bài giảng giới hạn của hàm số

Ví dụ
1/ x

lim e
x → 0−

=0

1/ x

lim e
x →0

+

= +∞


Ví dụ

sin x
lim
=
1
x →0
x
sin x
Không tồn tại
lim
x →0
| x|

Vì

sin x
sin x
lim
= lim
=1
x →0 | x |
x →0
x
+

+

sin x
sin x
và lim
= lim
= −1
x →0 | x |
x →0
−x
−

−


Định lý.
Hàm số y = f(x) có giới hạn tại x0 khi và chỉ khi nó có giới
hạn trái và giới hạn phải tại x0 và chúng bằng nhau.

Chú ý
Dùng ñịnh lý trên ñể chứng tỏ hàm không có giới hạn.


Chú ý.
Giới hạn một phía thường ñược dùng trong các trường
hợp hàm chứa căn bậc chẵn, chứa trị tuyệt ñối, hoặc
hàm ghép.
 2 x + 3, x ≥ 0

Ví dụ. Cho f ( x) = 
. Tìm lim f ( x)
1
x →0
x
sin
,
x
<
0

x
lim f ( x) = lim (2 x + 3) = 3

x → 0+

x → 0+

1

lim− f ( x) = lim− x sin = 0
x →0
x →0
x

Vậy không tồn tại giới hạn.


Định nghĩa
Hàm số y = f(x) ñược gọi là vô cùng bé (VCB) khi x → x0
nếu

lim f ( x) = 0.

x → x0

Ví dụ
f ( x) = x + 3sin 2 x là một vô cùng bé khi x → 0, vì
3

(

)

lim x3 + 3sin 2 x = 0.
x →0


Tính chất của VCB
1) Tổng hữu hạn của các VCB là một VCB.

2) Tích của hai VCB là một VCB.
3) Tích của một VCB và một hàm bị chặn là một VCB.
4) Thương của hai VCB có thể không là một VCB.


Định nghĩa
Cho f(x) và g(x) là hai vô cùng bé khi x → x0 .
f ( x)
= k.
Giả sử xlim
→ x0 g ( x )
1) Nếu k = 0 , thì f(x) gọi là VCB bậc cao hơn g(x).
f ( x) = ο ( g ( x))

2) Nếu k hữu hạn, khác không, thì f(x) và g(x) là hai
VCB cùng cấp.
3) Nếu k = 1 , thì f(x) và g(x) là hai VCB tương ñương.
f ( x) ≈ g ( x)


Ví dụ

f ( x) = x 2 + tan 4 x; g ( x) = sin 2 x + 2 x3

Khi ñó f(x) và g(x) là hai VCB tương ñương khi x → 0 .
f ( x)
x 2 + tan 4 x
= lim 2
= 1.
Vì lim

.
3
x →0 g ( x )
x →0 sin x + 2 x

Ví dụ

f ( x) = sin x + x ; g ( x) = x + tan x
3

2

2

Khi ñó f(x) là VCB bậc cao hơn g(x) khi x → 0 .
f ( x)
x 2 + sin 3 x
= lim
= 0.
Vì lim
.
2
x →0 g ( x )
x →0 x + tan x


Ví dụ

f ( x) = sin 2 x + 2 x 2 ; g ( x) = tan 2 3 x

Khi ñó f(x) và g(x) là hai VCB cùng bậc khi x → 0 .
f ( x)
sin 2 x + 2 x 2 1
= lim
= .
Vì lim
.
2
x →0 g ( x )
x →0
3
tan 3x

Ví dụ

f ( x) = e

x −1

− 1; g ( x) = 1 − x 2
−

Khi ñó f(x) và g(x) là hai VCB cùng bậc khi x → 1 .
f ( x)
e 1− x − 1 1
=
.
Vì lim− . = lim−
x →1 g ( x )
x →1

2
1 − x2


Các vô cùng bé thường gặp khi x → 0

∼ x

1) sin x

2) e -1 ∼ x
x

3) 1- cos x ∼

4) ln(1 + x)
α

5) (1 + x) -1

x2
2

∼ x
∼ αx

6) arcsin x

∼ x

7) arctan x

∼ x

8) tan x
9) sinh x

∼ x
∼ x

10) cosh x − 1 ∼

Chú ý: Đây là các vô cùng bé khi

x→0

x2
2

Các vô cùng bé trên suy ra trực tiếp từ ñịnh nghĩa và
các giới hạn cơ bản.


Qui tắc ngắt bỏ VCB cấp cao

Tổ ng hữ u hạ n cá c VCB
lim
Tổ ng hữ u hạ n cá c VCB
x → x0

VCB bậ c thấ p nhấ t củ a tử
= lim
VCB bậ c thấ p nhấ t củ a mẫ u
x → x0


Ví dụ.

ln(1 + x tan x )
Tính giới hạn I = lim
x → 0 x 2 + sin 3 x

ln(1 + x tan x) ∼ x tan x ∼ x
ln(1 + x tan x)
⇒ I = lim 2
x →0 x + sin 3 x
Ví dụ.

Tính giới hạn

2

x 2 + sin 3 x ∼ x 2

x2
= lim 2 = 1.
x →0 x

ln(cos x)
I = lim

x → 0 ln(1 + x 2 )

ln(1 + cos x − 1)
I = lim
x →0
ln(1 + x 2 )

− x2 / 2
1
cos x − 1
= lim
=−
= lim
2
2
x →0
x →0
2
x
x


Ví dụ.
Tính giới hạn

I = lim
x →0

e

x2

− cos x
2
sin x

2
x
e x − 1 ∼ x2
1 − cos x ∼
sin x ∼ x
2
2
2
x2
x + x /2 3
e − 1 + 1 − cos x
= lim
= .
⇒ I = lim
2
2
x →0
x →0
2
x
sin x
Ví dụ.
2

esin 5 x − esin x
Tính giới hạn I = lim
x → 0 ln(1 + 2 x )
esin 5 x − 1 + 1 − esin x
sin 5 x − sin x
5x − x
I = lim
= lim
= lim
=2
x →0
x →0
x →0 2 x
ln(1 + 2 x)
2x


Ví dụ.
Tính giới hạn

e

x −1

I = lim
x →1

−1 ∼ x −1

sin( x − 1)

⇒ I = lim
x →1
x −1
Ví dụ.

(

)

sin e x −1 − 1
ln x

ln x = ln(1 + x − 1) ∼ x -1

x −1
= lim
= 1.
x →1 x − 1

esinh 3 x − esinh x
Tính giới hạn I = lim
x →0
tan x
esinh 3 x − 1 + 1 − esinh x
sinh 3 x − sinh x
3x − x
I = lim
= lim
= lim
= 2.

x →0
x →0
x →0
x
x
x


Ví dụ.

(
Tính giới hạn I = lim

)

e x − 1 (cos x − 1)
sin 3 x + 2 x 4

x →0

ex −1 ∼ x

cos x − 1 ∼ - x 2 / 2

x(− x 2 / 2)
⇒ I = lim 3
x →0 x + 2 x 4
Ví dụ.

x(− x 2 / 2)

1
= lim
=−
3
x →0
2
x

Tính giới hạn I = lim x ⋅
2

1/ x 2

e

x →+∞

2
2
1/
x
+
1/(2
x
)
2
I = lim x ⋅
x →+∞
π /2

− cos(1/ x)
arctan x
=

3

π


Các trường hợp thay VCB ĐÚNG VÀ SAI.
tan x − sin x
1) lim
x →0
x3
tan x − sin x
2) lim
x →0
x3

tan x − sin 2 x
3) lim
x →0
x3

tan x − x
= lim
3
x →0
x
x − sin x

= lim
x →0
x3

x − sin 2 x
= lim
x →0
x3

SAI

SAI

ĐÚNG


Các trường hợp thay VCB ĐÚNG VÀ SAI.
tan x − sin 2 x
4) lim
x →0
sin x
tan x − sin x
5) lim
x →0
sin 3 x

 1 cos 2 x 
6) lim  2 −

2

x →0 x
sin x 


x − 2x
= lim
x →0
x
tan x − sin x
= lim
x →0
x3

 1 cos 2 x 
= lim  2 −

2
x →0 x
x 


ĐÚNG

ĐÚNG

SAI


Định nghĩa
Cho f(x) là vô cùng bé khi x → x0 .

Số p ñược gọi là bậc của VCB f(x) khi x → x0 , nếu
lim

x → x0

Ví dụ.

f ( x)

( x − x0 )

p

= höõ u haï n, ≠ 0.

f ( x) = sin 2 x + x3 + 1 − cos 2 x

là một VCB khi x → 0 , và bậc của f(x) là 2.
vì

f ( x)
sin 2 x + x3 + 1 − cos 2 x
lim 2 = lim
=3
2
x →0 x
x →0
x

Ví dụ
Tìm bậc của các VCB sau ñối với x khi x → 0 .

1) f ( x) = x − x
3

2

2) f ( x) = sin
3) f ( x) = 2

(

x

3

x+2− 2
−1

4) f ( x) = 3sin 3 x − x 4
x3

5) f ( x) = e − cos x

bậc 2/3.

)

bậc 1.

bậc 1/2.
bậc 3.
bậc 2.


Ví dụ
Tìm α , β ñể f(x) và α x β là 2 VCB tương ñương, x → 0

1) f ( x) = cos x − cos 2 x

(

2) f ( x) = ln cos x 2

3) f ( x) = 3

x

)

− ex

α = 3/ 2; β = 2
α = −1/ 2; β = 4
α = ln 3; β = 1/ 2

4) f ( x) = sin 3 2 x + ln(1 + x tan x)

α = β =1

5) f ( x) = 1 + 2 x − cos3 x

α = 13/ 4; β = 2

2


Định nghĩa (vô cùng lớn)
Hàm số y = f(x) ñược gọi là vô cùng lớn (VCL) khi x → x0
nếu

lim f ( x) = +∞.

x → x0

Ví dụ

f ( x) = 2 x 2 + 3cos x là một vô cùng lớn khi x → ∞, vì
lim 2 x 2 + 3cos x = +∞.

x →∞


Định nghĩa
Cho f(x) và g(x) là hai vô cùng lớn khi x → x0 .
f ( x)
= k.
Giả sử xlim
→ x0 g ( x )
1) Nếu k = ∞ , thì f(x) gọi là VCL bậc cao hơn g(x).

f ( x) = Ο( g ( x))

2) Nếu k hữu hạn, khác không, thì f(x) và g(x) là hai
VCL cùng cấp.
3) Nếu k = 1 , thì f(x) và g(x) là hai VCL tương ñương.
f ( x) ≈ g ( x)


Qui tắc ngắt bỏ VCL

Tổ ng hữ u hạ n cá c VCL
lim
x→x
Tổ ng hữ u hạ n cá c VCL
0

VCL bậ c cao nhấ t củ a tử
= lim
VCL bậ c cao nhấ t củ a mẫ u
x → x0


Ví dụ
I = lim

x →+∞

x2 + 4 + 2 x + 3 x
x2 − 4 + x

Tử là tổng của ba VCL:

x →+∞

x2 + 4 + 2 x + 3 x

Mẫu là tổng của hai VCL:
3x 3
I = lim
=
x →+∞ 2 x
2

x −4 + x
2

3x

∼

x →+∞

∼

2x


Bài tập
I) Tìm các giới hạn sau.
x −4

1) lim 2
x →2 x − x − 2
2

4
3
1
80

32 + x − 2
2) lim
x →0
x
5

cos3 x − cos7 x
3) lim
2
x →0
x
4)

lim cot 2 x ⋅ cot(π / 4 − x)

20

2

x →π / 4

(

5) lim 1 − tan 2 x
x →0

)

1/ sin 2 (2 x )

e −1/ 4