Luan Van Thac si Chuyen nganh Giai Tich

Lời cảm ơn
Luận văn đợc hoàn thành dới sự hớng dẫn nhiệt tình và chu đáo của NGƯT-
PGS-TS Nguyễn Huy Lợi. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình đến
NGƯT-PGS-TS Nguyễn Huy Lợi. Trong quá trình học tập và hoàn thành luận
văn, tác giả nhận đợc sự quan tâm giúp đỡ rất nhiều từ khoa Toán-Tin, Phòng
SĐH, Trờng Đại Học S Phạm Hà Nội 2. Tác giả xin trân trọng cảm ơn sự giúp
đỡ quý báu đó.
Cuối cùng một lần nữa tác giả xin trân trọng cảm ơn các thầy cô, Phòng
SĐH, Khoa Toán, Trờng ĐHSP Hà Nội 2, Trờng THPT Ngô Gia Tự, bạn bè
đồng nghiệp đã động viên và tạo điều kiện thuận lợi trong suốt quá trình nghiên
cứu và học tập để hoàn thành luận văn này.

Hà Nội , tháng 07 năm 2007
Tác giả
Dơng Tiến Tiệp
lời cam đoan
Tôi xin cam đoan luận văn này với đề tài Phép biến đổi Fourier và ứng dụng
là một công trình nghiên cứu của bản thân, luận văn trên đã đợc kế thừa các kiến
thức của các nhà khoa học.
Ngời cam đoan
Dơng Tiến Tiệp
2
mục lục
Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Chơng 1: Các kiến thức bổ trợ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1. Chuỗi Fourier. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7
1.1.1. Một số khái niệm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.2. Sự hội tụ của chuỗi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2. Tích phân Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3. Hàm suy rộng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.3.1. Khái niệm mở đầu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.3.2. Tính chất. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Chơng 2: Phép biến đổi Fourier. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.1. Phép biến đổi Fourier trong
( )
1
L Ă
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .20
2.1.1. Một số khái niệm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.1.2. Tính chất phép biến đổi Fourier. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 22
2.2. Phép biến đổi Fourier trong
( )
1 n
L Ă
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2.1. Một số khái niệm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2.2. Các tính chất. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.3. Phép biến đổi Fourier của hàm suy rộng tăng chậm. . . . . . . . . . . . . .30
2.3.1. Một số khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .30
2.3.2. Tính chất phép biến đổi Fourier của hàm suy rộng tăng
chậm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . .33
2.4. Ví dụ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .36
Chơng 3: ứng dụng phép biến đổi Fourier. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.1. ứng dụng phép biến đổi Fourier vào giải toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.1.1. Biến đổi Fourier của phơng trình truyền nhiệt. . . . . . . . . . . . . . 43
3
3.1.2. Biến đổi Fourier của phơng trình điện báo trên cáp truyền vô
hạn. .. . . . . . . . . . 47
3.1.3. Nghiệm cơ bản của phơng trình truyền sóng. . . . . . . . . . . . . . . 51
3.1.4. Nghiệm của bài toán Dirichlet trong nửa mặt phẳng trên. . . . . . . 52
3.2. Một số ứng dụng khác của phép biến đổi Fourier . . . . . . . . . . . . . .53

3.2.1. Mối liên hệ giữa tích phân Fourier và tích phân loại Côsi . . .. . 53
3.2.2. Thác triển hàm giải tích. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .56
3.2.3. Tích phân Fourier một chiều và hàm một chiều . . . . . . . . . . . . 58
Kết luận. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
Tài liệu tham khảo. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .61
4
Mở đầu
1.Lý do chọn đề tài
Lý thuyết chuỗi Fourier đóng vai trò quan trọng trong giải tích toán học. Có
nhiều bài toán trong toán học và trong thực tiễn dẫn tới việc nghiên cứu phép
biến đổi Fourier.
Phép biến đổi Fourier là một trong những phép biến đổi phổ biến trong phép
biến đổi tích phân, có nhiều ứng dụng trong khoa học hiện nay. đặc biệt đợc sử
dụng nhiều trong toán học và trong vật lý kỹ thuật. áp dụng phơng pháp này
vào các phơng trình đạo hàm riêng tuyến tính, biến các phơng trình này thành
các phơng trình đại số, hoặc các phơng trình đạo hàm riêng có số biến ít hơn.
Với mong muốn có một phơng pháp hoàn chỉnh đủ mạnh, ứng dụng nhiều
trong việc nghiên cứu các phơng trình đạo hàm riêng tuyến tính với hệ số hằng.
Nhờ sự giúp đỡ, hớng dẫn tận tình của PGS. TS. NGƯT. Nguyễn Huy Lợi tôi đã
mạnh dạn nghiên cứu đề tài:
Phép biến đổi Fourier và ứng dụng .
2. Mục đích nghiên cứu
Đề tài nhằm giải quyết một lớp các phơng trình đạo hàm riêng tuyến tính,
thay cho bài toán biên với giá trị ban đầu khác nhau trong một phơng trình. 3.
Đối tợng và phạm vi nghiên cứu
Các khái niệm, tính chất và ứng dụng của phép biến đổi Fourier. Luận văn
chia thành ba chơng.
Chơng 1: Các kiến thức bổ trợ. Gồm những ký hiệu, các khái niệm bổ trợ cho
phép biến đổi Fourier .
Chơng 2: Phép biến đổi Fourier.Trong chơng này tác giả đa ra một số định

nghĩa và một số tính chất cơ bản của phép biến đổi Fourier trong
( )
1
L Ă
,
5
( )
1 n
L Ă
và phép biến đổi Fourier của các hàm tăng chậm trong không gian các
hàm suy rộng
( )
' n
S Ă
. Cuối chơng là những ví dụ minh họa cho phép biến đổi
Fourier của các hàm thuộc các không gian đã xét ở trên.
Chơng 3: ứng dụng của phép biến đổi Fourier. Đây là phần chính của luận
văn đợc sử dụng kết quả trong chơng 2, để nghiên cứu nghiệm cơ bản của một
số phơng trình đạo hàm riêng tuyến tính. áp dụng phép biến đổi Fourier vào
việc tìm nghiệm cơ bản của các phơng trình đạo hàm riêng, thông qua phơng
trình truyền nhiệt, phơng trình điện báo, toán tử sóng và bài toán
Dirichlet. Cùng với các ứng dụng để giải toán, tác giả còn sử dụng phép biến
đổi Fourier để đa ra mối liên hệ giữa tích phân Fourier và tích phân loại Côsi,
để thác triển hàm giải tích và xét mối liên hệ giữa tích phân một chiều với hàm
một chiều.
Do khuôn khổ của luận văn và thời gian nghiên cứu, luận văn khó tránh khỏi
những thiếu sót, tác giả rất mong sự đóng góp ý kiến của bạn đọc, đồng thời tác
giả xin chân thành cảm ơn tất cả những ý kiến đóng góp đó để luận văn hoàn
thiện hơn.
6

Chơng 1
các kiến thức bổ trợ
1.1. Chuỗi Fourier
1.1.1. Một số khái niệm
*Hàm tuần hoàn và hàm điều hòa
+) Hàm tuần hoàn
Cho hàm số
( )
t

xác định trên
Ă

( )
t

đợc gọi là hàm tuần hoàn chu kỳ
T
,
nếu
0T >
nhỏ nhất sao cho
( ) ( )
t T t

+ =
.
+) Hàm điều hòa

Xét hàm số

( ) ( ) ( )
0 1 1 2 2
sin sin 2 ...t A A t A

= + + + + +
( )
0
1
sin
n n
n
A A n t


=
= + +

, (1.1)
trong đó
0 1 1 2
, ,...., , ,...A A

là các hằng số có giá trị đặc biệt đối với mỗi
hàm nh trên,
2
T


=
, gọi là thành phần điều hòa của hàm

( )
t

.
Quá trình khai triển các hàm tuần hoàn thành các thành phần điều hòa mang
tên giải tích điều hoà .
Nếu ta chọn làm biến độc lập
2 t
x t
T


= =
thì ta thu đợc hàm đối với
x
,
( )
x
f x



=
ữ

cũng là hàm tuần hoàn với chu kỳ
2T

=
, khi đó khai triển

công thức (1.1) có dạng
( ) ( ) ( )
0 1 1 2 2
sin sin 2 ...f x A A x A x

= + + + + +
( )
0
1
sin
n n
n
A A nt


=
= + +

. (1.2)
Khai triển các số hạng của chuỗi (1.2) theo công thức sine của tổng và đặt
7

( )
0 0
, , cos , 1, 2,...
n n n n n n
a A a A sin b A n

= = = =
, khi đó ta đợc

( ) ( ) ( )
0 1 1 2 2
cos sin cos 2 sin 2 ...f x a a x b x a x b x= + + + + +

( )
0
1
cos sin
n n
n
a a nx b nx

=
= + +

. (1.3)
Hàm tuần hoàn
( )
f x
có chu kỳ
2T

=
đợc khai triển theo công thức (1.3)
đợc gọi là hàm điều hòa.
* Các hệ số Fourier
Xét hàm
( )
( )

0
1
cos sin
n n
n
f x a a nx b nx

=
= + +

,
f
là hàm tuần hoàn chu kỳ
2T

=
khi khai triển lợng giác hàm
( )
f x
ta xác
định các hệ số
0 1 2 0 1 2
, , ,...., , , ,...a a a b b b
nh sau.
+) Hệ số
0
a
:
Trớc hết ta giả sử
( )

f x
liên tục hoặc liên tục từng khúc trên
[ ]
;


.
Lấy tích phân hai vế của (1.3) trên
[ ]
;


ta có
( )
( )
0
1
cos sin
n n
n
f x dx a a nx b nx dx




=

= + +

0
1
2 cos sin
n n
n
a a nx dx b nx dx





=

= + +




.
Ta có
sin
cos 0
nx
nx dx
n

= =


cos
sin 0
nx
nx dx
n






= =

Do vậy ta có
1
cos sin 0
n n
n
a nx dx b nx dx

=

+ =




,
suy ra
( ) ( )
0 0
1
2
2
f x dx a a f x dx





= =

. (1.4)
+) Hệ số
m
a
:
8
Ta nh©n c¶ hai vÕ cña (1.3) víi
cos mx

råi lÊy tÝch ph©n trªn ®o¹n
[ ]
;
π π
−
,
(
cos 0mx ≠
).
Khi ®ã ta cã
( )
cosf x mx dx
π
π
−
=
∫
0
cosa mx dx
π
π
−
+
∫
1
cos cos sin cos
n n
n
a nx mxdx b nx mxdx
π π

π π
∞
− −
=
 
+
 
 
∑
∫ ∫
Ta cã
sin
cos 0
mx
mx dx
m
π
π
π
π
−
−
= =
∫
.
* Trêng hîp
m n
≠
.
V×

( ) ( )
1
sin cos sin sin 0
2
nx mx dx m n x n m x dx
π π
π π
− −
= + + − =
 
 
∫ ∫
,
( ) ( ) ( )
1
cos cos cos cos 0, .
2
π π
π π
− −
= + + − = ≠
 
 
∫ ∫
nx mx dx m n x n m x dx n m
*Trêng hîp
n m=
.
Ta cã
2

1 cos 2
cos
2
mx
mxdx dx
π π
π π
π
− −
+
= =
∫ ∫
,khi ®ã

n m
a a=
( )
1
cos
m
m
f x mxdx a
π
π
π
∞
−
=
→ =
∑

∫
.
Do vËy
( )
1
cos ; 1, 2,...
m
a f x mxdx m
π
π
π
−
= =
∫
(1.5)
+) HÖ sè
m
b
Ta nh©n hai vÕ cña (1.3) víi
sin , (sin 0)mx mx ≠
, råi lÊy tÝch ph©n trªn ®o¹n
[ ]
;
π π
−
ta ®îc
( )
sinf x mx dx
π
π

−
=
∫
0
sina mx dx
π
π
−
+
∫
1
cos sin sin sin
n n
n
a nx mxdx b nx mxdx
π π
π π
∞
− −
=
 
+
 
 
∑
∫ ∫
Ta cã
0
sin 0a mx dx
π

π
−
=
∫
.
*Trêng hîp
m n
≠
.
( ) ( )
1
sin cos sin sin 0
2
mx nx dx m n x n m x dx
π π
π π
− −
= + − − =
 
 
∫ ∫
9
( ) ( )
1
sin sin cos cos 0,
2
nx mx dx m n x m n x dx

= + =



với mọi
m n
.
*Trờng hợp
n m=
.
Thì :
( )
2
1 cos 2 1
sin 1 cos 2
2 2
mx
mxdx dx mx dx





= =



1 1
cos 2
2 2

x mx dx







= =

.
Khi đó ta có
( )
sin
m
f x mxdx b




=

, vì vậy ta có

( )
1
sin ; 1, 2,...
m
b f x mxdx m

= =

(1.6)
Các công thức (1.4), (1.5) và 1.6) đợc biết với tên gọi là công thức Euler-
Fourier các hệ số đợc tính từ các công thức đó gọi là các hệ số Fourier của
chuỗi hàm đã cho bởi (1.3).
Nếu hàm
( )
f x
đợc khai triển dạng
( )
0
1
( cos sin )
n n
n
f x a a nx b nx

=
= + +

; mà chuỗi này hội tụ thì chuỗi
0
1
( cos sin )
n n
n

a nx b nx a

=
+ +

, đợc gọi là chuỗi Fourier của hàm
( )
f x
.
*Hệ thống trực giao của các hàm.
Ta gọi hai hàm
( )
x

và
( )
x

đợc xác định trong khoảng
( ; )a b
là trực giao
trong khoảng đó nếu tích các hàm đó có tích phân bằng không.
Tức là
( ) ( )
0

=

b
a

x x dx
.
Ta xét hệ thống các hàm
( )
{ }
1,2,...
n
n
x

=
, đợc xác định trong khoảng
( ; )a b
và
liên tục trên khoảng đó hoặc liên tục trên từng khúc, nếu các hàm của hệ thống
đã cho trực giao từng đôi một.

( ) ( ) ( )
0 , , 1, 2,...,

= =

b
n m
a
x x dx m n m n
,
thì ta gọi hệ thống đó là hệ thống trực giao của các hàm.
10
Khi đó ta luôn giả thiết rằng

( )
2
0

= >

b
n n
a
x dx
.
Nếu
( )
1, 1, 2,...
n
n

= =
hệ thống đợc gọi là trực chuẩn.
Nếu
( )
1, 1, 2,...
n
n

=
thì nếu cần chuyển qua hệ thống
( )
n
n

x







, hệ này
là hệ trực chuẩn.
1.1.2. Sự hội tụ của chuỗi Fourier
*Sự hội tụ trong
( )
1
L Ă
Điều kiện Dirichlet.
Cho f là hàm số thực (hoặc phức), xác định trên (a;b) các điều kiện sau đợc
gọi là điều kiện Dirichlet.
i) Tồn tại f(a
+
), f(b
-
) và f có biến phân bị chặn trên đoạn [a;b], ( ta xem
nh f xác định trên đoạn [a;b] với giá trị tại biên là f(a
+
) và f(b
-
) ).
ii) Có hữu hạn điểm thuộc [a;b], sao cho khi bỏ đi các lân cận tuỳ ý của
những điểm này thì f có biến phân bị chặn trên các phần còn lại của

[a;b]; hơn nữa
1
( ; )f L a b
.
Định lý 1.1: Cho hàm
( )
1
;f L


nếu
f
thỏa mãn điều kiện Dirichlet
trong
( )
;


, thì chuỗi Fourier của hàm
f
sẽ hội tụ về
( )
f x
tại những điểm
( )
;x


, mà tại đó hàm
f

liên tục và hội tụ về
( ) ( )
1
2
f x f x
+

+

, nếu
x
là điểm gián đoạn thông thờng, hội tụ về
( ) ( )
1
2
f f

+

+

tại
x


,
nếu
( )
f

+

và
( )
f


tồn tại.
Chứng minh :
Đặt
( )
( )
0
1
cos sin
n n n
n
S x a a nx b nx

=
= + +

.
Ta có
( ) (
' ' '
1
1 2 cos cos sin sin ...
2
n

S f x x x x x





= + + +


11

)
' ' '
... cos cos sin sinnx nx nx nx dx

+ +

( )
' ' ' '
1
1 2 cos( ) ... 2 cos ( )
2
f x x x n x x dx





= + + +

( )
'
' '
'
1
sin (2 1)( )
1
2
.
1
2
sin ( )
2
n x x
f x dx
x x




+
=


Do vậy
( )
'
' '
'

1
sin (2 1)( )
1
2
1
2
sin ( )
2
x
n
n x x
S f x dx
x x



+
=




( )
'
' '
'
1
sin (2 1)( )
1
2

1
2
sin ( )
2
x
n x x
f x dx
x x


+
+


.
Đặt
'
2
x x


=
và
'
2
x x


=
, trong tích phân thứ nhất và tích phân thứ hai

của đẳng thức trên ta đợc

( )
2
0
1
sin (2 1)
1
2
2
1
sin
2
x
n
n
S f x d





+
+
=


( )
2
0

1
sin (2 1)
1
2
2
1
sin
2
x
n
f x d






+
+ +

.
Với
[ ]
;x


cố định, ta có các hàm theo biến

là
( )

2f x


thỏa mãn
điều kiện Dirichlet trong các khoảng tơng ứng
0;
2
x



ữ

và
0;
2
x

+

ữ

. Do vậy nếu
( )
f x
+
và
( )
f x

tồn tại thì theo bổ đề tích phân
Dirichlet ta có
( )
( ) ( ) ( ) ( )
1 1
lim
2 2 2
n
n
S x f x f x f x f x


+ +



= + = +



.
12
+)Với
x

=
do (1.1) ta có
( ) ( )
0
1 sin(2 1)

2
sin
n
n
S x f d




+
=

( ) ( )
0
1 sin(2 1) 1 sin(2 1)
2 2
sin sin
n n
f d f d







+ +
= +

( ) ( )

'
'
'
0 0
1 sin(2 1) 1 sin(2 1)
2 2
sin
sin
n n x
f d f x dx
x





+ +
= +

,
với
'
x

=
ở tích phân thứ hai.
áp dụng bổ đề tích phân Dirichlet ta có

( )
( ) ( )

1
lim
2
n
S x f f

+

= +

+)Tơng tự với
x

=
ta có
( ) ( )
( )
'
' '
'
0 0
1 sin(2 1) 1 sin(2 1)
2 2
sin
sin
n
n n x
S x f d f x dx
x

+ +
= +

với
x

=
áp dụng bổ đề tích phân Dirichlet ta có

( )
( ) ( )
1
lim
2
n
S x f f

+

= +

.
Do vậy định lý đợc chứng minh.
Định lý 1.2: Cho
[ ]
1

;f L


, giả sử
f
bị chặn thỏa mãn điều kiện
Dirichlet trên khoảng
( )
;


và
f
liên tục trên
( ) ( )
; ;

u v
, khi đó
chuỗi Fourier của
f
hội tụ đều về
f
trên đoạn bất kỳ
[ ]
( )
; ;a b u v
.
Định lý 1.3: Hàm số
f

xác định trên
Ă
liên tục tuần hoàn với chu kỳ
2

.
Đặt
( )
0
1
( ) cos sin
2
n
n k k
k
a
S x a kx b kx
=
= +

( ) ( ) ( ) ( )
0 1 1
1
...
n n
x S x S x S x
n


= + + +

,
(
n

là tổng FeJér của
f
) .
Khi đó dãy
( )
1,2,...
n
n

=
hội tụ đều về
f
trên
Ă
.
*Sự hội tụ trong
( )
2
L Ă
.
Định nghĩa 1.1: Xét
2
L
là không gian các hàm thực bình phơng khả tích trên

[ ]
;


trong
2
L
, dãy hàm
( )
{ }
,
n
x n

Ơ
đợc gọi là một hệ trực giao nếu
13
( ) ( )
0,




=

m n
x x dx m n
. Nếu hệ
( )
{ }

,
n
x n

Ơ
có thêm tính chất :
( )
2
1,
n
x dx n




=

thì ta nói hệ
{ }
n

là hệ trực chuẩn .
Ta đặt
( ) ( )
,
n n
C f x x dx n

=

Ơ
thì ta gọi
1
n n
n
C


=

là chuỗi
Fourier của hàm
f
ứng với hệ trực chuẩn
{ }
n

và ký hiệu
0
n n
n
f C


=

:

.
Định nghĩa 1.2: Hệ trực chuẩn
{ }
n

đợc gọi là đầy đủ trong
2
L
nghĩa là

( )
2 2 2
0
,
k
k
C f x dx f L




=
=


Định lý 1.4: Cho hệ trực chuẩn
{ }
n

trong

2
L
hệ này là đầy đủ nếu và chỉ nếu
[ ]
0 0
2
; ; 0; ... :
n n n n
F C F

> = + + <
.
Định lý 1.5 : Chuỗi Fourier của hàm
[ ]
2
;f L


sẽ hội tụ trung bình về
f
theo nghĩa
( )
2
0
1
lim ( cos sin ) 0
2
n
k k
n

k
a
f x a kx b kx dx




=


+ + =

ữ





.
1.2 Tích phân Fourier.
Xét hàm số
( )
1
f L Ă
ta đặt

( )
1
cosa f t t dt
à

à



=

, (1.7)
( )
1
sinb f t t dt
à
à



=

. (1.8)
Cho
f
( )
0
cos sina x b x d
à à
à à à

+

:
. (1.9)

Ta thấy công thức (1.7),(1.8),(1.9) nh chuỗi Fourier của một hàm thuộc
[ ]
2
;L


.
Định lý 1.6 (về sự hội tụ của tích phân Fourier) .
14
Cho hàm
( )
1
f L Ă
, thỏa mãn điều kiện Dirichlet trên mọi khoảng mở hữu
hạn ,Giả sử
( )
f x
+
và
( )
f x

tồn tại thì ta có
( )
( ) ( )
0
1
cos sin
2
a x b x d f x f x

à à
à à à

+

+ = +


. (1.10)
Trong đó tích phân vế trái đợc hiểu là

( )
0
lim cos sin
q
q
a x b x d
à à
à à à

+

.
Chứng minh :
Chọn số dơng
0a >
bất kỳ ta xét dãy hàm
( )
1,2,...
n

n
g
=
xác định bởi
( ) ( ) ( )
cos
n
n
a
g f t t x dt
à à
=

.
Do
( )
1
f L Ă
nên dãy hàm hội tụ đều, hơn nữa chúng liên tục nên hàm
g
xác định bởi:
( ) ( ) ( ) ( )
cos lim
n
a
n
g f t t x dt g
à à à

= =

,
là liên tục ,đẳng thức thứ hai là do định lý hội tụ bị chặn của Lebesgue .
Do đó ta có
( ) ( ) ( )
0 0
cos
q q
a
g d d f t t x dt
à à à à

=

tồn tại với mọi
q
.
Ta cần chỉ ra
( ) ( )
0
lim cos 0
q
a
q
d f t t x dt
à à


=

. (1.11)
Thật vậy : Do định lý Fubini ta có
( ) ( )
0
cos
q
a
d f t t x dt
à à

=

( ) ( )
0
cos
q
a
dt f t t x d
à à



( )
( )
sin
a
q t x
f t dt
t x

=


. (1.12 )
Vì
0t x a x > >
, nên
( )
a
f t
dt
t x



tồn tại , do đó với
0

>
cho trớc ta
tìm đợc số
A a>
sao cho :
( )
( )
( )
( )
sin sin

A A
q t x q t x
f t dt f t dt
t x t x





( )
2
A
f t
dt
t x


<


. (1.13 )
15
Ngoài ra do
f
thỏa mãn điều kiện Dirichlet trên khoảng
( )
;a x A x
và
0x a >
ta có

( )
( )
sin
lim
A
a
q
q t x
f t dt
t x




( )
sin
lim 0
A x
a x
q
qu
f u x du
u



= + =

.
Suy ra ta có thể chọn đợc

0Q >
sao cho

( )
( )
sin
2
A
a
q t x
f t dt
t x


<


khi
q Q
, (1.14 )
từ (1.13) và (1.14) ta có
( )
( )
sin
a
q t x
f t dt
t x

<


khi
q Q
, kết hợp với (1.12)
ta suy ra (1.11).
Ta lại có
( ) ( )
0
cos
q a
x
d f t t x dt
à à
=

( ) ( )
0
cos
a q
x
dt f t t x d
à à


( )
( )
( )

0
sin
sin
a a x
x
q t x
qu
f t dt f u x du
t x u


= = +


.
Cho
q
trong đẳng thức trên ta có
( ) ( )
( )
0
lim cos
2
q
x
q
d f t t x dt f x

à à

+

=

Hoàn toàn tơng tự với quá trình trên ta cũng chỉ ra đợc
( ) ( )
( )
0
lim cos
2
q x
q
d f t t x dt f x

à à



=

.
Do vậy ta có
( ) ( )
( ) ( )
0
1 1
lim cos
2
q
q

f x f x d f t t x dt
à à


+



+ =


( )
( )
0
1
lim cos cos sin sin
q
q
d f t t x t x dt
à à à à à




= +

( )
0
cos sina x b x d
à à

à à à

= +

.
1.3. Hàm suy rộng
1.3.1. Khái niệm mở đầu
16
Định nghĩa 1.3: Hàm số
( )
x

xác định
x Ă
lấy giá trị thực liên tục và
có đạo hàm liên tục cấp tùy ý ,
( )
[ ]
0 ;x x a b

=
nào đó thì
( )
x

đợc
gọi là hàm cơ bản .
Tập tất cả các hàm cơ bản đợc ký hiệu là
K
.

Định nghĩa 1.4: Giả sử
( ) ( )
[ ]
; 0 ;x K x x a b

=
, khi đó ta nói
hàm
( )
x

tập trung trên
[ ]
;a b
, còn
[ ]
;a b
đợc gọi là giá của hàm
( )
x

và ký hiệu
[ ]
;a b =
supp

Định nghĩa 1.5: Giả sử
;f E
với
( )

x K


ta đặt
( ) ( ) ( )
;f f f x x dx



= =

, (1.15)
đợc gọi là phiếm hàm suy rộng chính quy. Rõ ràng phiếm hàm (1.15) là
phiếm hàm tuyến tính liên tục trên
K
.
(
E
là tập hợp các hàm
( )
f x
xác định trên tập số thực lấy giá trị thực và
khả tích theo Lebesgue ).
+) Nếu hàm
f E
mà
( )
,f x C x=
thì

( ) ( ) ( ) ( )
; ,f f f x x dx C x dx K



= = =

, khi đó ta
cũng nói
f
là một hàm suy rộng không đổi hoặc hàm suy rộng
f
là hàm
hằng số
C
+) Nếu
f E
mà
( )
1,f x x=
, thì

( ) ( ) ( ) ( )
; ,f f f x x dx x dx K



= = =

, khi đó hàm

suy rộng
f
là hàm suy rộng đơn vị.
Định nghĩa 1.6: Mọi phiếm hàm tuyến tính liên tục trên
K
đợc gọi là hàm
suy rộng, hay (phân bố), tức là phiếm hàm
f
thỏa mãn hai điều kiện sau:
i)
, ; ,K
à
Ă
ta có
( ) ( ) ( )
f f f
à à
+ = +

ii) Mọi dãy
( )
1
n
n
khi n


=

, thì

( )
( )
n
f f


.
Định nghĩa 1.7: Tập
( )
n
S S= Ă
gồm tất cả những hàm khả vi vô hạn trong
n
Ă
và giảm cùng với tất cả các đạo hàm của chúng nhanh hơn bất kỳ một lũy
thừa nào của
1
x

khi
x
.
17
Sự hội tụ trong
S
đợc định nghĩa nh sau:
Dãy
( )
1
,

n n
n
S khi n


=

nếu
,

Ă
ta có

( ) ( )
, ,


Ă
n
n
x D x x D x khi n x
. Tập
S
cùng với sự
hội tụ nh trên gọi là không gian các hàm nền giảm nhanh và ký hiệu là
S
.
Định nghĩa 1.8: Tập
( )
' ' n

S S= Ă
gồm tất cả những hàm suy rộng
f
trong
không gian các hàm nền
S
, tập
'
S
cùng với sự hội tụ yếu trong
'
S
đợc gọi là
không gian các hàm tăng chậm ký hiệu là
'
S
.
Sự hội tụ yếu trong
'
S
đợc định nghĩa nh sau: Dãy
( )
'
1,2,...
n
n
f S
=

đợc gọi

là hội tụ về
'
f S
viết là
n
f f khi n
trong
'
S
, nếu
S


thì
; ;
n
f f khi n


.
Định nghĩa 1.9: Một phiếm hàm tuyến tính
f
trong không gian các hàm nền
( )
n
S Ă
, đợc gọi là hàm suy rộng tăng chậm, nếu mọi dãy
{ }
( )
1

=
Ă
n
n
n
S
hội tụ tới

khi
n
và
; ;
n
f f khi n


.
Định nghĩa 1.10: Hàm số
f
xác định và đo đợc trên
n
Ă
sao cho
( )
( )
1
n
N

f x
dx
x
< +
+

Ă
, gọi là hàm tăng chậm. (Với N là một số nguyên dơng
nào đó).
1.3.2. Tính chất
Mệnh đề 1.1: Giả sử
f
là hàm tăng chậm xác định trên
n
Ă
, khi đó phiếm
hàm tuyến tính

( ) ( ) ( ) ( )
; , ( )
n
n
f f f x x dx x S

= =

Ă
Ă
là hàm tăng chậm.
Chứng minh:

Do
f
là hàm tăng chậm nên tồn tại số nguyên dơng
N
, sao cho
( )
( )
1
n
N
f x
dx
x
< +
+

Ă
.
18
Khi đó
( )
n
S

Ă
thì
( ) ( )
n
f x x dx

Ă
luôn tồn tại.
Thật vậy ta có
( ) ( )
n
f x x dx


Ă
( )
( )
( )
( )
1
1
n
N
N
f x
x x dx
x

= +
+

Ă
( )
( )
( )

( )
{ }
. sup 1
1
n
n
N
N
x
f x
dx x x
x


= + < +
+

Ă
Ă
.
Giả sử dãy hàm
{ }
1,2,..., ,..
n
n n

=
( )
n
S Ă

hội tụ về
0
trong
( )
n
S Ă
khi
n
khi đó hiển nhiên

( )
( )
{ }
1 0
n
N
n
x
Sup x x


+
Ă
. (1.16)
Vì
;
n
f

( ) ( )
n
n
f x x dx


Ă

( )
( )
{ }
1
n
N
n
x
Sup x x


+
Ă
( )
( )
. ,
1
n
N
f x
dx n
x

+

Ă
. (1.17)
Từ (1.16) và (1.17) ta suy ra
; 0
n
f khi n


,
do đó
( )
f

là hàm suy rộng tăng chậm.
Mệnh đề đợc chứng minh.
Mệnh đề 1.2: Giả sử
( )
n
p
f L Ă
với
1 p <
. Khi đó phiếm hàm tuyến
tính
( )
f

xác định bởi:

( ) ( ) ( ) ( )
; , ( )
n
n
f f f x x dx x S

= =

Ă
Ă
, là hàm suy rộng
tăng chậm.
Chứng minh:
* Hiển nhiên
( )
f

là phiếm hàm tuyến tính.
* Ta có :

( ) ( ) ( )
;
n
f f f x x dx

= =

Ă

( ) ( )
n
f x x dx



Ă
19

( )
( )
( )
( )
( )
( )
1 1
sup
n
n n
p
p
p p
x
x x
f x dx f x dx
f x f x
ϕ ϕ
− −
∈
 

 
= ≤ < ∞
 
 
 
∫ ∫
¡
¡ ¡
.
Do ®ã
( ) ( )
n
f x x dx
ϕ
∫
¡
lu«n tån t¹i.
*Ta chØ ra r»ng
f
lµ hµm t¨ng chËm .
ThËt vËy:
( )
( )
1
n
N
f x
dx
x
=

+
∫
¡
( )
( )
( )
1
1 .
n
p
N p
f x
dx
x f x
−
+
∫
¡
( )
( )
( )
1
1
sup
1
n
n
p
N p
x

f x dx
x f x
−
∈
 
 
≤ < ∞
 
+
 
 
∫
¡
¡
.
VËy
f
lµ hµm t¨ng chËm, theo mÖnh ®Ò (1.1) ta suy ra
( )
f
ϕ
lµ hµm suy
réng t¨ng chËm.
20
Chơng 2
phép biến đổi Fourier
2.1.Phép biến đổi Fourier trong
( )
1
L Ă

2.1.1. Một số khái niệm
Khi xem xét một công thức biểu diễn nghiệm của một phơng trình đạo
hàm riêng, ta thờng dùng phơng pháp biến đổi Fourier để biến đổi nghiệm
đang xét thành dạng tích phân cần thiết.
Định nghĩa 2.1: Cho hàm số
( ) ( )
1
f x L Ă
không gian các hàm khả tích
trên
Ă
, hàm số

f
đợc định nghĩa nh sau, đợc gọi là biến đổi Fourier của
hàm
( )
f x
,
( ) ( )
1

.
2
i x
f f x e dx
à
à

=

(2.1)
Định lý 2.1: Giả sử hàm
( ) ( )
1
f x L Ă
thì
0

f C
,với
0
C
là không gian
các hàm số liên tục tại vô cực, hơn nữa
1

f f


Chứng minh:
Từ định nghĩa (2.1) ta có
( )
( )
1

,
2
n
it x
n
f t f x e dx




=

khi
n
t
hội tụ về
t
thì
( )
( ) ( )
1

2
n
it x
itx
n
f t f t f x e e dx

Ta thấy hàm dới dấu tích phân bị chặn bởi
( )
2 f x
và hội tụ từng điểm tới 0
khi
n
do vậy
( )
( )

n
f t f t
khi
n
, hay

f
liên tục
21
Với hàm số
( )
:h x h x
, ta ký hiệu
h

( )
: x h x


Vì
1
i
e


=
nên
( ) ( ) ( )

it x
itx
t
t
f t f x e dx f x e dx



+
ữ




= =

( ) ( ) ( )
1

2
itx
t t
f t f x f x e dx f f





=




Suy ra

0f
khi
t

Bổ đề 2.1: Cho hàm
f
xác định trên
Ă
và với mỗi
y R
đặt

y
f
là tịnh tiến
của hàm
f
xác định bởi:
( ) ( )
,
y
f x x y x R=

Nếu
( )
;1
p
f L p < Ă
thì ánh xạ
( )
:
p
f LĂ Ă
là liên tục đều
y
y fa
Định nghĩa 2.2: Hàm số
( ) ( )
1

2
i x

f x f e d
à
à à



=

đợc gọi là hàm
biến đổi Fourier ngợc của hàm

f
. Tích phân hiểu (theo nghĩa lebesgue) ở trên
là xác định nếu
( )
1
f L Ă
.
Đối với hàm chỉ xác định với
0x >
, ta có công thức biến đổi Fourier dạng
sine và dạng cosine, chẳng hạn với hàm
( )
f x
xác định với
0x >
, ta mở
rộng hàm
f
cho giá trị

0x <
bằng định nghĩa
( ) ( )
f x f x =
thực hiện
phép biến đổi Fourier cho hàm chẵn ta có
( ) ( ) ( ) ( )
0
0

2
i x i x i x
f f x e dx f x e dx f x e dx
à à à
à



= = +

( )
( )
( ) ( )
0 0
2 cos
i x i x
f x e e dx f x x dx
à à
à

= + =

.
Với
( )
1
cos
2
i i
e e



= +
(2.2)
Do đó biến đổi Fourier cũng là một hàm chẵn và
( ) ( )
1

2
i x
f x f e d
à
à à



=

hay
( ) ( ) ( ) ( )
0
0

2
i x i x i x
f x f e d f e d f e d
à à à
à à à à à à


= = +


( ) ( )
0

2 cosf x d
à à à

=

, với
cos
2
i x i x
e e
x
à à

à

+
=
22
Đặt
( ) ( )

c
F f
à à
=
. Khi đó ta có biến đổi Fourier dạng cosine
Định nghĩa 2.3: Hàm
( )
c
F
à
đợc gọi là biến đổi Fourier dạng cosine của
hàm
( )
f x
nếu
( ) ( ) ( )
0
2
cos
2
c
F f x x dx

à à


=



( ) ( )
0
2
cosf x x dx
à


=

(2.3)
Với
( ) ( ) ( )
0
2
cos
c
f x F x d
à à à


=

(2.4)

Nếu ta bắt đầu với hàm
f
đợc xây dựng bằng hàm lẻ
( ) ( )
f x f x =
và thực hiện bớc biến đổi nh trên ta cũng có công thức biến đổi Fourier dạng
sine của hàm
( )
f x
.
Định nghĩa 2.4: Hàm
( )
s
F
à
đợc gọi là biến đổi Fourier dạng sine của hàm
( )
f x
nếu:
( ) ( ) ( )
0
2
sin
s
F f x x dx
à à


=

(2.5)
Với
( ) ( ) ( )
0
2
sin
s
f x F x d
à à à


=

(2.6)
2.1.2 Tính chất phép biến đổi Fourier
*Tính chất 1: Với
0r >
đặt
( ) ( )
r
f x f rx=
ta có
( )
1

r
f f
r r
à
à

=
ữ

.
Chứng minh:
Thật vậy ta có
( ) ( )
1

2
i x
r
f f rx e dx
à
à




=

Đặt
t
x
r
=
ta có
( ) ( )
1 1

2
t
i
r
r
f f t e dt f
r r
r
à
à
à





= =
ữ


*Tính chất 2: Với
y R
ta đặt
( ) ( )
y
f x f x y= +
ta có
( ) ( )

i y
y
f e f
à
à à
=
Chứng minh :
23
Thật vậy ta có
( ) ( )
1

2
i x
y
f f x y e dx
à
à




= +

Đặt
t x y= +
ta có
( ) ( )
( )
( )

1

2
i t y
i y
y
f f t e dt e f
à
à
à à




= =

*Tính chất 3: Cho
( )
1
f L Ă
thỏa mãn supp
[ ]
;f a a
, ta có

f
là hàm
giải tích trên
Ê
Chứng minh :

Thật vậy ta có
( ) ( )
1

2
a
i x
a
f f x e dx
à
à



=

, do supp
[ ]
;f a a
suy ra

f
là hàm giải tích trên
Ê
*Tính chất 4: Cho dãy
( )
1,2,...
n
n
f

=
hội tụ trong
( )
1
L Ă
, khi đó dãy
( )
1,2,...
n
n
f
=
hội tụ đều trong
Ă
Chứng minh :
Ta xét
( ) ( ) ( ) ( )
1

2
i t
m n m n
f f f x f x e dx
à
à à

( ) ( )
0
m n
f x f x dx




khi
,m n
*Tính chất 5: Cho hàm
( )
1
f L Ă
ta có

f
liên tục, bị chặn và
( )

0f
à

khi
à

Chứng minh :
Ta có

f
bị chặn do
( ) ( )

f f x dx
à




;
Trờng hợp
f
là hàm đặc trng của
[ ]
;a b
thì :
( )
1

2
b
i x
a
f e dx
à
à

=

1
2
i a b
e e
i
à à
à



=
, và là hàm liên tục tiến về 0
khi
à

.
Nếu
f
là hàm bậc thang thì
f
là tổ hợp tuyến tính của các hàm đặc trng, từ đó
do tính tuyến tính của phép biến đổi Fourier ta cũng có

f
liên tụcvà tiến về 0
khi
à

.
24
Nếu
( )
1
f L Ă
, do tập các hàm bậc thang trù mật trong
( )
1
L Ă
ta tìm đợc dãy
các hàm bậc thang
( )
1,2,...
n
n
f
=
hội tụ trong
( )
1
L Ă
về
f
do tính chất (4)
nên
( )
1,2,...

n

n
f
=
hội tụ về

f
trên
Ă
do đó

f
liên tục và tiến về 0 khi
à

.
*Tính chất 6: Cho
( )
1
f L Ă
thỏa mãn
( )
1
f L

Ă
và
f
liên tục tuyệt đối
trên mọi khoảng hữu hạn, khi đó
( ) ( ) ( )

f i f
à à à


=
.
Chứng minh :
Vì
f
liên tục tuyệt đối trên mọi khoảng hữu hạn, nên ta có

( ) ( ) ( )
0
0
x
f x f f t dt= +

Hơn nữa
( )
1
f L

Ă
nên vế phải của đẳng thức trên có giới hạn khi
x
.
Ngoài ra giới hạn đó phải bằng 0 vì
( )
1

f L Ă
.
Vì vậy
( ) ( ) ( ) ( )
( )
1 1
2 2
i x i x
f f x e dx e d f x
à à
à






= =


( ) ( ) ( )
1

2
i x i x
e f x i f x e dx i f
à à
à à à

= + =



*Tính chất 7: Nếu hàm
f
có đạo hàm càng cao trong
( )
1
L Ă
thì

0f
càng
nhanh khi
à

và
( )
( )
( )
( )

n
n

f
f
à
à
à

=
Chứng minh :
Theo tính chất (6) ta có ngay kết quả tính chất (7)
*Tính chất 8: Cho hàm
f
( )
1
L Ă
nếu tồn tại
f

và
( )
1
f L

Ă
thì
( )
1

f L Ă
.
Chứng minh :

25