Các kích thích ripplon trên bề mặt của ngưng tụ bose einstein hai thành phần

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

PHÙNG MINH NGỌC

CÁC KÍCH THÍCH RIPPLON TRÊN BỀ MẶT
CỦA NGƯNG TỤ BOSE – EINSTEIN
HAI THÀNH PHẦN
Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và vật lý toán
Mã số: 60 44 01 03

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT CHẤT

Người hướng dẫn khoa học: TS. NGUYỄN VĂN THỤ

HÀ NỘI - 2017


LỜI CẢM ƠN
Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn
sâu sắc tới TS. Nguyễn Văn Thụ người đã định hướng chọn đề tài và tận tình
hướng dẫn để tôi có thể hoàn thành luận văn này.
Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới phòng Sau đại học, các thầy
cô giáo giảng dạy chuyên ngành vật lí lí thuyết và vật lí toán trường Đại học sư
phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và làm luận văn.
Cuối cùng, tôi xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình và bạn bè đã
động viên, giúp đỡ và tạo điều kiện về mọi mặt trong quá trình học tập để tôi
hoàn thành luận văn này.
Hà Nội, ngày tháng 9 năm 2017
Tác giả

Phùng Minh Ngọc


LỜI CAM ĐOAN
Dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Văn Thụ luận văn Thạc sĩ chuyên
ngành vật lí lí thuyết và vật lí toán với đề tài“Các kích thích Ripplon trên
bề mặt của ngưng tụ Bose – Einstein hai thành phần ” được hoàn thành bởi
chính sự nhận thức của bản thân, không trùng với bất cứ luận văn nào khác.
Trong khi nghiên cứu luận văn, tôi đã kế thừa những thành tựu của các nhà
khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Hà Nội, ngày tháng 9 năm 2017
Tác giả

Phùng Minh Ngọc


DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT
BEC (Bose – Einstein condensate)
Ngưng tụ Bose – Einstein
BdG
Bogoliubov-de Genns
DPA (Double – parabola approximation) Gần đúng parabol kép
GPE (Gross – Pitaevskii equation)
Phương trình Gross – Pitaevskii


MỤC LỤC
MỞ ĐẦU ..................................................................................................... 1
Chương 1. TỔNG QUAN CÁC NGHIÊN CỨU VỀ NGƯNG TỤ BOSE –
EINSTEIN ................................................................................................... 3

1.1. Thống kê Bose – Einstein ...................................................................... 3
1.2. Tổng quan nghiên cứu về ngưng tụ Bose – Einstein ............................... 10
1.2.1 Thực nghiệm về ngưng tụ Bose – Einstein ........................................ 10
1.2.2 Một số ứng dụng của ngưng tụ Bose – Einstein ................................ 16
Chương2. LÝ THUYẾT GROSS - PITAEVSKII......................................... 24
2.1. Gần đúng trường trung bình ................................................................... 24
2.2. Trạng thái cơ bản của ngưng tụ Bose – Einstein hai thành phần. ............ 27
CHƯƠNG 3. SÓNG MAO DẪN TRÊN MẶT PHÂN CÁCH CỦA NGƯNG
TỤ BOSE – EINSTEIN HAI THÀNH PHẦN ............................................. 31
3.1.Hệ phương trình Bogoliubov-de Gennes. ............................................... 31
3.2. Gần đúng parabol kép ............................................................................ 32
3.2.1 Sơ lược về gần đúng parabol kép ...................................................... 32
3.2.2 Trạng thái cơ bản trong gần đúng parabol kép .................................. 33
3.3. Sóng mao dẫn trong gần đúng parabol kép............................................. 34
KẾT LUẬN.................................................................................................. 38
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................ 39


1


2

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Albert Einstein (1897 -1955) là nhà vật lý người Đức. Ông được coi là một
trong những nhà khoa học có ảnh hưởng nhất của thế kỉ 20 và là cha đẻ của vật
lý hiện đại. Nói tới Einstein không thể không nhắc tới hàng loạt những công
trình nghiên cứu của ông, một trong số đó là ngưng tụ Bose – Einstein (Bose –
Einstein condensate – BEC) được tạo ra đầu tiên trên thế giới từ những nguyên

tử lạnh năm 1995. Bắt đầu từ năm 1924 khi nhà lý thuyết Ấn Độ Satyendra Nath
Bose suy ra định luật Planck cho bức xạ vật đen lúc xem photon như một chất
khí của nhiều hạt đồng nhất Satyendra Nath Bose chia sẻ ý tưởng của mình với
Einstein và hai nhà khoa học đã tổng quát hóa lý thuyết của Bose cho một khí lý
tưởng các nguyên tử và tiên đoán rằng nếu các nguyên tử bị làm đủ lạnh, bước
sóng cùa chúng trở thành lớn đến mức chồng lên nhau. Các nguyên tử mất nhận
dạng các nhân và tạo nên một trạnh thái lượng tử vĩ mô hay nói cách khác một
siêu nguyên tử tức là một BEC.
Trong BEC, các kích thích bề mặt có vai trò rất quan trọng trong các ứng
dụng của nó, đặc biệt trong công nghệ điện tử. Để nghiên cứu các kích thích
này, chúng ta phải giải hệ bốn phương trình vi phân bậc hai liên kết với nhau.
Hiện nay việc này chỉ có thể thực hiện được bằng cách tính số.Với mục đích đưa
ra một gần đúng có thể giải giải tích được hệ phương trình này, tôi chọn đề tài
“Các kích thích Ripplon trên bề mặt của ngưng tụ Bose – Einstein hai thành
phần ” làm đề tài nghiên cứu của mình.
2. Mục đích nghiên cứu
Trên cơ sở lý thuyết về ngưng tụ Bose - Einstein nghiên cứu các kích thích
Ripplon trên bề mặt của ngưng tụ Bose - Einstein hai thành phần trong vật lý
thống kê và cơ học lượng tử nói riêng trong vật lý lý thuyết nói chung.


3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Tìm hiểu các kích thích Ripplon trên bề mặt của ngưng tụ Bose - Einstein
hai thành phần trên cơ sở thống kê Bose – Einstein, phương trình Bogoliubov-de
Gennes tổng quát.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Phương trình Bogoliubov-de Gennes.
Các kích thích Ripplon trên bề mặt của ngưng tụ Bose - Einstein hai thành
phần.
5. Những đóng góp mới của đề tài

Các kích thích Ripplon trên bề mặt của ngưng tụ Bose - Einstein hai thành
phần có những đóng góp quan trọng trong vật lý thống kê và cơ học lượng tử nói
riêng, trong vật lý lý thuyết nói chung.
6. Phương pháp nghiên cứu
Sử dụng gần đúng parabol kép.


Chương 1
TỔNG QUAN CÁC NGHIÊN CỨU VỀ NGƯNG TỤ BOSE – EINSTEIN
1.1. Thống kê Bose – Einstein
Đối với các hệ hạt đồng nhất, chúng ta chỉ cần biết trong mỗi trạng thái đơn
hạt có bao nhiêu hạt mà không cần biết cụ thể hạt nào ở trạng thái nào.
Từ công thức phân bố chính tắc lượng tử [1],
,
trong đó

(1.1)

là độ suy biến.

Nếu hệ gồm các hạt không tương tác thì ta có

(1.2)
với

là năng lượng của một hạt riêng lẻ của hệ và

là số chứa đầy tức là số hạt

có cùng năng lượng .

Ta thấy số hạt trong hệ có thể nhận giá trị từ
nhau. Độ suy biến

với xác suất khác

trong (1.1) tìm được bằng cách tính số các trạng thái khác

nhau về phương diện Vật lý ứng với cùng một giá trị

, vì số hạt trong hệ

không phải là bất biến nên tương tự như trường hợp thống kê cổ điển thay thế
cho phân bố chính tắc lượng tử ta có thể áp dụng phân bố Gibbs suy rộng hay
phân bố chính tắc lớn lượng tử.
Ta có phân bố chính tắc lớn lượng tử có dạng

,

với

,

là thế hóa,

Ta thấy rằng thừa số

(1.3)

là thế nhiệt động lớn.
xuất hiện trong công thức (1.3) là vì có kể đến tính

không phân biệt của các trạng thái và tính đồng nhất của các hạt mà ta thu được
do hoán vị các hạt. Kí kiệu


(1.4)
Lúc đó (1.4) được viết lại như sau
(1.5)
Chúng ta có hai nhận xét về công thức (1.5) đó là:
Thứ nhất là vế phải của (1.5) ta có thể coi là hàm của các
nhận thấy công thức đó như là xác suất để cho có

nên ta có thể

hạt nằm trên mức

,

hạt

nằm trên mức , có nghĩa là, đó là xác suất lấp đầy. Vì vậy nhờ công thức này ta
có thể tìm được số hạt trung bình nằm trên các mức năng lượng như sau

.
Thứ hai là đại lượng

(1.6)

xuất hiện vì ta kể đến khả năng xuất hiện

các trạng thái vật lý mới hoán vị (về tọa độ) của các hạt. Đối với các hệ boson và
fermion là các hệ được mô tả bởi các hàm sóng đối xứng và phản đối xứng, phép
hoán vị tọa độ của các hạt không dẫn tới một trạng thái mới vì phép hoán vị chỉ
làm cho hàm sóng đổi dấu hoặc không đổi dấu và do đó không làm thay đổi
trạng thái lượng tử. Chính vì vậy đối với các hạt boson và hạt fermion ta có
.

(1.7)

Ta đi tìm
Ta thấy tất cả các phép hoán vị khả dĩ của tọa độ của các hạt có cùng một năng


lượng

trong phân bố Maxwell – Boltzmann. Do đó số tổng cộng các trạng thái

khác nhau về phương diện vật lý sẽ bằng số hoán vị tổng cộng
hoán vị trong các nhóm có cùng năng lượng tức là chia cho

chia cho số
. Khi đó ta có

,
ta thay giá trị của

(1.8)

vào (1.4) thu được (1.7). Để có thể tính trị trung bình của

các số chứa đầy, nghĩa là số hạt trung bình nằm trên mức năng lượng khác nhau,
chúng ta gắn cho đại lượng

trong công thức (1.5) chỉ số , có nghĩa là sẽ coi hệ

mà ta xét không phải chỉ có một thế hóa học
học

. Đến cuối phép tính ta cho

mà là có cả một tập hợp thế hóa

.

Ta tiến hành phép thay thế như trên và có thể viết điều kiện chuẩn hóa
như sau

,

(1.9)

với
,

(1.10)


có nghĩa là
.

Lúc đó đạo hàm của

theo

(1.11)

dựa vào (1.10) và (1.11)
(1.12)

Nếu trong biểu thức (1.12) ta đặt

thì theo (1.6) vế phải của công

thức (1.12) có nghĩa là giá trị trung bình của số chứa đầy

tức là ta thu được


.

(1.13)

Với hệ hạt boson, số hạt trên các mức có thể có trị số bất kì (từ

) và

vì vậy theo (1.9) ta có

,

(1.14)

khi đó
.

(1.15)


Từ (1.13) chúng ta tìm được phân bố của các số chứa đầy trung bình như
sau:
,

(1.16)

ở đây (1.16) là công thức của thống kê Bose – Einstein. Thế hóa học

trong

công thức (1.16) được xác định từ điều kiện đó là

(1.17)
Theo công thức của thống kê Bose – Einstein, với khí lí tưởng, ta có số hạt
trung bình có năng lượng trong khoảng từ

sẽ bằng

,
ở đây

là số các mức năng lượng trong khoảng

(1.18)
.


Ta đi tìm
Các hạt boson chứa trong thể tích

có thể xem như các sóng dừng De

Broglie theo quan điểm lượng tử. Nên ta có thể xác định

bằng cách áp

dụng công thức
,
cho ta số các sóng dừng có chiều dài (mô đun) của véctơ
.

từ
(1.19)


Ta có theo hệ thức De Broglie giữa xung lượng

và véctơ sóng
(1.20)

từ đó (1.19) có thể được viết dưới dạng như sau
.

(1.21)

Với các hạt phi tương đối tính, tức là hạt có vận tốc 

c

thì

từ đây suy ra
,
,
nên (1.21) sẽ có dạng
.
Ta thấy số trạng thái khả dĩ ứng với cùng một giá trị của spin

của hạt

vì các hạt có thể có các định hướng spin khác nhau. Vì vậy, số các
mức năng lượng trong khoảng

là

.
(1.22)
Ta có, theo (1.18) số hạt trung bình có năng lượng trong khoảng


là
.

(1.23)


Do số hạt toàn phần là

vì vậy chúng ta có phương trình sau
.

(1.24)

Ta thấy về nguyên tắc phương trình này cho ta xác định thế hóa học . Xét
một số tính chất tổng quát của thế hóa học

đối với khí Bose lí tưởng.Trước

tiên ta chứng minh rằng
.
Thật vậy, số hạt trung bình

(1.25)

chỉ có thể là một số dương, vì vậy, theo

(1.23), điều kiện đó chỉ thỏa mãn khi mẫu số ở (1.23) luôn luôn dương có nghĩa
là khi

, để cho

luôn luôn lớn hơn 1 với mọi giá trị của .

Sau đó ta có thể chứng minh

giảm dần khi nhiệt độ tăng lên. Áp dụng

quy tắc lấy đạo hàm các hàm ẩn vào (1.24) ta thu được:

.
Nhưng do (1.24) nên

(1.26)

, vì vậy biểu thức dưới dấu tích phân ở vế phải

(1.26) luôn luôn dương với mọi giá trị của , do đó

. Ta thấy từ các tính


chất

và

của hàm

ta có thể thấy thấy khi nhiệt độ giảm thì

tăng, tăng từ giá trị âm đến giá trị lớn hơn “nhưng vẫn là âm” và khi tăng tới
nhiệt độ

nào đó

sẽ đạt giá trị cực đại bằng không (

).

Xác định
Ta chọn

và

. Lúc đó phương trình (1.24) trở thành

.

Mà

, vậy nên từ (1.27) và

(1.27)

, ta có
.

(1.28)

Ta thấy nhiệt độ đó là rất nhỏ đối với tất cả các khí Bose quen thuộc. Ví dụ
4

như đối với He[1], ngay cả với khối lượng riêng của chất lỏng Hêli vào cỡ

3

120kg/m ta được

=2,19

0

. Tuy nhiên, sự tồn tại nhiệt độ

rất quan trọng. Chúng ta xét khoảng nhiệt độ
của nó. Khi ta giảm nhiệt độ xuống tới

có ý nghĩa

để có thể hiểu ý nghĩa
thì thế hóa học

tăng tới giá

trị
, mà
thì ta có
Khi nhiệt độ

nên

không thể giảm nữa, vì vậy trong khoảng nhiệt độ

.

số hạt có năng lượng là


.(1.29)
So sánh (1.27) và (1.29) ta thấy
hay

.


Ta thấy kết quả trên phải được đoán nhận vật lý một cách đặc biệt vì số hạt
toàn phần trong hệ là không đổi. Khi
toàn phần

chỉ có một phần số hạt

thì

cho thấy rằng số hạt

có thể phân bố theo các mức năng lượng

một cách tương ứng với công thức (1.18), có nghĩa là

Ta thấy các hạt còn lại

.
(1.30)
, phải được phân bố như thế nào đó khác đi,

chẳng hạn như tất cả số đó nằm trên mức năng lượng thấp nhất, nghĩa là chúng
hình như nằm ở một pha khác mà người ta quy ước gọi là pha ngưng tụ.
Vậy một phần các hạt của khí Bose sẽ nằm ở mức năng lượng thấp nhất
(năng lượng không) và các hạt còn lại sẽ được phân bố trên các mức khác theo
định luật

ở các nhiệt độ thấp hơn

. Hiện tượng mà ta vừa mô tả ở trên,

trong đó một số hạt của khí Bose chuyển xuống mức “năng lượng không” và hai
phần của khí Bose phân bố khác nhau theo năng lượng được gọi là sự ngưng tụ
Bose. Ở nhiệt độ không tuyệt đối (

) tất cả các hạt bose sẽ nằm ở mức

không.
1.2Tổng quan nghiên cứu về ngưng tụ Bose – Einstein
1.2.1 Thực nghiệm về ngưng tụ Bose – Einstein
Ngưng tụ Bose – Einstein là một trạng thái vật chất của khí Boson loãng
bị làm lạnh đến nhiệt độ rất gần độ không tuyệt đối (hay rất gần giá trị 0 K hay


0

-273 C). Dưới những điều kiện này, một tỉ lệ lớn các boson tồn tại ở trạng thái
lượng tử thấp nhất, tại điểm mà các hiệu ứng lượng tử trở nên rõ rệt ở mức vĩ
mô. Mặc dù các thí nghiệm về sau cho thấy có những tương tác phức tạp trong
hệ, trạng thái vật chất này lần đầu tiên được Satyendra Nath Bose và Albert
Einstein tiên đoán tồn tại trong năm 1924–1925. Bose đầu tiên gửi một bài báo

đến Einstein về thống kê lượng tử của lượng tử ánh sáng (ngày nay gọi
là photon). Einstein đã rất ấn tượng về bài viết này, ông dịch nó từ tiếng Anh
sang tiếng Đức và gửi bài viết của Bose đến tạp chí Zeitschrift für Physik và
được công bố bởi tạp chí này. (Bản nháp của Einstein, lúc đầu nghĩ là có thể bị
mất, đã được tìm thấy trong thư viện của Đại học Leidenvào năm 2005).
Einstein sau đó mở rộng ý tưởng của Bose cho hệ hạt vật chất. Những nỗ lực của
Bose và Einstein cho kết quả về khái niệm khí Bose trong khuôn khổ lý thuyết
thống kê Bose – Einstein, miêu tả phân bố thống kê của những hạt đồng nhất với
spin nguyên, mà sau này Paul Dirac gọi là các boson. Các hạt boson bao gồm
photon cũng như các nguyên tử Heli-4 được phép tồn tại ở cùng trạng thái lượng
tử như nhau. Einstein chứng minh rằng khi làm lạnh các nguyên tử boson đến
nhiệt độ rất thấp thì hệ này tích tụ lại (hay ngưng tụ) trong trạng thái lượng tử
thấp nhất có thể và tạo lên trạng thái mới của vật chất.
Cho đến ngày nay, trên khắp thế giới có tổng cộng 13 nguyên tố đã được
làm cho ngưng tụ và mười trong số những ngưng tụ này đã được tạo ra bởi mười
nhóm nghiên cứu quốc tế khác nhau [2].
Năm 1938, Fritz London đề xuất trạng thái BEC như là một cơ chế giải
4

thích cho tính siêu chảy của He cũng như tính siêu dẫn ở nhiệt độ thấp của một
số vật liệu.
Năm 1995, khí ngưng tụ đầu tiên đã được tạo ra bởi nhóm của Eric
Cornell và Carl Wieman ở phòng thí nghiệm JILA thuộc Viện Công nghệ Tiêu


chuẩn Quốc gia (NIST) tại Đại học Colorado ở Boulder, khi họ làm lạnh khí
nguyên tử Rubidi đến nhiệt độ 170 nanokelvin (nK). Cũng trong thời gian này,
Wolfgang Ketterle ở Học viện Công nghệ Massachusetts tạo ra được ngưng tụ
Bose – Einstein đối với nguyên tử Natri và duy trì được hệ 2000 nguyên tử này
trong thời gian lâu cho phép nghiên cứu những tính chất của hệ. Vì vậy mà

Cornell, Wieman, Ketterle được nhận giải Nobel Vật lý năm 2001. Tháng 11
năm 2010 trạng thái BEC của photon đã được quan sát thấy. Năm 2012, các nhà
vật lý đã phát triển lý thuyết BEC cho hệ photon.
Sự chuyển pha dẫn đến ngưng tụ Bose Einstein xuất hiện ở dưới nhiệt độ
giới hạn, đối với khí phân bố đều 3 chiều của hệ hạt không tương tác mà không
có bậc tự do nội tại trong nó, được cho bởi công thức [2]:


TC là nhiệt độ giới hạn,


n
Tc 

  3 2

23

2 23
n
2 2
 3.3125
mk B
mk B



n là mật độ hạt,
m là khối lượng của từng boson,

là hằng số Planck thu gọn,
k B là hằng số Boltzmann,

 là hàm zeta Riemann,   3 2   2.6124.

Các hạt trong vật lý được chia ra làm hai lớp cơ bản đó là lớp các boson
và lớp các fermion. Boson là những hạt với “spin nguyên” (0, 1, 2,...), fermion
là các hạt với “spin bán nguyên” (1/2, 3/2,...). Các hạt boson tuân theo thống kê
Bose – Einstein, còn các hạt fermion tuân theo thống kê Fermi – Dirac. Ngoài ra
các hạt fermion còn tuân theo nguyên lí ngoại trừ Pauli, “hai hạt fermion không
thể cùng tồn tại trên một trạng thái lượng tử”.