Bài giảng: Liên hệ phép chia và phép khai phương (Đại số 9)

Bản quyền thuộc Nhóm Cự Mơn của Lê Hồng Đức
Tự học đem lại hiệu quả tư duy cao, điều các em học sinh cần là:
1. Tài liệu dễ hiểu  Nhóm Cự Mơn ln cố gắng thực hiện điều này.
2. Một điểm tựa để trả lời các thắc mắc  Đăng kí “Học tập từ xa”.

BÀI GIẢNG QUA MẠNG

ĐẠI SỐ 9
CHƯƠNG I. CĂN BẬC HAI VÀ CĂN BẬC BA

§4 Liên hệ giữa phép chia
và phép khai phương



Các em học sinh đừng bỏ qua mục “Phương pháp tự học tập hiệu quả”

Học Tốn theo nhóm (từ 1 đến 6 học sinh) các lớp 9, 10, 11, 12
Giáo viên dạy: LÊ HỒNG ĐỨC
Địa chỉ: Số nhà 20  Ngõ 86  Đường Tơ Ngọc Vân  Hà Nội
Email:
Phụ huynh đăng kí học cho con liên hệ 0936546689
1


PHƯƠNG PHÁP HỌC TẬP HIỆU QUẢ
Phần: Bài giảng theo chương trình chuẩn
1. Đọc lần 1 chậm và kĩ có thể bỏ quả nội dung các HOẠT ĐỘNG
Đánh dấu nội dung chưa hiểu
2. Đọc lần 2 toàn bộ:
Ghi nhớ bước đầu các định nghĩa, định lí.

Định hướng thực hiện các hoạt động
Đánh dấu lại nội dung chưa hiểu
3. Lấy vở ghi tên bài học rồi thực hiện có thứ tự:
Đọc  Hiểu  Ghi nhớ các định nghĩa, định lí
Chép lại các chú ý, nhận xét
Thực hiện các hoạt động vào vở
4. Thực hiện bài tập lần 1
5. Viết thu hoạch sáng tạo
Phần: Bài giảng nâng cao
1. Đọc lần 1 chậm và kĩ
Đánh dấu nội dung chưa hiểu
2. Lấy vở ghi tên bài học rồi thực hiện các ví dụ
3. Đọc lại và suy ngẫm tất cả chỉ với câu hỏi “Vì sao họ lại nghĩ được cách
giải như vậy”
4. Thực hiện bài tập lần 2
5. Viết thu hoạch sáng tạo

Dành cho học sinh tham dự chương trình “Học tập từ xa”: Sau mỗi bài
giảng em hãy viết yêu cầu theo mẫu:
Nôi dung chưa hiểu
Hoạt động chưa làm được
Bài tập lần 1 chưa làm được
Bài tập lần 2 chưa làm được
Thảo luận xây dựng bài giảng
gửi về Nhóm Cự Mơn theo địa chỉ để nhận
được giải đáp.
2


Đ4 liên hệ giữa phép chia và phép khai phơng

bài giảng theo chơng
chơng trình chuẩn
1. định lí

Thí dụ 1: (HĐ 1/tr 16 sgk): Tính và so sánh

16
và
25

16
.
25

Giải

Ta lần lợt có:

suy ra

16

25
16
25 =

2

Định lí: Với a 0, b > 0 th×

 Chøng minh
V× a  0, b > 0 nªn
2

 a

 
 b

VËy

4
16
42

2 = 5
25
5

4
 4
  = 5;
5
16
.
25

a
b

2

2

a
a
.
b
b

a
b xác định và không âm. Ta có:
a
.
b

a
a
là
căn
bậc
hai
số
học
của
b , tức là
b

a
a

.
b
b

2. áp dụng

a) Quy tắc khai phơng một thơng
Quy tắc khai phơng một thơng: Mn khai ph¬ng mét th¬ng

A
cđa hai biĨu
B

thøc A  0, B > 0, ta có thể khai phơng lần lợt biểu thức bị chia A và biểu thức
chia B. Sau ®ã lÊy kÕt qu¶ thø nhÊt chia cho kÕt qu¶ thø hai.
ThÝ dơ 2: (H§ 2/tr 17  sgk): TÝnh:
225
a.
.
b. 0,0196.
256
Giải
a. Ta có biến đổi:



225
225
152 15

.

256
256
162 16

3


b. Ta có biến đổi:
0,0196

14
7
196
142

.

2
100
50
10000
100

b) Quy tắc chia hai căn bậc hai
Quy tắc chia hai căn thức bậc hai: Muốn chia căn thức bậc hai của biểu thức
không âm A cho căn thức bậc hai của biểu thức d¬ng B, ta cã thĨ chia biĨu thøc A
cho biĨu thức B rồi lấy căn bậc hai của thơng đó.
Thí dụ 3: (HĐ 3/tr 18 sgk): Tính:

a.

999
.
111

b.

52
.
117

Giải

a. Ta cã biÕn ®ỉi:
999
999

 9 = 3.
111
111
b. Ta cã biÕn ®ỉi:
2

52
52
4
2
 2



    .
117
9
117
3
 3



Chó ý: Mét c¸ch tỉng quát, với A không âm và B dơng, ta có:
A
A

.
B
B

Thí dơ 4: (H§ 4/tr 18  sgk): Rót gän:
a.

2a 2 b 4
.
50

b.

2ab 2 víi a  0.
162

 Gi¶i
a. Ta cã biÕn ®ỉi:
2
2
a b2
 ab 2   ab
2a 2 b 4
a 2 b4

.

 

5
5
50
25
 5 

b. Ta cã biÕn ®ỉi:
2
b
a. b
2ab 2
2ab 2
ab 2
 b

 a.    a.

.
9
162
81
9
162
9

bài tập lần 1
Bài tập 1: Thực hiện phép tính:
a. A = 72 : 2 .

4

b. B = ( 12  27 + 3 ) :

3.


c. C = ( 5 3  3 5 ):
Bµi tËp 2: Rót gän biĨu thøc:

15 .

a. A = 9  4 5 .
2

b. B =

5

3 5 .
2

Bµi tËp 3: Rót gän c¸c biĨu thøc:

a 2 a 6 , víi b > 0.
.
b b3
Bài tập 4: Rút gọn các biểu thøc:

2
b. B = b5 a  6a  9 .
b8

a. A =

a. A =
b. B =

a b
a b

 a  b  2 ab .
a

b

x  y  2 xy
x x  y y x y  y x

.

Bµi tËp 5: a. So s¸nh 25  16 víi 25  16 .
b. Chøng minh r»ng víi a > b > 0 lu«n cã a  b > a  b .
Bµi tËp 6: Cho biĨu thøc:
3
1
1
A=
+
+ x  x.
x 1 x
x 1 x
x1
a. Tìm điều kiện để biểu thức A có nghĩa.
b. Rút gọn biểu thức.
53
c. Tính giá trị của biĨu thøc A khi x =
.
9 2 7
Bµi tËp 7: Cho hai biĨu thøc:
A = x  1 vµ B = x 1 .
x 3
x 3
a. Tìm x để A có nghĩa.
b. Tìm x để B có nghĩa.
c. Với giá trị nào của x thì A = B ?
d. Với giá trị nào của x thì chỉ A có nghĩa, còn B không có nghĩa ?

5


Giáo án điện tử của bài giảng này giá: 450.000đ.
1. Liên hệ thầy LÊ HỒNG ĐỨC qua điện thoại 0936546689
2. Bạn gửi tiền về:
LÊ HỒNG ĐỨC
Số tài khoản: 1506205006941
Chi nhánh NHN0 & PTNT Tây Hồ
3. 3 ngày sau bạn sẽ nhận được Giáo án điện tử qua email.

LUÔN LÀ NHỮNG GAT
BN SNG TO TRONG TIT DY

bài giảng nâng cao
A. Tóm tắt lí thuyết
1. định lí

Với A 0, B > 0 th×
6

A =
B

A
B

.

2. Khai phơng một thơng

Quy tắc khai phơng một thơng: Mn khai ph¬ng mét th¬ng

A
cđa hai biĨu
B

thøc A  0, B > 0, ta có thể khai phơng lần lợt biểu thức bị chia A và biểu thức
chia B. Sau ®ã lÊy kÕt qu¶ thø nhÊt chia cho kÕt qu¶ thứ hai.
3. Chia hai căn thức bậc hai
Quy tắc chia hai căn thức bậc hai: Muốn chia căn thức bậc hai của biểu thức
không âm A cho căn thức bậc hai cđa biĨu thøc d¬ng B, ta cã thĨ chia biểu thức A
cho biểu thức B rồi lấy căn bậc hai của thơng đó.

B. phơng pháp giải toán
(Bài 28/tr 18  Sgk): TÝnh:

VÝ dơ 1:

a.

289
.
225

b.

2

14
.
25

c.

0, 25
.
9

d.

8,1
.
1,6

 Híng dÉn: Sư dơng quy tắc khai phơng một thơng hoặc định nghĩa căn bậc hai số
học.
Giải
a. Ta có thể trình bày theo các cách sau:
Cách 1: Biến đổi:
Cách 2: Biến đổi:

2

289
289
17 2 17

 .


225
225
152 15

17
289
17 2
 17 
    .

2
15
225
15
 15

b. Ta có thể trình bày theo các cách sau:
Cách 1: Biến đổi:
64
82 8
14
64

.


25
25
25

52 5
Cách 2: Biến đổi:
2

2

8
14
64
82
8
2

 2     .
5
25
25
5
 5

c. Ta cã thể trình bày theo các cách sau:
Cách 1: Biến đổi:
0, 25
0, 25
0,52 0,5 1


.

9

3
6
9
32
Cách 2: Biến đổi:
2

1
0, 25
25
1
1


.
6
9
900
36
6

d. Ta có thể trình bày theo các cách sau:
Cách 1: Biến đổi:
Cách 2: Biến đổi:

7


2
8,1

81
9
9

    .
1,6
16
4
 4

8,1
81
81
9
92


 .

1,6
16
4
16
42
VÝ dơ 2:

(Bµi 29/tr 19  Sgk):
a.

2

.
18

15
.
375

b.

c.

12500
.
500

d.

65
23.35

.

 Híng dÉn: Sư dơng quy t¾c chia hai căn bậc hai.
Giải
a. Ta có biến đổi:

2

2
2

1
1
1


  .
18
3
9
18
 3

b. Ta cã biÕn ®ỉi:
2

15
15
1
1
1


    .
375
5
25
375
 5

c. Ta cã biÕn ®ỉi:

12500
12500

 25  52 = 5.
500
500
d. Ta cã biÕn ®ỉi:
65
23.35



 2.3

5

23.35



25.35
 22 = 2.
23.35

Thùc hiÖn phÐp tÝnh:
a. A = 72 : 2 .
b. B = ( 12  27 + 3 ): 3 .
c. C = ( 5 3  3 5 ): 15 .
 Híng dÉn: Tham kh¶o vÝ dơ 2.
 Gi¶i

a. Ta cã ngay A = 72 : 2 = 72 : 2 = 36 = 6.
b. Ta cã ngay:
B = ( 12  27 + 3 ): 3 = 12 : 3  27 : 3 + 3: 3 = 4  9 +1 = 0.
c. Ta C viÕt díi d¹ng:
VÝ dô 3:

C = ( 5 3  3 5 ):

3. 5 =

5 3
3 5
=

3. 5
3. 5

5 3.

 NhËn xÐt:
1. Trong các câu a) và b), chúng ta thực hiện phép bằng bằng việc sử
dụng ngay quy tắc chia hai căn thức bậc hai. Tuy nhiên, câu b) có thể
thực hiện theo cách biến đổi:

8


12  27 + 3 = 4. 3  9. 3 + 3 = 2 3  3 3 + 3 = 0
 B = 0.
2. Trong c©u c), chóng ta thùc hiƯn t¸ch 15 = 3. 5 . Tuy nhiªn, cịng

cã thĨ thùc hiƯn nh sau:
C = ( 52.3  32.5 ): 15 =

52.3
32.5 =

15
15

5 3.

Rót gän biĨu thøc:

VÝ dơ 4:

c. A = 9  4 5 .
2 5
Híng dẫn: Sử dụng phép biến đổi dần.
Giải
a. Ta có ngay:

d. B =

3 5 .
2




2

2
2
A = 9  4 5 = 4  2.2 5  ( 5) = (2  5) =
2 5
2 5
2 5
2
b. Ta cã ngay:



5

= 1 .

5

2
B = 3  5 = 6  2 5 = 5  2 5  1 = ( 5  1) = 5  1 .
2
2
4
2
2
Chó ý:
1. Trong lêi gi¶i câu a), các em học sinh cần chú ý tới dấu của 2 5 < 0 để
xác định đợc đúng giá trị cho A.
2. Trong lời giải câu b), bằng việc nhẩn cả tử và mẫu với 2 chúng ta đạt đợc hai mục đích:
Mẫu số trở thành số chính phơng.
Tử số đợc biến đổi về dạng bình phơng một nhị thức.

(Bài 32/tr 19 Sgk): Tính:

Ví dô 5:

a. 1
c.

9 4
.5 .0,01.
16 9

b. 1, 44.1, 21  1, 44.0, 4.

1652  1242
.
164

d.

1492  762
.
457 2  3842

 Hớng dẫn:
Giải

a. Ta có biến đổi:
9 4
25 49

5
.5 .0,01 
. .0,01   
16 9
16 9
 4
b. Ta cã biÕn ®ỉi:
1

2

2

5 7 1
7
 7
.   .(0,1) 2  . .  .
4 3 10 24
 3

1, 44.1, 21  1, 44.0, 4  1, 44(1, 21  0, 4)  1, 44.0,81

9


2

  1, 2  .  0,9 

2

= 1,2.0,9 = 1,08.

c. Ta cã biÕn ®ỉi:
1652  1242

164
d. Ta cã biÕn ®ỉi:
1492  762

457 2  3842

 165  124   165  124 
164

41.289
289 17
 .

2
164
4



 149  76   149  76 
 457  384   457  384 
2

15

73.225
225
 15 

    .
29
73.841
841
 29 


VÝ dơ 6:

(Bµi 31/tr 19  Sgk):
a. So s¸nh 25  16 víi 25  16 .
b. Chøng minh r»ng víi a > b > 0 lu«n có

Hớng dẫn: Ta lần lợt:



a b >

a

b.

Với câu a), thực hiện các phép tính riêng lẻ.
Với câu b), sử dụng phép khai phơng trong phép biến đổi tơng đơng.

Giải
a. Ta nhËn thÊy:
25  16 = 9 = 3 vµ 25  16 = 5  4 = 1  25  16 > 25  16 .
b. Hai vÕ của bất đẳng thức không âm nên bình phơng hai vế, ta đợc:
( a b )2 > ( a  b )2  ab > a + b  2 a.b
2 a.b > 0, luôn đúng với a > b > 0.



Nhận xét: Cách đặt vấn đề của vÝ dơ trªn, gióp chóng ta tiÕp cËn víi bÊt

VÝ dụ 7:

đẳng thức trớc khi đi chứng minh nó. Tuy nhiên, nếu đặt vấn đề
theo kiểu ngợc lại, chúng ta sẽ đợc quyền sử dụng bất đẳng thức
này để đa ra đánh giá cho phép so sánh.

(Bài 30/tr 19 Sgk): Rót gän c¸c biĨu thøc sau:
a.

y x2
, víi x > 0 vµ y ≠ 0.
.
x y4

4
b. 2y 2 . x 2 , víi y < 0.

2

c. 5xy. 25x6 , víi x < 0 vµ y > 0.
y

d. 0, 2x 3 y3 .

16
, víi x ≠ 0 vµ y ≠ 0.
x 4 y8

 Híng dÉn: Sư dơng c¸c phÐp khai phơng.
Giải
a. Ta có biến đổi:
10

4y


2

y x2 y  x  y . x
.
 .  
x y2
x y4 x  y2 

x 0, y 0



y x

1
. 2  .
x y
y

b. Ta cã biÕn ®ỉi:
2y 2 .

2
2
0
x2 
 x 2  2y 2 . x y
2 
x4
2
2
2y
.


 = x y.

2y
.


2
2y
2y

4y


 2y 

c. Ta cã biÕn ®æi:
2

5xy.

25x 2
 5x 
5x y0
 5x 
25x 2

.

5xy.

5xy.


5xy.

3 
 3
y2
y3
y6

 y 
y 

d. Ta cã biÕn ®ỉi:
0, 2x 3 y3 .
VÝ dô 8:

2
16
2 3 3  4  1 x 3 y3 . 4 1 x 3 y3 . 4  4x .

x
y
.
 2 4
5
x 2 y 4 5y
5
x 2 y4
x 4 y8 10
x y 

(Bµi 34/tr 19  Sgk): Rót gän c¸c biĨu thøc sau:
a. ab 2 .

3 , víi a < 0 vµ b ≠ 0.
a b4

27(a  3) 2 , víi a > 3.
48

b.

2

9  12a  4a 2 , víi a  1,5 < 0 vµ b < 0.
b2
ab
d. (a  b).
, víi a < b < 0.
(a  b) 2

c.

 Híng dÉn: Sư dơng c¸c phép khai phơng.
Giải
a. Ta có biến đổi:

3
3 ab 2 . 3
ab 2 .
2 4
ab 2
a b
a 2 b4
b. Ta cã biÕn ®ỉi:
ab 2 .


3

 ab 2 .   2   3.
 ab 

a 0, b 0

27(a  3) 2
9(a  3) 2
 3(a  3) 
 

48
16
 4 
c. Ta cã biÕn ®ỉi:
9  12a  4a 2

b2
d. Ta cã biÕn ®ỉi:
(a  b).

 2a  3
b

2

2



2

 2a  3
b2



3(a  3) a 3 3(a  3)

.
4
4

2



2a  3
b

ab
ab
ab
(a  b).
(a  b).
2
2
(a  b)
a b
(a  b)

a 1,5; b 0



2a  3
.
b


ab 
 (a  b).  

 a b

a b 0

11


ab.
Ví dụ 9:

(Bài 33/tr 19 Sgk): Giải phơng tr×nh:
a.

2.x 

50 0.

b.

c.

3.x 2  12 0.

d.

3.x  3  12  27.
x2

5

20 0.

 Híng dÉn: Sư dơng c¸c phÐp biến đổi tơng đơng.
Giải

a. Biến đổi phơng trình về dạng:
50
50

25 = 5.
2.x 50 x
2
2
Vậy, phơng trình có nghiệm x = 5.
b. Biến đổi phơng trình vỊ d¹ng:
3(x  1)  4.3  9.3 2 3  3 3 5 3  x  1 

5 3

5 x = 4.
3

Vậy, phơng trình có nghiệm x = 4.
c. Biến đổi phơng trình về dạng:
2
3.x 2 4.3 0  3.x 2 2 3  x = 2 x 2.
Vậy, phơng trình có nghiệm x 2.
d. Biến đổi phơng trình về dạng:
5. 20 0  x 2  5.20  100 10  x 10.

x2

Vậy, phơng trình có nghiệm x 10 .
Ví dụ 10: (Bài 35/tr 20 Sgk): Tìm x, biÕt:
a.

(x  3) 2 9.

b.

4x 2  4x  1 6.

Hớng dẫn: Sử dụng các phép khai phơng hoặc phép biến đổi tơng đơng.
Giải
a. Ta có thể trình bày theo các cách sau:
Cách 1: Ta có biến đổi:
x  3 9
 x 12
x  3 9  

 
.
 x  3  9
 x  6
VËy, phơng trình có hai nghiệm x = 12 và x = 6.
Cách 2: Ta có biến đổi:
(x 3)2 = 92  (x  3)2  92 = 0  (x  3  9)(x  3 + 9) = 0
 x  12 0
 x 12
 (x  12)(x + 6) = 0  
 
.
 x  6 0
x 6
Vậy, phơng trình có hai nghiệm x = 12 vµ x = 6.
12


b. Ta có thể trình bày theo các cách sau:
Cách 1: Ta cã biÕn ®ỉi:
 2x  1 6
2
 2x  1 6  2x  1 6   2x  1  6 


 x 5 / 2
 x 7 / 2 .


5

7
Vậy, phơng trình có hai nghiƯm x  , x  .
2
2
C¸ch 2: Ta cã biÕn ®ỉi:
5
7
4x2 + 4x + 1 = 62  4x2 + 4x  35 = 0  x  , x .
2
2
5
7
Vậy, phơng trình có hai nghiệm x , x .
2
2

bài tập lần 2
Bài 1: Thực hiện phÐp tÝnh:
a. A = 72 : 18 .

b. B = 52 : 117 .

 2

18
c. C = 

 2 5 . 5 .
5
5

Bài 2: Rút gọn các biểu thøc:
3 3
a. A =
.
3
2 2 6
b. B =
.
4  24

d. D =

62 5 .
5 1

e. E = 5  2 6 .
2 3

3
c. C = 1  a .
a1

f.

F=

7 4 3 .
3 2

Bài 3: Rút gọn các biểu thức:
2
a. A = 3. 12(a  2) .

27
Bµi 4: Cho biĨu thøc A = x2 x 10 .
Tính giá trị biểu thøc A víi x =

b. B = (ab).

ab
.
(a  b) 2

2+ 5.
5
2

Bµi 5: Cho biĨu thøc:
 a
 b
  a b 
A = 
.
 b  1  a  1  :  b  a 

 
 
a. Rót gän biĨu thøc A.
b. Cho b = 1, t×m a để biểu thức A = 2.

Bài 6: Cho biểu thøc:

13


a.
b.
Bµi 7:

a.
b.
c.
d.

Bµi 8:

a.
b.
c.

14

 1
  1
2 x 2
2 
A = 


 : 

.
 x 1 x x  x  x  1   x  1 x  1
Rút gọn biểu thức A.
1
Tìm x để A = .
5
Cho hai biĨu thøc:
x 1
x  1 vµ B =
A=
.
2x 3
2x 3
Tìm x để A có nghĩa.
Tìm x để B có nghĩa.
Với giá trị nào của x thì A = B ?
Với giá trị nào của x thì chỉ A có nghĩa, còn B không có nghĩa ?
Cho biểu thức:

x1
x 1
1
:
A=

.


x

1
x

1
x

1


Tìm x để A có nghĩa.
Rút gọn biểu thức A.
Tính giá trị của biểu thức với x = 19  8 3 .