1. Phương trình đường thẳng.............................................................................4
2. Khoảng cách và góc.......................................................................................5
3. Các dạng bài tập............................................................................................7
CHƯƠNG II. MỘT SỐ DẠNG TOÁN CƠ BẢN...............................................13

1. Điểm và đường thẳng..............................................................................13
2. Điểm và đường thẳng liên quan tới tam giác...........................................19
3. Điểm và đường thẳng liên quan tới tứ giác.............................................37
CHƯƠNG III. TIẾP CẬN MỘT SỐ BÀI TOÁN THEO CÁC CÁCH KHÁC
NHAU..................................................................................................................55
KẾT LUẬN.........................................................................................................66
TÀI LIỆU THAM KHẢO...................................................................................66

1


Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Đường thẳng trong mặt phẳng là một nội dung hay và khó trong toán
THPT, nó cũng là phần nằm trong các đề thi đại học cao đẳng, THPTQG.
Tuy nhiên đa số các em còn lúng túng khi giải toán nên tôi chọn đề tài
“phương trình đường thẳng trong mặt phẳng”.
Với mong muốn củng cố cho các em những kiến thức cơ bản, nhận dạng
ra các bài toán và rèn kĩ năng giải toán qua mỗi dạng bài tập.
2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích chính của sáng kiến là giúp các em làm được các dạng toán này,
tránh những sai lầm dễ mắc phải.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu

Đưa ra được những dạng bài tập về đường thẳng trong mặt phẳng.
4. Phạm vi, đối tượng nghiên cứu
•
•

Phạm vi: Học sinh lớp 10, ôn thi THPPQG.
Đối tượng: Học sinh lớp 10, ôn thi THPTQG.

5. Phương pháp nghiên cứu
- Thông qua kinh nghiệm giảng dạy môn Toán cấp THPT trong nhiều năm và
kinh nghiệm nghiên cứu giảng dạy thực hiện đổi mới CT - SGK vừa qua.
- Phương pháp tìm hiểu, nghiên cứu các tài liệu liên quan đến đề tài.

- Phương pháp thử nghiệm.
- Phương pháp quan sát: qua các tiết dự giờ thao giảng.
- Phương pháp nghiên cứu lý luận.
- Phương pháp khảo sát, thống kê.

2


Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng
6. Dự kiến đóng góp của đề tài
Trình bày một cách hệ thống các dạng phương trình đường thẳng trong
mặt phẳng.

3


Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng
CHƯƠNG I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Phương trình đường thẳng
1.1. Phương trình tổng quát của một đường thẳng
 Phương trình tổng quát của đường thẳng D có dạng ax + by + c = 0
ur
( a +b ¹ 0 ) với n ( a;b) là véc tơ pháp tuyến.
ur

ur
 Nhận xét: Nếu n   là một véc tơ pháp tuyến của đường thẳng D thì k.n  cũng là
2

2

một véc tơ pháp tuyến của đường thẳng D .
1.2. Phương trình tham số của một đường thẳng
 Phương trình tham số của đường thẳng D đi qua điểm M ( x0;y0) và có véc tơ
ur
chỉ phương u ( a1;a2)

ìï x = x + a t
0
1
ï
  (a12 + a22 ¹ 0, t là tham số)
là: í
ïï y = y0 + a2t
î

ur
ur
 Nhận xét: Nếu u là một véc tơ chỉ phương của đường thẳng D thì k.u  cũng

là một véc tơ chỉ phương của đường thẳng D .
1.3. Phương trình chính tắc của đường thẳng
Phương trình chính tắc của đường thẳng D đi qua điểm M ( x0;y0) và có véc tơ
ur
x - x0 y - y0
=
, ( a1.a2 ¹ 0)
chỉ phương u ( a1;a2) là:
a1
a2
1.4. Phương trình đường thẳng theo đoạn chắn
  ( 0;b) , a

  ,b ¹ 0 là:
Phương trình đường thẳng D đi qua điểm A ( a;0)  vàB
x y
+ =1
a b
được gọi là phương trình đường thẳng theo đoạn chắn.
4


Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng
Chú ý: Nếu có hai điểm A ( xA ;yA )  và B ( xB ;yB ) ,  xB - xA ,yB - yA ¹ 0 thì ta có
phương trình đường thẳng D đi qua điểm A ( xA ;yA )  và B ( xB ;yB ) là:

x - xA
y - yA
=
xB - xA
yB - yA
2. Khoảng cách và góc
2.1. Khoảng cách
 Cho đường thẳng D có phương trình: ax + by + c = 0 và điểm M ( x0;y0) .
Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng D được tính bởi công thức:
d ( M , D ) = 

 ax0 + by0 + c

a2 + b2

 Cho đường thẳng cắt nhau D và D ¢có phương trình: ax + by + c = 0 và
¢ + c¢= 0.
a¢x + by
Phương trình đường phân giác của góc giữa hai đường thẳng D và D ¢là:
ax + by + c
a2 + b2
Chú ý: Cho đường thẳng

= ±

¢ + c¢
a¢x + by
a¢2 + b¢2

có phương trình: ax + by + c = 0 và hai điểm

M ( xM ;yM ) , N ( xN ;yN ) không nằm trên D . Khi đó:

+) Hai điểm M, N nằm cùng phía với D khi và chỉ khi

( ax

M

+ byM + c) ( axN + byN + c) > 0

+) Hai điểm M , N nằm khác phía với D khi và chỉ khi

( ax

M

+ byM + c) ( axN + byN + c) < 0

2.2. Góc
Cho đường thẳng D có phương trình: ax + by + c = 0 và đường thẳng D ¢có
¢ + c¢= 0.
phương trình: a¢x + by
5


Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng
Gọi

là góc giữa hai đường thẳng D và D ¢ta có:

Cosj = 

aa
  ¢+ bb¢
a2 + b2 . a¢2 + b¢2

6


Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng
3. Các dạng bài tập
Chú ý:

 Các điểm đặc biệt trong tam giác
Cho tam giác ABC, khi đó:
+) Trọng tâm G (

xA + xB + xC yA + yB + yC
;
)
3
3

uuur uuur
ìï

ï AH .BC = 0
+) Trực tâm H: ïí uuur uuur
ïï BH .AC = 0
ïî
ìï IA 2 = IB 2
ï
+) Tâm đường tròn ngoại tiếp I: í 2
ïï IA = IC 2
î
 Các đường đặc biệt trong tam giác:
+) Đường trung tuyến của tam giác: Khi gặp đường trung tuyến của tam giác, ta
chủ yếu khai thác tính chất đi qua đỉnh và trung điểm của cạnh đối diện.

+) Đường cao của tam giác: Ta khai thác tính chất đi qua đỉnh và vuông góc với
cạnh đối diện.
+) Đường trung trực của tam giác: Ta khai thác tính chất đi qua trung điểm và
vuông góc với cạnh đó.
+) Đường phân giác trong của tam giác: Ta khai thác tính chất nếu M thuộc AB,
M’ đối xứng với M qua phân giác trong góc A thì M’ thuộc AC.
 Một số bài toán cơ bản:
Bài toán 1: Cho một đỉnh và hai đường cao không qua đỉnh đó. Tìm các yếu tố
còn lại.

7

Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng
Cách giải: - Viết phương trình cạnh AB qua A và vuông góc với CK .
- Viết phương trình cạnh AC qua A và vuông góc với BH .

Bài toán 2: Cho một đỉnh và hai đường trung tuyến không qua đỉnh đó. Tìm các
yếu tố còn lại.
Cách giải: - Lấy điểm M thuộc BM theo tham số, theo công thức trung điểm
tìm tọa độ điểm C , thay tọa độ C vào phương trình CN tìm tham số và điểm
C.

- Lấy điểm N thuộc CN theo tham số, theo công thức trung điểm

tìm tọa độ điểm B , thay tọa độ B vào phương trình BM tìm tham số và điểm
B.

Bài toán 3: Cho một đỉnh và hai đường phân giác trong không qua đỉnh đó. Tìm
các yếu tố còn lại.
Cách giải: - Gọi A ' và A '' là hai điểm đối xứng của A qua đường phân giác
BB ' và CC ' ( A ' và A '' thuộc cạnh BC ).

- Viết phương trình cạnh BC , tìm tọa độ điểm B và C .

8

Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng

Bài toán 4: Cho diện tích, cho điểm trên đoạn thẳng theo tỉ số cho trước. Tìm
các yếu tố còn lại.
Cách giải: - Ta dùng công thức diện tích, công thức tìm tọa độ của điểm chia
đoạn thẳng theo tỉ số k …
Bài toán 5. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng
D : ax + by + c = 0( a2 + b2 ¹ 0) . và hai điểm A ( xA ;yA ) , B ( xB ;yB ) không

thuộc D . Xác định điểm M trên đường thẳng D , biết đường thẳng AM
vuông góc với đường thẳng AB .

Cách giải:
- Viết phương trình đường thẳng AM qua A và vuông góc với đường thẳng
AB.
- Xác định tọa độ giao điểm của đường thẳng AM và đường thẳng D .

M

A(xA;yA)

:ax+by+c=0

B(xB;yB)

9


Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng
Bài toán 6. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng
D : ax + by + c = 0( a2 + b2 ¹ 0) và điểm C ( xC ;yC ) không thuộc D . Xác

định tọa độ điểm A trên đường thẳng D , biết góc giữa hai đường thẳng AC và
(
)
D bằng j .

C xC;yC

Cách giải:

ϕ
A

:ax+by+c=0

- Tham số hóa điểm A.
uuur r
AC .uD

r
- Sử dụng công thức cosj = uuur r ( uD là véc tơ chỉ phương của đường
AC uD
thẳng D ).
- Giải phương trình ở bước 2 và kết luận.
Bài toán 7. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai điểm phân biệt
A ( xA ;yA ) , B ( xB ;yB ) . Xác định điểm M trên đường thẳng AB, biết
AM = kBM ;( k Î R,k > 0) .

Cách giải:
B

- Giả sử M ( x;y)

A

M1

M2

- Xác định M trong hai trường hợp:
uuur
uuur
- Trường hợp 1: AM = - kBM (điểm M nằm trong đoạn AB).

uuur
uuur
- Trường hợp 2: AM = kBM (điểm M nằm ngoài đoạn AB).
Bài toán 8. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng
D : ax + by + c = 0( a2 + b2 ¹ 0) và hai điểm A ( xA ;yA ) , B ( xB ;yM B ) không

B
A

10

Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng
thuộc D . Xác định tọa độ điểm M thuộc D sao cho
d ( M , AB ) = k ( k Î R, k > 0) .
Cách giải:
- Tham số hóa điểm M.
- Sử dụng công thức tính khoảng cách d ( M , AB ) .
- Giải phương trình ở bước 2 và kết luận.
Bài toán 9. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai điểm
A ( xA ;yA ) , B ( xB ;yB ) . Viết phương trình đường thẳng D đi qua điểm M ( x0;y0)
A

. ( B, D ) ;( k Î R, k > 0) .

và thỏa mãn hệ thức d ( A, D ) = kd
Cách giải:
2
2
- Giả sử D : ax + by = ax0 + by0 ( a + b ¹ 0)

M
B

éa = ab
. ( B, D ) Þ ê
- Sử dụng hệ thức d ( A, D ) = kd

êa = bb( *)
ê
ë
- Chọn a, b đại diện và thỏa mãn ( *)
 Một số bài toán dựng hình cơ bản
+) Hình chiếu vuông góc H của điểm A lên đường thẳng D
Lập đường thẳng d đi qua A và vuông góc với D
H =dÇD
+) Dựng A’ đối xứng với A qua đường thẳng D
Dựng hình chiếu vuông góc H của điểm A lên D
11

Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng
ìï x = 2x - x
H
A
ï A'
Lấy A’ đối xứng với A qua H: í
ïï yA ' = 2yH - yA
î
+) Dựng đường thẳng d’ đối xứng với d qua đường thẳng D
Lấy hai điểm M, N thuộc d. Dựng M’, N’ lần lượt đối xứng với M, N qua
D . Khi đó d ' º M 'N '

12


Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng
CHƯƠNG II. MỘT SỐ DẠNG TOÁN CƠ BẢN
1. Điểm và đường thẳng
A-Ví dụ
Ví dụ 1:
Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm I (- 2;3) tạo với đường thẳng
d : 2x - 3y + 3 = 0 góc 450 .

Lời giải:
Phương trình đường thẳng D đi qua điểm I (- 2;3) có dạng:
a ( x + 2) + b( y - 3) = 0 , ( a2 + b2 ¹ 0 ) .
Hay D : ax + by + 2a - 3b = 0
Mà góc tạo bởi 2 đường thẳng d và D bằng 450 suy ra:
Cos450 = 

 2a - 3b
a2 + b2 . 13
 2a - 3b

2

= 
2
a2 + b2 . 13
2
Û 2(  2a - 3b) = 13( a2 + b2)
 Û 5a2 + 24ab - 5b2 = 0
Û

+ Chọn b = 0 Þ a = 0  ( loại)
éa = - 5
ê
+ Chọn b = 1 Þ 5a + 24a - 5 = 0 Û ê

1
êa
 
=
ê
5
ë
2

Vậy PT đường thẳng D là:  - 5x + y - 13 = 0 hoặc x + 5y - 13 = 0

 Chú ý: Hs cần nắm chắc công thức tính cosin của góc giữa hai đường

thẳng.
Hs cần hiểu rõ một đường thẳng có vô số vectơ chỉ phương nên ta có
thể chọn được a, b trong bài toán trên dựa vào đẳng thức mối quan hệ giữa a và
b.
13


Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng
Ví dụ 2:
Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm I (- 2;3) và cách đều 2 điểm
A(5;- 1) và B (3;7).
Lời giải:

Phương trình đường thẳng D đi qua điểm I (- 2;3) có dạng:
a ( x + 2) + b( y - 3) = 0 ,   ( a2 + b2 ¹ 0 )
Hay D : ax + by + 2a - 3b = 0
Mà d ( A; D ) = d ( B ; D )
Û

 7a - 4b

=

 5a + 4b

a2 + b2
a2 + b2
Û  7a - 4b =  5a + 4b
éa = 4b
Û ê
êa
  =0
ê
ë
Vậy có 2 đường thẳng D là: 4x + y + 5 = 0 hoặc y - 3 = 0

 Nhận xét: Ta có thể giải bài toán trên bằng cách xét hai trường hợp là

đường thẳng D song song hoặc trùng với AB , D đi qua trung điểm của AB .
Ví dụ 3:
Cho đường thẳng D có phương trình: x + y + 2 = 0 . Viết phương trình
đường thẳng D ¢song song với đường thẳng D và cách D một khoảng bằng

2.

Lời giải:
PT đường thẳng D ¢ song song với đường thẳng D có dạng:
x + y + m = 0, ( m ¹ 2)
Chọn điểm M (- 2;0) thuộc D . Theo bài ra ta có: d ( M , D ¢) = 2 hay
 m - 2

2

ém = 4
= 2 Û m - 2 = ±2 Û ê
ê m = 0
ê
ë

Vậy phương trình đường thẳng D ¢ là: x + y = 0 hoặc x + y + 4 = 0
14

Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng
Ví dụ 4( Khối A-2006):
Trong

mặt

phẳng

tọa

độ

Oxy,

cho

ba

đường

thẳng

d1 : x + y + 3 = 0, d2 :x - y - 4 = 0 vàd3 : x - 2y = 0. Tìm tọa độ điểm M

thuộc d3 sao cho khoảng cách từ M đến d1 bằng 2 lần khoảng cách từ M đến d2.
Lời giải:
Gọi M ( 2a;a) Î d3
Theo bài ra ta có d ( M ,d1) = 2d ( M ,d2)
Û

 2a + a + 3

= 2.

 2a - a - 4

2
Û  3a + 3 = 2 a - 4
éa = - 11
Û ê
êa
  =1
ê
ë

2

Vậy M ( - 22;- 11) hoặc N ( 2,1) .

Ví dụ 5( Khối B-2011):
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng D : x - y - 4 = 0 và
d : 2x - y - 2 = 0. Tìm tọa độ điểm N thuộc đường thẳng d sao cho đường
thẳng ON cắt đường thẳng D tại điểm M thỏa mãn OM.ON = 8.
Lời giải:
    ( b;b - 4) Î D
+) Gọi N ( a;2a - 2) Î dvàM

+) Đường thẳng ON cắt đường thẳng D tại điểm M nên O, M, N thẳng hàng hay
uuur
uuur
OM = kON Û

ìï b = ka
4a
ï
 Û a ( b - 4) = ( 2a - 2) b Û b =
í
ïï b - 4 = k ( 2a - 2)
2- a
î

(1)
+) Mà

15


Chuyờn phng trỡnh ng thng trong mt phng
2 ựộ
2ự
ộ2
OM .ON = 8 ờ
b + ( b - 4) ỳờa2 + ( 2a - 2) ỳ= 64
ở
ỷở

ỷ
2
2
2
2
( 5a - 8a + 4) = 4( a - 2) ( 5a - 10a + 8) ( 5a2 - 6a) = 0
ộa = 0
ờ
( 5a2 - 6a) = 0 ờ 6
ờa =
ờ
ở 5

ổ
6 2ử
ỗ
ữ
N
0
;
2

N
Vy (
) hoc ỗỗ5; 5ữ

ữ
ữ
ố
ứ
Vớ d 6:
Trong mt phng ta Oxy , cho im M(1;2). Vit phng trỡnh ng
thng i qua M ct tia Ox, Oy ti A, B sao cho tam giỏc AOB cú din tớch nh
nht.
Li gii:
PT ng thng d ct tia Ox ti A(a;0), ct Oy ti B(0;b):
x y
+ = 1 ( a,b 0)

a b
M ( 1,2) ẻ d

1 2
+ =1
a b

p dng bt ng thc Cụsi ta cú: 1 =

M : SDAOB

1 2

1 2
+ 2 . ị ab 8
a b
a b

1
= ab 4 ị ( SDAOB ) = 4
min
2

Vy phng trỡnh ng thng d l:

ỡù ab
ùù . = 8
ớ 1 2
ùù =
ùợ a b

ùỡù a = 2
ớ
ùb= 4
ợù

x y

+ =1
2 4

B-Bi tp
Bi tp 1: Cho im A ( 2;- 1) . Tỡm ta im M thuc ng thng
d :2x - y - 4 = 0 sao cho AM = 2.
ổ
11 2ử
ữ
.
ỗ ; ữ
S: M 1 ( 1;- 2) , M 2 ỗ

ữ
ữ
ỗ
ố 5 5ứ
16


Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng
Bài tập 2: Tìm tọa độ hình chiếu H của điểm M ( - 1;- 1) lên đường thẳng
d :x - y + 2 = 0.
ĐS: H ( - 2;0) .
Bài tập 3: Tìm tọa độ điểm M ¢ là đối xứng của M ( 1;1) qua đường thẳng

d :x + y + 2 = 0.
ĐS: M ¢( - 3;- 3) .
Bài tập 4: Viết phương trình đường thẳng D đi qua A ( 1;3) và cách điểm
B ( - 2;1) một khoảng bẳng 3.

ĐS: D 1 :x - 1 = 0; D 2 :5x + 12y - 41 = 0.
Bài tập 5: Viết phương trình đường phân giác trong góc A của tam giác ABC
biết A ( 1;1) , B ( 4;5) ,C ( - 4;- 11) .
ĐS: 4x + 7y - 11 = 0.
Bài tập 6: Viết phương trình đường thẳng đi qua M ( 3;1) cắt Ox, Oy lần lượt
tại A và B sao cho:
a) OA +OB nhỏ nhất.

b) Diện tích tam giác OAB nhỏ nhất.
c)

1
1
nhỏ nhất.
+
2
OA
OB 2

(

ĐS: a) 3 -

) (

)

3 x + 3 3 - 3 y = 6, b) x + 3y = 6, c) 3x + y = 10.

Bài tập 7: Cho đường thẳng d :x - 2y + 1 = 0 và hai điểm A ( 1;- 1) , B ( 2;0) .
Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng d sao cho:
a) MA + MB nhỏ nhất.

b) MA - MB lớn nhất.

17


Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng

æ31 33ö
÷
M
; ÷
ç

ĐS: a) ç
, b) M ( 5;3) .
÷
ç
÷
è35 35ø

Bài tập 8: ( Khối B-2004) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho A ( 1;1) và
B ( 4;- 3) Tìm điểm C thuộc đường thẳng x - 2y - 1 = 0 sao cho khoảng cách

từ C đến AB bằng 6.
ĐS: C(7;3)

Bài tập 9: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng d : 2x - y - 2 = 0 và
điểm I ( 1;1) . Viết phương trình đường thẳng D cách điểm I một khoảng bằng
0
10 và tạo với đường thẳng d một góc bằng 45.

ĐS: 3x + y + 6 = 0,  3x + y - 14 = 0,  x - 3y - 8 = 0,  x - 3y + 12 = 0.
Bài tập 10: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm M(1;1). Viết phương trình
đường

thẳng

D

đi

qua

điểm

M

và

cắt

2

đường

thẳng

d1 : 3x - y - 5 = 0, d2 : x + y - 4 = 0 lần lượt tại hai điểm A, B sao cho

2MA - 3MB = 0.
ĐS: x - y = 0, x - 1 = 0
Bài tập 11: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm M ( 1;2) . Viết phương trình

đường thẳng đi qua M cắt Ox, Oy tại A, B khác O sao cho

9
4
nhỏ
+
2
OA
OB 2

nhất.
ĐS: 2x + 9y - 20 = 0

Bài tập 12: Cho đường thẳng d :x + y + 2 = 0 và A ( 2;1) , B ( - 1;- 3) ,C ( 1;3) .
Tìm M thuộc d sao cho:
a) MA - MB lớn nhất.
b) MA 2 + MB 2 - MC 2 nhỏ nhất.
uuur uuur uuur
MA
+ MB + MC nhỏ nhất.
c)
18


Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng

2. Điểm và đường thẳng liên quan tới tam giác
A- Ví dụ
Ví dụ 1:
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A ( 1;- 2)  ,  B ( - 3;3) . Tìm tọa độ
điểm C thuộc D : x - y + 2 = 0 sao cho tam giác ABC vuông tại C.

 Nhận xét: Ở đây ta phải nắm được điều kiện hai đường thẳng vuông góc.
Lời giải:

uuur
uuur
C

c
;
c
+
2
 
Î
D
Gọi (
ta có:  AC ( c - 1;c + 4) ,     BC ( c + 3;c - 1)
)
uuur uuur

Mà tam giác ABC vuông tại C suy ra AC . BC = 0
Û ( c - 1) ( c + 3) + ( c + 4) ( c - 1) = 0
Û ( c - 1) ( 2c + 7) = 0
é
êc = - 7
Û ê
2
êc
 
=
1
ê

ë

æ 7 3÷
ö
ç- ;- ÷
Vậy có 2 điểm C thỏa mãn yêu cầu bài toán:C ( 1;3)  ,  C ç
÷.
ç
è 2 2÷
ø
Ví dụ 2:
Trong mặt phẳng tọa độOxy, cho A ( 2;1) . Tìm tọa độ điểm B trên

D : x + 2y - 2 = 0 và điểm C trên d : x - 2y + 2 = 0 sao cho tam giác ABC
vuông cân tai A.

 Nhận xét: Tương tự ví dụ 1 chỉ thêm điều kiện bằng nhau.
Lời giải:
Gọi B ( 2- 2b;b)  Î D, C ( 2c - 2;c)  Î d , ta có
uuur
uuur
AC ( 2c - 4;c - 1) ,     AB ( - 2b;b - 1)

19

Chuyờn phng trỡnh ng thng trong mt phng
uuur uuur
ỡù
ù AB .AC = 0
Theo bi ra tam giỏc ABC cõn ti A nờn: ớ
ùù AB 2 = AC 2
ùợ
ỡù - 2b( 2c - 4) + ( b - 1) ( c - 1) = 01
()
ù
ùớ

2
2
2
ùù 4b2 + ( b - 1) = ( 2c - 4) + ( c - 1) 2
( )
ùợ
Xột PT (1): - 2b( 2c - 4) + ( b - 1) ( c - 1) = 0
Nu b = 0 thỡ c = 1 khụng tha món PT (2) suy ra b ạ 0.
Khi ú PT (1) 2c - 4 =

( b - 1) ( c - 1)
2b

Thay vo PT (2) ta c

( b - 1) ( c - 1)
2

4b2 + ( b - 1) =
2

4b2

2

ộ
c
1
(
)
ờ
ộ
ự
ờ4b2 + ( b - 1) ỳờ 2 ở
ỷờ 4b
ờ
ở

2



( c - 1)

2

+ ( c - 1)

2

ự
ỳ
1ỳ= 0
ỳ
ỳ
ỷ

2

- 1= 0

4b2

( c - 1) = 4b2
2

ộc - 1 = 2b
ờ
ờc
- 1 = - 2b
ờ
ở
ỡù c - 1 = 2b
ù

Trng hp 1: ớ
ùù 2c - 4 = b - 1
ợ

ỡù
ùù c = 5
ù
3
ớ
ùù
1

ùù b =
3
ợ

ổ
ổ
4 1ử
4 5ử
ữ
ỗ
ỗ
ữ

ữ
B
;
,
C
; ữ
ỗ
Suy ra ỗ
ữ
ữ
ỗ
ỗ

ữ ố3 3ứ
ữ
ố3 3ứ
ỡù c - 1 = - 2b
ù

Trng hp 2: ớ
ùù 2c - 4 = 1- b
ợ

ỡù c = 3
ù

ớ
ùù b = - 1
ợ
20


Chuyờn phng trỡnh ng thng trong mt phng
Suy ra B ( 4;- 1) , C ( 4;3) .
ổ
4 1ử ổ
4 5ử
ỗ

ữ
ữ
,
C
; ữ
ỗ ; ữ
ỗ
Vy vi B ỗ
hoc B ( 4;- 1) , C ( 4;3) tha món yờu cu bi toỏn.
ữ
ữ
ữ ố

ữ
ỗ
ỗ3 3ứ
ố3 3ứ
Vớ d 3:
Trong mt phng ta Oxy, cho tam giỏc ABC bit PT cỏc ng thng
cha cỏc cnh AB, BC ln lt l: 4x + 3y - 4 = 0;x - y - 1 = 0. Phõn giỏc
trong ca gúc A cú phng trỡnh: x + 2y - 6 = 0. Tỡm ta cỏc nh ca tam
giỏc ABC .
Li gii:

Ta im A l nghim ca h PT:

ỡù 4x + 3y - 4 = 0
ù

ớ
ùù x + 2y - 6 = 0
ợ

ỡù x = - 2
ù
ị A ( - 2;4)
ớ
ùù y = 4

ợ

Ta im B l nghim ca h PT:
ỡù 4x + 3y - 4 = 0
ù

ớ
ùù x - y - 1 = 0
ợ

ỡù x = 1
ù

ị B ( 1;0)
ớ
ùù y = 0
ợ

Phng trỡnh ng thng AC qua im A ( - 2;4) cú dng:
a ( x + 2) + b( y - 4) = 0 ax + by + 2a - 4b = 0

:x + 2y - 6 = 0
Gi d
Theo bi ra ta cú d l phõn giỏc trong ca gúc A nờn:
Cos ( AB,d) = Cos ( AC ,d)

.a + 2.b
1
a2 + b2 . 5

=

4.1+ 2.3
25. 5
21

Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng
Þ  a + b = 2 a2 + b2
Û a ( 3a - 4b) = 0
é a=0
Û ê
ê3a - 4b = 0
ê
ë
 
:y- 4= 0

+) Nếu a = 0 Þ b ¹ 0. Do đóAC
  = 4 thìb
  = 3.
+) Nếu 3a - 4b = 0: chọn a
Suyra
    AC : 4x + 3y - 4 = 0 (trùng với AB )
  : y - 4 = 0
Vậy PT đường thẳng AC là
Tọa độ điểm C là nghiệm của hệ PT:
ìï y - 4 = 0
ï
Û

í
ïï x - y - 1 = 0
î

ìï x = 5
ï
Þ C ( 5;4)
í
ïï y = 4
î

Vậy với A ( - 2;4) ;B ( 1;0) ; C ( 5;4) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

 Nhận xét: Khi bài toán cho phương trình đường phân giác thì ta có thể tìm
ảnh của B qua đường phân giác là B’ thì B’ thuộc AC. Khi đó ta viết được
phương trình đường AC.

Ví dụ 4( Khối D-2011):
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh B ( - 4;1) , trọng
tâm G ( 1;1) và đường phân giác trong của góc A có PT: x - y - 1 = 0. Tìm tọa
độ đỉnh A và C .

 Chú ý: Ở đây có đường phân giác nên ta làm tương tự như ví dụ trên.
22

Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng
Lời giải:

Gọi AE là đường phân giác trong của góc A suy ra AE : x - y - 1 = 0
Gọi M là trung điểm của AC . Do G là trọng tâm tam giác ABC nên
uuur 1 uuur
GM =  BG
2
ïìï
5

uuur
xM - 1 =
ï
     í
Mà BG ( 5;0)    suyra
2Û
ïï y - 1 = 0
ïî M

ïìï
7
7 ö

ï  xM = Þ M æ
ç
÷
;1÷
ç
í
2
÷
ç
÷
ïï y = 1
è2 ø

ïî M

Từ B kẻ BK vuông góc với AE (K Î  AC ) tại I; Tam giác ABK có AI vừa là
đường cao vừa là đường phân giác nên cân tại A, suy ra I là trung điểm của BK.
Đường thẳng BK ^ AE nên BK có dạng : x + y + c = 0.
Mà B  Î BK nên - 4 + 1+ c = 0 Û c = 3
Suy ra PT đường thẳng BK : x + y + 3 = 0.
Ta thấy I Î BK , I Î AE nên tọa độ điểm I là nghiệm của hệ:
ìï x - y - 1 = 0
ï
Û
í

ïï x + y + 3 = 0
î

ìï x = - 1
 ïí
Þ I ( - 1;- 2)
ïï y = - 2
î

Lại có I là trung điểm của BK nên ta có tọa độ điểm K ( 2;- 5) .
uuur æ 3
MK

=ç
- ;ç
Suy ra
ç
è 2

ö
3
÷
6÷
= - ( 1;4)
÷

÷
2
ø

Đường thẳng AC đi qua 2 điểm M , K nên có phương trình:
x- 2 y +5
=
1
4
Û 4x - y - 13 = 0
23

Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng
Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ:
ìï 4x - y - 13 = 0
ï
Û
í
ïï x - y - 1 = 0
î

ìï x = 4
 ïí

Þ A ( 4;3)
ïï y = 3
î

M là trung điểm của AC nên C ( 3;- 1)

Vậy A ( 4;3) ;C ( 3;- 1) .
Ví dụ 5( Khối D-2010):
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A ( 0;2) và D là đường thẳng đi qua
O. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên D . Viết phương trình đường
thẳng D , biết khoảng cách từ H đến trục hoành bằng AH .
Lời giải:

r
  2 + b2 ¹ 0)
Gọi véc tơ chỉ phương của D là: u ( a;b) ,   ( a
r
PT tham số của đường thẳng D qua O ( 0;0) và có véc tơ chỉ phương u ( a;b) là:

ìï x = at
ï
í
ïï y = bt
î

uuur
H  Î D Þ H ( at;bt) Þ AH ( at;bt - 2)
uuur r
 AH ^ D Û AH . u = 0 Û a2t + b2 - 2b = 0
Û t=

2b
     1
()
a + b2
2

Lại có: d ( H ,0x) = AH
2 2
Û bt
= a2t 2 + ( bt - 2)

2

Û a2t 2 - 4bt + 4 = 0    2
( )
    : a4 + a2.b2 - b4 = 0
Từ ( 1) ,( 2) tacó

Chọn a = 2 tacó
  : - b4 + 2b2 + 4 = 0 Û b = ± 1+ 5

24


Chuyên đề phương trình đường thẳng trong mặt phẳng
ìï x = 2t
ìï
x = 2t
ïï
ï

  hoặc ïí
     
Vậy PT đường thẳng D là í
ïï y = 1+ 5t
ïï y = - 1+ 5t
ïî
ïî
Ví dụ 6( Khối B-2010):
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông tại A, có đỉnh
C ( - 4;1) , phân giác trong góc A có PT: x + y - 5 = 0. Viết phương trình
đường thẳng BC , biết diện tích tam giác ABC bằng 24 và đỉnh A có hoành độ
dương.

 Nhận xét: Ở đây ta phải nắm được điều kiện hai điểm nằm cùng phía và
khác phía với một đường thẳng.

Lời giải:
Gọi: d là đường phân giác trong góc A,  A ( a;5 - a) Î d
uuur
Þ AC ( - 4 - a;a - 4)
r
Đường thẳng d có véc tơ pháp tuyến n ( 1;1) suy ra có véc tơ chỉ phương
r
u ( 1;- 1)

Tam giác ABC vuông tại A ta có:
uuur r
AC .u
Cos ( AC ,d) = uuur r
AC .  u
Û

- 4- a + 4- a
2. ( - 4 - a) + ( - 4 + a)
2

2

=

1
2

25