D03 xác định góc giữa hai mặt phẳng muc do 3
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (2.24 MB, 43 trang )
Câu 43: [1H3-4.3-3] [1H3-3] (Chuyên Hùng Vương - Phú Thọ - Lần 1) Cho hình hộp chữ nhật
có các cạnh
là
A.
. Góc giữa hai mặt phẳng
. Tính giá trị gần đúng của góc
.
B.
.
Chọn D.
Cách 1: Hai mặt phẳng
?
C.
Lời giải
và
.
D.
có giao tuyến là
lần lượt có
Theo hê rông ta có:
Tam giác
Do đó
.
như hình vẽ. Từ
ta kẻ 2 đoạn vuông góc lên giao tuyến
sẽ là chung một điểm
giữa hai mặt phẳng cần tìm chính là góc giữa hai đường thẳng
Tam giác
và
,
như hình vẽ. Khi đó, góc
và
.
,
. Suy ra
và
.
.
có:
.
hay
.
Cách 2: Gắn hình hộp chữ nhật
vào hệ trục tọa độ như hình vẽ . Khi đó
.
Gọi
là véc tơ pháp tuyến của
. Có
Gọi
là véc tơ pháp tuyến của
. Có
Gọi
là góc giữa hai mặt phẳng
.
.
và
. Vậy giá trị gần đúng của góc
là
Câu 21. [1H3-4.3-3] (Chuyên Bắc Ninh - Lần 1 - 2018) Cho hình chóp
hình thoi tâm
A.
.
Chọn A.
, đường thẳng
có đáy
vuông góc với mặt phẳng
. Tìm số đo của góc giữa hai mặt phẳng
và
B.
D.
.
C.
Lời giải
.
là
. Biết
.
.
Gọi
là trung điểm của
, do tam giác
Theo giả thiết ta có
cân tại
. Do đó
Từ (1) và (2) suy ra góc giữa hai mặt phẳng
và
(1).
suy ra
và
(2).
là góc giữa hai đường thẳng
.
Ta có
suy ra
Do đó
.
.
Mặt khác
. Do đó tam giác
, suy ra
vuông cân tại
hay góc
.
Vậy góc giữa hai mặt phẳng
Câu 30.
nên ta có
và
là
.
[1H3-4.3-3] (THPT Hậu Lộc 2-Thanh Hóa-lần 1-năm 2017-2018) Cho hình chóp
có đáy
là hình thang vuông tại
và
,
. Tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng
A.
.
B.
.
C.
,
và
.
.
D.
Lời giải:
Chọn C.
Cách 1:
Gọi
Gọi
. Khi đó:
là hình chiếu của
lên
, kẻ
,
ta có:
.
,
Xét
vuông tại
ta có:
.
.
Do
mà
nên
Mặt khác ta có:
;
.
mà
Do đó:
nên
.
.
Xét tam giác
ta có:
.
Cách 2:
Chọn hệ trục như hình vẽ
Ta có
;
;
;
;
;
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
là
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
là
Khi đó góc
;
giữa hai mặt phẳng
;
.
.
.
.
và
là
.
Câu 32. [1H3-4.3-3](THPT Cổ Loa-Hà Nội-lần 1-nawm-2018) Cho hình chóp
có
đáy
là hình vuông cạnh
. Gọi
là giao điểm của
và
. Biết hình chiếu
vuông góc của đỉnh
trên mặt phẳng
là trung điểm
của đoạn
và góc
. Gọi
A.
.
B.
là góc giữa hai mặt phẳng
.
C.
Lời giải
Chọn D.
và
.
. Tính
D.
.
.
Ta có
suy ra góc giữa
và mặt phẳng
chính là góc
hay
.
Hạ
suy ra
suy ra
nên góc giữa hai mặt phẳng
và
là góc
.
Ta có
.
Tam giác
là nửa tam giác đều cạnh
suy ra đường cao
.
Gọi
là trung điểm
, ta có
.
Vậy
Câu 36.
.
[1H3-4.3-3] (THTT Số 3-486 tháng 12 năm 2017-2018) Cho hai tam giác
và
nằm trên hai mặt phẳng vuông góc với nhau và
,
. Tính giá
trị của
A.
sao cho hai mặt phẳng
.
B.
và
vuông góc với nhau.
.
C.
Lời giải
Chọn C.
Gọi
,
lần lượt là trung điểm
,
.
.
D.
.
Ta có:
nên
cân tại
. Suy ra
Góc giữa
và
cân tại
.
,
là góc
,
,
cân tại
,
.
Tính:
.
Xét
vuông cân tại
Góc giữa
và
có:
.
là góc giữa
và
.
Khi đó
.
Xét
Từ
cân tại
vuông cân tại
và
có:
.
suy ra:
.
Câu 43. [1H3-4.3-3] (THPT Chuyên Vĩnh Phúc-lần 1 MĐ 904 năm 2017-2018) Cho
hình chóp
có
Tính cosin của góc
A.
.
Tam giác
tạo bởi hai mặt phẳng
B.
.
vuông tại B
,
.
và
C.
.
D.
.
Lời giải
Chọn A
Cách 1:
Kẻ
. Áp dụng công thức
,
là góc hợp bởi hai mặt phẳng
Dễ thấy tam giác
vuông tại B và
,
. Vậy
trong đó
và
.
,
Cách 2:
Gắn hình chóp vào hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho
,
,
,
.
Chọn
cùng phương với
Chọn
cùng phương với
Chọn
cùng phương với
Câu 36. [1H3-4.3-3] (THPT Chuyên Lương Văn Tụy-Ninh Bình lần 1 năm 20172018) Cho hình chóp
bên
là tam giác cân đỉnh
Biết
A.
có đáy
là hình chữ nhật,
. Mặt
và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng
. Góc giữa hai mặt phẳng
.
;
B.
.
và
C.
Lời giải
.
bằng:
.
D.
.
Chọn A.
Gọi
là trung điểm của
Dựng
,
, theo đề ra ta được
lần lượt là hình chiếu của
Vậy
,
và
.
Xét tứ giác
có hai góc vuông đối diện nhau nên
do
Vậy
lên
.
.
.
là tứ giác nội tiếp
.
Câu 42. [1H3-4.3-3] (THPT Thạch Thành 2-Thanh Hóa-lần 1 năm 2017-2018) Cho
hình hộp chữ nhật
có các cạnh
,
,
. Góc giữa hai mặt
phẳng
A.
và
.
là
B.
. Tính giá trị gần đúng của góc
.
C.
Lời giải
?
.
D.
.
Chọn A.
Cách 1:
Chọn hệ trục
như hình vẽ
Ta có
,
,
,
;
;
Khi đó góc
,
,
VTPT của mp
là
VTPT của mp
giữa hai mặt phẳng phẳng
.
là
và
.
là
.
Cách 2:
Gọi
lần lượt là tâm các hình chữ nhật
và
Ta có
các đường cao
Mặt khác
và
bằng nhau
.
;
;
Diện tích tam giác
.
là
, với
Mà
Áp dụng định lí cosin trong tam giác
ta có
Mà góc giữa hai mặt phẳng là góc nhọn nên
.
Câu 34:
[1H3-4.3-3] (THPT Chuyên ĐH KHTN-Hà Nội năm 2017-2018) Cho
hình chóp
có đáy
là tam giác vuông cân tại
và
. Biết
và
A.
. Góc giữa hai mặt phẳng
.
B.
.
C.
Lời giải
và
.
bằng
D.
.
Chọn B.
Kẻ
tại
. Ta có
Suy ra góc giữa
Ta có
và
.
bằng góc
.
.
Câu 39:
[1H3-4.3-3] (THPT Lương Văn Chánh Phú Yên năm 2017-2018)
Cho hình lăng trụ đứng
có đáy
là tam giác cân, với
và góc
, cạnh bên
. Cosin của góc tạo bởi hai mặt phẳng
. Gọi
và
là trung điểm của
bằng
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Lời giải
Chọn D.
Ta có
.
Xét tam giác vuông
có
Xét tam giác vuông
có
Xét tam giác vuông
Xét tam giác
.
.
có
.
có
vuông tại
.
Lại có
.
Gọi góc tạo bởi hai mặt phẳng
Ta có
và
là
là hình chiếu vuông góc của
trên mặt phẳng
Do đó
Câu 29:
.
.
.
[1H3-4.3-3] (THPT Chuyên Hoàng Văn Thụ-Hòa Bình năm 2017-
2018) Cho hình chóp đều
có đáy
là hình vuông cạnh
,
biết các cạnh bên tạo với đáy một góc
. Giá trị lượng giác tang của góc
giữa hai mặt phẳng
A.
.
và
B.
.
bằng
C.
Lời giải
Chọn A.
.
D.
.
Kẻ
. Do
là hình chóp đều và
;
. Suy ra
Vậy góc giữa hai mặt phẳng
vuông ở
là hình vuông nên
):
và
.
là
và
(do
là hình vuông cạnh
nên
.
, cạnh bên tạo với đáy một góc
Trong hình chóp đều
nên
.
Ta có
.
Câu 20: [1H3-4.3-3] (THPT Hậu Lộc 2-Thanh Hóa năm 2017-2018) Cho hình chóp tứ
giác đều
bằng:
A.
.
có cạnh đáy bằng
B.
, đường cao bằng
.
C.
Lời giải
. Góc giữa mặt bên và mặt đáy
.
D.
Chọn C.
Gọi là tâm của hình vuông
Góc giữa mặt bên và mặt đáy là
Ta có
.
;
.
là trung điểm của
.
.
Xét tam giác
Câu 35.
vuông tại
, ta có
.
[1H3-4.3-3] (THPT Lê Quý Đôn-Hải Phòng lần 1 năm 2017-2018) Cho hình chóp
có đáy
là hình thang vuông tại
và , cạnh bên
vuông góc với mặt phẳng
đáy và
. Cho biết
. Tính góc giữa hai mặt phẳng
và
.
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Lời giải
Chọn D.
Gọi
là trung điểm của
Ta có
và
là hình chiếu của
. Do đó
Ta có
suy ra tam giác
Ta có
nên
Xét tam giác
.
.
nên góc giữa hai mặt phẳng
Ta có
Mặt khác
lên
vuông tại
và
là góc
.
.
.
vuông tại
có
.
.
Câu 38.
[1H3-4.3-3] (THPT Lục Ngạn-Bắc Giang-lần 1 năm 2017-2018) Cho lăng trụ đứng
có đáy là hình thoi cạnh
. Gọi
A.
, góc
của góc giữa hai mặt phẳng
.
B.
,
và
.
.
. Khi đó
C.
là trung điểm của
bằng
.
D.
.
Lời giải
Chọn D.
Gọi
, khi đó
Vì
.
là hình thoi có
nên tam giác
là đường trung bình của tam giác
nên
. Do đó
Xét tam giác
và
vuông tại
.
, suy ra
cân tại
. Suy ra
Theo định lý ba đường vuông góc ta có
là góc giữa
đều cạnh
là
,
hay
.
, do đó góc giữa mặt phẳng
và
.
,
.
Câu 44. [1H3-4.3-3] (THPT Chuyên Hà Tĩnh-lần 1 năm 2017-2018) Cho hình lăng trụ
có
là tứ diện đều cạnh . Gọi
,
lần lượt là trung điểm của
và
. Tính tan của góc giữa hai mặt phẳng
A.
.
B.
.
và
C.
Lời giải
.
.
D.
.
Gọi
là trung điểm của
,
. Chuẩn hóa và chọn hệ trục tọa độ sao cho
,
,
Ta có
,
. Dễ thấy
là trung điểm
,
,
có vtpt
.
là trung điểm
,
có vtpt
Câu 44. [1H3-4.3-3] (THPT Chuyên Hà Tĩnh-lần 1 năm 2017-2018) Cho hình lăng trụ
có
là tứ diện đều cạnh . Gọi
,
lần lượt là trung điểm của
và
. Tính tan của góc giữa hai mặt phẳng
A.
.
B.
.
và
C.
Lời giải
.
.
D.
.
Gọi
là trung điểm của
,
. Chuẩn hóa và chọn hệ trục tọa độ sao cho
,
,
Ta có
,
. Dễ thấy
là trung điểm
,
,
có vtpt
.
là trung điểm
,
có vtpt
Câu 32. [1H3-4.3-3] (THPT Đặng Thúc Hứa-Nghệ An-lần 1 năm 2017-2018) Cho hình chóp
có đáy
mặt phẳng
A.
là hình vuông cạnh
và
.
và
,
tạo với nhau một góc
B.
.
.
C.
.
Lời giải
Chọn B.
Ta có
, vẽ
tại
, vẽ
.
tại
.
.
Ta có
,
. Xác định
,
.
D.
.
để hai
đều cho ta
.
Câu 37. [1H3-4.3-3] [1H3-3] (THPT Chuyên Phan Bội Châu-lần 2 năm 2017-2018)
Cho hình chóp
có đáy
là hình vuông cạnh , cạnh bên
vuông góc với
mặt phẳng đáy
và
A.
B.
.
. Góc tạo bởi hai mặt phẳng
.
C.
Lời giải
và
.
D.
bằng
.
Chọn A.
Ta có:
.
Ta chứng minh được:
.
.
Do đó:
.
Tam giác
vuông tại
Vậy
nên:
.
.
Câu 39. [1H3-4.3-3] (PTNK-ĐHQG TP HCM-lần 1 năm 2017-2018) Cho lăng trụ đứng
có
,
của góc tạo bởi hai mặt phẳng
A.
.
B.
. Gọi
và
.
là trung điểm của
.
C.
.
D.
Lời giải
Chọn D.
Cách 1: Ta có:
Do đó:
là hình chiếu của
.
. Tính
lên mặt phẳng
.
.
Ta có:
Ta có:
;
;
;
;
.
Vậy
Cách 2 : Gọi
.
là trung điểm
.
Ta có:
Tam giác
.
vuông tại
Chọn hệ trục
Ta có:
Mặt phẳng
có:
.
(như hình vẽ).
,
,
có một VTPT
.
.
,
.
Mặt phẳng
có một VTPT
.
.
Câu 39. [1H3-4.3-3] (THPT Chuyên ĐH Vinh – lần 1 - năm 2017 – 2018) Cho hình chóp
có đáy
là hình vuông cạnh , mặt bên
là tam giác đều và nằm trong
mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng
lần lượt là trung điểm của
mặt phẳng
A.
,
và
.
. Gọi
là trọng tâm của tam giác
và
(tham khảo hình vẽ bên). Tính côsin của góc giữa hai
.
B.
.
C.
.
D.
.
Lời giải
Chọn C.
Cách 1:
Chọn hệ trục tọa độ
như hình vẽ. Khi đó
;
suy ra
;
;
;
Ta có mặt phẳng
;
;
có vectơ pháp tuyến là
, mặt phẳng
pháp tuyến là
Gọi
là góc giữa hai mặt phẳng
.
Cách 2:
,
và
, ta có
có vectơ
Gọi
,
lần lượt là hình chiếu của
điểm của
,
lên
. Suy ra
,
lần lượt là trung
.
Hình chiếu của
Trong
và
lên
là
:
Trong
:
Thay vào
có
.
Cách 3:
Gọi
,
lần lượt là trung điểm của
,
,
.
.
Mà
nên góc giữa góc giữa hai mặt phẳng
và
là
Vì
.
Câu 40. [1H3-4.3-3] (THPT Yên Lạc – Vĩnh Phúc – lần 4 - năm 2017 – 2018) Cho hình
lăng trụ
có đáy là tam giác đều cạnh , cạnh bên
. Hình chiếu vuông góc
của
lên mặt phẳng
). Tính cosin của góc
trùng với trung điểm của đoạn
giữa hai mặt phẳng
và
(với
.
là trọng tâm tam giác
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Lời giải
Chọn B.
Gọi
Qua
lần lượt là trung điểm của
kẻ đường thẳng song song với
Vì
Vì
nên
cắt
là trung điểm của
.
tại
thì
(do
(2). Từ (1) và (2) suy ra
là trung điểm
ta có
Trong tam giác vuông
ta có
Trong tam giác vuông
ta có
) (1).
. Do đó
nên suy ra
Trong tam giác vuông
Suy ra
. Gọi
.
.
.
.
.
. Từ đó ta có
.
Câu 41. [1H3-4.3-3] (THPT Thuận Thành 2 – Bắc Ninh - Lần 2 năm 2017 –
2018)Cho hình chóp
có đáy tam giác vuông tại
đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi
,
,
là điểm trên đoạn
(tham khảo hình vẽ dưới đây). Côsin của góc tạo bởi hai mặt phẳng
bằng
. Tam giác
sao cho
và
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Lời giải
Chọn A.
Gọi
là trung điểm
. Ta có
Mà
.
,
giao tuyến
.
Hạ
khi đó
và
Mà
.
Tam giác
vuông tại
có
Áp dụng định lý cosin trong tam giác
ta có:
Mà
vuông tại
Gọi
nên tam giác
là trung điểm
thì
;
;
Lại có
theo giao tuyến
Trong mặt phẳng
Từ
vuông góc với nhau theo
và
ta có
, kẻ
thì
.
Dễ thấy
nên
Tính được:
.
và
. Do đó
.
Câu 42. [1H3-4.3-3] (THPT Chuyên Lương Thế Vinh – Đồng Nai – Lần 2 năm 2017
– 2018) Cho lăng trụ tam giác đều
có tất cả các cạnh bằng .
là một điển thỏa mãn
và
A.
. Cô sin của góc giữa hai mặt phẳng
bằng
.
B.
.
C.
.
D.
.
Lời giải
Chọn C.
Xét hình lăng trụ tam giác đều
hệ trục như hình vẽ quy ước
có tất cả các cạnh bằng
( đơn vị ).
Gọi
là giao điểm của
và
.
Vì tam giác
là tam giác cân cạnh bằng
đường trung tuyến là
nên ta suy ra độ dài các
. Suy ra tọa độ các điểm như hình vẽ.
Theo giả thiết ta có
vậy
Vậy tọa độ của điểm
Ta có mặt phẳng
là
có phương trình
Mặt khác mặt phẳng
Ta có:
. Gắn
và
là mặt phẳng đi qua ba điểm
và
.
Vậy
cô sin góc tạo bởi hai mặt phẳng
và
là
.
Câu 31: [1H3-4.3-3] (THPT Chuyên Thái Bình – Thái Bình – Lần 5 năm 2017 – 2018)
Cho hình lập phương
có cạnh bằng
. Số đo của góc giữa
và
:
A.
.
B.
.
C.
Lời giải
.
D.
.
Chọn B.
Ta có:
.
Kẻ
. Do
nên
Do đó:
.
.
Tam giác
có
,
.
.
Vậy
.
Câu 47: [1H3-4.3-3] (THPT Đặng Thúc Hứa – Nghệ An - năm 2017-2018) Cho hình
chóp
có đáy
là hình chữ nhật,
,
. Tam giác
nằm
trong mặt phẳng vuông góc với đáy, khoảng cách từ điểm
đến đường thẳng
bằng
. Côsin của góc giữa hai mặt phẳng
và
bằng:
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Lời giải
Chọn B.
- Dựng
tại
- Dựng
tại
.
- Dựng
tại
, theo giả thiết suy ra
.
là góc giữa hai mặt phẳng
là khoảng cách từ
- Ta có:
đến
và
.
.
.
Vậy
.
Câu 40. [1H3-4.3-3] (SỞ DG-ĐT CẦN THƠ-2018) Cho hình hộp chữ nhật
,
của
A.
,
. Gọi
là góc giữa hai mặt phẳng
có
và
. Giá trị
bằng
.
B.
.
C.
.
D.
.
Lời giải
Chọn.
Gọi
A.
,
lần lượt là tâm của hình chữ nhật
Khi đó:
Dựng
,
.
.
,
Dễ thấy:
lần lượt là đường cao của hai tam giác
,
,
đồng qui tại
Hình chữ nhật
có:
Hình chữ nhật
có:
Hình chữ nhật
và
,
.
.
.
.
có:
.
Suy ra:
.
Hoàn toàn tương tự ta có:
Trong tam giác
có:
.
.
.
Câu 44. [1H3-4.3-3] (CHUYÊN ĐẠI HỌC VINH-LẦN 3-2018) Cho hình chóp
có đáy
là hình vuông cạnh , cạnh bên
và vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi
là
trung điểm cạnh
. Tang của góc tạo bởi hai mặt phẳng
và
bằng
A.
.
C.
B.
.
.
D.
.
Lời giải
Chọn C.
Chọn hệ trục tọa độ và chuẩn hóa cho
Ta có
là trung điểm
,
,
Câu 42:
,
.
,
có một vtpt
nên
và
thì
.
[1H3-4.3-3] (THPT NGỌC TẢO HN-2018) Cho hình lập phương
phẳng
A.
và
.
. Góc giữa hai mặt
bằng:
B.
.
C.
Lời giải
Chọn D.
,
có một vtpt
là góc giữa hai mặt phẳng
Do
,
,
,
Gọi
sao cho
.
D.
.
