10 đề thi chính thức vào 10 môn toán hệ chuyên THPT chuyên ĐHSP HN năm 2014 2015 (có lời giải chi tiết)

CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc Lập -Tự Do -Hạnh Phúc
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ THI TUYỂN SINH
Vào khối trung học phổ thông chuyên năm 2014
Môn thi: TOÁN
(Dùng cho mọi thí sinh thi vào chuyên Toán và chuyên Tin)
Thời gian làm bài :150 phút
---------------------------------------a b c
x y z
Câu 1.(1,5 điểm) Giả sử a, b, c, x, y, z là các số thực khác 0 thỏa mãn + + = 0 và + + = 1 Chứng
x y z
a b c
2
2
2
x
y
z
minh rằng 2 + 2 + 2 = 1
a
b
c
Câu 2.(1,5 điểm) Tìm tất cả các số thực x, y, z thỏa mãn
BỘ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

x 1 − y 2 + y 2 − z 2 + z 3 − x3 = 3
Câu 3. (1,5 điểm) Chứng minh rằng với mỗi số nguyên n ≥ 6 thì số:
2.6.10....(4n − 2)
an = 1 +

là một số chính phương
(n + 5)(n + 6)...(2n)
Câu 4.(1,5 điểm) Cho a,b,c là các số thực dương abc=1 .Chứng minh rằng
1
1
1
3
+
+
≤
ab + a + 2 bc + b + 2 ca + c + 2 4
Câu 5 (3điểm) Cho hình vuông ABCD với tâm O .Gọi M là trung điểm AB các điểm N, P thuộc BC, CD sao
cho MN//AP.Chứng minh rằng
1.Tam giác BNO đồng dạng với tam giác DOP và góc NOP=450
2.Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác NOP thuộc OC.
3.Ba đường thẳng BD, AN, PM đồng quy
Câu 6.(1 điểm) Có bao nhiêu tập hợp con A của tập hợp{1;2;3;4;….;2014} thỏa mãn điều kiện A có ít nhất 2
y2
∈A
phần tử và nếu x ∈ A, y ∈ A, x > y , thì :
x− y

Ghi chú : Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh.................................................................số báo danh………………..

Website chuyên cung cấp đề thi file word có lời giải www.dethithpt.com
SĐT : 0982.563.365
Facebook : />

Hướng dẫn giải đề thi chuyên Toán sư phạm Hà Nội vòng 2 -2014

Ngày thi 6/6/2014
Câu 1.(1,5 điểm) Giả sử a, b, c, x, y, z là các số thực khác 0 thỏa mãn

a b c
x y z
+ + = 0 và + + = 1 Chứng
x y z
a b c

x2 y 2 z 2
minh rằng 2 + 2 + 2 = 1
a
b
c
Hướng dẫn
2
x y z
x2 y2 z 2
x y z
 xy yz xz 
+ + = 1 ⇔  + + ÷ = 1 ⇔ 2 + 2 + 2 + 2  + + ÷= 1
a b c
a
b
c
a b c
 ab bc ac 
2
2
2

x
y
z
 cxy + ayz + bxz 
+ 2 + 2 + 2
÷ = 1(*)
2
a
b
c
abc


a b c
ayz + bxz + cxy
= 0 ⇔ ayz + bxz + cxy = 0 thay vào (*) ta có
Từ + + = 0 ⇔
x y z
xyz
x2 y 2 z 2
+ + =1
a 2 b2 c 2
Câu 2.(1,5 điểm) Tìm tất cả các số thực x, y, z thỏa mãn
x 1 − y 2 + y 2 − z 2 + z 3 − x3 = 3
Hướng dẫn
ĐKXĐ : | x |≤ 3;| y |≤ 1;| z |≤ 2
A2 + B 2
ta có đúng với mọi A,B
2
x 2 + 1 − y 2 y 2 + 2 − z 2 z 2 + 3 − x3

x 1 − y2 + y 2 − z 2 + z 3 − x2 ≤
+
+
=3
2
2
2
Kết hợp với GT ta có Dấu “=” xảy ra khi
x = 1− y2
 x2 + y 2 = 1

 2 2
 y = 2 − z 2
y + z = 2
⇔ 2

2
 z = 3 − x2
z + x = 3


2
2
2
2
2
2
 x 1 − y + y 2 − z + z 3 − x = 3  x 1 − y + y 2 − z + z 3 − x = 3
 x2 = 1
x = 1

 2

y = 0
⇔ 2
⇔ y = 0
z = 2

 x 1 − y 2 + y 2 − z 2 + z 3 − x2 = 3  z = 2

Áp dụng Bất đẳng thức AB ≤

Câu 3. (1,5 điểm) Chứng minh rằng với mỗi số nguyên n ≥ 6 thì số:
2.6.10....(4n − 2)
an = 1 +
là một số chính phương
(n + 5)(n + 6)...(2n)
Website chuyên cung cấp đề thi file word có lời giải www.dethithpt.com
SĐT : 0982.563.365
Facebook : />

Hướng dẫn
2n.(1.3.5......(2n − 1).(n − 4)! 2 n.( n + 4)!
2 n..1.2.3...n(n + 1)(n + 2)(n + 3)(n + 4)!
an = 1 +
1+
= 1+
(2n)!
2.4.6...2n
2 n.1.2.3.4...n
= 1 + (n + 1)(n + 2)(n + 3)(n + 4)

an = (n 2 + 5n + 5) 2
Câu 4.(1,5 điểm) Cho a,b,c là các số thực dương abc=1 .Chứng minh rằng
1
1
1
3
+
+
≤
ab + a + 2 bc + b + 2 ca + c + 2 4
Hướng dẫn
x
y
z
Đặt a = , b = ; c =
y
z
x
1
1
1
yz
zx
xy
P=
+
+
=
+
+

ab + a + 2 bc + b + 2 ca + c + 2 xy + xz + 2 yz xy + yz + 2 xz xz + yz + 2 xy
Thì
yz
zx
xy
3 − P = 1−
+1−
+1−
xy + xz + 2 yz
xy + yz + 2 xz
xz + yz + 2 xy


1
1
1
3 − P = ( xy + yz + xz ) 
+
+
÷
 xy + xz + 2 yz xy + yz + 2 xz xz + yz + 2 xy 
1 1 1
9
Áp dụng Bất đẳng thức + + ≥
A B C A+ B +C
( Do ta áp dụng bất đẳng thức Cô si cho 3 số dương: A + B + C ≥ 3 3 ABC ;

1 1 1
1
+ + ≥ 33

A B C
ABC

Nhân theo vế 2 bất đẳng thức trên, ta được:
1 1 1
9
1 1 1
( A + B + C )  + + ÷≥ 9 ⇒ + + ≥
A B C A+ B+C
A B C
9
9
9 3
= ⇔ P ≤ 3− =
Khi đó Ta có 3 − P ≥ ( xy + yz + xz )
4 xy + 4 yz + 4 xz 4
4 4
 xy + yz + 2 xz = xy + 2 yz + xz = 2 xy + yz + xz
⇔ x = y = z =1
Dấu “=” xảy ra khi 
 xyz = 1
Câu 5 (3điểm) Cho hình vuông ABCD với tâm O .Gọi M là trung điểm AB các điểm N, P thuộc BC, CD sao
cho MN//AP.Chứng minh rằng

Website chuyên cung cấp đề thi file word có lời giải www.dethithpt.com
SĐT : 0982.563.365
Facebook : />

1.Tam giác BNO đồng dạng với tam giác DOP và góc NOP=450
1. Đăt AB = a ta có AC = a 2 Chứng minh Tam giác ADP đồng dạng tam giác NBM (g.g) suy ra

BM BN
a2
a2
mà OB.OD =
=
⇒ BN .DP =
DP AD
2
2
tam giác DOP đồng dạng BNO (c.g.c). từ đó tính được ∠NOP = 45o
2.Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác NOP thuộc OC.
OB ON OD
=
=
Theo a ta có
góc PON = góc ODP=450
DP OP DP
tam giác DOP đồng dạng ONP (c.g.c). suy ra góc DOP= góc ONP
nên DO là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiêp tam giác OPN
3.Ba đường thẳng BD, AN, PM đồng quy
Đặt giao điểm cua MN và BC là Qvà AP là K áp dung tính chát phân giác cho tam giác MBN; APD
QM BM KP DP
QM KP
QM QN
=
;
=
⇔
=
⇒

=
(1) ta có. Giả sử MP cắt AN tại I . K I cắt MN tại H Áp
QN
BN KA AD
QN KA
KP KA
HM HN
=
(2)
dụng định lí ta lét
PK
KA
HM QM
=
Từ (1) và (2) Suy ra
Q trùng H, vậy BD, PM, AN đồng quy
HN QN
Câu 6.(1 điểm) Có bao nhiêu tập hợp con A của tập hợp{1;2;3;4;….;2014} thỏa mãn điều kiện A có ít nhất 2
y2
∈A
phần tử và nếu x ∈ A, y ∈ A, x > y , thì :
x− y
Hướng dẫn
Với mỗi tập A là tập con của S = {1;2;3;...;2014} thỏa mãn đề bài, gọi a và b lần lượt là phần tử nhỏ nhất và lớn
nhất của A (a, b ∈ S, a < b)
Ta chứng minh b ≤ 2a, thật vậy, giả sử b > 2a
a2
a2
a2
Theo giả thiết c =

∈ A. Mà b > 2a => b – a > a > 0 => c =
<
= a , mâu thuẫn với a là phần tử nhỏ
b−a
b−a a
nhất của A.
Vậy b ≤ 2a
Gọi d là phần tử lớn nhất của tập B = A\{b}. Ta chứng minh b ≥ 2d. Thật vậy giả sử b < 2d, theo giả thiết thì
Website chuyên cung cấp đề thi file word có lời giải www.dethithpt.com
SĐT : 0982.563.365
Facebook : />

d2
d2
∈ A, mà b < 2d => 0 < b – d < d => e >
=d
b−d
d
d2
Suy ra e ∈ A nhưng e ∉ B ⇒ e = b ⇒
= b => d 2 = b 2 − bd => 5d 2 = 4b 2 − 4bd + d 2 = (2b − d ) 2
b−d
(mâu thuẫn vì VP là số chính phương, VT không là số chính phương)
Vậy b ≥ 2d ⇒ 2d ≤ b ≤ 2a ⇒ d ≤ a. Mà a ≤ d (a và d lần lượt là phần tử nhỏ nhất và lớn nhất của B) nên a = d ⇒
b = 2a
Vậy A = {a;2a}. Kiểm tra lại ta thấy A thỏa mãn đề bài. Vì a ∈ S và 2a ∈ S nên 2 ≤ 2a ≤ 2014
⇒ 1 ≤ a ≤ 1007
Vậy số tập con A thỏa mãn đề bài là 1007 tập.
d < b => e =

Website chuyên cung cấp đề thi file word có lời giải www.dethithpt.com
SĐT : 0982.563.365
Facebook : />