50 đề + GIẢI TOÁN 8 HKII XIU HAY

ĐỀ SỐ 1
Bài 1: (3 điểm)
Giải các phương trình sau:

a)

c)

2(x − 3) = 6(x + 1)

.

x + 3 4x2
x− 3
+
=
x − 3 9 − x2 x + 3

3
1
x − 1 = x(3x − 7)
7
7

b)

.

2x − 4 + 4 = 2x

.

d)

.

Bài 2: (1,5 điểm)
a) Giải bất phương trình sau và biểu diễn tập nghiệm trên trục số :
x −1 x − 2
x−3
−
≥ x−
2
3
4

.
b) Cho x, y thỏa mãn : 8x + 9y = 48. Tìm giá trị lớn nhất của tích P = xy.
Bài 3: (2 điểm) Giải toán bằng cách lập phương trình:
Một khu vườn hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng 3m. Nếu tăng chiều dài
thêm 3m và
giảm chiều rộng 4m thì diện tích giảm 36m2 so với diện tích ban đầu của khu vườn.
Tính kích thước ban đầu của khu vườn.
Bài 4: (3,5 điểm)
Cho tam giác nhọn ABC, các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H.
a) Chứng minh rằng :

∆

ABE ∽

∆

∆

ACF. Từ đó suy ra AF. AB = AE. AC

∆

b) Chứng minh rằng : AEF ∽ ABC.
c) Vẽ DM vuông góc AC tại M. Gọi K là giao điểm của CH và DM .
Chứng minh rằng

CD CM
=
BD EM

và

BH DK
=
EH MK

d) Chứng minh rằng AH. AD + CH. CF =

CD 4
CM 2

.

Hướng dẫn

Bài
Bài 1 :
(3đ)a)
0,75đ
b)
0,75đ

Lược giải
2(x − 3) = 6(x + 1) ⇔

2x – 6 = 6x + 6

⇔

x = – 3. Vậy PT có nghiệm x = – 3

3
1
3
3
3
x − 1 = x(3x − 7)
x − 1 = x( x − 1) ⇔ ( x − 1)(x − 1) = 0
⇔ 7
7
7
7
7

⇔

c) 1đ

7
3

x=

hoặc x = 1.Vậy PT có nghiệm x =
2

2

2

7
3

x + 3 4x
x−3
(x + 3) − 4x − (x − 3)
+
=
=0
2
x − 3 9− x
x+ 3 ⇔
(x − 3)(x + 3)
2

; x = 1.

2

2

2

(x + 3) − 4x − (x − 3)

(1). (ĐKXĐ : x

⇔

≠ ±3

)

⇔

PT (1) trở thành :
= 0 4x(3 – x) = 0 x = 3; x = 0
So với ĐKXĐ giá trị x = 0 thỏa mãn. Vậy PT đã cho có nghiệm x = 0
d) 0,5đ
PT đã cho tương đương:

2x − 4 = 2x − 4 ⇔ 2x − 4 ≥ 0 ⇔ ≥

x 2.

≥

Vậy PT có nghiệm x 2 .
Bài 2 :
(1,5đ)
a)
1,25đ

x −1 x − 2
x −3
6x − 6 4x − 8 12x 3x − 9
−
≥x−
−
≥
−
2
3
4 ⇔ 12
12
12
12 ⇔ ≤ −1

x

{ x∈ R / x ≤ −1}

Vậy tập nghiệm BPT là S=
.

(HS biểu diễn tập nghiệm trên trục số đúng cho 0,25đ)
b)
0,25đ

Ta có : P = xy =

1
1
482
2
(8x + 9y) 2 − (8x − 9y) 2  ≤
.(8x
+
9y)
=
=8
 288
288 
288

⇔

Bài 3 :
(2đ)

8
3

⇔

Dấu “=’ xảy ra 8x = 9y x = 3; y = . Vậy GTLN của P = 8
Gọi chiều rộng của khu vườn là x (m) (ĐK : x > 4), chiều dài khu vườn là: x +
3 (m)
Chiều rộng khu vườn lúc sau là: x – 4(m), chiều dài khu vườn lúc sau là: x +
6(m)
Do diện tích khu vườn lúc sau giảm 36m2, nên ta có phương trình:
⇔

⇔

x(x + 3) – (x – 4)( x + 6) = 36 x2 + 3x – x2 – 2x + 24 = 36 x = 12
So với ĐK x = 12 thoả mãn. Vậy chiều rộng khu vườn là 12(m), chiều dài khu
vườn 15(m)
Bài 4 :
(3,5đ)
a) 1đ
b) 1đ
c) 1đ

AB

Ta có :
Ta có :
⊥

∆

∆

∆

ABE ∽ ACF(gg)

⇒ AC

d) 0,5đ

Xét
Xét

∆

∆

AF. AB

= AE. AC

AEF ∽ ABC(cgc)
⊥

⇒

DM // BE
CD

∆

AE
AF ⇒

∆

DM AC, BE AC
Xét

=

BEC có DM // BE
BCH có DK // BH
CHE có KM // HE

⇒ BD

=

CM
EM

DK CK
=
⇒ BH CH
MK CK
=
⇒ EH CH

(định lý Talét)
.
. Do đó :

MK DK
BH DK
=
=
EH BH ⇒ EH MK


AE

∆

∆

AEH ∽ ADC(gg)
AC .CE

⇒ AD

=

AH
AC ⇒

AH. AD = AC. AE. Tương tự: CH. CF =

Do đó: AH. AD + CH. CF = AC.(AE + CE) = AC2 =
(Vì

∆

∆

CDM ∽ CAD(gg)

CD4
CM 2

CD CM
CD 2
CD 4
=
⇒ AC =
⇒ AC2 =
⇒ AC CD
CM
CM 2

)


ĐỀ SỐ 2
Câu 1: (3,0 điểm)
Giải các phương trình sau đây:

a/ 2x + 3 = 8 + x

b/

2x +1 x +1
+

=2
3
2
x
x
36
=
+ 2
x −3 x +3 x −9

( x + 5)(4 x + 1) + x − 25=0
2

c/
d/
Câu 2: (1,5 điểm)
Giải các bất phương trình sau và biểu diễn tập nghiệm trên trục số:

x( x + 3) − x ≤ 2( x + 2)
2

a/

b/

x −1 x − 3 x − 5 5
+
>
+
2

4
3
6

Câu 3: (1,5 điểm)
Một ôtô đi từ A đến B với vận tốc 50km/h và đi từ B về A với vận tốc
nhỏ hơn lúc đi là 10 km/h. Tính độ dài quãng đường AB. Biết thời gian cả
đi và về mất 9 giờ.
Câu 4: (3,5 điểm)
Cho ∆ABC (AB < AC) có ba góc nhọn. Các đường cao AD, BE, CF của
∆ABC cắt nhau tại H.
a/ Chứng minh: ∆AEB ~ ∆ AFC và AF.AB = AE.AC .
^AFE = ACB
^
b/ Chứng minh: ∆AEF ~ ∆ ABC và
c/ Gọi K là giao điểm của đường thẳng EF và BC. O là trung điểm của BC.

KO 2 −
Chứng minh: KF.KE
^ = KB.KC và KF.KE =

BKF

d/ Tia phân giác
Chứng minh : MN

Câu 5: (0.5 điểm)

cắt AB tại N và tia phân giác
⊥

AB.
12 x + 5
2x2 + 7
Cho: M =

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức M.
HƯỚNG DẪN
Câu 1: Giải các phương trình sau:
⇔
⇔
a/ 2x + 3 = 8 + x
2x– x = 8 – 3
x=5

b/
⇔

2x +1 x +1
+
=2
⇔
3
2

2(2x – 1) + 3(x – 1) = 2.6
⇔
⇔
4x + 2 + 3x + 3 = 12
7x = 7 x = 1

BC 2
4

·
BAC

cắt BC tại M .


c / ( x + 5)(4 x + 1) + x 2 -25=0 ⇔ ( x + 5)(4 x + 1) + ( x + 5)( x − 5)=0
⇔ ( x + 5)(5 x − 4)=0 ⇔

d/

−

x = 5 hay x =

x
x
36
=
+ 2
x−3 x+3 x −9

4
5

( Đk : x  ≠ ±3)

2
2
⇔ x( x + 3) = x( x − 3) + 36 ⇔ x + 3 x = x − 3 x + 36 ⇔

x( x + 3) − x 2 ≤ 2( x + 2)
Câu 2: a/

<=>

x 2 + 3x − x 2 ≤ 2 x + 4

6x = 36 <=> x = 6 ( nhận )
<=>

{ x x ≤ 4}
Tập nghiệm : S =
]
0

b/

4

x −1 x − 3 x − 5 5
+
>
+
2
4

3
6 ⇔

6(x – 1) + 3(x – 3) > 4(x – 5) + 5.2
⇔
⇔
⇔
6x – 6 + 3x – 9 > 4x – 20 + 10
5x > 5
x >1

{

S = x x > 1}
Tập nghiệm :

0

1

Câu 3: + Gọi x là quãng đường AB (x>0)

+ Thời gian đi từ A đến B:

x
( h)
50

+ Vận tốc lúc về: 5 – 10 = 40km/h

x
( h)
40
+ Thời gian đi từ B đến A:

x≤4


Theo đề bài ta có phương trình:

x
x
+
= 9 <=>  4 x + 5 x = 9.200 <=> 9 x = 9.200 <=> x = 200
50 40
Vậy chiều dài quãng đường AB là 200 km
Câu 4:a/ Xét ∆ vuông AEB và ∆ vuông AFC có:
⇒
∆AEB ~ ∆ AFC (góc – góc )
AE AB
=
⇒ AF AC
=> AF.AB = AE.AC

·
BAC

chung

b/ Ta có: AF.AB = AE.AC

AE AF
=
·
·
EAF
= BAC
⇒ AB AC
và

⇒

·
·
AFE=ACB

∆AEF ~ ∆ ABC ( c – g – c ) =>

.

·
KFB
= ·AFE

c/ Ta có:
( đối đỉnh)
∆KFB và ∆ KEC có:
+

µ
K

chung
·
·
KFB
= KCE
( = ·AFE )

+

⇒

∆KFB ~ ∆ KEC

KF KB
=
=> KF .KE = KB.KC    (1)
⇒ KC KE

Mà KB.KC = (KO – OB) . (KO + OC)

BC
2
Vì OB = OC =

=> KB.KC =

BC
BC
( KO −

)( KO +
)
2
2

BC 2
KF .KE = KO −
4
2

Từ (1) và (2) có:

·
BKF

d/ ∆BKF có: KN là phân giác
KB BE
KB KE
=
=
KF CF
KF KC
+
(vì

nên

(cmt) và

NB KB

=
NF KF

·
·
BKE
= FKC

BC2
KO −
   (2)
4
2

=


=> ∆KBE ~ ∆KFC ( c – g – c ))
BE AB
=
CF AC
+
(∆AEB ~ ∆AFC (cmt) )
AB MB
=
AC MC
+
(AM là phân giác góc BAC của ∆ ABC)
NB MB
=

NF MC
⊥
⊥
=>
=> MN // => MN AB. ( do CF AB )

      (2 x − 3) 2 ≥   0     ∀x
Câu 5:Ta có:

⇔ 4 x 2 − 12 x + 9 ≥ 0
⇔ 4 x 2 + 9 + 5 ≥ 12 x + 5
⇔ 2(2 x 2 + 7) ≥ 12 x + 5
12 x + 5
=M
2 x2 + 7
⇔ 2 M    
⇔2≥

Vậy Mmax = 2


ĐỀ SỐ 3
Bài 1. (3,0 điểm) Giải các phương trình sau:
2x − 6 = x + 1
a)
b)

3x + 1 2 + x
−
=5

8
6

2x + 1 = 3x − 6

c)
x + 2 x − 2 x 2 + 5x + 2
+
=
x−2 x+2
x2 − 4

d)
Bài 2. (1,5 điểm) Giải bất phương trình và biểu diễn tập nghiệm trên trục số:
a)

( x − 3) ( x + 5) < x 2 − 12
3x − 1 2x − 3 4x − 1
−
≥
3
4
6

b)
Bài 3. (1,5 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình:
Theo kế hoạch, một tổ sản xuất dự định phải làm được 50 sản phẩm mỗi ngày.
Khi thực hiện, mỗi ngày tổ đã làm được 57 sản phẩm. Do đó, tổ đã làm vượt kế hoạch
được 13 sản phẩm đồng thời sớm được 1 ngày so với dự định. Hỏi số ngày theo dự
định của tổ này là bao nhiêu?

Bài 4. (0,5 điểm)
Một cửa hàng nhập vào một sản phẩm với giá vốn là 500 000 đồng và bán ra
với giá là 750 000 đồng. Nhân kỷ niệm 42 năm thống nhất đất nước và ngày Quốc tế
Lao động 01/5, cửa hàng quyết định bán giảm giá sản phẩm trên với lợi nhuận chỉ còn
20%. Hỏi cửa hàng đã giảm bao nhiêu tiền cho sản phẩm trên so với giá trước khi
giảm? (Lợi nhuận là số tiền bán ra trừ đi số tiền vốn).
Bài 5. (3,5 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A, AB < AC, và có đường cao AH (H thuộc BC).
a) Chứng minh ∆ ABH và ∆ CBA đồng dạng; ∆ BAH và ∆ ACH đồng dạng.
b) Đường phân giác của góc ABC cắt AC tại K và cắt AH tại M.
Chứng minh BA.BM = BH.BK và BA.BK = BC.BM.
BA BC
=
DH DC

c) Vẽ KD vuông góc với BC tại D. Chứng minh
.
d) Gọi T là điểm đối xứng với H qua M và V là điểm đối xứng với D qua K.
Chứng minh ba điểm B, T, V thẳng hàng.
HƯỚNG DẪN


BÀI

NỘI DUNG
2x − 6 = x + 1 ⇔ 2x − x = 1 + 6 ⇔ x = 7

1
Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {7}
(3,0đ)

3x + 1 2 + x
9x + 3 8 + 4x 120
−
=5 ⇔
−
=
8
6
24
24
24

⇔ x = 25

(0,25)

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {25}
2x + 1 = 3x − 6

x ≥ 2

 x = 7 hay x = 1

3x − 6 ≥ 0
⇔
2x + 1 = 3x − 6 hay 2x + 1 = 6− 3x

⇔
Vậy tập nghiệm của phương trình là S={7}.
x ≠ 2

x + 2 x − 2 x 2 + 5x + 2

+
=
 x ≠ −2
x−2 x+2
x2 − 4
ĐKXĐ :

( x + 2)

2

⇔ x=7

+ ( x − 2 ) = x 2 + 5x + 2 ⇔ ... ⇔ x 2 − 5x + 6 = 0
2

⇔ (x − 2)(x − 3) = 0 ⇔ x = 2

(loại) hoặc x = 3 (nhận)
Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {3}.
2
(1,5đ)

( x − 3) ( x + 5) < x 2 − 12

⇔ x + 5x − 3x − 15 < x − 12

3x − 1 2x − 3 4x − 1

−
≥
3
4
6

2

⇔

2

⇔x<

3
2

12x – 4 – 6x + 9 ≥ 8x – 2 ⇔ x ≤

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là
Biểu diễn đúng

7
2

7

x / x ≤ 
2


Gọi số ngày dự định của tổ là x (ngày) (x nguyên dương).
Số ngày của tổ khi thực hiện là: (x – 1) (ngày)
3
Số sản phầm dự định làm theo kế hoạch là: 50x (sản phẩm)
(1,5đ) Số sản phẩm làm được khi thực hiện là: 57(x – 1) (sản phẩm)
Vì số sản phẩm làm được khi thực hiện vượt số dự định là 13 sản phẩm nên ta
có phương trình:
57(x – 1) – 50x = 13
⇔ 57x – 57 – 50 x = 13
⇔ 7x = 70

4
(0,5đ)

⇔ x = 10 (thỏa ĐK)
Vậy số ngày theo dự định của tổ này là 10 ngày.
Số tiền cửa hàng đã giảm : 750 000 – 600 000 = 150 000 (đồng)


a) Chứng minh ∆ ABH và ∆ CBA đồng dạng; ∆ BAH và ∆ ACH đồng dạng.
Chứng minh được:
∆ ABH đồng dạng với ∆ CBA

5
∆ ABH đồng dạng với ∆ CAH
(3,5đ)

b) Chứng minh BA.BM = BH.BK và BA.BK = BC.BM.
Chứng minh được:

∆ BAK đồng dạng với ∆ BHM ;
BA.BM = BH.BK
∆ BAM đồng dạng với ∆ BCK
BA BC
=
DH DC

c) Chứng minh
Chứng minh được:
BA KA
=
BC KC

;

;

BA.BK = BC.BM

.

KA DH
=
KC DC

;

BA BC
=
DH DC

d) Chứng minh ba điểm B, T, V thẳng hàng.
Chứng minh được:
HM DK
=
HB DB

;
B, T, V thẳng hàng

HT DV
=
HB DB


ĐỀ SỐ 4
Bài 1: (3 điểm) Giải các phương trình sau:
a)2( 3x − 1) = x + 8

(

)

b) 4x2 − 9 = ( 2x + 3) ( 5− x)
4
x
3x2 + 4
c)
+
=

x − 2 x + 1 ( x − 2) ( x + 1)
d) 3x − 2 = x + 2

Bài 2: (2 điểm) Giải bất phương trình sau và biểu diễn tập nghiệm trên trục số:
a)x2 + 3x + 6 < ( x − 3) − 12
2

b)

2x − 3
5x − 4 29x − 4
− 2x ≤
−
3
4
12

Bài 3:(1điểm) Bạn An mua 14 quyển tập gồm loại 1 và loại 2. Biết rằng giá của một quyển
tập loại 1 là 10000 đồng, giá của một quyển tập loại 2 là 4000 đồng và bạn An đã trả số tiền
là 104000 đồng. Tính số quyển tập loại 1 và loại 2 An đã mua?
Bài 4:(0,5 điểm) Chứng minh A = 4a2 – 12a + 11 luôn có giá trị dương với mọi giá trị của a
∆ABC
Bài 5: (3,5 đ) Cho
nhọn (AB < AC) có ba đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H.
∆AEB : ∆AFC
a/ Chứng minh:
∆AEF : ∆ABC
b/ Chứng minh: AE.AC = AF.AB và
.
EN ⊥ BC

EK ⊥ AB
c/ Từ E vẽ
tại K và
tại N.
·
·
KNE
= ECF 
Chứng minh: EK.EC = EF.EN và
d/ Chứng minh: KN.AC = FC.AD
HƯỚNG DẪN
Bài 1: (3 điểm) Giải các phương trình sau:
⇔
⇔
⇔
a/ 2(3x – 1) = x + 8
6x - 2 = x + 8
5x = 10
x = 2Vậy S = {2}
⇔
b/ (4x2 – 9) = (2x + 3)(5 – x)
(2x - 3)(2x + 3) - (2x + 3)(5 - x) = 0
⇔
⇔
(2x + 3)(2x - 3 - 5 + x) = 0 (2x + 3)(3x - 8) = 0
3
8
3 8
⇔
⇔

2
3
2 3
2x + 3 = 0 hoặc 3x - 8 = 0
x = - hoặc x = Vậy S = {- ; }


c/

4
x
3x 2 + 4
+
=
x − 2 x + 1 ( x − 2 ) ( x + 1)

(ĐKXĐ: x

≠

2; x

≠

- 1)

4 ( x + 1)
x ( x − 2)
3x 2 + 4
+

=
⇔ ( x − 2 ) ( x + 1) ( x − 2 ) ( x + 1) ( x − 2 ) ( x + 1)
⇒

4x + 4 + x2 - 2x = 3x2 + 4
Vậy S = {0; 1}

⇔

2x - 2x2 = 0

x + 2 ≥ 0

 3 x − 2 = x + 2

3x − 2 = x + 2 ⇔ 
 3 x − 2 = − x − 2 ⇔

⇔

2x(1 - x) = 0

 x ≥ −2

2 x = 4
4 x = 0

⇔

⇔

x = 0 hoặc x = 1 (nhận)

 x ≥ −2

n)
  x = 2 ( nhaä

 x = 0 ( loaïi )


d/
Vậy: S = {2}
Bài 2: (2 đ) Giải bất phương trình sau và biểu diễn tập nghiệm trên trục số:
x 2 + 3 x + 6 < ( x − 3) − 12 ⇔
2

a/
⇔

b/

x2 + 3x + 6 < x2 - 6x + 9 - 12

x < – 1Vậy S ={x/ x < – 1} -1

9x < – 9

0

2x − 3
5 x − 4 29 x − 4
− 2x ≤
−
3
4
12

4(2 x − 3) 24 x 3(5 x − 4) 29 x − 4
−
≤
−
⇔
12
12
12
12 ⇔

⇔

⇔

– 2x

≤

4

⇔

x

≥

– 2Vậy S ={x/ x
-2

≥

8x – 12 – 24x

≤

15x – 12 – 29x + 4

– 2}
0

Bài 3: (1 đ)
Gọi số quyển tập loại 1 là x (0 < x < 14 và x  N*)
Số quyển tập loại 2 là: 14 – x
Số tiền mua tập loại 1 là : 10000x (đồng)
Số tiền mua tập loại 2 là : 4000(14 – x) (đồng)
Theo đề bài ta có phương trình:10000x + 4000(14 – x) = 104000
⇔
⇔
⇔
10x + 4(14 – x) = 104
6x = 48
x = 8 (nhận)

Vậy số quyển tập loại 1 là: 8 quyển
số quyển tập loại 2 là : 14 – 8 = 6 quyển
Bài 4: (0,5 đ) Ta có:A = 4a2 - 12a + 11
A = (2a)2 - 2.2a.3 + 9 + 2
≥
≥
A = (2a - 3)2 + 2 2 > 0 với mọi a (vì (2a - 3)2 0)
Vậy A > 0 với mọi a
∆
∆
Bài 5: (3,5đ): a/ Chứng minh AEB ∽ AFC


∆
∆
Xét AEB và AFC, có:
·AEB = ·AFC = 900
(do BE, CF là đường cao của ∆ABC)
·
BAC
F
chung
⇒
∆AEB ∽ ∆AFC (g – g)

A
K
E

H

b/ Chứng minh: AE.AC = AF.AB và ∆AEF ∽ ∆ABC.
Vì ∆AEB ∽ ∆AFC (cmt)

B

AE AB
=
⇒ AF AC ⇒

D

N

AE.AC = AF.AB
 AE AB
=

 AF AC
 BAC
·
chung ⇒

Xét ∆AEF và ∆ABC có:
∆AEF ∽ ∆ABC (cgc)
·
·
KNE
= ECF
c/ Chứng minh: EK.EC = EF.EN và

·
·
EKF
= ENC
= 900
Xét ∆KFE và ∆NCE có:
(do EK  AB và EN  BC)
·
·
KFE
= ECN
(do ∆AEF ∽ ∆ABC)
·
·
 KEF
= NEC

 KE EF
=

⇒
⇒  EN EC
⇒
∆KFE ∽ ∆NCE (gg)
EK.EC = EF.EN
·
·
·
·
·

·
·
·
⇒ KEF
⇒ KEN
KEF
= NEC
+ FEN
= NEC
+ FEN
= FEC
Ta có :
·
·
 KEN
= FEC

 KE EF
=
( cmt )

·
·
 EN EC
⇒
⇒ KNE
= ECF
Xét ∆KEN và ∆FEC có:
∆KEN ∽ ∆FEC (cgc)
d/ Chứng minh: KN.AC = FC.AD

KN KE
=
⇒ FC EF
Ta có: ∆KEN ∽ ∆FEC (cmt)
(1)

Mà

KE EN
=
EF EC

(do ∆KFE ∽ ∆NCE) (2)
∈

∈

Xét ∆ADC có: E AC, N BC
EN // AD (cùng vuông góc BC)

C


EN CE
=
⇒ AD AC

EN AD
=
⇒ EC AC

(hệ quả của định lý Thales)
KN AD
=
⇒ FC AC ⇒
Từ (1) (2) (3)
KN.AC = FC.AD

(3)


ĐỀ SỐ 5
Bài 1 Giải các phương trình sau:
a)

45 − 2x 105 − 7 x
=
3
7

;

x+2
2
2( x + 4)
−
= 2
x−2 x+2
x −4

.

b)

Bài 2: Giải các bất phương trình sau và biểu diễn tập nghiệm trên trục số:
4

7( 2 x − 5) > −3 − 5 x 
3


a)

;

( 2 x − 1) 2 ≤ 2 x 2 x − 1 


b)
c)

2

x2 + 4x ≥ 4x − 1 + x2

;
.

Bài 3: Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình:
Mẹ An gửi tiết kiệm tại một ngân hàng x đồng với lãi suất 0,65% mỗi tháng và lãi

tháng này được tính gộp vào vốn cho tháng sau. Sau hai tháng Mẹ An nhận số tiền lãi là 654
225 đồng. Hỏi số tiền x lúc đầu mà mẹ An gửi là bao nhiêu?
Bài 4:t bể chứa nước hình hộp chữ nhật có các kích thước là 1m; 2m; 1,5m. Em hãy vẽ hình
và tính xem bể đó chứa được nhiều nhất bao nhiêu lít nước.
Bài 5: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC), vẽ hai đường cao AD, BE cắt nhau tại
H.
∆

∆

a) Chứng minh ACD và BCE đồng dạng suy ra CE.CA = CD.CB.
b) Gọi M , N lần lượt là trung điểm của BC và AC, các đường trung trực của BC và AC cắt
nhau tại O. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC.
Chứng minh:

∆

MON

∆

AHB và

∆

AHG

∆

MOG.

Hướng dẫn
Bài 3 (1,5 điểm): Số tiền lãi tháng thứ nhất là

Số tiền lãi tháng thứ hai là

Ta có phương trình:

0,65
⋅x
100

0,65
⋅x
100

( dồng)

0,65 
0,65  0,65  0,65 
x =
+ 1 x
x+

100 
100  100  100


+

0,65  0,65 
+ 1 x = 654225

100  100


(đồng)


Giải phương trình x = 50 161 973,59
Vậy số tiền gửi xấp xĩ 50 162 000 đồng (hoặc 50 161 973,59)
Bài 4: (mặt trước đúng hình hình chữ nhật, có đường khuất)
* Thể tích hình hộp chữ nhật V = 3 (m3) = 3000 (lít nước
Bài 5 (2,5 điểm):

A

E
N
H

O

G

D

B

a/ * Chứng minh được

∆

ACD

AC CD
=
BC CE

b/ *

* Suy ra
·
·
OMN
=BAH

C

M

(do phụ

∆

BCE (góc – góc

nên kết luận
·
·

NMC
= ABD

so le trong vì MN//AB do MN là đường

∆

trung bình của ABC)
·
·
ONM
= ABH

(tương tự)

∆

∆

Suy ra MON
AHB (góc – góc)
·
·
HAG
= OMG
*
(so le trong vì OM//AD)
AH
AB
AG

=
=
=2
OM MN MG

Suy ra

∆

AHG

∆

(do cặp tam giác đồng dạng và tính chất trọng tâm tam giác)
MOG (cạnh – góc – cạnh)


ĐỀ SỐ 6
Bài 1: (3 điểm) Giải phương trình:
a) 4.(x – 3) + 2x = 12

b)

2x + 1 1 x − 1
− =
2
3
6

3x + 15

3
2x
+
=
x 2 − 25 x + 5 x − 5

c)
d) |x – 2| = 3x + 1
Bài 2: (2 điểm) Giải bất phương trình và biểu diễn tập nghiệm trên trục số:
a) 3x + 9 > 0

x 2x − 1
−
≤2
5
3

b)
Bài 3: (1 điểm)
Một miếng đất hình chữ nhật có chu vi 24 m, chiều dài hơn chiều rộng 5 m. Tính
diện tích miếng đất đó.
Bài 4: (3,5 điểm) Cho ∆ABC có ba góc nhọn. Vẽ hai đường cao BD và CE của ∆ABC cắt
nhau tại H.
a) Chứng minh: ∆EHB ∆DHC.
b) Vẽ AH cắt BC tại F. Chứng minh: AF ⊥ BC và BH.BD = BF.BC.
c) Chứng minh: BH.BD + CH.CE = BC2.

d) Chứng minh:

EA FB DC

×
×
=1
EB FC DA

Bài 5: (0,5 điểm)
Bóng của một cột điện trên mặt đất có độ dài là 4,5 m. Cùng thời điểm đó, một thanh
sắt cao 1,8 m cắm vuông góc với mặt đất có bóng dài 0,4 m. Tính chiều cao của cột điện.
HƯỚNG DẪN
Bài 1: a) 4.(x – 3) + 2x = 12⇔ 4x – 12 + 2x = 12
2x + 1 1 x − 1
− =
2
3
6
b/
⇔ 3.(2x + 1) – 2 = x – 1

⇔ 6x + 3 – 2 – x = -1⇔ 5x = -2⇔ x =

c/

3x + 15
3
2x
+
=
2
x − 25 x + 5 x − 5

−2
5

⇔ 6x = 24

Vậy S = {0}

(điều kiện: x ≠ 5 và x ≠ -5)

⇔ x = 4 Vậy S = {4}


⇔

3 x + 15
3
2x
+
=
( x + 5) ( x − 5) x + 5 x − 5

⇔ 3x +15 + 3.(x – 5) = 2x.(x + 5)
⇔ 3x + 15 + 3x – 15 = 2x2 + 10x
⇔ 6x – 10x – 2x2 = 0
⇔ -4x – 2x2 = 0
⇔ x(-4 – 2x) = 0
⇔ x = 0 hay -4 – 2x = 0
⇔ x = 0 (nhận) hay x = -2 (nhận)

Vậy S = {0; -2}

x≥

d/ |x – 2| = 3x + 1 (điều kiện: 3x + 1 ≥ 0 ⇔

−1
3

)

⇔ x – 2 = 3x + 1 hoặc x – 2 = -3x – 1
⇔ x – 3x = 2 + 1 hoặc x + 3x = 2 – 1
⇔ -2x = 3 hoặc 4x = 1
x=

−3
2

x=

⇔
(loại) hoặc
Câu 2: (2 điểm)
a) 3x + 9 > 0⇔ 3x > -9

b)

x 2x − 1
−
≤2
5

3
x≥

1
4

(nhận)

Vậy

1 
S = 
4

⇔ x > -3S = {x ∈ R | x > -3}

⇔ 3x – 5.(2x – 1) ≤ 30

⇔ 3x – 10x + 5 ≤ 30

−25
7

⇔ -7x ≤ 25⇔
Bài 3: (1 điểm)
Gọi chiều rộng của miếng đất là x, chiều dài của miếng đất là x + 5 (điều kiện x > 0)
Ta có phương trình :[(x + 5) + x].2 = 24⇔ x + 5 + x = 12⇔ 2x = 7⇔ x = 3,5
Chiều rộng miếng đất: 3,5 m
Chiều dài miếng đất: 3,5 + 5 = 8,5 (m)
Diện tích miếng đất : 3,5.8,5 = 29,79 (m2)

Bài 4: (3,5 điểm)
a) Xét ∆EHB và ∆DHC có:
∠BEH = ∠CDH = 900 (GT)
∠EHB = ∠DHC (đối đỉnh)
⇒ ∆EHB

∆DHC (g.g)

b) ∆ABC có đường cao CE và BD cắt nhau tại H
⇒ H là trực tâm của ∆ABC
⇒ AF là đường cao thứ 3 của ∆ABC


Xét ∆BHF và ∆BCD có:
∠HBF là góc chung
∠BFH = ∠BDH = 900
⇒∆BHF
⇒

∆BCD (g.g)

(0,25đ)

BH BF
=
BC BD

⇒ BH.BD = BF.BC

(0,25đ)

c) Xét ∆CHF và ∆CBE có:
∠HCF là góc chung
∠CFH = ∠CEB = 900
⇒ ∆CHF
⇒

∆CBE (g.g)

CH CF
=
CB CE

⇒ CH.CE = CF.CB
Ta có: BH.BD + CH.CE = BF.BC + CF.CB
= (BF + CF).BC
= BC.BC = BC2
d) ∆EHB ∆DHC (chứng minh trên)
DC HC
=
EB HB

⇒
Chứng minh tương tự câu a ta có:
∆EHA ∆FHC và ∆FHB ∆DHA
EA HA
=
FC HC

⇒

Ta có:

và

FB HB
=
DA HA

EA FB DC EA FB DC HA HB HC
× ×
=
× ×
=
× ×
=1
EB FC DA FC DA EB HC HA HB

Bài 5: (0,5 điểm)

(0,25đ)
(0,25đ)
(0,25đ)

(0,25đ)

(0,25đ)

(0,25đ)

Cho hình vẽ trên với DE là cột điện có bóng EF dài 4,5 m, AB là thanh sắt dài 1,8 m có
bóng BC dài 0,4 m.
Xét ∆ABC và ∆DEF có
∠ABC = ∠DEF = 900
∠ACB = ∠DFE (so le trong, AC // DF)
⇒ ∆ABC
⇒

⇒

∆DEF (g.g)

AB BC
=
DE EF
1,8 0, 4
=
DE 4,5

⇒ DE = 1,8.4,5:0,4 = 20,25 (m)

Vậy cột điện cao 20,25 m.


ĐỀ SỐ 7
Bài 1: (3,0 điểm) Giải các phương trình :
a) 3(x – 1) – 4 = 2(x + 1) – 7
9− 5x x 5− 3x
− =
18

3
6
b)
1
x + 2 5x − 4
+
=
x − 4 x + 4 x2 − 16
c)
Bài 2: (1,5 điểm) Giải các bất phương trình sau:
a) 2(x – 1) – 2(3x + 1) > 0
x − 1 x + 2 2x − 3
+
≤
2
3
9
b)
Bài 3: (1,5 điểm) (Giải bài toán bằng cách lập phương trình)
Một hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng 5 m. Nếu bớt chiều dài 2 m và thêm vào
chiều rộng 3 m thì chu vi hình chữ nhật là 60 m. Tính diện tích của hình chữ nhật lúc đầu.
Bài 4: (0,5đ) Kết thúc năm học một nhóm gồm 10 bạn học sinh tổ chức đi du lịch ( chi phí
chuyến đi chia đều cho mỗi người). Sau khi đã hợp đồng xong, vào giờ chót có 2 bạn bận
việc đột xuất không đi được. Vì vậy mỗi bạn còn lại phải trả thêm 25000 VNĐ so với dự
kiến ban đầu. Hỏi chi phí chuyến đi là bao nhiêu?

Bài 5: (3,5điểm) Cho

∆ABC

∆

nhọn (AB < AC) có hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H.

a) Chứng minh:
ABD đồng dạng
b) Chứng minh: HD.HB = HE.HC

∆

ACE. (1đ)
(1đ)
c) AH cắt BC tại F. Kẻ FI ⊥ AC tại I. Chứng minh :
(1đ)
d) Trên tia đối của tia AF lấy điểm N sao cho AN = AF. Gọi M là trung điểm cạnh IC.
Chứng minh: NI ⊥ FM (0,5đ)

HƯỚNG DẪN
Bài 1:
3( x − 1) − 4 = 2( x + 1) − 7

a)
⇔3x -3 -4 = 2x + 2 – 7 ⇔3x – 2x = 2 -7 + 3+4 ⇔x = 2
Vậy nghiệm của phương trình là : S =


9 − 5x x 5− 3x
9 − 5x 6x 3( 5− 3x)
− =
⇔

−
=
18
3
6
18
18
18

b)
⇔ 9 − 5 x − 6 x = 15 − 9 x ⇔ −5 x − 6 x + 9 x = 15 − 9

⇔ −2 x = 6

⇔ x = −3

Vậy tập hợp nghiệm của phương trình trên là: S =
1
x + 2 5x − 4
+
=
( x − 4)( x + 4)
x − 4 x + 4 x2 − 16
c)
Mẫu chung :
ĐKXĐ: x ≠ 4 ; x ≠ -4
Quy đồng mẫu hai vế và khử mẫu, ta được:
(x + 4) +(x – 4)(x + 2) = 5x – 4
x + 4 + x2 + 2 x − 4 x − 8 = 5x − 4

⇔

x 2 − 6x = 0

⇔

⇔

x( x − 6 ) = 0

⇔

⇔ x = 0 (nhận) hoặc x = 6 (nhận)

{ 0;.6}

Vậy tập hợp nghiệm của phương trình trên là: S =
Bài 2 :(1,5 điểm)
a) 2(x – 1) – 2(3x + 1) > 0
⇔ 2x – 2 – 6x – 2 >0 ⇔ –4x > 4 ⇔ x < –1 vậy S =
x − 1 x + 2 2x − 3
+
≤
2
3
9

b)
⇔ 9x – 9 + 6x + 12 ≤ 4x – 6⇔ 11x ≤ –9
⇔ x ≤ vậy S =

Bài 4 (0,5 điểm) Tổng số tiền mà 8 bạn đóng thêm là: 25000x8 = 200000 (đồng)
Số tiền mỗi bạn phải đóng lúc đầu là: 200000 : 2 = 100000 (đồng)
Chi phí chuyến đi là: 100000x10 = 1000000 (đồng)
Bài 5 ( 3,5 điểm)
b) Chứng minh
⇒

∆

HBE ഗ HCD (g-g)

⇒
c) Chứng minh được AF ⊥ BC,
∆ IFC ഗ  FAC (g-g)
⇒
d) Gọi Q là giao điểm của NI và FM
Vì (cmt)
⇒
Chứng minh ∆ IFN ഗ  MCF (c-g-c)
⇒ góc INF = góc MFC


Mà góc AFM + góc MFC = 900 (AF⊥ BC tại F)
⇒ góc AFM + góc INF = 900

⇒ ∆ FNQ vuông tại Q ⇒ NI ⊥ FM tại Q


ĐỀ SỐ 8
Câu 1: (4,0 điểm) Giải các phương trình và bất phương trình sau:

a) 5(2x – 8) – 7x = 4x – 39
b) 2x (3x – 1) – 8(1 – 3x) = 0

c)

d)

x
2x
4x
+
= 2
x−2 x+2 x −4
2x − 1 x + 2 5x + 4
−
≥
3
2
6

Câu 2: (2,0 điểm)
Bác An đi xe máy từ thành phố Hồ Chí Minh đi Bình Dương với vận tốc trung bình
36 km/h. Lúc về, Bác An đi với vận tốc trung bình 32 km/h nên thời gian về lâu hơn thời
gian đi là 15 phút. Tìm quãng đường từ thành phố Hồ Chí Minh đến Bình Dương?
Câu 3: (0,5 điểm)
≤

Tìm hai số nguyên x và y biết : 5x2+ 4xy + y2 – 4(x – 1) 0
Câu 4: (3,5 điểm) Cho ∆ABC vuông tại A, kẻ đường cao AH.
a. Chứng minh: ∆ABC đồng dạng với ∆HBA. Suy ra AB2= BH .BC

b. Chứng minh: AH2 = HB . HC
c. Cho AB = 6cm, AC = 8cm. Tính AH? Tính diện tích ∆ABC. Gọi I là trung điểm
của AH, đường thẳng vuông góc với BC tại B cắt đường thẳng CI tại K. Chứng minh: KB
= KA.
----- HẾT ----HƯỚNG DẪN
BÀI
5(2x – 8) – 7x = 4x – 39
1a

⇔

⇔

1b

⇔

NỘI DUNG
10x – 40 – 7x = 4x – 39

–x=1
x=–1

2x (3x – 1) – 8(1 – 3x) = 0
1

x=
3 x − 1 = 0

3

2 x + 8 = 0 ⇔ 

 x = −4
⇔

⇔

(3x – 1)( 2x + 8)= 0


BÀI

NỘI DUNG

x
2x
4x
+
= 2
x− 2 x+ 2 x − 4

(1)

ĐKXĐ : x ≠ 2; x ≠ -2
1c

pt (1)
⇔

⇒

x(x + 2) + 2x (x – 2) = 4x

2

3x – 6x = 0

⇔

3x( x -2) = 0

⇔

⇔

x2 + 2x +2x2 – 4x = 4x

x = 0 hoặc x = 2
{ 0}
Vậy tập nghiệm phương trình là S =
2 x − 1 x + 2 5x + 4
−
≥
3
2
6 ⇔

1d

⇔

4x – 2 – 3x – 6

≥

≥

2(2x – 1) – 3(x +2) 5x + 4

5x + 4

⇔

≥

– 4x 12

⇔

x

≤

–3

{ x / x ≤ −3}

Vậy tập nghiệm bất phương trình là
Gọi x (km) là quãng đường từ TP HCM đến Bính Dương (0 < x)
Thời gian đi:

2

Thời gian về:

x
36
x
32

(h)
(h)

Theo đề bài ta có phương trình:
⇔

⇔

x x
32 36

–

=

1
4

9x – 8x = 72

x = 72
Vậy: quãng đường từ TP HCM đến Bình Dương là 72 km
≤

5x2+ 4xy + y2 – 4(x – 1) 0
⇔

3

⇔
⇔

⇔

≤

4x2+ 4xy + y2 + x2 – 4x + 4 0
≤

(2x +y)2 + ( x – 2)2 0

≥

x = 2 và y = – 4
∆ABC và ∆HBA có
góc B chung và góc BAC = góc BHA = 900
4a

⇒

∆ABC đồng dạng ∆HBA

AB BC
=
⇒ HB AB ⇒

4b

≥

2x + y = 0 và x – 2 = 0 vì(2x +y)2 0 và ( x – 2)2 0 với mọi x ; y

AB2= BH .BC
∆HAC và ∆HBA có
góc BAH = góc ACH (vì cùng phụ góc ABH)
và góc BHA= góc AHC = 900