Đề thi HSG 18 môn Toán lớp 6 (có đáp án chi tiết)

“Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 6 (có đáp án chi tiết)”

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN: TOÁN - LỚP 6
Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)

ĐỀ SỐ: 01

ĐỀ BÀI
Bài 1: (4.0 điểm) Thực hiện phép tính
a) A=1.2.3…9 - 1.2.3…8 - 1.2.3…8.8
b) B=
c) C = 70.(

+

+

)

d) Thực hiện phép tính: B =
Bài 2: (4.0 điểm) Tìm x biết :
a)

+ =

b)
c)
d) x + (x + 1) + (x + 2) +…+ ( x + 2013) = 2035147
Bài 3: (4.0 điểm)
a). Tìm số tự nhiên nhỏ nhất, biết rằng số đó khi chia cho 3, cho 4, cho 5, cho 6 đều dư là
2, còn chia cho 7 thì dư 3.

b) Tìm x, y nguyên biết: x + y + xy = 40
c) Khi chia một số tự nhiên a cho 4 ta được số dư là 3 còn khi chia a cho 9 ta được số dư
là 5. Tìm số dư trong phép chia a cho 36.
Bài 4: (6.0 điểm) Cho góc
= 550. Trên các tia Bx; By lần lượt lấy các điểm A, C sao cho
A B; C B. Trên đoạn thẳng AC lấy điểm D sao cho
= 300
a. Tính độ dài AC, biết AD = 4cm, CD = 3cm.
b. Tính số đo của
.
c. Từ B vẽ tia Bz sao cho
= 900. Tính số đo
.
Bài 5: (2.0 điểm) Cho tổng T =
+
So sánh T với 3

+

+

+

+

Họ và tên thí sinh: …………………………………..; Số báo danh ………………
Chú ý: Cán bộ coi giao lưu không được giải thích gì thêm.

1

“Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 6 (có đáp án chi tiết)”

ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ SỐ: 01
Bài 1: Thực hiện phép tính
(4.0
a) A = 1.2.3…9- 1.2.3…8- 1.2.3…8.8
điểm)
= 1.2.3…8.(9 - 1 - 8)
=0

0,5
0,5

b) B =
0,25
0,25
0,25
0,25

c) C = 70.(

+

+

)
0,25

= 70.(

+

= 70.13.(
= 70.13.( = 39

+
+

)

0,25

+

)

0,25
0,25

)

0,5
d)B=
0,25
=
0,25
=
=
Bài 2:

(4.0
điểm)

a)

+ =4

=4-

0,25

=

TH1: - 2x =

2x =

-

2x =

x=

TH2: - 2x =

2x =

+

2x =

x=

Vậy x=

0,25
0,25
0,25

;x=
0,25

b)

2


“Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 6 (có đáp án chi tiết)”

0,25
0,25
0,25
Vậy x = 21
0,25

c)

0,25

0,25

0,25

0,25
0,25
0,25

Vậy

Bài 3:
(4.0
điểm)

d) x + (x + 1) + (x + 2) +…+ ( x + 2013) = 2035147
2014x + (1+2+3+…+2013) = 2035147
2014x + 2027091 = 2035147
2014x = 8056
x =4
Vậy x = 4
a) Gọi số tự nhiên cần tìm là a
Vì a chia cho 3, cho 4, cho 5, cho 6 đều dư là 2 nên a - 2 chia hết cho 3,
cho 4, cho 5, cho 6 do đó a - 2 là BC(3, 4, 5, 6)
+ BCNN(3, 4, 5, 6) = 60

0,25

0,5

+ Lập luận a - 2
a

Mà a là số tự nhiên nhỏ nhất và chia cho 7 thì dư 3 nên a = 122
b) x + y + xy = 40
(y+1)x + y + 1= 41
(x + 1)(y + 1) = 41
Mà x, y nguyên => x +1 và y + 1 là ước của 41
Tính được (x, y)

0,5
0,5

0,25
0,25
0,5
0,25

c) Theo đề bài ta có: a = 4p+3 = 9q + 5 ( p, q nguyên)
Suy ra a + 13 = 4p + 3 + 13 = 4(p + 4) (1)
a + 13 = 9q + 5 + 13 = 9(q + 2) (2)

3

0,25


“Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 6 (có đáp án chi tiết)”

Từ (1) và (2) ta nhận thấy a + 13 là bội của 4 và 9 mà (4,9) = 1 nên a + 13
là bội của 4.9 = 36
Ta có a + 13 = 36k (k nguyên) => a = 36k – 13 = 36(k - 1) + 23
Vậy a chia cho 36 dư 23

0,5
0,25
0,25

a) Vì D thuộc đoạn thẳng AC nên D nằm giữa A và C
=> AC = AD + CD
= 4 + 3 = 7(cm)
Vậy AC = 7cm

0,75
0,5
0,5
0.25

b) Chứng minh tia BD nằm giữa hai tia BA và BC
ta có đẳng thức:
=
+
=>
=
= 550 – 300 = 250

1.0
0.5
0.5

Bài 4:
(6.0
điểm)

c) Xét hai trường hợp ( Học sinh vẽ hình trong hai trường hợp)
- Trường hợp 1: Tia Bz và BA nằm trên cùng 1 nửa mặt phẳng có bờ là BD
+ Lập luận tia BA nằm giữa hai tia Bz và BD
Tính được
=
=

0.5
- Trường hợp 2: Tia Bz và BA nằm trên hai nửa mặt phẳng đối nhau có bờ 0.5
là BD
+ Lập luận tia BD nằm giữa hai tia Bz và BA
0.5
Tính được
=
+
=
0.5
,

Bài 5:
(2.0
điểm)

T=

+

+

+

+

+

2T = 2 +
2T –T=

+

+

+

+

2+

-

+

-

+…….+

-

+

-

0.75

T= 2+
Đặt N =

+

+………+
+

-

+………+

4


“Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 6 (có đáp án chi tiết)”

Ta có 2N = 1+

+

+………+
0.5
0.5
0.25

2N-N= 1Vậy N < 1
Nên T< 2+1=3Vậy T<3
Ghi chú:
- Bài hình không có hình vẽ hoặc hình vẽ sai thì không chấm điểm.
- Học sinh làm cách khác mà đúng thì vẫn cho điểm tối đa.
---------------------- Hết ----------------------

5


“Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 6 (có đáp án chi tiết)”

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN: TOÁN - LỚP 6
Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)

ĐỀ SỐ: 02

ĐỀ BÀI
Bài 1: (4.0 điểm) Tính giá trị của các biểu thức sau:



 9 15   5 11 7 
  .    ;
 10 16   12 15 20 



a) 600 : 450 : 450   4.53  23.52  

b) 

c) 1  2  3  4  5  6  ...  4019  4020 ;

15 15 15 15
 

5.2010  1996
7
11
2009
13 .
.
d)
4
4 4 4
14  4.2010
   4
2009 13 7 11
15 

Bài 2: (4.0 điểm)

Tìm x, biết:

a)  3 x  54  .8  : 4  18
d).

b) x  5  16  2.  3

c). 52x-3 – 2.52 = 52.3

3
20
20
20
20
20
3
x-…… =
4
11.13 13.15 15.17 17.19
53.55 11

Bài 3: (4.0 điểm)
a). Số học sinh của một trường khi xếp hàng 10 thì vừa đủ, khi xếp hàng 12 thì thừa 2
học sinh, khi xếp hàng 15 thì thừa 5 học sinh và khi xếp hàng 18 thì thừa 8 học sinh. Biết rằng
số học sinh của trường đó trong khoảng từ 657 đến 800. Tính số học sinh của trường đó?
b) Tìm các số nguyên a, b ( b khác 0) biết
Bài 4: (6.0 điểm)

a 1 1
 
7 14 b

·
Cho xOy
=60 0 . Trên tia Ox lấy hai điểm A,B sao cho

OA=8 cm; OB = 4cm.
a) Chứng tỏ rằng B là trung điểm của đoạn thẳng OA;
· =90 0 . Tính góc yOz.
b) Vẽ tia Oz sao cho xOz

Bài 5: (2.0 điểm) Chứng minh rằng số tự nhiên A chia hết cho 2017
1 
 1 1
A  1.2.3....2016. 1    .... 

2016 
 2 3

- Họ và tên thí sinh: …………………………………..; Số báo danh ………………
Chú ý: Cán bộ coi giao lưu không được giải thích gì thêm.

6


“Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 6 (có đáp án chi tiết)”

ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ SỐ: 02
Bài
Bài 1
(4.0
điểm)

Nội dung

Điểm

Câu a: (1,0 điểm)









600 : 450 :  450   4.53  23.52    600 : 450 :  450   4.125  8.25  

0,5

 600 : 450 :  450  300

 600 : 450 :150  600 : 3  200

0,5

Câu b: (1,0 điểm)
 9 15   5 11 7   72 75   25 44 21 
  .       .   
 10 16   12 15 20   80 80   60 60 60 
3 2 1
 .

80 3 40

0,5

Câu c: (1,0 điểm)

0,5

1  2  3  4  5  6  ...  4019  4020   1   1   1  ...   1
1 4 4 4 44 2 4 4 4 4 43
2010 so hang 1

0,5

0,5

= 2010.  1  2010
Câu d: (1,0 điểm)
5.2010  1996   4  1 .2010  1996  4.2010  2010  1996  14  4.2010
15 15 15 15 15  1  1  1  1  1 
 



7 11 2009 13   7 11 2009 13   15
4
4 4 4
1 1 1
4
 1

   4

4
    1
2009 13 7 11
 2009 13 7 11 

0,25

15 

0,5

Suy ra:
5.2010  1996
.
14  4.2010

Bài 2
(4.0
điểm)

15 15 15 15
 

7 11 2009 13  14  4.2010 . 15  15
4
4 4 4
4
    4 14  4.2010 4
2009 13 7 11

15 

0,25

Câu a: (1 điểm)
 3 x  54  .8 : 4  18   3 x  54  .8  72
3x  54  9
3 x  63
x  21 . Vậy x  21

0,5

0,5

Câu b: (1 điểm)
x  5  16  2.  3
x  5  16   6 

0,5

x  5  10
 x  5  10
 x  15
 x  5  10   x  5


Vậy x  5;15

0,5

Câu c: (1điểm)

7


“Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 6 (có đáp án chi tiết)”

52x-3 – 2.52 = 52.3
52x: 53 = 52.3 + 2.52
52x: 53 = 52.5
52x = 52.5.53
52x = 56 => 2x = 6 => x=3
Câu d: (1 điểm)

1,0

3
20
20
20
20
20
3
x-…… =
4
11  13 13  15 15  17 17  19
53  55 11
3
2
2

2
2
2
3
x – 10(
+
+
+
+ …….+
)=
4
11  13
13  15
15  17
17  19
53  55
11
3
1
1
3
x – 10 (
)=
4
11 55
11
3
8
3
x=

4
11 11
3
x=1
4
3 4
Vậy x = 1:
=
4
3

Bài 3
(4.0
điểm)

0,25

0,5
0,25

Câu a: (2 điểm)
Gọi số học sinh phải tìm là x (x thuộc N) thì x  10  BC 10,12,15,18  và
657  x  800
BCNN 10, 12, 15, 18   2 2.32.5  180  x  10  180.k  k  N * 

Theo đề ta có 657  x  800  667  x  10  810  667  180.k  810
V× k  N * vµ 667  180.k  810 nªn k  4
Với k  4 ta có x  180.k  10  180.4  10  710
Vậy trường đó có tất cả 710 học sinh
Câu b: (2 điểm) Ta có:

a 1 1 2a  1 1
 


  2a  1 .b  14
7 14 b
14
b

- Vì a,b là các số nguyên nên 2a + 1 là số nguyên lẻ. Suy ra 2a+1 là ước
của -14. Ta xét các trường hợp
TH1: Nếu 2a+1 = 1 thì b=-14.
=> a=0; b = -14
TH2: Nếu 2a+1 = -1 thì b=14.
=> a=-1; b =14
TH3: Nếu 2a+1 = 7 thì b=-2.
=> a=3; b = - 2
TH4: Nếu 2a+1 = -7 thì b=2.
=> a= - 4; b = 2
KL: a=0; b = -14
a=-1; b =14
a=3; b = - 2
a= - 4; b = 2

8

0,75
0,5

0,5

0,25
0,5
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25


“Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 6 (có đáp án chi tiết)”

Bài 4
(6.0
điểm)

y

O

B

x

A

Câu a: (2 điểm) Trên tia Ox có OA > OB nên B nằm giữa O và A.(1)
Khi đó ta có: OB + BA = OA
Suy ra:
4+ BA = 8

Nên BA = 4 (cm) .
Mà OB = 4 cm nên OB = BA (2)
Từ (1) và (2) ta có B là trung điểm của đoạn thẳng OA.
Câu b: (4 điểm) Trường hợp 1: Hai tia Oy và Oz nằm trên cùng nửa mặt
phằng bờ là đường thẳng chứa tia Ox.

0.5
0.5
0,5
0.5
0.25

y

z

O

B

A

x

·  xOz
·
Trên cùng nửa mặt phẳng bờ Ox có xOy
nên tia Oy nằm giữa hai tia
Ox và Oz.
Do vậy ta có:

0,75

·  ·yOz  xOz
·  600  ·yOz  900  ·yOz  900  600  300
xOy
Vậy: ·yOz  300

1,0

* Trường hợp 2: Hai tia Oy và Oz nằm trên hai nửa mặt phằng đối nhau bờ
là đường thẳng chứa tia Ox.

0,25

y

O

B

A

x

z

Do Oy và Oz nằm trên hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ Ox và
·yOx  xOz
·  1500  1800 nên tia Ox nằm giữa hai tia Oy và Oz.

9

0.75


“Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 6 (có đáp án chi tiết)”

Từ đó ta có:
·yOz  ·yOx  xOz
·
 ·yOz  600  900
 ·yOz  1500

1,0

Vậy: ·yOz  1500

Bài 5
(2.0
điểm)

Ta có:
1 
 1 1
A  1.2.3....2016.  1    .... 

2016 
 2 3
2017

2017 
 2017
 1.2.3...2016. 

 ... 

1008.1009 
 1.2016 2.2015
1
1
 1

 1.2.3....2016.2017. 

 ... 

1008.1009 
 1.2016 2.2015
1
1
 1

- Vì 1.2.3....2016. 

 ... 
 là số tự nhiên
1008.1009 
 1.2016 2.2015
1
1

 1

nên 1.2.3....2016.2017 

 ... 
M2017
1008.1009 
 1.2016 2.2015

Vậy A chia hết cho 2017
Ghi chú:
-

Bài hình không có hình vẽ hoặc hình vẽ sai thì không chấm điểm.
Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.
---------------------- Hết ----------------------

10

0,75

0,25
0,5

0,5


“Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 6 (có đáp án chi tiết)”

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN: TOÁN - LỚP 6

Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)

ĐỀ SỐ: 03

ĐỀ BÀI

Câu 1. (4,5 điểm) Tính giá trị các biểu thức sau:
a) A = (-1).(-1)2.(-1)3.(-1)4… (-1)2010.(-1)2011
131313
131313
131313
+
+
)
565656
727272
909090
2a 3b
4c
5d
2a
4c
5d
3b
c) C =
+
+
+
biết
=

=
=
.
3b 4c
5d
2a
3b
5d
2a
4c

b) B = 70.(

Câu 2. (4,0 điểm) Tìm x là các số tự nhiên, biết:
a)

x 1
8
=
2
x 1

2 2

1
3
9 11
b) x : ( 9 - ) =
8 8
2

2
1,6  
9 11
0,4 

Câu 3. (3,0 điểm)
a) Tìm tất cả các cặp số tự nhiên (x,y) sao cho 34x5y chia hết cho 36 .
b) Không quy đồng mẫu số hãy so sánh
9
 19
9
 19
A  2010  2011 ; B  2011  2010
10
10
10
10
Câu 4. (2,5 điểm)
Cho A =

n 1
n4

a) Tìm n nguyên để A là một phân số.
b) Tìm n nguyên để A là một số nguyên.
Câu 5. (6,0 điểm)
Cho tam giác ABC có ABC = 550, trên cạnh AC lấy điểm D (D không trùng với A và C).
a) Tính độ dài AC, biết AD = 4cm, CD = 3cm.
b) Tính số đo của DBC, biết ABD = 300.
c) Từ B dựng tia Bx sao cho DBx = 900. Tính số đo ABx.

d) Trên cạnh AB lấy điểm E (E không trùng với A và B). Chứng minh rằng 2 đoạn thẳng
BD và CE cắt nhau.
-------------------------Hết--------------------

11


“Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 6 (có đáp án chi tiết)”

ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ SỐ: 03
CÂU
Câu 1 a) (1,5 đ)
(4,5 đ) A = -1.1.(-1).1…(-1).1(-1) = -1
b) (1,5 đ)

.
NỘI DUNG

ĐIỂM
1,5

13
1
1
1
13
13
+
+
) = 70.13.(

+
+
)
72
7. 8
8. 9
9.10
56
90
1
1
= 70.13.( - ) = 39
7 10

B = 70.(

1,0
0,5

c) (1,5 đ)
2a
3b
4c
5d
=
=
=
=k
3b
4c

5d
2a
2a 3b 4c 5d
Ta có
. . . = k4 => k4 = 1  k =  1.
3b 4c 5d 2a

Đặt

Với k = 1 = > C = 4;
Với k = - 1 = > C = - 4
Câu 2 a) (2,0 đ)
8
(4,0đ) x  1
=
 (x + 1)2 = 16 = (  4)2
2

0,5
0,5

0,75
0,5
0,5
0,25

x 1

+) x + 1 = 4 => x = 3
+) x + 1 = - 4 => x = -5 (loại)

Vậy x = 3
b) (2,0 đ)
2 2

9 11
8 8
1,6  
9 11
2 2
0,4  
19 3
9
11
 x :(  ) =
2 2
2 2

4 0,4   
9 11 

x 1
=> 
8 4
1
3
x : (9 - ) =
2
2

0,5

0,4 

0,5
1,0

=> x = 2
Câu 3 a) (1,5 đ)
(3,0 đ) Ta có 36 = 9.4. Mà ƯC(4,9) =1
Vậy để 34x5y chia hết cho 36 thì 34x5y chia hết cho 4 và 9
34x5y chia hết cho 9 khi (3 + 4 + x + 5 + y) 9 => (12 + x + y) 9 (1)
34x5y chia hết cho 4 khi 5y 4 => y = 2 hoặc y = 6
Với y = 2 thay vào (1) => 14 + x 9 => x = 4
Với y = 6 thay vào (1) => 18 + x 9 => x = 0 hoặc x = 9
Vậy các cặp (x,y) cần tìm là: (4,2); (0,6) và (9,6)
b) (1,5 đ)

12

0,5
0,25
0,5
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25


“Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 6 (có đáp án chi tiết)”

CÂU

NỘI DUNG

ĐIỂM
0,5

9
19
9
10
9
Ta có A  2010  2011  2010  2011  2011
10
10
10
10
10
9
19
9
10
9
B  2011  2010  2011  2010  2010
10
10
10
10
10

10
10
Ta thấy 2011  2010 => Vậy A > B
10
10

Câu 4 a) (0,5 đ)
n 1
(2,5 đ)
A=
là phân số khi
n4

0,5
0,5
0,5

n nguyên, n + 4  0 => n  - 4

b) (2,0 đ)
A=

n 1
n 45
5
=
 1
n4
n4
n4

0,5

Với n nguyên, A nhận giá trị nguyên  5  n + 4 hay n + 4  Ư(5)
Lập luận tìm ra được n = -9, -5, -3, 1

0,5
1,0

A

Câu 5
(6,0 đ)
x

E
D

C

B

x

a) (1,5 đ)
D nằm giữa A và C => AC = AD + CD = 4 + 3 = 7 cm
b) (1,5 đ)
Tia BD nằm giữa hai tia BA và BC nên ABC = ABD + DBC
=> DBC = ABC –ABD = 550 – 300 = 250
c) (1,5 đ)

Xét hai trường hợp:
- Trường hợp 1: Tia Bx và BD nằm ở hai phía nửa mặt phẳng đối nhau có bờ
là AB
Tính được ABx = 900 – ABD
Mặt khác tia BD nằm giữa hai tia BA và BC nên 00 => 900- 550 < ABx < 900 – 00  350 < ABx < 900
(1)
- Trường hợp 2: Tia Bx và BD nằm ở cùng nửa mặt phẳng có bờ là AB
Tính được ABx = 900 + ABD
Lập luận tương trường hợp 1 chỉ ra được 900 < ABx < 1450 (2)
Từ (1) và (2) suy ra 350 < ABx < 1450, ABx  900
d) (1,5 đ)
- Xét đường thẳng BD.
Do BD cắt AC nên đường thẳng BD chia mặt phẳng làm 2 nửa: 1 nửa mặt

13

1,5
1,0
0,5

0,75

0,75


“Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 6 (có đáp án chi tiết)”

CÂU

NỘI DUNG
ĐIỂM
phẳng có bờ BD chứa điểm C và nửa mặt phẳng bờ BD chứa điểm A => tia
BA thuộc nửa mặt phẳng chứa điểm A.
E thuộc đoạn AB => E thuộc nửa mặt phẳng bờ BD chứa điểm A
0,75
=> E và C ở 2 nửa mặt phẳng đối nhau bờ BD
=> đường thẳng BD cắt đoạn EC
0,5
- Xét đường thẳng CE.
0,25
Lập luận tương tự: ta có đường thẳng EC cắt đoạn BD.
Vậy 2 đoạn thẳng EC và BD cắt nhau.
Lưu ý: Học sinh làm cách khác nếu đúng vẫn cho điểm tối đa
---------------------- Hết ----------------------

14


“Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 6 (có đáp án chi tiết)”

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN: TOÁN - LỚP 6
Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)

ĐỀ SỐ: 04

ĐỀ BÀI
Bài 1 ( 4,0 điểm):
a) Tính : 21. 62 – 11.62+ 90.82 - 64.80

4
 5
 5
 1  0,25  :  75% .
3
 12
 8

b) Tính: 

c) So sánh : 351 và 534
Bài 2 ( 4,0 điểm): Tìm x biết:
a) 2 - 1 : (2x – 3) = 0
b) 3 x  1  1
c) (x - 3)2014 = (x - 3)2016
Bài 3 ( 6,0 điểm ):
a) Tìm hai số nguyên dương a, b biết [a, b] = 240 và (a, b) = 16.
b) Số sách ở ngăn A bằng
B thì số sách ở ngăn A bằng

2
số sách ở ngăn B. Nếu chuyển 3 quyển từ ngăn A sang ngăn
3

3
số sách ở ngăn B. Tìm số sách ở mỗi ngăn.
7

c) Tìm tất cả các số nguyên tố x, y sao cho: x2 – 6y2 = 1.
Bài 4 ( 4,0 điểm ):

Cho góc xAy , trên tia Ax lấy điểm B sao cho AB = 6 cm. Trên tia đối của tia Ax lấy
điểm D sao cho AD = 4 cm.
a) Tính BD.
b) Lấy C là một điểm trên tia Ay. Biết BCD = 800, BCA = 450. Tính ACD
c) Biết AK = 2 cm (K thuộc BD). Tính BK
Bài 5 ( 2,0 điểm): Cho A 

2 2 2
2
1007



.....

A

.
Chứng
minh
32 5 2 7 2
20152
2016

- Họ và tên thí sinh:…………………………………; Số báo danh:

Chú ý: Cán bộ coi thi không được giải thích gì thêm.

15

“Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 6 (có đáp án chi tiết)”

ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ SỐ: 04
I. Một số chú ý.
1. Tổng số điểm của câu (bài) trong đề thi là 20 điểm.
2. Không được làm tròn điểm của từng câu (bài) và tổng điểm đạt được của thí sinh.
3. Thí sinh có thể giải bằng các cách khác với lời giải trong hướng dẫn chấm, nếu lời giải
đúng, đủ bước thì người chấm vẫn có thể cho điểm tối đa theo biểu điểm quy định cho từng câu.
II. Đáp án, biểu điểm và hướng dẫn chấm.
Bài Câu
1

Yêu cầu cần đạt và lời giải tóm tắt

Mức
điểm

1
4đ

a).62(21-11) + 64(90-80) = 360+640=1000

1,5

 5 7 1  5 3 5  28  3 8 3 5 8 3 19
.  = .  =
.
b)     :  =
12

5 4
2 5 4
4
 12 3 4  8 4

1,5

51

17

34

17

c). 3 = 27 vµ 5 =25

51

1,0

34

=> 3 > 5

2
a). 2 - 1 : (2x – 3) = 0
1 : ( 2x – 3) = 2

1

2
7
2x =
4
7
x=
8

2x – 3 =

1,0

b). 3 x  1  1
4
điểm

x 1 

1
3

=> x  1 

1
1
hoặc x  1  
3
3

1,0

4
2
=> x  hoặc x 
3
3
c). (x - 3)2014 = (x - 3)2016
2014

( x – 3)

1,0

2

.[(x-3) - 1] = 0

( x – 3)2014 = 0 hoặc ( x – 3)2 = 1
x – 3 = 0; x – 3 = 1; hoặc x – 3 = -1
x =3;
3

x = 4; hoặc x = 2

a). Tìm số nguyên dương a, b biết [a, b] = 240 và (a, b) = 16.

16

1,0

“Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 6 (có đáp án chi tiết)”

Do vai trò của a, b là như nhau, không mất tính tổng quát, giả sử a ≤ b.
Do (a, b) = 16 nên a = 16m ; b = 16n (m ≤ n do a ≤ b) với m, n thuộc Z+ ;

1,0

(m, n) = 1.
Theo định nghĩa BCNN :
[a, b] = mnd = mn.16 = 240 => mn = 15

1,0

=> m=1 ,n = 15 hoặc m = 3, n = 5=> a =16, b = 240 hoặc a = 48, b=80.
KL: (a,b) = (16; 240); (48;80); (240;16); (80;48).
b).
- Số sách ở ngăn A bằng 2/3 số sách ở ngăn B nên số sách ở ngăn A bằng
2/5 số sách của cả hai ngăn .
6
điểm - Sau khi chuyển 3 quyển từ ngăn A sang ngăn B thì số sách của ngăn A

0,75

bằng 3/7 số sách ở ngăn B hay bằng 3/10 số sách cả hai ngăn .
- Vì số sách ngăn A ban đầu hơn số sách ở ngăn B sau khi chuyển là 3
quyển nên ta có phân số chỉ số 3 quyển sách là 2/5-3/10=1/10
số sách cả hai ngăn là 3:1/10= 30 quyển
số sách ở ngăn A là : 2/5.30 = 12 quyển
số sách ở ngăn B là : 30-12 = 18 quyển

0,5

0,75

KL:
c). Ta có: Với x,y là 2 số nguyên tố
2

2

2

2

x  6 y  1  x  1  6 y  ( x  1)( x  1)  6 y

0,5
0,5

2

Do 6 y 2 M
2  ( x  1)( x  1)M
2
Mµ x - 1 + x + 1 = 2x  x - 1 vµ x + 1 . là hai số chẵn liên tiếp

0,5

 ( x  1)( x  1)M

8  6y2 M
8  3y 2 M4

0,5

2

 y M2  y M2  y  2  x  5

4

1

Hình vẽ:

C y

điểm

D

A

B
17

x


“Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 6 (có đáp án chi tiết)”

a)

Vì B thuộc tia Ax, D thuộc tia đối của tia Ax
 A nằm giữa D và B
 BD = BA + AD = 6 + 4 = 10 (cm)

KL:…..
b) Vì A nằm giữa D và B => Tia CA nằm giữa 2 tia CB và CD
1,0

ACD  ACB  BCD
 ACD  800  450  350

KL:….
c) * Trường hợp 1 : K thuộc tia Ax
-

Lập luận chỉ ra được K nằm giữa A và B

-

Suy ra: AK + KB = AB

1,0

 KB = AB – AK = 6 – 2 = 4 (cm)

D

K

A

x

B

1,0
* Trường hợp 2 : K thuộc tia đối của tia Ax
- Lập luận chỉ ra được A nằm giữa K và B
- Suy ra: KB = KA + AB
 KB = 6 + 2 = 8 (cm)

D

K

A

B

x

1,0
* Kết luận: Vậy KB = 4 cm hoặc KB = 8 cm
5

A

2 2 2
2
1007
 2  2  ..... 
. Chứng minh A 
2
2
3 5 7
2015
2016

Ta có:
điểm

A

2
2
2
2
2
2
2
2
 2  2  ... 



 ... 
2

2
2014.2016
3
5
7
2015 2.4 4.6 6.8

18

1,0


“Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 6 (có đáp án chi tiết)”

1 1 1 1
1
1
    ... 

2 4 4 6
2014 2016
1
1
1007
A 

2 2016 2016
A

KL:

---------------------- Hết ----------------------

19

0,5

0,5


“Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 6 (có đáp án chi tiết)”

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN: TOÁN - LỚP 6
Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)

ĐỀ SỐ: 05

ĐỀ BÀI
Bài 1 (4điểm) Thực hiện phép tính

3
5

5
6

a/ A=  6 11
b/ B 

5

1 1
 9 :8
20
4 3

1 1 1 1 1 1 1 1 1
  
 
 

2
6 12 20 30 42 56 72 90

Bài 2 (4điểm): Tìm x biết

2 4 5
 
 1 3  5 9 11
a/ x :  9   
 2 2  8  16  20
5 9 11

1
2
 1 
b/ 2x    2   4.

3
 2 

3

Bài 3 (5điểm)
a/ Tìm số tự nhiên nhỏ nhất có 3 chữ số biết rằng số đó chia cho 4; 6; 7 đều dư 3.
b/ Tìm số nguyên tố p sao cho p+10 và p  14 đều là số nguyên tố
c/ Tìm các số nguyên x, y thoả mãn điều kiện x  y  2   y  3
Bài 4 (5điểm): Cho góc xAy, trên tia Ax lấy điểm B sao cho AB=5cm. Trên tia đối của tia Ax
lấy điểm D sao cho AD = 3cm, C là một điểm trên tia Ay.
a/ Tính độ dài đoạn thẳng BD.

·
·
b/ Biết BCD
 850 , BCA
 500 . Tính số đo góc ACD.
c/ K là điểm trên đoạn thẳng BD sao cho AK = 1cm. Tính BK.
Bài 5 (2 điểm) Cho các số a1 ,a 2 ,...,a 7 là các số nguyên và b1 , b 2 ,...,b 7 cũng là các số nguyên
đó nhưng lấy theo thứ tự khác. Chứng minh rằng  a1  b1  a 2  b 2   a 3  b3  .... a 7  b 7  là số
chẵn.
HẾT
Cán bộ coi thi không giải thich gì thêm

20


“Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 6 (có đáp án chi tiết)”

ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ SỐ: 05
Bài

ý
a

Nội dung

3
5



2,0
Bài 1

4
điểm

b

2,0

Bài 2

5
6

A=  6  11

5
1  1 3 41  1
1  25

 9  :8   11  9  :
20
4 3 5 6  4
4 3

3 41 3
 .2.
5 6
25

Điểm
0,5

0,5

3 41 15 41 56
6
 



2
5 25 25 25 25
25
6
Vậy A  2
25
1 1 1 1 1 1 1 1 1
B
  

 
 

2
6 12 20 30 42 56 72 90
1
1
1
1
1
1
1
1 
 1
= 









 1.2 2.3 3.4 4.5 5.6 6.7 7.8 8.9 9.10 
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 
                   
 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 10 
1  9


  1   
 10  10
9
Vậy B 
10

0,75
0,25

0.5

0,75
0,5
0,25

a
Ta có
2,0

4
điểm

2 4 5
2 4 5
 
 
x
 1 3  5 9 11
5
9 11

x :9   
 
8
16
20
2
4 5
8

 2 2
 
4   
5 9 11
 5 9 11 
x 1
 
8 4
Vậy x = 2

b

0,5
0,5
0,25

3

1
1
1

2
 1 
  2   4.   2x   4  4.
3
3
8
 2 
1
1 7
 2x   4  
3
2 2
2x 

2,0

0,75

21


“Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 6 (có đáp án chi tiết)”

1 7

 2x  3  2

 2x  1   7

3

2

Với

1 7
23
23
2x    2x   x 
3 2
6
12

1
7
19
19
2x     2x 
x
3
2
6
12
23 19
Vậy x  ;
12 12
Gọi số cần tìm là a. Điều kiện a  N,a  100
Vì a chia cho 4, 6, 7 đều dư 3  a  3M
4,6,7
Với

Bài 3
a

5,0
điểm

0,25
0,25
0,5

 a – 3  BC  4;6;7  = B 84 = 0; 84;168; 252; ...

 a  87;171; 255; ... và vì a là số tự nhiên có ba chữ số.
1,75 Vậy

 a  3M
BCNN  4,6,7   a  3M
84
Vì a  100  a  3  97 , và a là số nhỏ nhất có 3 chữ số
 a  3  168  a  171 . Vậy số cần tìm là 171
b

Nếu p = 3 thì p+10=13; p+14=17 đều là số nguyên tố
 p  3 là giá trị cần tìm
Nếu p  3 , vì p là số nguyên tố nên p có dạng p  3k  1 (với k  N* ) hoặc
p  3k  2 (với k  N ).

Với p  3k  1 (với k  N* )  p  14  3k  1  14  3  k  5 M
3 và
1,75 P + 14 >3 nên p + 14 là hợp số.

đ
Với p  3k  2 (với k  N )  p  10  3k  2  10  3  k  4 M
3 và
P + 10 > 3 nên p + 10 là hợp số.
Do đó nếu p  3 thì một trong hai số p+10, p+14 là hợp số nên không thoả
mãn bài toán.
Vậy p = 3
c
Ta có: x  y  2   y  3  x  y  2    y  2   1

  x  1 y  2   1

1

Vì x, y là các số nguyên nên x-1, y+2 cũng là các số nguyên
1,5đ Từ (1) suy ra x-1 và y+2 là ước của 1.
Với x-1=1 và y+2=1. Suy ra x=2 và y=-1
Với x-1=-1 và y+2=-1.suy ra x=0 và y=-3
Vậy (x,y)=(2,-1); (0,-3)
Bài 4

y3

1

Có thể làm: Từ x(y + 2) – y = 3  x = y  2  1  y  2

22

0,25

0,25
0,25

0,25
0,25
0,5

0,5

0,25
0,5
0,25
0,25
0,25
0,25


“Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 6 (có đáp án chi tiết)”

Vì x, y nguyên nên y + 2  Ư 1 =  1  y = – 1 ; – 3
Vậy (x, y) =

 2; 1 ;  0; 3

a

y
C

0,5

1,75
đ
5,0
điểm

D

B

A

x

Vì điểm D thuộc tia đối của tia Ax nên điểm A nằm giữa hai điểm B và D

 BD  BA  AD  5  3  8  cm 
b

Vậy BD=8cm
Vì điểm A nằm giữa hai điểm B và D nên tia AC nằm giữa 2 tia CB và CD.

·
·
·
 ACD
 BCA
 BCD
·
1,75  ACD
 500  850

đ
·
 ACD
 350
·
 350
Vậy ACD
c

0,5
0,5
0,25
0,5

1,0

0,25

Vì Điểm K thuộc đoạn thẳng BD và AK = 1cm nên ta xét 2 trường hợp.
TH1: Điểm K thuộc đoạn thẳng AB
K

A

D

B

x

B

x

0,75

Vì K thuộc đoạn thẳng AB

 AK  KB  AB
 1  BK  5  BK  4  cm 
1,5
đ

TH2:Điểm K thuộc đoạn thẳng AD
0,75
D

K

A

Vì K thuộc đoạn thẳng AD nên điểm A nằm giữa 2 điểm K và B

 BK  BA  AK  5  1  6  cm 
Vậy BK= 4cm , BK=6cm

Xét tổng
Bài 5

2,0

 a1  b1    a 2  b2    a 3  b3   ....   a 7  b7 
  a1  a 2  a 3  a 4  a 5  a 6  a 7    b1  b 2  b3  b 4  b5  b6  b 7   0
Nếu cả 7 số a1  b1 ,a 2  b 2 ,.....,a 7  b 7 đều lẻ thì tổng của chúng là số lẻ và

23

0,5
0,75


“Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 6 (có đáp án chi tiết)”

điểm

do đó khác 0 (lẻ đối nhau vẫn có thể bằng 0)
Suy ra có ít nhất một trong 7 số a1  b1 ,a 2  b 2 ,.....,a 7  b 7 là số chẵn

  a1  b1  a 2  b 2   a 3  b3  .... a 7  b 7  là số chẵn.
Ta có hiệu  ai  bi  khác tính chẵn lẻ sẽ là một số lẻ.
Không mất tính tổng quát nếu ta giả sử  a1  b1  a2  b2  a3  b3  ...  a6  b6  là
2
điểm

các hiệu khác tính chẵn lẻ, nên tích trên là số lẻ  a 7 và b 7 sẽ cùng tính
chẵn lẻ, hay  a7  b7  là số chẵn.
Vậy  a1  b1  a 2  b 2   a 3  b3  .... a 7  b 7  là số chẵn.

Chú ý : Nếu học sinh làm theo cách khác đúng vẫn chấm điểm tối đa.
--------------------------Hết-------------------

24

0,75


“Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 6 (có đáp án chi tiết)”

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN: TOÁN - LỚP 6
Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)

ĐỀ SỐ: 06

ĐỀ BÀI
Câu 1: (4 điểm) Thực hiện phép tính bằng cách hợp lí nhất.
a)

2012 – (304+2012)+(2013+304)

b)
Câu 2: (4 điểm) Tìm x, y
a) (x-7)(xy+1) = 9
b)

với x – y =5

Câu 3: (4 điểm) Tìm hai số tự nhiên nhỏ hơn 200, biết hiệu của chúng là 90 và ƯCLN của
chúng là 15.
Câu 4: (5 điểm) Một xe ô tô đi từ A đến B với vận tốc không đổi và số giờ chạy là một số tự
nhiên. Giờ đầu xe chạy được 12 km và

và

quãng đường còn lại. Giờ thứ hai xe chạy được 18 km

quãng đường còn lại. Giờ thứ ba xe chạy được 24km và

quãng đường còn lại. Xe cứ

chạy như vậy đến B. Tính quãng đường AB và thời gian xe chạy từ A đến B?
Câu 5: (3điểm) Chứng tỏ rằng số 111...11222...222 (tạo thành từ 100 chữ số 1 và 100 chữ số 2)
là tích của hai số nguyên liên tiếp.
--------------------Hết-------------Lưu ý: Giám thị coi thi không giải thích gì thêm.

25