ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ

ax 2  x  3
có một
4 x 2  bx  1
a
đường tiệm cận ngang là y  c và chỉ có một đường tiệm cận đứng. Tính
biết
bc
rằng a là số thực dương và ab  4 ?

Câu 1: [2D1-4-4] [THPT LƯƠNG TÀI 2-2017] Đồ thị của hàm số y 

A.

a
1.
bc

B.

a 1
 .
bc 4

C.

a
 4.
bc

D.

a
 2.
bc

Hướng dẫn giải
Chọn A
Do đồ thị của hàm số y 
c

ax 2  x  3
có một đường tiệm cận ngang là y  c nên
4 x 2  bx  1

a
a 4

 và chỉ có một đường tiệm cận đứng nên:
4
bc b

Th1: 4 x 2  bx  1  0 có nghiệm kép  b  4  b  4(a  0, ab  4) thay vào hàm số
thõa mãn nên

a
1.
bc

Th2: 4 x 2  bx  1  0 và ax 2  x  3  0 có nghiệm chung. Thay

a

lần lượt bằng
bc

1
; 2; 4 ta thấy không thõa mãn.
4

Câu 2: [2D1-4-4] (CHUYÊN ĐH VINH – L4 - 2017) Tìm tất cả các giá trị của tham số a
để đồ thị hàm số y 

x  x2  1
ax 2  2

có tiệm cận ngang.

B. a  0 .

A. a  0 .

C. a  1 hoặc a  4 .

D. a  0 .

Lời giải
Chọn A
Điều kiện: ax 2  2  0
+ TH1: a  0 . Ta có: y 

lim y  lim

x 

x 





1
x  x2  1
2





1
1
1
x  x 2  1  lim
 0 nên đồ thị hàm số có TCN:
x 
2
2 x  x2  1

y0

+ TH2: a  0 . Suy ra: ax 2  2  0 với mọi x  . Do đó: TXĐ: D 

Ta có lim y  lim
x 

x 

x  x 1
2

ax 2  2

1
x 2  0 nên đồ thị hàm số có TCN:
2
a 2
x

1 1
 lim

x 

y0


2
2
2
2
 x   . Do đó: TXĐ: D     ;   nên
a

a
a
a

đồ thị hàm số không có TCN.
+ TH3: a  0 . Suy ra:  

Vậy a  0 .
Câu 3: [2D1-4-4] (THPT Chuyên Võ Nguyên Giáp) Biết các đường thẳng chứa các đường

6x  1  x2  2
và trục tung cắt nhau tạo thành
x 5
một đa giác  H  . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
tiệm cận của đường cong  C  : y 

A.  H  là một hình vuông có diện tích bằng 25 .
B.  H  là một hình chữ nhật có diện tích bằng 8 .
C.  H  là một hình vuông có diện tích bằng 4 .
D.  H  là một hình chữ nhật có diện tích bằng 10 .
Lời giải
Chọn D
12 3 

x 2  35   
6x 1 x  2
35 x  12 x  3
x x

lim

 lim
 lim
x 
x 
x 5
 x  5 6 x  1  x 2  2 x x 2 1  5   6  1  1  2 


x
x2 
 x 
12 3
35  
35
x x
 lim

5
x 
1
2  7
 5 
1    6   1  2 
x
x 
 x 
2

2





12 3 

x 2  35   
6x 1  x  2
35 x  12 x  3
x x

lim
 lim
 lim
x 
x 
x 5
 x  5 6 x  1  x 2  2 x x 2 1  5   6  1  1  2 


x
x2 
 x 
2

2





12 3

x
x
 lim
7
x 
1
2 
 5 
1    6   1  2 
x
x 
 x 
Đường cong có hai tiệm cận ngang là: y  5 ; y = 7
35 


6x  1  x2  2
6x  1  x2  2
  ; lim
  nên đường cong có tiệm cận
x 5
x 5
x 5
x 5
đứng là
lim

x  5 .  H  là một hình chữ nhật có chiều dài là 5 và chiều rộng là 2 nên diện tích
bằng 10 .
Câu 4: [2D1-4-4] (Cụm Liên Trường - Nghệ An - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho hàm số
bậc ba f  x   ax3  bx 2  cx  d có đồ thị như hình vẽ bên. Hỏi đồ thị hàm số

 x  3x  2  2 x  1
g  x 
 x  5x  4 . f  x 
2

4

2

A. 4.

có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?

B. 3.

C. 2.

D. 6.

Lời giải
Chọn C
Quan sát đồ thị hàm số f  x  ta thấy đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành
độ x0   0;1 , có hệ số a  0 và tiếp xúc với trục hoành tại điểm có hoành độ bằng
2. Từ đó suy ra f  x   a  x  x0  x  2  .
2

 x  3x  2  2 x  1 
x
Suy ra g  x  
 x  5x  4 . f  x   x  5x
2

4

2

4

2
2

 3x  2  2 x  1

 4  .a  x  x0  x  2 

2

xác định trên

2x 1
 1

.
D    ;   \  x0 ,1, 2 và g  x  
2

a  x  1 x  2  x  2   x  x0 
 2


Ta có lim/ g  x   , lim/ g  x    và lim g ( x) hữu hạn nên hàm số có 2 tiệm
x  x0

x 2

cận đứng là x  x0 và x  2 .

x 1