GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ

Câu 1: [1D4-1-3] (THPT Ninh Giang – Hải Dương – Lần 2 – Năm 2018) Giới hạn

lim

A.

12  22  32  42  ...  n 2
có giá trị bằng?
n 3  2n  7

2
.
3

B.

1
.
6

C. 0 .

D.

1
.
3

Lời giải
Chọn D

n  n  1 2n  1
.
6
n  n  1 2n  1

Ta có kết quả quen thuộc 12  22  32  ...  n 2 
Do đó lim

12  22  32  42  ...  n 2
 lim
n 3  2n  7
6 n 3  2n  7





1
 1 
1   2   1.2 1
n 
n
 lim 

 .
2 7
6 3

6 1  2  3 
 n n 

n 1

Câu 2: [1D4-1-3] [THTT – 477 – 2017] Giá trị của lim

n 

A. 1.

1

 1 e

x

dx bằng

n

C. e.

B. 1.

D. 0.

Lời giải
Chọn D.
n 1

Ta có: I 

1

 1 e

x

dx

n

Đặt t  1  e x  dt  e x dx . Đổi cận: Khi x  n  t  1  en ; x  n  1  t  1  e n1
1 en1

Khi đó: I 



1 en

1
dt 
t  t  1

1 en1



1 en

1 en1

1  en
 1 1
  dt   ln t  1  ln t  n  1  ln

1 e
1  en1
 t 1 t 

n

Mà

1  en
1  e n 1

1
  1
1
1
e
  n
 khi n   , Do đó, lim I  1  ln  0
n 
e
e
1

e
 
e

n cos 2n 

Câu 3: [1D4-1-3] Kết quả đúng của lim  5  2
 là:
n 1 


A. 4.

C. –4.

B. 5.
Lời giải

Chọn B

D.

1
.
4


ta có 

Với mọi n

n
n cos 2n

n
 2
 2
.
n 1
n 1
n 1
2

1
1

n
n 

 lim n  0 .
Ta có lim   2   lim n  0 ; lim 2
1
1
n

1
 n 1 
1 2
1 2
n
n
n cos 2n 
 n cos 2n 


 lim  2
  0  lim  5  2
 5.
n 1 
 n 1 

n


Câu 4: [1D4-1-3] Kết quả của lim  n2 sin
 2n3  bằng:
5


A.  .
B. 0 .
C. 2 .
Lời giải

D.  .

Chọn D
n


sin

n
 2
3

3
5  2    .
lim  n sin
 2n   lim n 

5


 n




n


sin


3
5
Vì lim n  ; lim 
 2   2  0 .
 n



n
n



sin

5  1 ; lim 1  0  lim
5  2   2 .


n
n
n
 n




sin

Câu 5: [1D4-1-3] Cho dãy số un với un   n  1
là:
A.  .

2n  2
. Chọn kết quả đúng của lim un
n  n2  1

B. 0 .

C. 1 .
Lời giải

Chọn B
Ta có: lim un  lim  n  1

 n  1  2n  2 
2

 lim

 lim

n4  n2  1

2n 3  2n 2  2n  2
n4  n2  1

2n  2
n  n2  1
4

4

D.  .


2 2 2 2
 2 3 4
 lim n n n n  0.
1 1
1 2  4
n n

1

u1  2
Câu 6: [1D4-1-3] Cho dãy số có giới hạn (un) xác định bởi : 
. Tìm kết
un 1  1 , n  1
2  un

quả đúng của lim un .

A. 0 .

C. 1 .

B. 1 .

D.

1
.
2

Lời giải
Chọn B
1
2
3
4
5

Ta có: u1  ; u2  ; u3  ; u4  ; u5  ; ...
2
3
4
5
6

Dự đoán un 

n
với n 
n 1

*

.

Dễ dàng chứng minh dự đoán trên bằng phương pháp quy nạp.
Từ đó lim un  lim

Câu 7: [1D4-1-3] lim 4
A. 0 .

n
1
 lim
 1.
1
n 1
1

n

4n  2n1
bằng:
3n  4n 2
1
B. .
2

C.
Lời giải

Chọn B
Ta có: lim 4

4n  2n1
.
3n  4n 2
n

1
1  2.  
2  1 .
 lim 4
n
2
3
2
  4
4

n

n

1
3
Vì lim    0; lim    0.
2
4

Câu 8: [1D4-1-3] Tính giới hạn: lim

1  3  5  ....   2n  1
.
3n 2  4

1
.
4

D.  .


A. 0 .

B.

1
.
3

C.

2
.
3

D. 1 .

Lời giải
Chọn B
Ta có: lim

1  3  5  ....   2n  1
n2
1
1

lim
 lim
 .
2
2
4
3n  4
3n  4
3 2 3
n

 1

1
1 
Câu 9: [1D4-1-3] Tính giới hạn: lim  
 .... 
.
n  n  1 
1.2 2.3
3
A. 0
B. 1 .
C. .
2
có giới hạn.
Lời giải
Chọn B
1
1
1

 .... 
Đặt: A 
1.2 2.3
n  n  1

D. Không

1 1 1
1
1
1

n
.
 1     ...  
 1

2 2 3
n n 1
n 1 n 1

 1
1
1 
n
1
 lim  
 .... 
 lim
1.
  lim
1
n  n  1 
n 1
1.2 2.3
1
n
 1

1
1
 .... 

Câu 10: [1D4-1-3] Tính giới hạn: lim  
.
n  2n  1 
1.3 3.5
1
2
A. 1 .
B. .
C. .
2
3
Lời giải
Chọn B
Đặt:

A

1
1
1

 .... 
1.3 3.5
n  2n  1

 2A 

2
2
2


 .... 
1.3 3.5
n  2n  1

1 1 1 1 1
1
1
 2 A  1       ...  
3 3 5 5 7
n 2n  1
1
2n
 2A  1

2n  1 2n  1
n
 A
2n  1

D. 2 .


 1

1
1
n
1
1

 .... 
 lim
 .
Nên lim  
  lim
1 2
n  2n  1 
2n  1
1.3 3.5
2
n
 1

1
1
Câu 11: [1D4-1-3] Tính giới hạn: lim  
 .... 

n  n  2 
1.3 2.4
3
A. .
B. 1 .
C. 0 .
4
Lời giải
Chọn A

D.

2
.
3

 1


1
1
1 2
2
2
Ta có: lim  
 .... 
 .... 
  lim  

n  n  2 
2 1.3 2.4
n n  2 
1.3 2.4
1 1 1 1 1 1
1
1 
 lim 1      ...  

2 3 2 4 3 5
n n2
1 1
1  3

 lim 1  
 .
2 2 n2 4

 1
1
1 
Câu 12: [1D4-1-3] Tính giới hạn: lim  
.
 ... 
n(n  3) 
1.4 2.5
11
A.
.
B. 2 .
C. 1 .
18
Lời giải
Chọn A
Cách 1:

D.

3
.
2

 1
1

1 
1  1 1 1 1 1 1 1
1
1 
lim  
 ... 
 lim  1         ...  


n(n  3) 
n n  3 
3  4 2 5 3 6 4 7
1.4 2.5
1  1 1
1
1
1 
 lim  1   



 3  2 3 n  1 n  2 n  3 


1
11
3n 2  12n  11  11
 lim 
 .
18

 3  n  1 n  2  n  3  18

Cách 2: Bấm máy tính như sau:

100

1

 x  x  3

và so đáp án (có thể thay 100 bằng số

1

nhỏ hơn hoặc lớn hơn).


1 
1 
1 
Câu 13: [1D4-1-3] Tính giới hạn: lim 1  2 1  2  ... 1  2   .
 2  3   n  


A. 1 .

B.

1
.

2

C.

1
.
4

D.

3
.
2

Lời giải
Chọn B
Cách 1:


1 
1 
1 
 1  1  1  1   1  1  
lim 1  2 1  2  ... 1  2    lim 1  1  1  1   ... 1  1   
 2  3   n  
 2  2  3  3   n  n  

1 n 1 1
 1 3 2 4 n  1 n  1
 lim .

 .
 lim  . . . ...
.

n
n 
2 n
2
2 2 3 3
Cách 2: Bấm máy tính như sau:

100



1 
và so đáp án (có thể thay 100 bằng số
2 


 1  x
2

nhỏ hơn hoặc lớn hơn).
an
 0 bằng:
n!
B.  .
Lời giải

Câu 14: [1D4-1-3] Giá trị của lim
A.  .

C. 0 .

D. 1 .

Chọn C
Gọi m là số tự nhiên thỏa: m  1  a . Khi đó với mọi n  m  1
m

a  a 
an
a a a
a
a
Ta có: 0 
 . ... .
... 
.

n ! 1 2 m m  1 n m !  m  1 
 a 
Mà lim 

 m1



n m

n m

an
 0 . Từ đó suy ra: lim  0 .
n!

Câu 15: [1D4-1-3] Giá trị của lim n a với a  0 bằng:
A.  .
B.  .
Lời giải

C. 0 .

D. 1 .

Chọn D
Nếu a  1 thì ta có đpcm
 Giả sử a  1 . Khi đó: a  1 




n



n

a  1   n





n

a 1



Suy ra: 0  n a  1 

a
 0 nên lim n a  1
n

 Với 0  a  1 thì

1
1
 1  lim n  1  lim n a  1 .
a
a

Tóm lại ta luôn có: lim n a  1 với a  0 .


Câu 16: [1D4-1-3] Giá trị của D  lim

ak nk  ...  a1n  a0

bp np  ...  b1n  b0

(Trong đó k , p là các số nguyên

dương; ak bp  0 ) bằng:
A.  .

B.  .

C. Đáp án khác.

D. 1 .

Lời giải
Chọn C
Ta xét ba trường hợp sau
k
 k  p . Chia cả tử và mẫu cho n ta có:

D  lim

ak  1
a
 ...  0k  if a b  0
k p
n
n 
.

bp


if
a
b

0
b0
k
p


 ...  k
n
np  k

ak 

ak  1
a
 ...  0k a
k
n
n  k.
 k  p . Chia cả tử và mẫu cho n ta có: D  lim
b0
bk
bk  ...  k
n
ak
a

 ...  0p
pk
p
n 0.
 k  p . Chia cả tử và mẫu cho n : D  lim n
b0
bp  ...  p
n
ak 

A.  .





Câu 17: [1D4-1-3] Giá trị của. N  lim

4n2  1  3 8n3  n bằng:

B.  .

C. 0 .

D. 1 .

Lời giải
Chọn C





4n2  1  2n  lim

1

Ta có: N  lim
Mà: lim

lim



3





4n2  1  2n  lim





8n2  n  2n  lim

3

3

8 n3  n  2 n

4n2  1  2n
n



0

(8n2  n)2  2n 3 8n2  n  4n2

0

Vậy N  0 .
Câu 18: [1D4-1-3] Giá trị của. K  lim
A.  .



3



n3  n2  1  3 4n2  n  1  5n bằng:

B.  .

C. 

Lời giải

Chọn C

5
.
12

D. 1 .


Ta có: K  lim
Mà: lim



3



3



n3  n2  1  n  3 lim



n3  n 2  1  n 

Do đó: K 

1
; lim
3



4 n2  n  1  2 n





4n2  n  1  2n 



1
4

1 3
5
  .
3 4
12
n

Câu 19: [1D4-1-3] Giá trị của. B  lim
A.  .

n!

n  2n
3

bằng:

B.  .

C. 0 .

D. 1 .

Lời giải
Chọn C
n

Ta có:
Câu

n!

n 3  2n



n

nn

n 3  2n

n



n 3  2n

0 B  0.

20:

[1D4-1-3]
Tính
giới
hạn
1
1
1
:
un 

 ... 
2 1 2 3 2 2 3
( n  1) n  n n  1

A.  .

B.  .

của

C. 0 .

dãy

D. 1 .

Lời giải
Chọn D
Ta có:

1
( k  1) k  k k  1

Suy ra un  1 

1
n1



1
k

1



k 1

 lim un  1 .

(n  1) 13  23  ...  n3
Câu 21: [1D4-1-3] Tính giới hạn của dãy số un 
:
3n3  n  2
A.  .

B.  .

C.
Lời giải

Chọn C

 n(n  1) 
Ta có: 1  2  ...  n  

 3 
3

Suy ra un 

3

2

3

n(n  1)2
1
 lim un  .
3
9
3(3n  n  2)

1
.
9

D. 1 .

số


Câu 22:

[1D4-1-3] Tính giới hạn của dãy số un  (1 
Tn 

1
1
1
)(1  )...(1  ) trong đó
T1
T2
Tn

n(n  1)
.:
2

A.  .

B.  .

C.

1
.
3

D. 1 .

Lời giải
Chọn C
Ta có: 1 

1
2
( k  1)( k  2)
 1

Tk
k( k  1)
k( k  1)

1 n2

1
Suy ra un  .
 lim un  .
3 n
3

2 3  1 3 3  1 n3  1
.
....
Câu 23: [1D4-1-3] Tính giới hạn của dãy số un  3
.:
2  1 3 3  1 n3  1
2
A.  .
B.  .
C. .
3
Lời giải

D. 1 .

Chọn C
Ta có

k3  1
( k  1)( k 2  k  1)

k 3  1 ( k  1)[( k  1)2  ( k  1)  1]

2 n2  n  1

2
 lim un  .
Suy ra  un  .
3 (n  1)n
3
2k  1
.:
2k
k 1
C. 3 .
Lời giải
n

Câu 24: [1D4-1-3] Tính giới hạn của dãy số un  
A.  .

B.  .

D. 1 .

Chọn C

1
1 1 1
1  2n  1
Ta có: un  un     2  ...  n1   n1
2
2 2 2
2  2
1

3 2n  1
 un   n1  lim un  3 .
2
2 2
Câu 25: [1D4-1-3] Tính giới hạn của dãy số un  q  2q 2  ...  nqn với q  1 .:
A.  .

q

1  q 

2

B.  .

C.

q

1  q 

2

.

D.


Lời giải
Chọn C

Ta có: un  qun  q  q2  q 3  ...  qn  nqn1
 (1  q)un  q

q
1  qn
.
 nq n1 . Suy ra lim un 
2
1 q
1

q
 
n

n
.:
k 1 n  k
C. 3.
Lời giải

Câu 26: [1D4-1-3] Tính giới hạn của dãy số un  
A.  .

B.  .

2

D. 1

Chọn D
n
n
n
1
 un  n 2
 2
 un  1  2
n n
n 1
n 1
n 1
n
 un  1  2
 0  lim un  1 .
n 1

Ta có: n

2

Câu 27: [1D4-1-3] Tính giới hạn của dãy số B  lim
A.  .

3

n6  n  1  4 n4  2n  1
.:
(2n  3)2

B.  .

C. 3 .

D.

3
.
4

Lời giải
Chọn D
2
Chia cả tử và mẫu cho n ta có được:
3

B  lim

1

1 1
2 1
 6  4 1 3  4
5
n n
n n  1 4   3 .
2
4
4


3
2


n 


Câu 28: [1D4-1-3] Tính giới hạn của dãy số D  lim
A.  .





n2  n  1  2 3 n3  n2  1  n .:
1
C.  .
6

B.  .

D. 1 .

Lời giải
Chọn C
Ta có: D  lim

Mà: lim







n2  n  1  n  2 lim



3

n3  n2  1  n



1
1
n
n2  n  1  n  lim
 lim

2
2
1 1
n n1 n
1  2 1
n n



n1

1


lim



3



n3  n2  1  n  lim
1

 lim

3

(n3  n2  1)2  n. 3 n3  n2  1  n2

1
n2



2



1 1 
1 1
 1  n 4  n6   3 1  n  n 3  1



3

Vậy D 
Câu 29:

n2  1

1 2
1
  .
2 3
6

[1D4-1-3] Cho các số thực
I  lim

1
3

thỏa

a, b

a  1; b  1 . Tìm giới hạn

1  a  a 2  ...  a n
.
1  b  b 2  ...  b n

A.  .

B.  .

C.

1 b
.
1 a

D. 1 .

Lời giải
Chọn C
Ta có 1, a, a 2 ,..., a n là một cấp số nhân với công bội là a nên:
1  a n 1
1  a  a  ...  a 
.
1 a
2

Tương tự, 1  b  b 2  ...  b n 

n

1  b n 1
.
1 b

1  a n 1
1 b
Suy ra lim I  lim 1  an 1 
. ( Vì a  1, b  1  lim a n 1  lim b n 1  0 ).
1 b
1 a
1 b

1
Câu 30: [1D4-1-3] Cho dãy số ( xn ) xác định bởi x1  , xn 1  xn2  xn ,n  1 .
2
1
1
1

 
Đặt Sn 
. Tính lim S n .
x1  1 x2  1
xn  1

A.  .

B.  .

C. 2.

Lời giải

Chọn C
Từ công thức truy hồi ta có: xn 1  xn , n  1, 2,...
Nên dãy ( xn ) là dãy số tăng.
Giả sử dãy ( xn ) là dãy bị chặn trên, khi đó sẽ tồn tại lim xn  x .
Với x là nghiệm của phương trình: x  x2  x  x  0  x1 (vô lí).
Do đó dãy ( xn ) không bị chặn, hay lim xn   .

D. 1 .


1
1
1
1

 
.
xn1 xn ( xn  1) xn xn  1

Mặt khác:
Suy ra:

1
1
1
 
.
xn  1 xn xn1

Dẫn tới: Sn 

1
1
1
1

 2
 lim Sn  2  lim
 2.
x1 xn1
xn1
xn1
n

Câu 31: [1D4-1-3] Tìm lim un biết un  
k 1

B.  .

A.  .

1
n2  k

.
C. 3.

D. 1.

Lời giải
Chọn D
Ta có:
Mà lim

1
n n
n
2

n2  n



1



n k
2

 lim

n
n2  1

1
n 1
2

, k  1, 2,..., n Suy ra

n
n n
2

 un 

n
n2  1

 1 nên suy ra lim un  1 .

n cos 2n 

Câu 32: [1D4-1-3] Kết quả đúng của lim  5  2
 là:
n 1 

A. 4.

C. –4.

B. 5.

D.

1
.

4

D.

3
.
2

Lời giải
Chọn B


n
n cos 2n
n
 2
 2
n 1
n 1
n 1
2

Ta có lim 

n
n
1
1
 lim  .
0

 0 ; lim  2
2
n 1
n 1
n 11 / n
2

n cos 2n 
 n cos 2n 

 lim  2
  0  lim  5  2
 5.
n 1 
 n 1 



1 
1 
1 
Câu 33: [1D4-1-3] Tính giới hạn: lim 1  2 1  2  ... 1  2   .
 2  3   n  
1
1
A. 1 .
B. .
C. .
2
4

Lời giải
Chọn B
Cách 1:

.



1 
1 
1 
 1  1  1  1   1  1  
lim 1  2 1  2  ... 1  2    lim 1  1  1  1   ...1  1   
 2  3   n  
 2  2  3  3   n  n  
1 n 1 1
 1 3 2 4 n  1 n  1
 lim .
 .
 lim  . . . ...
.

2 n
2
n
n 
2 2 3 3

Cách 2: Bấm máy tính như sau:

100



1
và so đáp án (có thể thay 100 bằng số
2 


 1  x
2

nhỏ hơn hoặc lớn hơn).
Câu 34: [1D4-1-3] Chọn kết quả đúng của lim 3 

n2  1 1
 .
3  n 2 2n

B. 3 .

A. 4 .

C. 2 .

D.

1
.
2

Lời giải
Chọn C
1
1 2
n2  1 1
n  1  310  2 .
lim 3 
 n  lim 3 
2
3
1
2n
3 n 2

1
2
n

BÀI 2: GIỚI HẠN HÀM SỐ.

Câu 35: [1D4-1-3] Cho dãy số  un  với un 

trong các số sau:
1
A. .
4

B.

n
u
1
và n1  . Chọn giá trị đúng của lim un
n
4
un
2

1
.
2

C. 0 .

D. 1 .

Lời giải
Chọn C
Chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học ta có n  2n , n 

n
n
1
n 1
Nên ta có: n  2  n  1  n n  n  n   
2
2 .2
2
4 2

n

n

n

n

1
1
Suy ra: 0  un    , mà lim    0  lim un  0 .
2
2
n cos 2n 

Câu 36: [1D4-1-3] Kết quả đúng của lim  5  2
 là:
n 1 


A. 4.

B. 5.

C. –4.

D.

1

.
4


Lời giải
Chọn B
ta có 

Với mọi n

n
n cos 2n
n
 2
 2
.
n 1
n 1
n 1
2

1
1

n
n 

 lim n  0 .
Ta có lim   2   lim n  0 ; lim 2
1

1
n

1
 n 1 
1 2
1 2
n
n
n cos 2n 
 n cos 2n 

 lim  2
  0  lim  5  2
 5.
n 1 
 n 1 


n


Câu 37: [1D4-1-3] Kết quả của lim  n2 sin
 2n3  bằng:
5


A.  .
B. 0 .
C. 2 .

Lời giải

D.  .

Chọn C
n


sin


n
 2
3
3
5
lim  n sin
 2n   lim n 
 2    .
5


 n



n


sin


5  2   2  0 .
Vì lim n3  ; lim 

 n




n
n


sin

5  1 ; lim 1  0  lim
5  2   2 .


n
n
n
 n




sin

Câu 38: [1D4-1-3] Cho dãy số un với un   n  1

2n  2
. Chọn kết quả đúng của
n  n2  1
4

lim un là:

A.  .

B. 0 .

C. 1 .
Lời giải

Chọn B
Ta có: lim un  lim  n  1

 n  1  2n  2
2

 lim

n4  n2  1

2n  2
n  n2  1
4

D.  .

2n 3  2n 2  2n  2
n4  n2  1
2 2 2 2
 2 3 4
 lim n n n n  0.
1 1
1 2  4
n n
 lim

Câu 39: [1D4-1-3] Cho dãy số có giới hạn  un 

1

u1  2
xác định bởi : 
. Tìm kết
un 1  1 , n  1
2  un


quả đúng của lim un .
A. 0 .

C. 1 .

B. 1 .

D.

1
.
2

Lời giải
Chọn B
1
2
3
4
5
Ta có: u1  ; u2  ; u3  ; u4  ; u5  ; ...
2
3
4
5
6

Dự đoán un 

n
với n 
n 1

*

.

Dễ dàng chứng minh dự đoán trên bằng phương pháp quy nạp.
Từ đó lim un  lim

Câu 40: [1D4-1-3] lim 4
A. 0 .

n
1
 lim
 1.
1
n 1
1
n

4n  2n1
bằng:
3n  4n 2
1
B. .
2

C.
Lời giải

Chọn B
Ta có: lim 4

4n  2n1
.

3n  4n 2
n

1
1  2.  
2  1 .
 lim 4
n
2
3
2
  4
4
n

n

1
3
Vì lim    0; lim    0.
2
4

1
.
4

D.  .

1  3  5  ....   2n  1
.
3n 2  4
1
2
B. .
C. .
3
3
Lời giải

Câu 41: [1D4-1-3] Tính giới hạn: lim
A. 0 .

D. 1 .

Chọn B

1  3  5  ....   2n  1
n2
1
1
 lim 2
 lim
 .
Ta có: lim
2
4
3n  4
3n  4

3 2 3
n

 1
1
1 
Câu 42: [1D4-1-3] Tính giới hạn: lim  
 .... 
.
1.2
2.3
n
n

1




3
A. 0
B. 1 .
C. .
2
có giới hạn.
Lời giải
Chọn B
1
1
1


 .... 
Đặt: A 
1.2 2.3
n  n  1

D. Không

1 1 1
1
1
1
n
.
 1     ...  
 1

2 2 3
n n 1
n 1 n 1

 1
1
1 
n
1
 lim  
 .... 
 lim
1.

  lim
1
n  n  1 
n 1
1.2 2.3
1
n
 1

1
1
 .... 
Câu 43: [1D4-1-3] Tính giới hạn: lim  
.
n  2n  1 
1.3 3.5
1
2
A. 1 .
B. .
C. .
2
3
Lời giải
Chọn B
Đặt:

D. 2 .

A

1
1
1

 .... 
1.3 3.5
n  2n  1

 2A 

2
2
2

 .... 
1.3 3.5
n  2n  1

1 1 1 1 1
1
1
 2 A  1       ...  
3 3 5 5 7
n 2n  1
1
2n
 2A  1


2n  1 2n  1
n
 A
2n  1
 1

1
1
n
1
1
 .... 
 lim
 .
Nên lim  
  lim
1 2
n  2n  1 
2n  1
1.3 3.5
2
n
 1

1
1
Câu 44: [1D4-1-3] Tính giới hạn: lim  
 .... 

n  n  2 

1.3 2.4
3
A. .
B. 1 .
C. 0 .
4
Lời giải
Chọn A

D.

2
.
3

 1


1
1
1 2
2
2
 .... 
 .... 
Ta có: lim  
  lim  

n  n  2 
2 1.3 2.4

n n  2 
1.3 2.4
1 1 1 1 1 1
1
1 
 lim 1      ...  

2 3 2 4 3 5
n n2
1 1
1  3
 lim 1  
 .
2 2 n2 4

 1
1
1 
Câu 45: [1D4-1-3] Tính giới hạn: lim  
.
 ... 
n(n  3) 
1.4 2.5
11
A.
.
B. 2 .
C. 1 .
18
Lời giải

Chọn A
Cách 1:

D.

 1
1
1 
1  1 1 1 1 1
1
1 
lim  
 ... 
 lim  1       ...  


n(n  3) 
n n  3 
3  4 2 5 3 6
1.4 2.5
1  1 1
1
1
1 
 lim  1   



 3  2 3 n  1 n  2 n  3 

3
.
2




 3n 2  12n  11  11
11
 lim 
 .
18
n

1
n

2
n

3





 18

Cách 2: Bấm máy tính như sau:

100

1

 x  x  3

và so đáp án (có thể thay 100 bằng số

1

nhỏ hơn hoặc lớn hơn).


1 
1 
1 
Câu 46: [1D4-1-3] Tính giới hạn: lim 1  2 1  2  ... 1  2   .
 2  3   n  
1
1
A. 1 .
B. .
C. .
2
4
Lời giải
Chọn B
Cách 1:

D.

3
.
2


1 
1 
1 
 1  1  1  1   1  1  
lim 1  2 1  2  ... 1  2    lim 1  1  1  1   ... 1  1   
 2  3   n  
 2  2  3  3   n  n  

1 n 1 1
 1 3 2 4 n  1 n  1
 lim .
 .
 lim  . . . ...
.

2 n
2
n
n 
2 2 3 3
Cách 2: Bấm máy tính như sau:

100



1 
và so đáp án (có thể thay 100 bằng số
2 


 1  x
2

nhỏ hơn hoặc lớn hơn).

Câu 47: [1D4-1-3]

(THPT Xuân Hòa-Vĩnh Phúc- Lần 1- 2018- BTN) Tính giới hạn

 1
1
1
1 
lim  

 ... 
.
n  n  1 
1.2 2.3 3.4

A. 0 .

B. 2 .

C. 1 .

D.

3
.
2

Lời giải
Chọn C
Ta có:
 1

1 1 1 1
1
1
1
1
    


 ... 
1.2 2.3 3.4
n  n  1 1 2 2 3



1
1 1

1
  
n 1 n n n 1

1
.
n 1

 1
1
1
1 
1 


 ... 
Vậy lim  
  lim 1 
 1.
n  n  1 
 n 1 
1.2 2.3 3.4


Câu 48: [1D4-1-3] [Chuyên Nguyễn Quang Diệu - Đồng Tháp - 2018 - BTN] Có bao nhiêu
giá trị nguyên của tham số a thuộc khoảng  0; 2018 để có lim
?
A. 2011

B. 2016

9n  3n1
1

n
na
5 9
2187

C. 2019

D. 2009

Lời giải
Chọn A
n

Do



n
n 1
n
n 1
9n  3n 1
n nên lim 9  3  lim 9  3

0
với

5n  9 n  a
5n  9na
5n  9na

1
1  3.  
3
 lim
n
5
a
  9
9

1
1
 a .
a
3
9

1
1
9n  3n1
1
 a 

 a  7 . Do a là số nguyên
n
na

3
2187
5 9
2187
thuộc khoảng  0; 2018 nên có a  7;8;9;...; 2017  có 2011 giá trị của a .

Theo đề bài ta có lim

(THPT Chuyên Hùng Vương-Gia Lai-2018) Cho dãy số  un  như

Câu 49: [1D4-1-3]
sau: un 
A.

n
1  n2  n4

, n  1 , 2 , ... Tính giới hạn lim  u1  u2  ...  un  .
x

1
4

B. 1

C.

1
2

D.

1
3

Lời giải
Chọn C
Ta có un 

n

1  n 

2 2

 n2



1
1
1

  2
 2
 n  n  1 n  n  1 2  n  n  1 n  n  1 
n

2

2

Ta có

1 1 1 1 1 1 1 1
1
1

u1  u2  ...  un  1         ...  2
 2

2  3 3 7 7 13 13 21
n  n 1 n  n 1 
2
1
1
 1 n n
 1  2


2  n  n  1  2 n2  n  1

1
1
1
n 1.
Suy ra lim  u1  u2  ...  un   lim
1 1
2
1  2 2

n n


Câu 50: [1D4-1-3]

(Chuyên Long An - Lần 2 - Năm 2018) Cho dãy số  xn  xác định bởi

x1  2 , xn 1  2  xn , n . Mệnh đề nào là mệnh đề đúng ?
A.  xn  là dãy số giảm.

B.  xn  là cấp số nhân.

C. lim xn   .

D. lim xn  2 .
Lời giải

Chọn B
Ta có:





 2 cos
x2  2  2  2 1  cos   2.2 cos 2
.
4.2
4
4.2


 



2
x3  2  x2  2 1  cos
 2 cos
.
  2.2 cos
4.2 2
4.2 
4.2.2

Dự đoán : xn  2 cos


4.2n 1

1 .

Ta chứng minh 1 đúng với mọi n , n  2 .
Giả sử 1 đúng với n  k ,  k  , k  2  . Tức là xk  2 cos


4.2k 1

Ta cần chứng minh 1 đúng với n  k  1 , tức là xk 1  2 cos



4.2k

.

.

Thật vậy, ta có :


 


xk 1  2  xk  2 1  cos
 2.2 cos k 1  2 cos k .
k 1 
4.2
4.2 
4.2 .2

Do vậy 1 đúng với n  , n  2 .
Khi đó, với n 

*

ta có xn  2cos


4.2n1

 2 nên lim xn  2 .

Vậy khẳng định đúng là lim xn  2 .
Câu 51: [1D4-1-3] (THPT Chuyên Thái Nguyên - Lần 2 - 2017 - 2018 - BTN) Trong các dãy

số  un  cho dưới đây, dãy số nào có giới hạn khác 1 ?
A. un 
un  n



n  n  2018

 n  2017 

2017

2018

B.

.



n 2  2020  4n 2  2017 .

2
2



C. un 
1.3 3.5



2

 2n  1 2n  3

.

Lời giải

u1  2018

D. 
.
1
u

u

1
,
n

1


 n 1 2 n

Chọn B
+ Với phương án A:

un 

n  n  2018

 n  2017 

2017

2018



n.n 2017
 1.
n 2018

+ Với phương án B:

un  n



 

n 2  2020  4n 2  2017  n



n 2  4n 2  n.  n    .

+ Với phương án C:

 1 1 1
un  1       
 3  3 5

1 
1
1
 1


 .
  1
2n  3
2
 2n  1 2n  3 

+ Với phương án D:

un 1 

1
1
 un  1  un1  1   un  1 .

2
2

v1  2017

Đặt vn  un  1 , ta có 
.
1
vn 1  2 .vn , n  1
Suy ra dãy  vn  là một cấp số nhân có số hạng đầu bằng 2017 , công bội bằng

1
vn  2017.  
2
1
Suy ra un  2017.  
2

n 1

n 1

1
nên
2

 n  1 .

 1  n  1 , do đó lim un  1 .

Chú ý:
Ở phương án D, ta có thể chứng minh un  1 với mọi n  1 và  un  là dãy giảm nên

 un  sẽ có giới hạn. Gọi lim un  a .
Khi đó từ un 1 

1
1
 un  1 , n  1 suy ra a   a  1  a  1 , do đó lim un  1 .
2
2