Bộ đề & ĐA ôn thi vào lớp 10 THPT môn Toán Đề số 15

LTC ST&GT
ĐỀ 15
Bài 1: Cho biểu thức: P =
( )








−
+−








+
+
−
−
−
1
122
:
11

x
xx
xx
xx
xx
xx
a,Rỳt gọn P
b,Tỡm x nguyờn để P cú giỏ trị nguyờn.
Bài 2: Cho phương trỡnh: x
2
-( 2m + 1)x + m
2
+ m - 6= 0 (*)
a.Tỡm m để phương trỡnh (*) cú 2 nghiệm õm.
b.Tỡm m để phương trỡnh (*) cú 2 nghiệm x
1
; x
2
thoả món
3
2
3
1
xx −
=50
Bài 3: Cho phương trỡnh: ax
2
+ bx + c = 0 cú hai nghiệm dương phõn biệt x
1
,

x
2
Chứng minh:
a,Phương trỡnh ct
2
+ bt + a =0 cũng cú hai nghiệm dương phõn biệt t
1
và t
2
.
b,Chứng minh: x
1
+ x
2
+ t
1
+ t
2

≥
4
Bài 4: Cho tam giỏc cú cỏc gúc nhọn ABC nội tiếp đường trũn tõm O . H là trực
tõm của tam giỏc. D là một điểm trờn cung BC khụng chứa điểm A.
a, Xỏc định vị trớ của điẻm D để tứ giỏc BHCD là hỡnh bỡnh hành.
b, Gọi P và Q lần lượt là cỏc điểm đối xứng của điểm D qua cỏc đường
thẳng AB và AC . Chứng minh rằng 3 điểm P; H; Q thẳng hàng.
c, Tỡm vị trớ của điểm D để PQ cú độ dài lớn nhất.
Bài 5: Cho hai số dương x; y thoả món: x + y
≤
1

Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của: A =
xyyx
5011
22
+
+
ĐÁP ÁN
Bài 1: (2 điểm). ĐK: x
1;0 ≠≥ x

a, Rỳt gọn: P =
( )
( )
( )
1
12
:
1
12
2
−
−
−
−
x
x
xx
xx
z
<=> P =

1
1
)1(
1
2
−
+
=
−
−
x
x
x
x
b. P =
1
2
1
1
1
−
+=
−
+
xx
x
Để P nguyờn thỡ
LTC ST&GT
)(121
9321

0011
4211
Loaixx
xxx
xxx
xxx
−=⇒−=−
=⇒=⇒=−
=⇒=⇒−=−
=⇒=⇒=−

Vậy với x=
{ }
9;4;0
thỡ P cú giỏ trị nguyờn.
Bài 2: Để phương trỡnh cú hai nghiệm õm thỡ:
( )
( )







<+=+
>−+=
≥−+−+=∆
012
06

06412
21
2
21
2
2
mxx
mmxx
mmm

3
2
1
0)3)(2(
025
−<⇔







−<
>+−
>=∆
⇔ m
m
mm
b. Giải phương trỡnh:

( )
50)3(2
3
3
=+−− mm









−−
=
+−
=
⇔
=−+⇔=++⇔
2
51
2
51
0150)733(5
2
1
22
m
m

mmmm

Bài 3: a. Vỡ x
1
là nghiệm của phương trỡnh: ax
2
+ bx + c = 0 nờn ax
1
2
+ bx
1
+ c
=0. .
Vỡ x
1
> 0 => c.
.0
1
.
1
1
2
1
=++







a
x
b
x
Chứng tỏ
1
1
x
là một nghiệm dương của
phương trỡnh: ct
2
+ bt + a = 0; t
1
=
1
1
x
Vỡ x
2
là nghiệm của phương trỡnh:
ax
2
+ bx + c = 0 => ax
2
2
+ bx
2
+ c =0
vỡ x
2

> 0 nờn c.
0
1
.
1
2
2
2
=+








+








a
x
b
x

điều này chứng tỏ
2
1
x
là một nghiệm dương
của phương trỡnh ct
2
+ bt + a = 0 ; t
2
=
2
1
x

LTC ST&GT
Vậy nếu phương trỡnh: ax
2
+ bx + c =0 cú hai nghiẹm dương phõn biệt x
1
; x
2
thỡ
phương trỡnh : ct
2
+ bt + a =0 cũng cú hai nghiệm dương phõn biệt t
1
; t
2
. t
1

=
1
1
x
; t
2
=
2
1
x
b. Do x
1
; x
1
; t
1
; t
2
đều là những nghiệm dương nờn
t
1
+ x
1
=
1
1
x
+ x
1

≥
2 t
2
+ x
2
=
2
1
x
+ x
2

≥
2
Do đú x
1
+ x
2
+ t
1
+ t
2

≥
4
Bài 4
a. Giả sử đó tỡm được điểm D trờn cung BC sao cho tứ giỏc BHCD là hỡnh bỡnh
hành . Khi đú: BD//HC; CD//HB vỡ H là trực tõm tam giỏc ABC nờn
CH
AB⊥

và BH
AC⊥
=> BD
AB⊥
và CD
AC⊥
.
Do đú:
∠
ABD = 90
0
và
∠
ACD = 90
0
.
Vậy AD là đường kớnh của đường trũn tõm O
Ngược lại nếu D là đầu đường kớnh AD
của đường trũn tõm O thỡ
tứ giỏc BHCD là hỡnh bỡnh hành.
b) Vỡ P đối xứng với D qua AB nờn
∠
APB =
∠
ADB
nhưng
∠
ADB =
∠
ACB nhưng

∠
ADB =
∠
ACB
Do đú:
∠
APB =
∠
ACB Mặt khỏc:
∠
AHB +
∠
ACB = 180
0
=>
∠
APB +
∠
AHB = 180
0

Tứ giỏc APBH nội tiếp được đường trũn nờn
∠
PAB =
∠
PHB
Mà
∠
PAB =
∠

DAB do đú:
∠
PHB =
∠
DAB
Chứng minh tương tự ta cú:
∠
CHQ =
∠
DAC
Vậy
∠
PHQ =
∠
PHB +
∠
BHC +
∠
CHQ =
∠
BAC +
∠
BHC = 180
0
Ba điểm P; H; Q thẳng hàng
c). Ta thấy
∆
APQ là tam giỏc cõn đỉnh A
Cú AP = AQ = AD và
∠

PAQ =
∠
2BAC khụng đổi nờn cạnh đỏy PQ
đạt giỏ trị lớn nhất  AP và AQ là lớn nhất hay  AD là lớn nhất
 D là đầu đường kớnh kẻ từ A của đường trũn tõm O
H
O
P
Q
D
C
B
A
LTC ST&GT