ÔN THI VÀO LỚP 10 THPT PHẦN HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (179.16 KB, 26 trang )
PHÒNG GD-ĐT VĨNH TƯỜNG
TRƯỜNG THCS LŨNG HÒA
=====***=====
BÁO CÁO CHUYÊN ĐỀ
ÔN THI VÀO LỚP 10 THPT PHẦN HỆ
PHƯƠNG TRÌNH
Môn: Toán
Tổ chuyên môn : Khoa học tự nhiên
Người thực hiện : Vương Thị Phương Hoa
Tháng 3,năm 2019
MỤC LỤC
STT
Mục
Trang
1
Lời giới thiệu
1
2
Tên chuyên đề
2
3
Tác giả chuyên đề
2
4
Chủ đầu tư tạo ra chuyên đề
2
5
Lĩnh vực áp dụng chuyên đề
2
6
Ngày chuyên đề được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử
3
7
Mô tả bản chất của chuyên đề
8
Những thông tin cần được bảo mật
21
9
Các điều kiện cần thiết để áp dụng chuyên đề
21
10
Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến thu được do áp
dụng chuyên đề theo ý kiến của tác giả
21-23
11
Danh sách những tổ chức/ cá nhân đã tham gia áp dụng
thử chuyên đề lần đầu
23
Tài liệu tham khảo
25
3 -20
1
BÁO CÁO CHUYÊN ĐỀ
1. Lời giới thiệu
a. Lý do chọn đề tài
Toán học là bộ môn khoa học được coi là chủ lực, bởi trước hết Toán học hình thành
cho các em tính chính xác, tính hệ thống, tính khoa học và tính logic, … Vì thế nếu chất
lượng dạy và học toán được nâng cao thì có nghĩa là chúng ta tiếp cận với nền kinh tế tri
thức khoa học hiện đại, giàu tính nhân văn của nhân loại.
Cùng với sự đổi mới chương trình và sách giáo khoa, tăng cường sử dụng thiết bị, đổi
mới phương pháp dạy học nói chung và đổi mới phương pháp dạy và học toán nói riêng
trong trường THCS hiện nay là tích cực hoá hoạt động học tập, hoạt động tư duy, độc lập
sáng tạo của học sinh, khơi dậy và phát triển khả năng tự học, nhằm nâng cao năng lực
phát hiện và giải quyết vấn đề, rèn luyện và hình thành kĩ năng vận dụng kiến thức một
cách khoa học, sáng tạo vào thực tiễn.
Trong chương trình Đại số lớp 9, dạng toán giải hệ phương trình là nội dung hết sức
quan trọng trong các đề thi vào lớp 10 THPT. Qua thực tế giảng dạy nhiều năm, cũng
như qua việc theo dõi kết quả học tập của học sinh lớp 9 đã giảng dạy, tôi thấy việc giải
hệ phương trình là không khó, nhưng vẫn còn nhiều học sinh làm sai hoặc chưa thực hiện
được, chưa nắm vững các phương pháp giải, chưa hình thành kĩ năng biến đổi một cách
linh hoạt, sáng tạo vào từng bài toán cụ thể.
b.Thực trạng của vấn đề
Thực tế học sinh ở trường THCS Lũng Hòa một bộ phận học sinh tiếp thu bài còn
chậm và vận dụng kiến thức từ lý thuyết vào làm bài tập còn hạn chế. Các em còn nhầm
lẫn và chưa thành thạo các dạng toán về hệ phương trình, do thời lượng làm bài tập còn ít
nên chưa giải được những dạng toán mở rộng, nâng cao .
Nguyên nhân học sinh còn tồn tại các khuyết điểm trên là :
+ Do thời lượng luyện tập giờ còn ít, hơn nữa về nhà học sinh chưa chăm học, vì vậy
học sinh chưa có thời gian để ôn tập, làm bài tập, giải bài tập nhiều .
+ Học sinh nắm kiến thức chưa tốt, chưa sâu, một số chỉ học máy móc, hiểu một cách
đơn giản chứ chưa nắm vững kiến thức nên gặp nhiều khó khăn trong quá trình làm bài
tập.
Nhằm đáp ứng yêu cầu đổi mới phương pháp giảng dạy, giúp học sinh tháo gỡ và giải
quyết tốt những khó khăn, vướng mắc trong học tập đồng thời nâng cao chất lượng thi
vào lớp 10 THPT bản thân tôi đã chọn chuyên đề: “Ôn thi vào lớp 10 THPT phần hệ
phương trình".
Trong phần nội dung của sáng kiến chủ yếu là chỉ ra các dạng bài tập cơ bản hay gặp
trong các đề thi vào lớp 10 THPT dành cho HS đại trà dùng để củng cố và nắm chắc kiến
thức cơ bản, giúp các em tự tin hơn khi gặp dạng toán này.
Trong mỗi dạng tôi đưa ra phương pháp chung, các ví dụ, hướng giải quyết cụ thể và
bài tập vận dụng tương ứng cho từng dạng.
2.Tên chuyên đề
2
Ôn thi vào lớp 10 THPT phần hệ phương trình.
3.Tác giả chuyên đề
- Họ và tên: Vương Thị Phương Hoa
- Địa chỉ : Trường THCS Lũng Hòa- Vĩnh Tường- Vĩnh Phúc
- Số điện thoại: 0377862824
Email:
4.Chủ đầu tư tạo ra chuyên đề:
- Họ và tên: Vương Thị Phương Hoa
- Địa chỉ : Trường THCS Lũng Hòa- Vĩnh Tường- Vĩnh Phúc
- Số điện thoại: 0377862824
Email:
5.Lĩnh vực áp dụng chuyên đề
a.Phạm vi áp dụng chuyên đề
Đề tài nghiên cứu trong phạm vi học sinh lớp 9A, 9B, 9C của trường THCS Lũng
Hòa năm học 2018 – 2019
Ý tưởng của chuyên đề rất phong phú, đa dạng, phạm vi nghiên cứu rộng, nên bản
thân tôi chỉ nghiên cứu qua các dạng bài tập cơ bản ở các đề thi vào lớp 10 THPT( chủ
yếu các dạng bài của đề thi tỉnh Vĩnh Phúc) và một số bài tập nâng cao dành cho học
sinh khá giỏi .
b.Vấn đề mà chuyên đề cần giải quyết
- Sắp xếp bài toán theo các mức độ, những dạng toán cơ bản.
- Xây dựng các phương pháp giải cơ bản về hệ phương trình
* Đối với học sinh đại trà: Vận dụng thành thạo 2 phương pháp cơ bản giải hệ 2
phương trình bậc nhất hai ẩn ( phương pháp cộng và phương pháp thế)
* Đối với học sinh khá, giỏi: Phát triển tư duy giải các hệ phương trình dạng khác
6. Ngày chuyên đề được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử:
Từ tháng 1 năm 2019
7.Mô tả bản chất của chuyên đề
A.Về nội dung của chuyên đề
Hệ phương trình thi vào lớp 10
7.1.Dạng 1: Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn
* Khái niệm về hệ 2 phương trình bậc nhất hai ẩn
Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn là hệ phương trình có dạng:
ax +by = c (1)
a ' x +b' y = c ' ( 2)
trong đó (1) và ( 2) là các phương trình bậc nhất hai ẩn
3
7.1.1.Phương pháp giải:
Cách 1: Sử dụng phương pháp thế
Quy tắc thế dùng để biến đổi một hệ phương trình thành hệ phương trình
tương đương
Gồm hai bước sau:
Bước 1: Từ một phương trình của hệ phương trình đã cho( coi là phương trình thứ nhất)
ta biểu diễn một ẩn theo ẩn kia rồi thế vào phương trình thứ hai để được một phương
trình mới ( chỉ còn một ẩn)
Bước 2: Dùng phương trình mới ấy để thay thế cho phương trình thứ hai trong hệ
( phương trình thứ nhất cũng thường được thay thế bởi hệ thức biểu diễn một ẩn theo ẩn
kia có được ở bước 1)
Cách 2: Sử dụng phương pháp cộng đại số
Quy tắc cộng đại số dùng để biến đổi một hệ phương trình thành hệ phương
trình tương đương
Gồm hai bước sau:
Bước 1: Cộng hay trừ từng vế hai phương trình của hệ phương trình đã cho để được một
phương trình mới.
Bước 2: Dùng phương trình mới ấy thay thế cho một trong hai phương trình của hệ ( và
giữ nguyên phương trình kia)
7.1.2. Các ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình
x − y = 1
3 x + 2 y = 3
( Đề thi tuyển sinh lớp 10 Vĩnh Phúc năm học 2015- 2016)
Giải
Cách 1: Sử dụng phương pháp thế
x − y = 1
x = y + 1
x = y + 1
x = y + 1
x = 1
⇔
⇔
⇔
⇔
3 x + 2 y = 3
3( y + 1) + 2 y = 3
3 y + 3 + 2 y = 3
5 y = 0
y = 0
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là: (1;0)
Cách 2: Sử dụng phương pháp cộng đại số
x − y = 1
2 x − 2 y = 2
5 x = 5
x = 1
x = 1
⇔
⇔
⇔
⇔
3 x + 2 y = 3
3x + 2 y = 3
x − y = 1
1 − y = 1
y = 0
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là: (1;0)
4
Ví dụ 2: Giải hệ phương trình
4 x − 5 y = −5
4 x − 7 y = −1
( Đề thi tuyển sinh lớp 10 Vĩnh Phúc năm học 2010- 2011)
Giải
Cách 1: Sử dụng phương pháp thế
− 5 + 5y
x=
4 x − 5 y = −5
4
⇔
4 x − 7 y = −1
4. − 5 + 5 y − 7 y = −1
4
− 5 + 5y
15
x =
x = −
⇔
⇔
4
4
y = −2
y = −2
− 5 + 5y
− 5 + 5y
x =
x =
⇔
⇔
4
4
− 5 + 5 y − 7 y = −1
− 2 y = 4
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là: ( −
15
;−2 )
4
Cách 2: Sử dụng phương pháp cộng đại số
y = −2
4 x − 5 y = −5
2 y = −4
y = −2
y = −2
⇔
⇔
⇔
⇔
15
4 x − 7 y = −1
4 x − 5 y = −5
4 x + 10 = −5
4 x = −15
x = − 4
15
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là: ( − ;−2 )
4
* Nhận xét: Đối với ví dụ 2 giáo viên lên hướng dẫn học sinh giải bằng phương pháp
cộng sẽ nhanh hơn vì hệ số của x ở hai phương trình trong hệ bằng nhau
7.1.3 Bài tập tương tự
Giải các hệ phương trình sau:
4 x − 2 y = 3
6 x − 3 y = 5
a)
2 x + 3 y = 5
4 x + 6 y = 10
b)
x 5 − (1 + 3 ) y = 1
e)
(1 − 3 ) x + y 5 = 1
3 x − 4 y + 2 = 0
5 x + 2 y = 14
c)
0,2 x + 0,1 y = 0,3
f)
3 x + y = 5
(2 x − 3)(2 y + 4) = 4 x( y − 3) + 54
( x + 1)(3 y − 3) = 3 y ( x + 1) − 12
2 x + 5 y = 3
3 x − 2 y = 14
d)
x 2
=
g) y 3
x + y − 10 = 0
y + 27
2 y − 5x
+5=
− 2x
3
4
i)
x + 1 + y = 6 y − 5x
3
7
5
h)
1
1
2 ( x + 2)( y + 3) − 2 xy = 50
j)
1 xy − 1 ( x − 2)( y − 2) = 32
2
2
( x + 20)( y − 1) = xy
( x − 10)( y + 1) = xy
k)
7.2.Dạng 2: Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ để đưa về hệ hai phương trình bậc
nhất hai ẩn
7.2.1.Phương pháp giải:
+ Tìm điều kiện xác định của các phương trình trong hệ ( nếu có)
+ Đặt ẩn phụ và điều kiện của ẩn phụ ( nếu có)
+ Giải hệ phương trình theo các ẩn phụ đã đặt
+ Trở lại ẩn ban đầu để tìm nghiệm của hệ.
7.2.2.Các ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Giải các hệ phương trình sau:
2( x + y ) + 3( x − y ) = 4
a )
( x + y ) + 2( x − y ) = 5
2( x − 2) + 3(1 + y ) = −2
b)
3( x − 2) − 2(1 + y ) = −3
Giải
a)Cách 1:
2( x + y ) + 3( x − y ) = 4
2 x + 2 y + 3 x − 3 y = 4
5 x − y = 4
a )
⇔
⇔
( x + y ) + 2( x − y ) = 5
x + y + 2x − 2 y = 5
3 x − y = 5
1
x=−
2 x = −1
2
⇔
⇔
3
x
−
y
=
5
3
− − y = 5
2
1
x = − 2
⇔
y = − 13
2
1 13
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là: − ;−
2 2
x + y = u
Cách 2:
Đặt
x − y = v
Khi đó, hệ phương trình đã cho có dạng:
2u + 3v = 4
2u + 3v = 4
− v = −6
v = 6
v = 6
⇔
⇔
⇔
⇔
u + 2v = 5
2u + 4v = 10
u + 2v = 5
u + 12 = 5
u = −7
1
1
x
=
−
x
=
−
x + y = −7
2 x = −1
2
2
⇔
⇔
⇔
⇔
x
−
y
=
6
x
+
y
=
−
7
3
13
− − y = 5
y = −
2
2
1 13
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là: − ;−
2 2
b)Cách 1:
6
2( x − 2) + 3(1 + y ) = −2
2 x − 4 + 3 + 3 y = −2
2 x + 3 y = −1
⇔
⇔
3( x − 2) − 2(1 + y ) = −3
3 x − 6 − 2 − 2 y = −3
3 x − 2 y = 5
4 x + 6 y = −2
13 x = 13
x = 1
x = 1
⇔
⇔
⇔
⇔
9 x − 6 y = 15
2 x + 3 y = −1
2 + 3 y = −1
y = −1
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là: (1;−1)
Cách 2:
x − 2 = u
y +1 = v
Đặt
Khi đó, hệ phương trình đã cho có dạng:
2u + 3v = −2
4u + 6v = −4
13u = −13
u = −1
u = −1
⇔
⇔
⇔
⇔
3u − 2v = −3
9u − 6v = −9
2u + 3v = −2
− 2 + 3v = −2
v = 0
⇔
x − 2 = −1
x = 1
⇔
y +1 = 0
y = −1
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là: (1;−1)
* Nhận xét: Với ví dụ này giáo viên hướng dẫn học sinh quan sát và làm theo cách 2 vì
trong mỗi bước giải ở cách 2 học sinh có thể kiểm tra kết quả bằng sự hỗ trợ của máy
tính bỏ túi.
Ví dụ 2: Giải các hệ phương trình sau:
1
x −
a )
3 +
x
1
=1
y
4
=5
y
1
x − 2 +
b)
2 −
x − 2
1
=2
y −1
3
=1
y −1
Giải
1
x −
a )
3 +
x
1
=1
y
4
=5
y
ĐKXĐ: x ≠ 0 ; y ≠ 0
1
x = u
(u ≠ 0; v ≠ 0) . Khi đó hệ phương trình đã cho có dạng:
Đặt 1
=v
y
9
9
u = 7
u = 7
u − v = 1
4u − 4v = 4
7u = 9
⇔
⇔
⇔
⇔
9
3u + 4v = 5
3u + 4v = 5
u − v = 1
−v =1
v = 2
7
7
7
1 9
x = 7
⇔
1 = 2
y 7
7
x = 9
⇔
( Thỏa mãn điều kiện)
y = 7
2
7 7
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là: ;
9 2
1
x − 2 +
b)
2 −
x − 2
1
=2
y −1
3
=1
y −1
1
x − 2 = u
Đặt 1
=v
y − 1
ĐKXĐ: x ≠ 2 ; y ≠ 1
(u ≠ 0; v ≠ 0) . Khi đó phương trình đã cho có dạng:
7
7
u=
u=
u
+
v
=
2
3
u
+
3
v
=
6
5
u
=
7
5
5
⇔
⇔
⇔
⇔
2u − 3v = 1
2u − 3v = 1
u + v = 2
7 + v = 2
v = 3
5
5
7
1
5
19
x − 2 = 5
x − 2 = 7
x = 7
⇔
⇔
⇔
( Thỏa mãn điều kiện)
1
3
5
y −1 =
y = 8
=
y − 1 5
3
3
19 8
;
7 3
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là:
Ví dụ 3: Giải các hệ phương trình sau:
3 x − 2 y = −2
a)
2 x + y = 1
2 x − 1 − y − 1 = 1
b)
x − 1 + y − 1 = 2
Giải
3 x − 2 y = −2
ĐKXĐ: x ≥ 0 ; y ≥ 0
2 x + y = 1
x = u
(u ≥ 0; v ≥ 0) . Khi đó hệ phương trình đã cho có dạng:
Đặt
y = v
x = 0
3u − 2v = −2
3u − 2v = −2
7u = 0
u = 0
⇔
⇔
⇔
⇔
y = 1
2u + v = 1
4u + 2v = 2
2u + v = 1
v = 1
a)
8
x = 0
⇔
( Thỏa mãn điều kiện)
y = 1
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là: ( 0;1)
2 x − 1 − y − 1 = 1
b)
ĐKXĐ: x ≥ 1 ; y ≥ 1
x − 1 + y − 1 = 2
x − 1 = u
(u ≥ 0; v ≥ 0) . Khi đó hệ phương trình đã cho có dạng:
Đặt
y − 1 = v
x − 1 = 1
2u − v = 1
3u = 3
u = 1
u = 1
⇔
⇔
⇔
⇔
y − 1 = 1
u + v = 2
u + v = 2
1 + v = 2
v = 1
x − 1 = 1
x = 2
⇔
⇔
( Thỏa mãn điều kiện)
y −1 = 1
y = 2
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là: ( 2;2)
Ví dụ 4: Giải các hệ phương trình sau:
5 x + 3 y = 8
a )
3 x + 2 y = 5
5 x + 3 y = 8 xy
b)
3x + 2 y = 5 xy
( Đề thi tuyển sinh lớp 10 Vĩnh Phúc năm học 2005- 2006)
Giải
5 x + 3 y = 8
10 x + 6 y = 16
x = 1
x = 1
x = 1
a )
⇔
⇔
⇔
⇔
3 x + 2 y = 5
9 x + 6 y = 15
5 x + 3 y = 8
5 + 3 y = 8
y = 1
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là: (1;1)
b) Cách 1:
5 x + 3 y = 8 xy
3 x + 2 y = 5 xy
10 x + 6 y = 16 xy
x = xy
x − xy = 0
x(1 − y ) = 0
⇔
⇔
⇔
⇔
9 x + 6 y = 15 xy
5 x + 3 y = 8 xy
5 x + 3 y = 8 xy
5 x + 3 y = 8 xy
x = 0
x = 0
⇔
Từ phương trình x(1 − y ) = 0 ⇔
1 − y = 0
y = 1
+ Với x = 0 thay vào phương trình 5 x + 3 y = 8 xy ta được y = 0
+ Với y = 1 thay vào phương trình 5 x + 3 y = 8 xy ta được 5 x + 3 = 8 x ⇔ 3x = 3 ⇔ x = 1
Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là: (0;0); (1;1)
Cách 2:
+ Dễ thấy cặp số (0;0) là một nghiệm của phương trình
+ Với x ≠ 0 ; y ≠ 0 : Chia cả hai vế của các phương trình trong hệ cho xy ta được:
3
x +
2 +
x
5
=8
y
3
=5
y
1
x = u
Đặt 1
=v
y
Khi đó hệ có dạng:
9
3u + 5v = 8
6u + 10v = 16
v = 1
v = 1
v = 1
⇔
⇔
⇔
⇔
2u + 3v = 5
6u + 9v = 15
2u + 3v = 5
2u + 3 = 5
u = 1
1
x = 1
x = 1
⇔
⇔
( Thỏa mãn điều kiện)
y = 1
1 = 1
y
Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là: (0;0); (1;1)
* Từ ví dụ 4 giáo viên mở rộng ví dụ 5 hệ ba phương trình ba ẩn
Ví dụ 5: Giải các hệ phương trình:
2( x + y ) = 3 xy
a) 6( y + z ) = 5 yz
3( z + x) = 4 zx
2
xy
x + y = 3
6
yz
=
b)
y+ z 5
zx
3
=
z + x 4
Giải
a) Nếu x = 0 thì y = z = 0 .Suy ra x = y = z = 0 là một nghiệm của hệ phương trình
Nếu x ≠ 0 thì khi đó y, z ≠ 0 , hệ phương trình đã cho tương đương với hệ
x + y 3
1 1 3
3
xy = 2
x + y = 2
u + v = 2
1
5
1
1
y+ z 5
1 1 5
=
⇔ + =
Đặt = u , y = v , = w ta có hệ v + w =
6
6
x
z
yz
y z 6
4
z + x 4
1 1 4
=
+ =
w + u = 3
3
zx
z x 3
Cộng vế với vế các phương trình trong hệ ta được:
1 3 5 4 11
( + + )=
2 2 6 3
6
11 5
11 4 1
11 3 1
Suy ra u = − = 1 ; v = − = ; w = − =
6 6
6 3 2
6 2 3
Do đó x = 1 ; y = 2 ; z = 3
u+v+w=
Vậy hệ phương trình có hai nhiệm là : (0; 0; 0) và (1; 2; 3)
b) Điều kiện: x ≠ − y ; y ≠ − z ; z ≠ − x
Từ hệ đã cho suy ra x, y, z đều khác 0. Do đó ta có hệ:
10
x + y 3
xy = 2
y+ z 5
=
yz
6
z + x 4
=
3
zx
1 1 3
x + y = 2
1 1 5
⇔ + =
y z 6
1 1 4
+ =
z x 3
Đặt
1
1
1
= u , = v , = w ta có hệ
y
x
z
Cộng vế với vế các phương trình trong hệ ta được:
1 3 5 4 11
( + + )=
2 2 6 3
6
11 5
11 4 1
11 3 1
Suy ra u = − = 1 ; v = − = ; w = − =
6 6
6 3 2
6 2 3
Do đó x = 1 ; y = 2 ; z = 3
u+v+w=
Vậy hệ phương trình có nghiệm là : (1 ;2 ;3)
7.2.3. Bài tập tương tự
Bài 1: Giải các hệ phương trình sau:
3( x + y ) + 9 = 2( x − y )
2( x + y ) = 3( x − y ) − 11
b)
2( x + y ) + 3( x − y ) = 4
( x + y ) + 2( x − y ) = 5
2(3 x − 2) − 4 = 5(3 y + 2)
4(3 x − 2) + 7(3 y + 2) = −2
d)
a)
3(2 x + y ) + 9 = 2(3 x − y )
2(2 x + y ) = 3(3 x − y ) − 11
c)
Bài 2: Giải các hệ phương trình sau:
1 1 1
x + y = 12
a)
8 + 15 = 1
x y
1
2
x + 2 y + y + 2x = 3
b)
4 − 3 =1
x + 2 y y + 2 x
x 2 + y 2 = 13
d) 2
3 x − 2 y 2 = −6
2( x 2 − 2 x ) + y + 1 = 0
g) 2
3( x − 2 x) − 2 y + 1 = −7
2
3x
x +1 − y + 4 = 4
c)
2x − 5 = 9
x + 1 y + 4
3 x + 2 y = 16
e)
2 x − 3 y = −11
5 x − 1 − 3 y + 2 = 7
h)
2 4 x 2 − 8 x + 4 + 5 y 2 + 4 y + 4 = 13
Bài 3: Giải các hệ phương trình sau:
2 x − 11 y = −7 xy
a )
10 x + 11 y = 31xy
x + 4 y = 18
3 x + y = 10
f)
4 x + 7 y = 16 xy
b)
4 x − 3 y = −24 xy
11
3
u + v = 2
5
v + w =
6
4
w + u = 3
Bài 4: Giải các hệ phương trình sau:
2
xy
x + y = − 3
6
yz
=−
b)
5
y+ z
zx
3
=−
4
z + x
6( x + y ) = 5 xy
a) 12( y + z ) = 7 yz
4( z + x) = 3 zx
7.3.Dạng 3: Tìm điều kiện của tham số m để hệ phương trình thỏa mãn điều kiện
cho trước
Thông thường các bài tập ở dạng 3 có cấu trúc chung như sau:
ax + by = c
trong đó 1 số hệ số của một trong hai phương
a ' x + b ' y = c '
Cho hệ phương trình
trình có chứa tham số
a) Giải hệ phương trình với giá trị tham số cho trước.
b) Tìm điều kiện của tham số để hệ phương trình có nghiệm duy nhất? Vô
nghiệm? Vô số nghiệm?
c) Tìm điều kiện của tham số để hệ phương trình có nghiệm thỏa mãn một hệ thức
cho trước.
7.3.1.Phương pháp giải:
* Đối với câu a:
+ Bước 1: Thay giá trị của tham số vào hệ phương trình
+ Bước 2: Giải hệ phương trình mới ( như dạng 1, dạng 2 ở trên)
* Đối với câu b:
Cách 1: Dựa vào mối quan hệ giữa các hằng số a,b,c và a’,b’,c’
Cách 2: Sử dụng phương pháp cộng hoặc phương pháp thế ta thu được một
phương trình mới ( chỉ còn 1 ẩn)
Số nghiệm của hệ phương trình bằng số nghiệm của phương trình mới thu được.
* Đối với câu c:
+ Bước 1: Sử dụng phương pháp cộng hoặc phương pháp thế ta thu được một
phương trình mới ( chỉ còn 1 ẩn)
Số nghiệm của hệ phương trình bằng số nghiệm của phương trình mới thu được.
+ Bước 2: Biểu diễn x, y theo tham số
+ Bước 3: Thay x, y vào hệ thức đã cho và giải để tìm điều kiện của tham số
+ Bước 4: Kết luận
7.3.2. Các ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho hệ phương trình
mx + 2 y = 1
( m là tham số có giá trị thực)
2 x − 4 y = −3
(I)
a) Giải hệ phương trình (I) với m =1.
b) Tìm tất cả các giá trị của m để hệ phương trình (I) có nghiệm duy nhất.
( Đề thi tuyển sinh lớp 10 Vĩnh Phúc năm học 2009- 2010)
12
Giải
a) Thay m =1 vào hệ phương trình (I) ta có:
1
1
x=
x=
x
+
2
y
=
1
2
x
+
4
y
=
2
4
x
=
1
4
4
⇔
⇔
⇔
⇔
2 x − 4 y = −3
2 x − 4 y = −3
x + 2 y = 1
1 + 2 y = 1
y = 5
4
8
1 5
Vậy với m = 1 thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất là ( ; )
4 8
b) Cách 1:
Hệ phương trình ( I ) có nghiệm duy nhất ⇔
m
2
≠
⇔ m ≠ −1
2 −4
Vậy với m ≠ −1 thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất.
Cách 2:
mx + 2 y = 1
2mx + 4 y = 2
⇔
2 x − 4 y = −3
2 x − 4 y = −3
Cộng vế với vế hai phương trình trên ta được: 2mx + 2 x = −1 ⇔ 2(m + 1) x = −1 (*)
Hệ phương trình ( I ) có nghiệm duy nhất
⇔ Phương trình ( * ) có nghiệm duy nhất
⇔ m +1 ≠ 0
⇔ m ≠ −1
Vậy với m ≠ −1 thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất.
x + my = 2m
Ví dụ 2: Cho hệ phương trình
với m là tham số
mx + y = 1 − m
a) Giải hệ phương trình khi m = 2.
b) Tìm tất cả các giá trị của m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất? Vô
nghiệm? Vô số nghiệm?
Giải
a) Thay m = 2 vào hệ phương trình ta có:
x + 2 y = 4
x + 2 y = 4
− 3 x = 6
x = −2
x = −2
⇔
⇔
⇔
⇔
2 x + y = −1
4 x + 2 y = −2
x + 2 y = 4
− 2 + 2 y = 4
y = 3
Vậy với m = 2 thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất là: ( − 2;3)
b) Từ phương trình mx + y = 1 − m suy ra y = 1 − m − mx : Thay vào phương trình
x + my = 2m ta được: x + m(1 − m − mx) = 2m
⇔ x + m − m 2 − m 2 x = 2m
⇔ (1 − m 2 ) x = m 2 + m (2*)
* Hệ phương trình có nghiệm duy nhất
⇔ Phương trình ( 2* ) có nghiệm duy nhất
⇔ 1 − m 2 ≠ 0 ⇔ m 2 ≠ 1 ⇔ m ≠ ±1
Vậy với m ≠ ±1 thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất.
* Hệ phương trình vô nghiệm
⇔ Phương trình ( 2* ) vô nghiệm
13
m = ±1
1 − m 2 = 0
⇔ 2
⇔ m ≠ 0 ⇔ m = 1
m + m ≠ 0
m ≠ −1
Vậy với m = 1 thì hệ phương trình vô nghiệm.
* Hệ phương trình vô số nghiệm
⇔ Phương trình ( 2* ) có vô số nghiệm
m = ±1
1 − m 2 = 0
m = ±1
⇔ 2
⇔
⇔ m = 0 ⇔ m = −1
m + m = 0
m(m + 1) = 0
m = −1
Vậy với m = −1 thì hệ phương trình có vô số nghiệm.
mx − y = 1
với m là tham số
2 x + my = 4
Ví dụ 3: Cho hệ phương trình
a) Giải hệ phương trình khi m =1.
b) Tìm tất cả các giá trị của m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) thỏa
mãn x + y = 2 .
( Đề thi tuyển sinh lớp 10 Vĩnh Phúc năm học 2016- 2017)
Giải
a) Thay m =1 vào hệ phương trình ta có:
5
5
x=
x=
x − y = 1
3x = 5
3
3
⇔
⇔
⇔
2 x + y = 4
x − y = 1
5 − y = 1
y = 2
3
3
5 2
Vậy với m =1 thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất là: ;
3 3
b) Từ phương trình mx − y = 1 suy ra y = mx − 1 : Thay vào phương trình 2 x + my = 4
ta được: 2 x + m(mx − 1) = 4
⇔ 2x + m2 x − m = 4
⇔ (m 2 + 2) x = m + 4 (3*)
Hệ phương trình ( I ) có nghiệm duy nhất
⇔ Phương trình ( 3* ) có nghiệm duy nhất
⇔ m 2 + 2 ≠ 0 đúng với mọi m
Vậy với mọi m thì hệ phương trình đã cho luôn có nghiệm duy nhất.
m+4
4m − 2
và y = 2
2
m +2
m +2
x
+
y
=
2
Theo đề bài
m + 4 4m − 2
⇔ 2
+
=2
m + 2 m2 + 2
⇔ 5m + 2 = 2m 2 + 4
⇔ 2m 2 − 5m + 2 = 0
⇔ (m − 2)(2m − 1) = 0
Khi đó, x =
14
m = 2
m − 2 = 0
⇔
⇔
m = 1
2
m
−
1
=
0
2
1
Vậy với m = 2 hoặc m = thì hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất ( x; y) thỏa
2
x
+
y
=
2
mãn
.
mx − y = 1
Ví dụ 4: Cho hệ phương trình
( m là tham số)
2 x + 3my = 7
a) Giải hệ phương trình khi m =1.
b) Tìm tất cả các giá trị của m để hệ phương trình có nghiệm (x;y) thỏa mãn điều
x
kiện > 0 và y < 0 .
Giải
a) Thay m =1 vào hệ phương trình ta có:
x − y = 1
3x − 3 y = 3
5 x = 10
x = 2
⇔
⇔
⇔
2 x + 3 y = 7
2 x + 3 y = 7
x − y = 1
y = 1
Vậy với m =1 thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất là: ( 2;1)
b) Từ phương trình mx − y = 1 suy ra y = mx − 1 : Thay vào phương trình 2 x + 3my = 7
ta được: 2 x + 3m(mx − 1) = 7
⇔ 2 x + 3m 2 x − 3m = 7
⇔ (3m 2 + 2) x = 3m + 7 (4*)
Ta có 3m 2 + 2 ≠ 0 với mọi m ( vì m 2 ≥ 0 nên 3m 2 + 2 > 0 với mọi m)
Vậy với mọi m thì hệ phương trình đã cho luôn có nghiệm duy nhất.
3m + 7
7m − 2
và y = 2
2
3m + 2
3m + 2
Theo đề bài x > 0 và y < 0
3m + 7
3m 2 + 2 > 0
m >
3m + 7 > 0
⇔
⇔
⇔
7m − 2 < 0
7m − 2 < 0
m <
3m 2 + 2
Khi đó, x =
−7
−7
2
3
⇔
3
7
7
−7
2
< m < thì hệ phương trình đã cho có nghiệm ( x; y) thỏa mãn điều
3
7
y
<
0
x
>
0
kiện
và
.
x − 2 y = 3 − m
(1) , m là tham số
Ví dụ 5: Cho hệ phương trình
2 x + y = 3(m + 2)
Vậy với
a)Giải hệ phương trình (1) với m = 2.
b)Tìm tất cả các giá trị của m để hệ (1) có nghiệm duy nhất.
c)Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x 2 + y 2 , trong đó ( x; y ) là nghiệm duy nhất
của hệ (1)
( Đề thi tuyển sinh lớp 10 Vĩnh Phúc năm học 2017- 2018)
Giải
a) Thay m = 2 vào hệ phương trình ta có:
15
x − 2 y = 1
x − 2 y = 1
5 x = 25
x = 5
x = 5
⇔
⇔
⇔
⇔
2 x + y = 12
4 x + 2 y = 24
x − 2 y = 1
5 − 2 y = 1
y = 2
Vậy với m = 2 thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất là: ( 5;2)
b) Từ phương trình 2 x + y = 3(m + 2) suy ra y = 3(m + 2) − 2 x : Thay vào phương trình
x − 2 y = 3 − m ta được: x − 2[3(m + 2) − 2 x] = 3 − m
⇔ x − 2[3m + 6 − 2 x ] = 3 − m
⇔ x − 6m − 12 + 4 x = 3 − m
⇔ 5 x = 5m + 15
⇔ x = m+3
Ta có 1 ≠ 0 với mọi m
Vậy với mọi m thì hệ phương trình đã cho luôn có nghiệm duy nhất.
c) Theo câu b) x = m + 3 và y = m
3
9 9
2
⇒ A = x 2 + y 2 = ( m + 3) + m 2 = m 2 + 6m + 9 + m 2 = 2m 2 + 6m + 9 = 2(m + ) 2 + ≥ với mọi m
2
2 2
3
Dấu “ = ” xảy ra ⇔ m = −
2
3
9
Vậy với m = − thì biểu thức A = x 2 + y 2 đạt giá trị nhỏ nhất là
2
2
* Nhận xét: Đối với câu b) học sinh có thể giải theo cách 2 hoặc cách 3
Cách 2:
Ta có:
1 −2
≠
suy ra hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất với mọi m
2
1
Vậy với mọi m thì hệ phương trình đã cho luôn có nghiệm duy nhất.
Cách 3:
x − 2 y = 3 − m
x − 2 y = 3 − m
5 x = 5m + 15
x = m + 3
⇔
⇔
⇔
2 x + y = 3(m + 2)
4 x + 2 y = 6m + 12
x − 2 y = 3 − m
y = m
Vậy với mọi m thì hệ phương trình đã cho luôn có nghiệm duy nhất.
2mx − 5 y = −2
, m là tham số
5 x − 2my = 3 − 2m
Ví dụ 6: Cho hệ phương trình
a) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất.
b) Tìm m nguyên để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) sao cho x và y
cùng nguyên.
Giải
a) Từ phương trình 2mx − 5 y = −2 suy ra y =
2mx + 2
: Thay vào phương trình
5
2m(2mx + 2)
= 3 − 2m
5
⇔ 25 x − 4m 2 x − 4m = 15 − 10m
⇔ (25 − 4m 2 ) x = 15 − 6m
⇔ (4m 2 − 25) x = 6m − 15
5 x − 2my = 3 − 2m ta được: 5 x −
16
Hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất
⇔ Phương trình (4m 2 − 25) x = 6m − 15 có nghiệm duy nhất
⇔ 4m 2 − 25 ≠ 0 ⇔ m ≠ ±
5
2
5
2
6m − 15
3(2m − 5)
3
5
b) Với m ≠ ± thì x = 4m 2 − 25 = (2m + 5)(2m − 5) = 2m + 5
2
2m + 2
3
y=
= 1−
2m + 5
2m + 5
Để x; y ∈ Z ⇔ 2m + 5 ∈ Ư (3) = { ± 1;±3}
⇒ m ∈ {−4;−3;−2;−1}
5
Kết hợp với điều kiện m ≠ ± và m nguyên ta được m ∈ {−4;−3;−2;−1} thỏa mãn đề bài
2
Vậy với m ≠ ± thì hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất.
7.3.3. Bài tập tương tự
Bài 1: Cho hệ phương trình
2 x + ay = −4
ax − 3 y = 5
a) Giải hệ phương trình với a =1.
b) Tìm a để hệ phương trình có nghiệm duy nhất.
( Đề thi tuyển sinh lớp 10 Vĩnh Phúc năm học 2012- 2013)
Bài 2: Cho hệ phương trình
mx − y = 2m
( m là tham số)
4 x − my = m + 6
a) Giải hệ phương trình khi m =1.
b) Tìm tất cả các giá trị của m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) thỏa
mãn điều kiện 6 x − 2 y = 13 .
c) Tìm các giá trị nguyên của m để x; y cùng nguyên.
Bài 3: Cho hệ phương trình
mx + y = 3
( m là tham số )
4 x + my = 6
a) Giải hệ phương trình với m = 2 .
b) Tìm tất cả các giá trị của m để hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) thỏa mãn điều
kiện x > 2 và y > 0 .
Bài 4: Cho hệ phương trình
(m − 1) x − my = 3m − 1
( m là tham số có giá trị thực)
2 x − y = m + 5
a) Giải hệ phương trình với m = 2.
b) Tìm tất cả các giá trị của m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất ( x; y ) sao
cho biểu thức S = x 2 + y 2 đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 5: Cho hệ phương trình bậc hai ẩn x, y tham số m
17
2 x + y = 2
2
x + 2 y = m + 3m + 1
a) Giải hệ phương trình với m = 0.
b) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hệ phương trình có nghiệm ( x0 ; y 0 ) thỏa
mãn điều kiện x0 = y 0 .
c) Xác định các giá trị nguyên của tham số m để hệ phueoeng trình đã cho có
nghiệm (a; b) , với a và b là các số nguyên.
( Đề thi tuyển sinh lớp 10 Vĩnh Phúc năm học 2004- 2005)
2mx + y = 2
(với m là tham số)
8 x + my = m + 2
Bài 6: Cho hệ phương trình
a) Giải hệ phương trình khi m = -1.
b) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất
( x;y) thỏa mãn điều kiện x − y > 0
c)Tìm hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào tham số m.
d)Tìm các giá trị của m để biểu thức P = y 2 − 2 x đạt giá trị nhỏ nhất, trong đó ( x; y )
là nghiệm duy nhất của hệ phương trình đã cho.
7.4. Dạng 4: Giải và biện luận hệ phương trình
7.4.1.Phương páp giải:
ax + by = c
a ' x + b ' y = c '
Cho hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
Để giải và biện luận hệ phương trình trên ta làm như sau:
Bước 1: Từ hai phương trình của hệ sử dụng phương pháp thế hoặc cộng ta thu
được một phương trình mới ( chỉ còn một ẩn)
Bước 2: Giải và biện luận phương trình mới, từ đó đi đến kết luận về giải và biện
luận hệ phương trình đã cho
* Chú ý: Số nghiệm của hệ phương trình bằng số nghiệm của phương trình mới.
7.4.2. Các ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho hệ phương trình với tham số a
(a + 1) x − y = a + 1
x + ( a − 1) y = 2
a) Giải hệ phương trình với a = 2.
b) Giải và biện luận hệ phương trình.
Giải
a) Thay a = 2 vào hệ phương trình ta có:
5
5
x=
x=
3 x − y = 3
4 x = 5
4
4
⇔
⇔
⇔
x
+
y
=
2
x
+
y
=
2
5
+y=2
y = 3
4
4
18
5 3
Vậy với a = 2 thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất là: ;
4 4
b) Từ phương trình (a + 1) x − y = a + 1 suy ra y = (a + 1) x − (a + 1) : Thay vào phương trình
x + ( a − 1) y = 2 ta được: x + ( a 2 − 1) x − (a 2 − 1) = 2
⇔ a 2 x = a 2 + 1 (1*)
a2 +1
x
=
a2
* Nếu a ≠ 0 thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất
y = a +1
a2
* Nếu a = 0 thì ( 1*) có dạng 0 x = 1 : vô nghiệm
Hệ đã cho vô nghiệm.
Kết luận
+ Nếu a ≠ 0 thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất là (
+ Nếu a = 0 thì hệ phương trình vô nghiệm
a2 +1 a +1
; 2 )
a2
a
Ví dụ 2: Giải và biện luận hệ phương trình.
mx + 2my = m + 1
x + (m + 1) y = 2
Giải
Từ phương trình x + (m + 1) y = 2 suy ra x = 2 − (m + 1) y : Thay vào phương trình
mx + 2my = m + 1 ta được:
m[2 − (m + 1) y ] + 2my = m + 1
⇔ 2m − m(m + 1) y + 2my = m + 1
⇔ ( m 2 − m) y = m − 1
⇔ m(m − 1) y = m − 1 (2*)
m ≠ 0
* Nếu m(m − 1) ≠ 0 ⇔
thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất
m ≠ 1
1
y = m
x = m − 1
m
m = 0
* Nếu m(m − 1) = 0 ⇔
m = 1
- Nếu m = 0 thì phương trình (2*) có dạng: 0 y = −1 : vô nghiệm.
⇒ Hệ phương trình vô nghiệm
- Nếu m = 1 thì phương trình (2*) có dạng: 0 y = 0 : vô số nghiệm.
⇒ Hệ phương trình vô số nghiệm
Kết luận
+ Nếu m ≠ 0 và m ≠ 1 thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất là (
+ Nếu m = 0 thì hệ phương trình vô nghiệm
+ Nếu m = 1 thì hệ phương trình vô số nghiệm
19
m −1 1
; )
m m
7.4.3. Bài tập tương tự
Bài 1: Cho hệ phương trình
2 x + my = −4
mx − 3 y = 5
a) Giải hệ phương trình với m =
1
.
2
b) Giải và biện luận hệ phương trình đã cho với tham số m.
Bài 2: Cho hệ phương trình
(m − 1) x − my = 3m − 1
( m là tham số)
2 x − y = m + 5
a) Giải hệ phương trình với m = −3 .
b) Giải và biện luận hệ phương trình đã cho với tham số m.
B.Về khả năng áp dụng của chuyên đề
* Các giải pháp đã được áp dụng:
Để thực hiện tốt kĩ năng giải một số dạng bài tập cơ bản về hệ phương trình ôn thi
vào lớp 10 thành thạo, giáo viên cần cung cấp cho học sinh các kiến thức cơ bản sau:
+ Củng cố lại các phép tính, các phương pháp cơ bản giải hệ phương trình.
+ Ngay từ đầu chương III- Đại số 9 giáo viên cần chú ý dạy tốt cho học sinh nắm
vững chắc kiến thức về hệ phương trình như: Các phương pháp cơ bản để giải một hệ
phương trình, cách đoán nhận số nghệm của một hệ phương trình, kĩ năng sử dụng máy
tính bỏ túi để kiểm tra nghiệm của hệ phương trình.
Khi gặp bài toán tổng quát về hệ phương trình, học sinh cần:
+Quan sát đặc điểm của bài toán
+ Nhận dạng bài toán
+ Chọn lựa phương pháp giải thích hợp:
Xây dựng học sinh thói quen học tập, biết quan sát, nhận dạng bài toán, nhận xét đánh
giá bài toán theo quy trình nhất định, biết lựa chọn phương pháp thích hợp vận dụng vào
từng bài toán, sử dụng thành thạo kĩ năng giải toán trong thực hành, rèn luyện khả năng
tự học, tự tìm tòi sáng tạo. Khuyến khích học sinh tham gia học tổ, nhóm, học sáng tạo,
tìm những cách giải hay, cách giải khác.
* Để giải quyết được vấn đề trên tôi đã sử dụng các phương pháp nghiên cứu:
Nghiên cứu qua tài liệu: SGK, SGV, SBT toán 9, tài liệu ôn thi vào lớp 10, các đề thi
vào lớp 10 của các tỉnh.
Nghiên cứu qua thực hành giải bài tập của học sinh.
Nghiên cứu qua theo dõi, kiểm tra, đánh giá qua các bài kiểm tra.
20
Nghiên cứu từ thực tế giảng dạy, học tập của từng đối tượng học sinh.
8.Những thông tin cần được bảo mật
Không
9.Các điều kiện cần thiết để áp dụng chuyên đề :
Phòng học, bảng, bàn ghế, học sinh, đồ dùng học tập…
10.Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng chuyên
đề theo ý kiến của tác giả:
10.1 Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng chuyên đề
theo ý kiến của tác giả:
Trên đây chỉ là một số dạng toán về hệ phương trình mà học sinh lớp 9 hay gặp khi
các em thi vào lớp 10 THPT. Nếu học sinh nắm chắc các phương pháp giải thì nó là cơ sở
để HS giải các bài toán về: giải bài toán có lời văn bằng cách lập hệ phương trình mà
trước kia các em cho là khó khi giải bằng phương pháp số học, các bài toán về đồ thị hàm
số có liên quan và đặc biệt là cơ sở vững chắc để học sinh học tiếp phần hệ phương trình
ở cấp THPT.
Qua giảng dạy chuyên đề giúp cho học sinh nắm vững và vận dụng được các cách
giải góp phần nâng cao hiệu quả giảng dạy của giáo viên và rèn học sinh khả năng tư duy
toán học, độ linh hoạt, sáng tạo và kỹ năng thực hành của học sinh.
Cụ thể kết quả kiểm tra về dạng toán giải hệ phương trình được thống kê qua các
giai đoạn ở các lớp 9A, 9B, 9C năm học 2018 – 2019 như sau:
a) Chưa áp dụng giải pháp
Kiểm tra khảo sát chất lượng đầu học kỳ II
Thời gian
Học kỳ II ( Tuần 22)
Chưa áp dụng giải pháp
TS
HS
Trung bình trở lên
Số lượng
Tỉ lệ (%)
120
57
47,5%
* Nhận xét: Đa số học sinh chưa nắm được kỹ năng giải các bài toán liên quan đến hệ
phương trình, các kĩ năng giải hệ phương trình còn yếu, chưa xác định được yêu cầu và
hướng giải quyết vấn đề, làm bài chưa có phương pháp nên kết quả học tập chưa cao.
b) Áp dụng giải pháp
Lần 1: Kiểm tra 15 phút
Thời gian
Học kỳ II ( Tuần 24)
Kết quả áp dụng giải pháp (lần 1)
21
TS
HS
Trung bình trở lên
Số lượng
Tỉ lệ (%)
120
71
59,17%
* Nhận xét: Học sinh đã hệ thống, nắm chắc kiến thức cơ bản về hệ phương trình, đa số
học sinh đều giải được câu a của bài toán. Tuy nhiên, một số học sinh giải quyết yêu cầu
ý b,c còn mắc, chưa biết phân tích bài để tìm ra phương pháp giải.
Lần 2: Kiểm tra 1 tiết
Thời gian
Học kỳ II ( Tuần 26)
Kết quả áp dụng giải pháp (lần 2)
TS
HS
Trung bình trở lên
Số lượng
Tỉ lệ (%)
120
93
77,5%
* Nhận xét: Đa số học sinh nắm vững chắc các kiến về hệ phương trình, vận dụng thành
thạo kỹ năng biến đổi, phân tích, biết dựa vào các bài toán đã biết cách giải truớc đó, linh
hoạt biến đổi và vận dụng các phương pháp giải hệ, trình bày bài giải hợp lý hơn có hệ
thống và logic, chỉ còn một số ít học sinh quá yếu, kém chưa thực hiện tốt.
10.2 Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng kiến
theo ý kiến của tổ chức các nhân
Rèn cho học sinh thành thạo kĩ năng giải hệ phương trình ôn thi vào lớp 10 là một
nội dung hết sức quan trọng,là cơ sở nền móng cho việc học toán đại số sau này.Vì vậy
đối với giáo viên cần :
- Thường xuyên nghiên cứu tài liệu, sách tham khảo.
- Sàng lọc các nội dung hay, tâm đắc và biên soạn thành tài liệu riêng cho bản thân.
- Luôn luôn trao đổi học hỏi đồng nghiệp, lựa chọn phương án giảng dạy hiệu quả
nhất.
- Giáo viên thường xuyên kiểm tra mức độ tiếp thu và vận dụng của học sinh trong
quá trình cung cấp các thông tin mới có liên quan trong chương trình đại số 9, chương
trình ôn thi vào lớp 10 đã đề cập ở trên.
- Giáo viên phải định hướng và vạch ra những dạng toán có liên quan mà các đề thi
thường hướng tới, rèn cho học sinh kĩ năng phân tích bài toán và tìm tòi lời giải
- Tạo điều kiện để học sinh được phát triển tư duy một cách toàn diện, gợi sự suy mê
hứng thú học tập, tìm tòi sáng tạo, kích thích và khơi dậy khả năng tự học của học sinh,
chủ động trong học tập và trong học toán.
Bên cạnh đó giáo viên cần lựa chọn phương pháp dạy học phù hợp với từng đối tượng
học sinh.Cụ thể :
* Đối với học sinh yếu kém: Là một quá trình liên tục được củng cố và sửa chữa sai
lầm, cần rèn luyện các kỹ năng để học sinh có khả năng nắm được phương pháp vận
dụng tốt các phương pháp giải hệ phương trình cơ bản, cho học sinh thực hành theo mẫu
với các bài tập tương tự, bài tập từ đơn giản nâng dần đến phức tạp, không nên yêu cầu
các em đi quá xa nội dung sách giáo khoa.
*Đối với học sinh đại trà: Giáo viên cần chú ý cho học sinh chỉ nắm chắc các phương
pháp cơ bản, kĩ năng biến đổi, kĩ năng thực hành và việc vận dụng từng phương pháp đa
22
dạng hơn vào từng bài tập cụ thể, luyện tập khả năng tự học, gợi sự say mê hứng thú học,
kích thích và khơi dậy sự tìm tòi, chủ động chiếm lĩnh kiến thức.
* Đối với học sinh khá giỏi: Ngoài việc nắm chắc các phương pháp cơ bản, ta cần cho
học sinh tìm hiểu thêm các phương pháp giải các hệ nâng cao khác, các bài tập dạng mở
rộng giúp các em biết mở rộng vấn đề, cụ thể hoá vấn đề, tương tự hoá vấn đề. Qua đó
tập cho học sinh thói quen tự học, tự tìm tòi sáng tạo, khai thác bài toán khác nhằm phát
triển tư duy một cách toàn diện cho quá trình tự nghiên cứu của các em.
Nếu thực hiện tốt phương pháp trên trong quá trình giảng dạy và học tập thì chất
lượng học tập bộ môn của học sinh sẽ được nâng cao hơn, đào tạo được nhiều học sinh
khá giỏi, đồng thời tuyển chọn được nhiều học sinh giỏi cấp trường, cấp huyện, tỉnh,....
Tóm lại
Từ thực tế giảng dạy khi áp dụng phương pháp này tôi nhận thấy học sinh nắm
vững kiến thức hơn, hiểu rõ các cách giải toán ở dạng bài tập này. Kinh nghiệm này đã
giúp học sinh trung bình, học sinh yếu nắm vững chắc về cách giải các bài toán hệ
phương trình ôn thi vào lớp 10, được học và rèn luyện kĩ năng thực hành theo hướng tích
cực hoá hoạt động nhận thức ở những mức độ khác nhau thông qua một chuỗi bài tập.
Bên cạnh đó còn giúp cho học sinh khá giỏi có điều kiện tìm hiểu thêm một số phương
pháp giải khác, các dạng toán khác nâng cao hơn, nhằm phát huy tài năng toán học, phát
huy tính tự học, tìm tòi, sáng tạo của học sinh trong học toán.
Mặc dù bản thân đã có nhiều cố gắng, tuy nhiên chuyên đề cũng không tránh khỏi
những thiếu sót và hạn chế, rất mong các đồng chí giáo viên trong cụm góp ý xây dựng
chuyên đề của tôi được hoàn thiện hơn.
11.Danh sách những tổ chức /cá nhân đã tham gia áp dụng thử chuyên đề lần đầu
STT
Tên tổ chức/cá nhân
Địa chỉ
1
Lê Thị Thanh Hương
Trường THCS Lũng Hòa
Phạm vi/Lĩnh vực
áp dụng sáng kiến
Toán 9
2
Trần Thị Thanh Tâm
Trường THCS Lũng Hòa
Toán 9
Lũng Hòa, ngày…..tháng….năm 2019
XÁC NHẬN CỦA BGH
Lũng Hòa, ngày 15 tháng 3 năm 2019
Người viết chuyên đề
Vương Thị Phương Hoa
23
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1)Sách giáo khoa toán 9 – Tập 2
Tác giả:Vũ Hữu Bình- Phạm Gia Đức-Trần Luận
2) Sách bài tập toán 9 – Tập 2
Tác giả:Vũ Hữu Bình- Phạm Gia Đức-Trần Luận
3) Sách ôn tập đại số 9 – Nhà xuất bản giáo dục
Tác giả: Nguyễn Ngọc Đam- Vũ Dương Thụy
4) Sách dạy học toán THCS theo hướng đổi mới lớp 9-Tập 2
24
