GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ

Câu 1: [1D4-1-4] Cho dãy ( xk ) được xác định như sau: xk 

1 2
k
  ... 
.
2! 3!
(k  1)!

n
Tìm lim un với un  n x1n  x2n  ...  x2011
.

B.  .

A.  .

C. 1 

1
.
2012!

D. 1 

1
2012!

Lời giải
Chọn C
Ta có:

k
1
1
1
 
nên xk  1 
.
(k  1)! k ! (k  1)!
(k  1)!

Suy ra xk  xk 1 

1
1

 0  xk  xk 1 .
(k  2)! (k  1)!

n
 n 2011x2011 .
Mà: x2011  n x1n  x2n  ...  x2011

Mặt khác: lim x2011  lim n 2011x2011  x2011  1 
Vậy lim un  1 

1
.
2012!

1
.
2012!

u0  2011
un3

Câu 2: [1D4-1-4] Cho dãy số (un ) được xác định bởi: 
1 . Tìm lim .
n
un 1  un  u 2
n

A.  .
B.  .
C. 3.
D. 1 .
Lời giải
Chọn C

Ta thấy un  0, n
Ta có: un31  un3  3 

3 1

(1)
un3 un6

Suy ra: un3  un31  3  un3  u03  3n (2)
3

3
Từ (1) và (2), suy ra: un 1  un  3 

Do đó: un3  u03  3n 

1
1
1
1

 un3  3   2 .
2
u  3n  u 3  3n 
3n 9n
3
0

1 n 1 1 n 1
   (3)
3 k 1 k 9 k 1 k 2

n

Lại có:

0

n
1
1

1
1
1
1

1



...


2


2
.
 n


2
1.2 2.3
(n  1)n
n
k 1 k
k 1 k

2
2n
Nên: u03  3n  un3  u03  3n  

.
9
3
Hay 3 

u03 un3
u3 2
2
.
  3 0  
n n
n 9n 3 n

n

1

k
k 1

2

 2n .


un3
Vậy lim  3 .
n

Câu 3:

[1D4-1-4] Cho a, b 

(u, v) 



, (a, b)  1; n  ab  1, ab  2,... . Kí hiệu rn là số cặp số
rn
1

.
n  n
ab
1
C.
.
ab
Lời giải

sao cho n  au  bv . Tìm lim
B.  .

A.  .

D. ab 1 .

Chọn C

 n  1

Xét phương trình 0;
(1).
n 

Gọi (u0 , v0 ) là một nghiệm nguyên dương của (1). Giả sử (u , v) là một nghiệm nguyên
dương khác (u0 , v0 ) của (1).
Ta có au0  bv0  n, au  bv  n suy ra a(u  u0 )  b(v  v0 )  0 do đó tồn tại k nguyên
dương sao cho u  u0  kb, v  v0  ka . Do v là số nguyên dương nên
v0  1
. (2)
a
Ta nhận thấy số nghiệm nguyên dương của phương trình (1) bằng số các số k nguyên
 v  1
 n u 1
dương cộng với 1. Do đó rn   0   1    0    1 .
 a 
 ab b a 
v0  ka  1  k 

n u0 1
n u0 1
   rn 
   1.
ab b a
ab b a
1 u0 1 rn
1 u0 1 1


 



 .
Từ đó suy ra:
ab nb na n ab nb na n
r
1
Từ đây áp dụng nguyên lý kẹp ta có ngay lim n 
.
n  n
ab

Từ đó ta thu được bất đẳng thức sau:

Câu 4: [1D4-1-4] (Toán Học Tuổi Trẻ - Lần 6 – 2018) Cho dãy số  un  xác định bởi u1  0 và
un 1  un  4n  3 , n  1 . Biết

lim

un  u4 n  u42 n  ...  u42018 n
un  u2 n  u22 n  ...  u22018 n



a 2019  b
c

với a , b , c là các số nguyên dương và b  2019 . Tính giá trị S  a  b  c .
A. S  1 .
Chọn B

Ta có

B. S  0 .

C. S  2017 .
Lời giải

D. S  2018 .


u2  u1  4.1  3
u3  u2  4.2  3
...
un  un 1  4.  n  1  3
Cộng vế theo vế và rút gọn ta được

un  u1  4. 1  2  ...  n  1  3  n  1  4

n  n  1
 3  n  1  2n 2  n  3 , với mọi n  1.
2

Suy ra
u2 n  2  2 n   2 n  3
2

u 22 n  2  2 2 n   2 2 n  3
2

...

u22018 n  2  22018 n   22018 n  3
2

và
u4 n  2  4 n   4 n  3
2

u 42 n  2  4 2 n   4 2 n  3
2

...
u42018 n  2  42018 n   42018 n  3
2

Do đó lim

un  u4 n  u42 n  ...  u42018 n
un  u2 n  u22 n  ...  u22018 n

1 3
4 3
42018 3
2
2018 2
2   2  2.4   2  ...  2  4  
 2
n n
n n
n
n

 lim
2018
2
1 3
2 3
2
3
2   2  2.22   2  ...  2  22018  
 2
n n
n n
n
n

2 1  4  4  ...  4
2



2 1  2  2  ...  2

Vì 2

2

2019

2018
2018




1  42019
1
2019
2019
4  1 4 1  2 1 .
 1 2019
1 2
3 2 2019  1
3
1 2

a  2

 2019 cho nên sự xác định ở trên là duy nhất nên b  1
c  3


Vậy S  a  b  c  0 .


Câu 5: [1D4-1-4] (THTT - Số 484 - Tháng 10 - 2017 - BTN) Đặt f  n    n2  n  1  1.
2

Xét dãy số  un  sao cho un 
A. lim n un  2.

f 1 . f  3 . f  5 ... f  2n  1

. Tính lim n un .
f  2  . f  4  . f  6  ... f  2n 

B. lim n un 

1
.
3

C. lim n un  3.

D.

1
.
2

lim n un 

Lời giải
Chọn D.
4n 2  2n  1  1

f  2n  1
 g n 
Xét g  n  
.
2
f  2n 
 4n2  2n  1  1

2

 4n
g n 
 4n

 1  4n  4n 2  1   4n 2  1
2

4n 2  1  4n  1  2n  1  1
 2

2
2
2
 1  4n  4n 2  1   4n 2  1 4n  1  4n  1  2n  1  1
2

2

2 10 26  2n  3  1  2n  1  1
2
 un  . . ....
.

2
2
10 26 50  2n  1  1  2n  1  1  2n  12  1
2

 lim n un  lim

2n 2
1

.
2
4n  4n  2
2

2