Tính Cohen Macaulay dãy của đại số Rees (Luận văn thạc sĩ)

✣❸■ ❍➴❈ ❚❍⑩■ ◆●❯❨➊◆

❚❘×❮◆● ✣❸■ ❍➴❈ ❙× P❍❸▼
✖✖✖✖✖✖✕♦✵♦✖✖✖✖✖✖✕

◆●❯❨➍◆ ❈❍➑ ❚❹▼

❚➑◆❍ ❈❖❍❊◆✲▼❆❈❆❯▲❆❨ ❉❶❨ ❈Õ❆ ✣❸■ ❙➮ ❘❊❊❙

▲❯❾◆ ❱❿◆ ❚❍❸❈ ❙➒ ❚❖⑩◆ ❍➴❈

❚❍⑩■ ◆●❯❨➊◆✱ ◆❿▼ ✷✵✶✽


✣❸■ ❍➴❈ ❚❍⑩■ ◆●❯❨➊◆

❚❘×❮◆● ✣❸■ ❍➴❈ ❙× P❍❸▼
✖✖✖✖✖✖✕♦✵♦✖✖✖✖✖✖✕

◆●❯❨➍◆ ❈❍➑ ❚❹▼

❚➑◆❍ ❈❖❍❊◆✲▼❆❈❆❯▲❆❨ ❉❶❨ ❈Õ❆ ✣❸■ ❙➮ ❘❊❊❙
◆❣➔♥❤✿ ✣↕✐ sè ✈➔ ❧þ t❤✉②➳t sè
▼➣ sè✿ ✽ ✹✻ ✵✶ ✵✹

▲❯❾◆ ❱❿◆ ❚❍❸❈ ❙➒ ❚❖⑩◆ ❍➴❈

❈→♥ ❜ë ❤÷î♥❣ ❞➝♥ ❦❤♦❛ ❤å❝✿
✶✳ P●❙✳❚❙✳ ◆❛♦❦✐ ❚❛♥✐❣✉❝❤✐

✷✳ ❚❙✳ ❚r➛♥ ◆❣✉②➯♥ ❆♥

❚❍⑩■ ◆●❯❨➊◆✱ ◆❿▼ ✷✵✶✽
✐


▲❮■ ❈❆▼ ✣❖❆◆
❚æ✐ ①✐♥ ❝❛♠ ✤♦❛♥ r➡♥❣ ❝→❝ ❦➳t q✉↔ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ tr♦♥❣ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ♥➔② ❧➔
tr✉♥❣ t❤ü❝ ✈➔ ❦❤æ♥❣ trò♥❣ ❧➦♣ ✈î✐ ❝→❝ ✤➲ t➔✐ ❦❤→❝✳ ❚æ✐ ①✐♥ ❝❛♠ ✤♦❛♥ ♠å✐ sü
❣✐ó♣ ✤ï ❝❤♦ ✈✐➺❝ t❤ü❝ ❤✐➺♥ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ♥➔② ✤➣ ✤÷ñ❝ ❝↔♠ ì♥ ✈➔ ❝→❝ t❤æ♥❣ t✐♥ tr➼❝❤
❞➝♥ tr♦♥❣ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ✤➣ ✤÷ñ❝ ❝❤➾ rã ♥❣✉ç♥ ❣è❝✳
❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥✱ ♥❣➔② ✶✻ t❤→♥❣ ✵✽ ♥➠♠ ✷✵✶✽
❚→❝ ❣✐↔

◆❣✉②➵♥ ❈❤➼ ❚➙♠

❳→❝ ♥❤➟♥

❳→❝ ♥❤➟♥

❝õ❛ tr÷ð♥❣ ❦❤♦❛ ❝❤✉②➯♥ ♠æ♥

❝õ❛ t➟♣ t❤➸ ❤÷î♥❣ ❞➝♥ ❦❤♦❛ ❤å❝

✐✐




ữủ t ữợ sỹ ữợ ừ P
trữớ ồ s t r

trữớ ồ ữ ổ ữủ tọ ỏ
trồ t ỡ s s t ỳ ồ qỵ tứ tr
ỳ ồ tr ở số t ú tổ tỹ t ỡ trữ t
ỡ
ổ tọ ỏ t ỡ tợ tt t ổ ồ
t t ổ tứ t t tổ
t ờ ợ ồ ữỡ tr tổ õ t
tự qỵ
ổ ữủ ỷ ỡ tợ tt t tr t
tổ ữủ ồ t ự t




▼ö❝ ❧ö❝
▲í✐ ❝❛♠ ✤♦❛♥

✐✐

▲❮■ ❈❷▼ ❒◆

✐✐✐

▼Ð ✣❺❯

✶

❈❤÷ì♥❣ ✶ ❱➔♥❤ ❧å❝ ✈➔ t➼♥❤ ◆♦❡t❤❡r ❝õ❛ ✈➔♥❤ ❧å❝

✸

✶✳✶ ❱➔♥❤ ❧å❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✸

✶✳✷ ❚➼♥❤ ◆♦❡t❤❡r ❝õ❛ ✈➔♥❤ ❧å❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✶

❈❤÷ì♥❣ ✷ ❚➼♥❤ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② ❞➣② ❝õ❛ ✤↕✐ sè ❘❡❡s

✶✽

✷✳✶ ▲å❝ ❝❤✐➲✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✽

✷✳✷ ▼æ✤✉♥ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② ✈➔ ▼æ✤✉♥ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② ❞➣② ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✷

✷✳✸ ❚➼♥❤ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② ❞➣② ❝õ❛ ✤↕✐ sè ❘❡❡s ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✸✸

❑➌❚ ▲❯❾◆
❚➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦

✹✶
✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✐✈

✹✷


▼Ð ✣❺❯
❈❤♦ R ❧➔ ♠ët ✈➔♥❤ ❣✐❛♦ ❤♦→♥ ◆♦❡t❤❡r ✈➔ ❝❤♦ F = {Fn }n ❧➔ ♠ët ❤å ❝→❝
✐✤➯❛♥ tr♦♥❣ R✳ ❑❤✐ ✤â t❛ ♥â✐ F ❧➔ ♠ët ❧å❝ ❝õ❛ R ♥➳✉
✭✐✮ F0 = R❀ Fn+1 ⊆ Fn ✈î✐ ♠å✐ n ∈ Z;
✭✐✐✮ Fn Fm ⊆ Fn+m ✈î✐ ♠å✐ m, n ∈ Z✳
❱➼ ❞ö ✈➲ ❝→❝ ❧♦↕✐ ❧å❝ ♠➔ ❝❤ó♥❣ t❛ t❤÷í♥❣ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✤â ❧➔ ❧å❝ I ✲❛❞✐❝
Fn = I n , n ∈ N ✈î✐ I ❧➔ ✐✤➯❛♥ ❝õ❛ R❀ ❧å❝ Fn = p(n) , n ∈ N ❧➔ ❧å❝ ❧ô② t❤ø❛ ❤➻♥❤
t❤ù❝ ❝õ❛ ✐✤➯❛♥ ♥❣✉②➯♥ tè p tr♦♥❣ R❀ ❧å❝ Fn = I n , n ∈ N ❧➔ ❧å❝ ❝→❝ ❜❛♦ ✤â♥❣
♥❣✉②➯♥ ❝õ❛ I n ❀ ❧å❝ Fn = i≥n Ri tr♦♥❣ ✤â R = i≥0 Ri ❧➔ ♠ët ✈➔♥❤ ♣❤➙♥
❜➟❝✳
❱î✐ t ❧➔ ♠ët ❜✐➳♥ tr➯♥ R ✈➔ ✈î✐ ♠é✐ ❧å❝ F ❝õ❛ R t❛ ❝â ❜❛ ✤↕✐ sè ♣❤➙♥
❜➟❝ ❧✐➯♥ ❦➳t ❧➔

Fn tn ⊆ R[t],

R(F) =
n≥0

Fn tn = R(F)[t−1 ] ⊆ R[t, t−1 ] ✈➔

R (F) =
n∈Z

G(F) = R(F)/t−1 R(F)

✈➔ t❛ ❣å✐ t÷ì♥❣ ù♥❣ ❧➔ ✤↕✐ sè ❘❡❡s✱ ✤↕✐ sè ❘❡❡s ♠ð rë♥❣ ✈➔ ✈➔♥❤ ♣❤➙♥ ❜➟❝ ❧✐➯♥
❦➳t ❝õ❛ ❧å❝ F ✳ ❑❤✐ F ❧➔ I ✲❛❞✐❝ t❛ t❤÷í♥❣ ❦➼ ❤✐➺✉ ❝→❝ ✤↕✐ sè ❜ð✐ R(I), R (I) ✈➔
G(I) t÷ì♥❣ ù♥❣✳ ❑➳t q✉↔ ✤➛✉ t✐➯♥ ✈➲ ①➨t t➼♥❤ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② ❝õ❛ ✈➔♥❤ ❘❡❡s
ù♥❣ ✈î✐ ❧å❝ m✲❛❞✐❝ ❧➔ ❝õ❛ ❙✳ ●♦t♦✲❨✳ ❙❤✐♠♦❞❛ ❬✶✸❪ ❤å ✤➣ ①➨t tr♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤ñ♣
R ❧➔ ✈➔♥❤ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ ✈î✐ ✐✤➯❛♥ tè✐ ✤↕✐ ❞✉② ♥❤➜t m✳ Ð ✤â ❤å
✤➣ ❦❤➥♥❣ ✤à♥❤ ♥➳✉ dim R ≥ 1 t❤➻ ✈➔♥❤ ❘❡❡s R(m) ✈î✐ m ✐✤➯❛♥ tè✐ ✤↕✐ ❝õ❛ R ❧➔
✈➔♥❤ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ G(m) ❧➔ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② ✈➔ a(G(m)) < 0
tr♦♥❣ ✤â a(G(m)) ❧➔ a✲❜➜t ❜✐➳♥ ❝õ❛ ✈➔♥❤ ♣❤➙♥ ❜➟❝ ✭t❤❡♦ ❬✶✹❪✮✳ ❙✳ ■❦❡❞❛ ❬✶✽❪ ♠ð
rë♥❣ ❦➳t q✉↔ tr➯♥ ❝❤♦ ✈➔♥❤ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ ❜➜t ❦ý ❝â ❝❤✐➲✉ dim R ≥ 1✳ ❙❛✉ ✤â ◆✳ ❱✳
❚r✉♥❣ ✈➔ ❙✳ ■❦❡❞❛ ❬✷✽❪ t➻♠ ❤✐➸✉ ❝❤♦ tr÷í♥❣ ❤ñ♣ tê♥❣ q✉→t ❤ì♥✳ ❈ö t❤➸ ❝❤♦ I ❧➔
✐✤➯❛♥ ❝õ❛ ✈➔♥❤ ◆♦t❤❡r ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ R✱ M ❧➔ ✐✤➯❛♥ tè✐ ✤↕✐ ♣❤➙♥ ❜➟❝ ❞✉② ♥❤➜t ❝õ❛
R(I)✳ ❑❤✐ ✤â ♥➳✉ dim R(I) = dim R + 1 t❤➻ R(I) ❧➔ ✈➔♥❤ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛②
✶


[Hmi (G(I))]n = (0) ợ ồ i, n Z, i = dim R, n = 1
a(G(I)) < 0 ừ số ự ợ ồ ụ
ữủ t ồ q t ự
ởt ọ tỹ t r t t ừ
số tr ú ỵ r t t ữủ ợ
t P t ổ ỳ s õ
ữớ P ự ợ ổ
tr ữỡ ữủ ổ
ỳ s tr tr t ý t r r
ợ ổ rở tỹ ừ ợ ổ
ự ợ ổ õ
trỏ rt q trồ tr số ồ số số tờ ủ
t tr ự tr trú ừ ổ
ữủ ự ró tổ q ừ m ữỡ
trữ ỗ t số tốt t số dd

ừ số s ự ợ ồ I tr
ữỡ (R, m) ữủ ự tr tr õ I m
sỡ r t rở ự t ừ
số s ự ợ ồ tờ qt ỡ
ử ừ t ồ số s t
ừ số s t tt ởt số t
t ừ ổ ụ ởt ử ừ
t t t
ữủ ố ử ữỡ ữỡ tr ồ
t tr ừ ồ ữỡ tr ồ ổ
ổ t ừ
số s




❈❤÷ì♥❣ ✶

❱➔♥❤ ❧å❝ ✈➔ t➼♥❤ ◆♦❡t❤❡r ❝õ❛ ✈➔♥❤
❧å❝
Ð ❝❤÷ì♥❣ ♥➔② t❛ ❧✉æ♥ ❣✐↔ t❤✐➳t R ❧➔ ✈➔♥❤ ❣✐❛♦ ❤♦→♥ ❝â ✤ì♥ ✈à ✈➔ M ❧➔ R✲
♠æ✤✉♥✳ ▼ët sè ❦✐➳♥ t❤ù❝ ❝➛♥ t❤✐➳t ❝❤÷❛ ✤÷ñ❝ ♥➯✉ tr♦♥❣ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ❝â t❤➸ t❤❛♠
❦❤↔♦ tr♦♥❣ ❬✶✻❪✱❬✷✵❪✱ ❬✷✶❪✳ ❈❤÷ì♥❣ ♥➔② t❤❛♠ ❦❤↔♦ t❤❡♦ ❬✷❪✱ ❬✶✼❪✱ ❬✶✾❪✳

✶✳✶ ❱➔♥❤ ❧å❝
❚r♦♥❣ ♠ö❝ ♥➔② t❛ s➩ ❣✐î✐ t❤✐➺✉ ✈➲ ✈➔♥❤ ❘❡❡s✱ ✈➔♥❤ ❘❡❡s ♠ð rë♥❣ ✈➔ ✈➔♥❤
♣❤➙♥ ❜➟❝ ❧✐➯♥ ❦➳t ❝õ❛ ♠ët ✈➔♥❤ ❧å❝✳

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✶✳ ❈❤♦ R ❧➔ ♠ët ✈➔♥❤ ✈➔ {Fn}n∈Z ❧➔ ♠ët ❤å ❝→❝ ✐✤➯❛♥ ❝õ❛
R✳ ❉➣② {Fn }n∈Z ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ♠ët ❧å❝ ❝→❝ ✐✤➯❛♥ ❝õ❛ R ♥➳✉ ♥â t❤ä❛ ♠➣♥ ❝→❝ ✤✐➲✉

❦✐➺♥ s❛✉✿
✭✐✮ F0 = R✱ Fn+1 ⊆ Fn ✈î✐ ♠å✐ n ∈ Z❀
✭✐✐✮ Fn Fm ⊆ Fn+m ✈î✐ ♠å✐ m, n ∈ Z✳
▼ët ✈➔♥❤ ❧å❝ ❧➔ ❝➦♣ (R, F) tr♦♥❣ ✤â R ❧➔ ✈➔♥❤ ✈➔ F ❧➔ ♠ët ❧å❝ tr➯♥ R✳

❱➼ ❞ö ✶✳✶✳✷✳ ❈❤♦ I ❧➔ ♠ët ✐✤➯❛♥ ❝õ❛ ✈➔♥❤ R ✈➔ ✤➦t Fn = I n✳ ❑❤✐ ✤â t❛ ❝â
❧å❝

R = I0 ⊇ I1 ⊇ I2 ⊇ . . . ⊇ In ⊇ . . .
▲å❝ ♥➔② ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❧å❝ ❧ô② t❤ø❛ ❤❛② ❧å❝ I ✲❛❞✐❝✳

❱➼ ❞ö ✶✳✶✳✸✳ ❈❤♦ R =

❧➔ ❧å❝ ❝→❝ ✐✤➯❛♥ ❝õ❛ R✳

Ri ❧➔ ✈➔♥❤ Z✲♣❤➙♥ ❜➟❝✳ ✣➦t Fn =
i≥n

i∈Z

✸

Ri t❤➻ {Fn }n∈Z


✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✹✳ ❈❤♦ R ❧➔ ♠ët ✈➔♥❤ ✈➔ p ❧➔ ♠ët ✐✤➯❛♥ ♥❣✉②➯♥ tè ❝õ❛ R✳

❑❤✐ ✤â ❧ô② t❤ø❛ ❤➻♥❤ t❤ù❝ ❜➟❝ n ❝õ❛ p✱ ❦þ ❤✐➺✉ ❧➔ p(n) ✤÷ñ❝ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ❧➔
pn Rp ∩ R, n ∈ N✳

❱➼ ❞ö ✶✳✶✳✺✳ ❈❤♦ p ❧➔ ♠ët ✐✤➯❛♥ ♥❣✉②➯♥ tè ❝õ❛ ✈➔♥❤ R✳ ❑❤✐ ✤â ✈î✐ ♠å✐

m, n ∈ N✱ pn .pm ⊆ pm+n ✳ ❚ø ✤â s✉② r❛ pn Rp .pm Rp ⊆ pm+n Rp ✳ ❉♦ ✤â
(pn Rp ∩ R).(pm Rp ∩ R) ⊆ pm+n Rp ∩ R ❤❛② p(n) .p(m) ⊆ p(n+m) ✈➔ ♥❤÷ ✈➟②
{p(n) }n ❧➔ ♠ët ❧å❝✳
❚✐➳♣ t❤❡♦ t❛ ①➨t ♠ët ✈➼ ❞ö ✈➲ ❧å❝ ❝→❝ ✐✤➯❛♥ ❝õ❛ ✈➔♥❤ ✤❛ t❤ù❝ k[x] ✈î✐ k
❧➔ ♠ët tr÷í♥❣✳

❱➼ ❞ö ✶✳✶✳✻✳√❈❤♦ Fn

√

= (x n ), n ∈ N ❧➔ ♠ët ❤å ❝→❝ ✐✤➯❛♥ tr♦♥❣ k[x]
√
n
❧➔ sè ♥❣✉②➯♥ ♥❤ä ♥❤➜t ❧î♥ ❤ì♥ ❤♦➦❝ ❜➡♥❣ n ✳ ❚❛
✈î✐ ❦þ ❤✐➺✉
❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ {Fn } ❧➔ ♠ët ❧å❝ ❝→❝ ✐✤➯❛♥ ❝õ❛ k[x]✳ ❚r÷î❝ ❤➳t✱ t❛ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤
√
√
√
√
√
√
m+n ≤
m +
n ✳ ❘ã r➔♥❣ t❛ ❝â
m+n ≤
m+ n ✳
❑❤✐ ✤â

√
√
√
√
√
m+n≤ m+ n≤
m +
n .
√
√
√
√
√
√
m
+
n
∈
N ♥➯♥
m
+
n
=
m
+
n ✳ ❉♦
❱➻
√
√
√

✤â
m+n ≤
m +
n ✳ ❚❛ ❝â ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ (ii) tr♦♥❣ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ❧å❝
❧➔ t❤ä❛ ♠➣♥✳ ❍✐➸♥ ♥❤✐➯♥ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ (i) ❝õ❛ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ❧✉æ♥ t❤ä❛ ♠➣♥✳ ❉♦ ✈➟②
{Fn } ❧➔ ❧å❝ ❝→❝ ✐✤➯❛♥ ❝õ❛ R✳

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✼✳ ❈❤♦ ✈➔♥❤ ❧å❝ (R, F)✱ ✈î✐ ❧å❝ F = {Fn}n∈Z ✈➔ M ❧➔ R✲

♠æ✤✉♥✳ ▼ët ❧å❝ ❝→❝ ♠æ✤✉♥ ❝♦♥ ❝õ❛ M ❧➔ ❤å {Mn }n∈Z ❝→❝ ♠æ✤✉♥ ❝♦♥ ❝õ❛ M
t❤ä❛ ♠➣♥ M0 = M ✈➔ Mn+1 ⊆ Mn ✳ ▲å❝ {Mn }n∈Z ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ t÷ì♥❣ t❤➼❝❤ ✈î✐
❧å❝ F ❤❛② F ✲❧å❝ ♥➳✉ Fm Mn ⊆ Mm+n ✱ ✈î✐ ♠å✐ m, n ∈ Z✳

❱➼ ❞ö ✶✳✶✳✽✳ ❈❤♦ R =

Rn ❧➔ ✈➔♥❤ Z✲♣❤➙♥ ❜➟❝ ✈➔ M =
n∈Z

♠æ✤✉♥ ♣❤➙♥ ❜➟❝✳ ✣➦t Mn =

i≥n

Gn ❧➔ R✲
n∈Z

Gi ✱ ❦❤✐ ✤â {Mn }n∈Z ❧➔ ♠ët F ✲❧å❝ ❝õ❛ M ✱✈î✐

F = {Fn } ♥❤÷ tr♦♥❣ ❱➼ ❞ö ✶✳✶✳✸✳

❱➼ ❞ö ✶✳✶✳✾✳ ❈❤♦ (R, F) ❧➔ ✈➔♥❤ ❧å❝ ✈î✐ ❧å❝ F = {Fn}n∈Z ✈➔ M ❧➔ R✲♠æ✤✉♥✳

✣➦t Mn = Fn M ✳ ❑❤✐ ✤â {Mn }n∈Z ❧➔ F ✲❧å❝✳

❈❤♦ R ❧➔ ♠ët ✈➔♥❤ ❧å❝ ✈î✐ ❧å❝ F = {Fn }n∈Z ✳ ❚❛ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✤↕✐ sè ❘❡❡s
❝õ❛ R t÷ì♥❣ ù♥❣ ✈î✐ ❧å❝ F ❜ð✐

F n tn .

R = R(F) =
n≥0
✹


❑❤✐ ✤â R(F) ✤÷ñ❝ ①❡♠ ♥❤÷ ♠ët ✈➔♥❤ ❝♦♥ ❝õ❛ ✈➔♥❤ R[t]✳ ❚❛ ❝ô♥❣ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛
✤↕✐ sè ❘❡❡s ♠ð rë♥❣ ❝õ❛ R t÷ì♥❣ ù♥❣ ✈î✐ ❧å❝ F ❜ð✐

Fn tn .

R = R (F) =
n∈Z

❑❤✐ ✤â R(F) ✤÷ñ❝ ①❡♠ ♥❤÷ ♠ët ✈➔♥❤ ❝♦♥ ❝õ❛ ✈➔♥❤ R[t, t−1 ]✳ ◆❣♦➔✐ r❛✱ t❛
✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✈➔♥❤ ♣❤➙♥ ❜➟❝ ❧✐➯♥ ❦➳t ❝õ❛ R t÷ì♥❣ ù♥❣ ✈î✐ ❧å❝ F ❜ð✐
∞

G = G(F) =

Fn /Fn+1 .
n=0

◆â ❧➔ ♠ët ✈➔♥❤ ♣❤➙♥ ❜➟❝ ✈î✐ ♣❤➨♣ ♥❤➙♥ ❝↔♠ s✐♥❤ ❜ð✐ ♣❤➨♣ ♥❤➙♥ →♥❤ ①↕

Fm × Fn −→ Fm+n ✳
✣➦t

❈❤♦ M ❧➔ R✲♠æ✤✉♥✱ M = {Mn }n∈Z ❧➔ F ✲❧å❝ ❝→❝ ♠æ✤✉♥ ❝♦♥ ❝õ❛ M ✳

tn ⊗ Mn ⊆ R[t] ⊗R M

R(M ) =
n≥0

tn ⊗ Mn ⊆ R[t, t−1 ] ⊗R M

R (M ) =
n∈Z

G(M ) = R (M )/t−1 R(M )
✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ♠æ✤✉♥ ❘❡❡s✱ ♠æ✤✉♥ ❘❡❡s ♠ð rë♥❣ ✈➔ ♠æ✤✉♥ ♣❤➙♥ ❜➟❝ ❧✐➯♥
❦➳t ❝õ❛ M ✳ ❈❤ó þ✱ ✤æ✐ ❦❤✐ ✤➸ ✤ì♥ ❣✐↔♥ t❛ ❝ô♥❣ ✈✐➳t R(M ) =
Mn tn ✈➔
n≥0

Mn t ✳
n

R (M ) =
n∈Z

❚❛ ①➨t tr÷í♥❣ ❤ñ♣ ✤➦❝ ❜✐➺t✱ ❣✐↔ sû ✈➔♥❤ R ❧➔ ✈➔♥❤ ❣✐❛♦ ❤♦→♥✱ I ⊆ R ❧➔
✐✤➯❛♥ ✈➔ M ❧➔ R✲♠æ✤✉♥✳ ❑❤✐ ✤â t❛ ❦þ ❤✐➺✉ ✈➔♥❤ ❘❡❡s✱ ✈➔♥❤ ❘❡❡s ♠ð rë♥❣ ✈➔
✈➔♥❤ ♣❤➙♥ ❜➟❝ ❧✐➯♥ ❦➳t ù♥❣ ✈î✐ ❧å❝ {I n M }n∈Z ❜ð✐

(I n M )tn

R(I, M ) =
n∈N

✈➔

(I n M )tn

R (I, M ) =
n∈Z

I n M/I n+1 M.

G(I, M ) =
n∈N

❚❛ sû ❞ö♥❣ q✉② ÷î❝ I n = R ♥➳✉ n ≤ 0 ✈➔ ①➨t R(I, M ) ✈➔ R (I, M ) ❧➔ ♥❤â♠
❝♦♥ ❝õ❛

M [t, t−1 ] = M ⊗R R[t, t−1 ]
✺


❍ì♥ ♥ú❛✱ ✈î✐ ♠å✐ ♠æ✤✉♥ ❝♦♥ N ❝õ❛ M t❛ ✤➦t

(I n M ∩ N )tn ,

R(I, N ⊆ M ) =

n∈N

(I n M ∩ N )tn

R (I, N ⊆ M ) =
n∈Z

✈➔

((I n M ∩ N ) + I n+1 M/I n+1 M ).

G(I, N ⊆ M ) =
n∈N

◆❤➟♥ ①➨t ✶✳✶✳✶✵✳ ❈❤♦ R ❧➔ ✈➔♥❤ ❣✐❛♦ ❤♦→♥✱ F = {Fn} ❧➔ ♠ët ❧å❝ ❝→❝ ✐✤➯❛♥

❝õ❛ R✱ M ❧➔ R✲♠æ✤✉♥ ✈➔ I ❧➔ ♠ët ✐✤➯❛♥ ❝õ❛ R✳ ❑❤✐ ✤â✱ t❛ ❝â

✭✐✮ R, R , G ❧➔ ❝→❝ ✈➔♥❤ ♣❤➙♥ ❜➟❝✳ R(M ) ❧➔ R✲♠æ✤✉♥ ♣❤➙♥ ❜➟❝✱ R (M )
❧➔ R ✲♠æ✤✉♥ ♣❤➙♥ ❜➟❝ ✈➔ G(M ) ❧➔ ❝→❝ G ✲♠æ✤✉♥ ♣❤➙♥ ❜➟❝✳
✣➦❝ ❜✐➺t✱ R(I, R), R (I, R) ✈➔ G(I, R) ❧➔ ❝→❝ ✈➔♥❤ ♣❤➙♥ ❜➟❝✱ G(I, M )
❧➔ ♠ët G(I, R)✲♠æ✤✉♥ ♣❤➙♥ ❜➟❝ ✈➔ t÷ì♥❣ tü ✤è✐ ✈î✐ R(I, M ) ✈➔ R (I, M )✳
❚❛ ❝ô♥❣ ❝â G(I, N ⊂ M ) ✭t÷ì♥❣ ù♥❣ R(I, N ⊂ M ), R (I, N ⊂ M )✮ ❧➔ ♠ët
♠æ✤✉♥ ❝♦♥ ❝õ❛ G(I, M ) ✭t÷ì♥❣ ù♥❣ R(I, M ), R (I, M )✮ ✈➔ ❦❤✐ ✤â t❛ ❝â ❝→❝
✤➥♥❣ ❝➜✉ tü ♥❤✐➯♥✳

R(I, M )/R(I, N ⊂ M ) ∼
= R(I, M/N ) tr➯♥ R(I, R),
R (I, M )/R (R, N ⊂ M ) ∼
= R (I, M/N ) tr➯♥ R (I, R)

G(I, M )/G(I, N ⊂ M ) ∼
= G(I, M/N ) tr➯♥ G(I, R).
❍ì♥ ♥ú❛✱ ♥➳✉ t❛ ❝♦✐ G(I, M ) ❧➔ ♠ët R✲♠æ✤✉♥✱ t❛ ❝â ♠ët ✤➥♥❣ ❝➜✉ tü ♥❤✐➯♥

R(I, M )/IR(I, M ) ∼
= G(I, M ).
◆➳✉ M1 , M2 ❧➔ ❝→❝ R✲♠æ✤✉♥ ❦❤✐ ✤â

R(I, M1 ⊕ M2 ) ∼
= R(I, M1 ) ⊕ R(I, M2 ),
R (I, M1 ⊕ M2 ) ∼
= R (I, M1 ) ⊕ R (I, M2 )
✈➔

G(I, M1 ⊕ M2 ) ∼
= G(I, M1 ) ⊕ G(I, M2 ).
✭✐✐✮ R (F)/t−1 R (F) ∼
= G(F)✳
✭✐✐✐✮ P❤➛♥ tû t−1 ∈ R[t, t−1 ] t❤✉ë❝ ✈➔♦ R(F) ✈➔ ❧➔ R(F)✲ ❝❤➼♥❤ q✉②✳
✭✐✈✮ R(F)t−1 ∼
= R[t, t−1 ]✳
✻


ự ự ởt số t t tr
r R ợ r = n rn tn tr õ rn Fn n 0 rn R
n < 0 ỹ ởt ỗ : R G ữ s ợ
ộ r R t t (r) = n rn tr õ rn Fn /Fn+1 ợ ồ n 0
rn R n < 0 t ởt t ợ ồ v G t
õ v =

rn tn ợ
n0 an tr õ an = Fn /Fn+1 an Fn t u =
n

n 0 t rn = an n < 0 t rn = 0 t t t u R
(u) = v õ (r) = 0 t r = n rn+1 tn tr õ rn+1 Fn+1
s r ker() = t1 R G
= R /t1 R
õ R[t1 ] R(F) R[t, t1 ] ữỡ õ t t1
tự tr t õ
R[t1 ]t1 R(F)t1 R[t, t1 ]t1 .
R[t1 ]t1 = R[t, t1 ] R[t, t1 ]t1 = R[t, t1 ] R(F)t1 = R[t, t1 ]
t t t t tr ừ s ự ợ ồ I
rữợ t t t tr ừ

R ởt R0 số N x1, . . . , xn
tỷ t t ợ ữỡ õ s tữỡ ữỡ
x1 , . . . , xn s r m =
i=1 Ri
x1 , . . . , xn s r R ữ ởt R0 số

t R tr R0 tr R R0 số
ỳ s

ự (ii) (i) tt ợ ộ r R tũ ỵ tỗ t
f (T1 , . . . , Tn ) R0 [T1 , . . . , Tn ] s f (x1 , . . . , xn ) = r r m ởt
tỷ t t ự

r = f (x1 , . . . , xn ) =

(r xi11 . . . xinn ) (x1 , . . . , xn ).
=(i1 ,...,in )

r t t f ụ t t ũ õ r m
deg r 1 ữ ộ số ừ f ự xi ợ i {1, . . . , n}
õ õ r =
ri xi (x1 , . . . , xn ) (x1 , . . . , xn ) m
m = (x1 , . . . , xn )
(i) (ii) y R t t d s ự q t d
r y = y1 x1 + . . . + yn xn ợ yi Rddeg xi deg(y) = 0 t t õ



ự y R0
ớ sỷ tỷ t t ừ R õ ọ ỡ d s
r R tở R0 [x1 , . . . , xn ] tt t t r y i1 Ri = m =
(x1 , . . . , xn ) y = y1 x1 + . . . + yn xn ợ yi Ri õ y xi
tỷ t t ữ yi õ t ổ t t yi t
tờ tỷ t t s õ r õ số t õ
y = y1 x1 + . . . + yn xn tr õ yi tỷ t t deg y deg xi
ọ d ứ õ t tt q tỗ t fi R0 [T1 , . . . , Tn ] ợ
yi = fi (x1 , . . . , xn ) t õ ự
ợ ố R tr t R0
= R/ i1 Ri = R/m tứ õ
s r R0 tr ỡ ỳ R tr t m ỳ s
(x1 , . . . , xn ) t ỵ R R0 số ỳ s (x1 , . . . , xn )
ữủ R0 tr t

R = R0 [x1 , . . . , xm ] = R0 [T1 , . . . , Th ]/I
s r R tr

R ởt Z õ s

tữỡ ữỡ

ộ ừ R ỳ s
R tr
R0 tr R ởt R0 số ỳ s

R0 tr S1 =
i=0 Ri S2 = i=0 Ri R0 số ỳ
s

ự t ổ õ (iv) (iii) (ii) (i) s ự
(i) (iv)
rữợ t t ú ỵ r R0 tỷ trỹ t ừ R ữ R0 ổ
ừ R ự IR R0 = I ợ ộ I tũ ỵ ừ R0 t
t f : R0 R ỡ s r f 1 (f (I)) I t
õ I f 1 (f (I)) f 1 (f (I)) = I ứ õ f 1 (IR) f 1 (f (I)) = I
I IR R0 ữủ a IR R0 s r a = f (a) IR õ a
ữủ t tờ ỳ ữ s

a=

ai i , ai R, i I.

ớ t a =
bj j ợ bj j t t õ a R0
deg(a) = 0 t deg(bj j ) = 0, j deg(bj ) = 0, j
deg(j ) = 0, j ứ õ t õ a = bj j I tr R0 IR R0 I

ớ t ự R0 tr t ởt t tr

R0
I0 I1 . . . In In+1 . . .



rở t ừ R t õ

RI0 I1 R . . . In R In+1 R . . .



ởt t tr R R tr ứ
tự tỗ t n N s In R = In+k R ợ ồ k N ớ t
tr R0 t õ

I0 R R0 I1 R R0 . . . In R R0 = In+1 R R0 = . . .



õ ứ IR R0 = I t s t ữủ
t t ứ õ R0 tr ữỡ tỹ ữ t ự
ữủ Ri R0 ổ ỳ s ợ ộ i Z
t t m =
i=1 Ri ự m ởt ỳ
s ừ S1 tt mR õ s ỳ x1 , . . . , xm sỷ

ộ tỷ s xi t t di t d = max{d1 , . . . , dm } õ
y m ợ deg y d õ t t t tờ ủ t t ừ x1 , . . . , xm ợ
tỷ tr S1 õ x1 , . . . , xm ũ ợ tỷ s ừ t t ừ
R1 , . . . , Rd1 tr R0 s r m ữ ởt ừ S1 ỵ S1
R0 số ỳ s ữỡ tỹ t ự ữủ S2 R0 số ỳ
s

t I s a1, . . . , an õ G(I, M ) R(I, M )

R (I, M ) R số ỳ s õ

R(I, R) = R[a1 t, . . . , an t]


R (I, R) = R[a1 t, . . . , an t, t1 ]
rữớ ủ t M ỳ s tr R õ G(I, M )
tữỡ ự R(I, M ), R (I, M ) ỳ s tr G(I, R) tữỡ ự tr
R(I, R), R (I, R)
ứ õ t õ R M tr t G(I, R) R(I, R) R (I, R)
tr G(I, M ) tữỡ ự R(I, M ), R (I, M ) ổ tr
tr G(I, R) tữỡ ự tr R(I, R), R (I, R)



❙❛✉ ✤➙② t❛ ❝❤➾ r❛ ♠ët ✈➼ ❞ö ✈➲ ✤↕✐ sè ❘❡❡s R ❦❤æ♥❣ ❤ú✉ ❤↕♥ s✐♥❤✳

❱➼ ❞ö ✶✳✶✳✶✹✳ ◗✉❛② trð ❧↕✐ ❱➼ ❞ö ✶✳✶✳✻ ✈î✐ Fn = (x

√

) ⊆ k[x]✳ ❚❛ ❝❤ù♥❣
♠✐♥❤ R ❦❤æ♥❣ ❤ú✉ ❤↕♥ s✐♥❤✳ ●✐↔ sû ♥❣÷ñ❝ ❧↕✐✱ R ❤ú✉ ❤↕♥ s✐♥❤ ✈➔ ♥â s✐♥❤ ❜ð✐
❝→❝ ♣❤➛♥ tû s✐♥❤ ❧➔
{x

√

α1

tα1 , x

√

❚❛ ❝â t❤➸ ✈✐➳t

α2

√

x

√

tα2 , . . . , x
αm

αn

n

tαn }.

tαm

♥❤÷ ♠ët ✤❛ t❤ù❝ tr➯♥ R ❜ð✐ ❝→❝ ♣❤➛♥ tû s✐♥❤ ð tr➯♥ ✈î✐ ♠å✐ αm ∈ N✳
◆❤÷ ✈➟②✱ t❛ ❝➛♥ t➻♠ a1 , a2 , . . . , an s❛♦ ❝❤♦
✭✶✳✹✮

a1 α1 + a2 α2 + . . . + an αn = αm .
a1

√

α1

+a2

√

√

α 2 + . . . + an

αn

=

√

αm

✭✶✳✺✮

.

●✐↔ sû t❛ ❝â ai ✈î✐ i = 1, . . . , n s❛♦ ❝❤♦ ✤➥♥❣ ✤➥♥❣ t❤ù❝ ✭✶✳✹✮ ✤ó♥❣✳ ❑❤✐ ✤â
t❤❛② t❤➳ ✭✶✳✹✮ ✈➔♦ ✭✶✳✺✮ t❛ ❝â✿

a1

√

√

α1

+a2

√

α2

+ . . . + an

+ . . . + an

√

√

αn

≤
≤

αn

√

a1 α1 + a2 α2 + . . . + an αn .
√
√
√
❚❛ ✤➣ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ✤÷ñ❝ tr♦♥❣ ❱➼ ❞ö ✶✳✶✳✻ r➡♥❣
a+b ≤
a +
b ✱
♥➯♥✿
a1

α1

√
√

=

a1 α 1
a1

+... +
√

α1

√

an α n

+... +

√

an

√

αn

.

√
√
√
−
ai )
αi
≤ 0 ❦➨♦ t❤❡♦ ai ≤
ai
✈î✐ ♠å✐

√
√
i = 1, . . . , n✳ ◆❤÷♥❣ ✈➻ n ≥
n ✈î✐ ♠å✐ sè ♥❣✉②➯♥ ❞÷ì♥❣ n ♥➯♥ ai =
ai
✈î✐ ♠å✐ i✳ ❉♦ ✤â t➜t ❝↔ ❝→❝ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ tr➯♥ s➩ trð t❤➔♥❤ ✤➥♥❣ t❤ù❝ ✈➔ ♥❤÷
✈➟②✿
√
√
√
√
√
a1 α1 + a2 α2 + . . . + an αn =
a1
α1 + . . . +
an
αn .
√
n ♥➯♥ n = 0, n = 1 ❤♦➦❝ n = 2✳ ✣✐➲✉ ♥➔② s✉② r❛ ✈î✐ ♠å✐ i✱ ai ≤ 2✳
❱➻ n =
❉♦ ✤â maxi ai ≤ 2 ♥➯♥ αm =
ai αi ≤ 2 αi ✳ ✣✐➲✉ ♥➔② ✈æ ❧þ ♥➳✉ t❛ ❝❤å♥
❉♦ ✤â✱

n
i=1 (ai

i

i

αm ✤õ ❧î♥ ♥➯♥ ✤↕✐ sè ❘❡❡s ♥➔② ❦❤æ♥❣ ❤ú✉ ❤↕♥ s✐♥❤✳
✶✵


✶✳✷ ❚➼♥❤ ◆♦❡t❤❡r ❝õ❛ ✈➔♥❤ ❧å❝
◆❤÷ ✤➣ t➻♠ ❤✐➸✉ tr♦♥❣ ♠ö❝ tr÷î❝ ❧å❝ ❝õ❛ ❝→❝ ✐✤➯❛♥ ❧➔ ♠ët ❝❤õ ✤➲ q✉❛♥
trå♥❣ tr♦♥❣ ✤↕✐ sè ❣✐❛♦ ❤♦→♥ ✤÷ñ❝ ♥❤✐➲✉ ♥❣÷í✐ q✉❛♥ t➙♠ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉✳ ✣➦❝ ❜✐➺t
❧➔ ❧å❝ ◆♦❡t❤❡r ✤÷ñ❝ ♣❤→t tr✐➸♥ ❜ð✐ ❝→❝ ♥❤➔ t♦→♥ ❤å❝ ♥❤÷ ❲✳ ❇✐s❤♦♣ ❬✶❪✱ ❉✳
❘❡❡s ❬✷✷❪✱✳✳✳
❚r♦♥❣ ♠ö❝ ♥➔②✱ ❝❤ó♥❣ tæ✐ s➩ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✈➔ ❝❤♦ ✈➼ ❞ö ✈➲ ❧å❝ ◆♦❡t❤❡r ✈➔
❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❝❤ó♥❣ ❧➔ ♠ët ❧î♣ ❧å❝ ✈î✐ ♥❤✐➲✉ t➼♥❤ ❝❤➜t t❤ó ✈à✳ ▲å❝ ◆♦❡t❤❡r ❝â
✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❤ú✉ ❤↕♥ t÷ì♥❣ tü ♥❤÷ ❧å❝ ❧ô② t❤ø❛✳

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✷✳✶✳ ❈❤♦ R ❧➔ ♠ët ✈➔♥❤ ✈➔ F = {Fn} ❧➔ ♠ët ❧å❝ ❝õ❛ ❝→❝ ✐✤➯❛♥
tr♦♥❣ R✳ ❚❛ ♥â✐ F ❧➔ ❧å❝ ◆♦❡t❤❡r ♥➳✉ R(F) ❧➔ ✈➔♥❤ ◆♦❡t❤❡r✳

❱➼ ❞ö ✶✳✷✳✷✳ ✭✐✮ ❈❤♦ R ❧➔ ♠ët ✈➔♥❤ ◆♦❡t❤❡r ✈î✐ ❧å❝ ❧ô② t❤ø❛ F = {I n}, I ❧➔
✐✤➯❛♥ ❝õ❛ R✳ ❑❤✐ ✤â F ❧➔ ◆♦❡t❤❡r✳

✭✐✐✮ ◆➳✉ R ❧➔ ✈➔♥❤ ◆♦❡t❤❡r ✈➔ R(F) ❧➔ ❤ú✉ ❤↕♥ s✐♥❤ tr➯♥ R t❤➻ F ❧➔
◆♦❡t❤❡r✳

❱➼ ❞ö ✶✳✷✳✸✳ ❚❤❡♦ ❬✷✸❪ ❘♦❜❡rt ✤➣ ❝❤➾ r❛ r➡♥❣ ❝❤♦ R ❧➔ ♠ët ✈➔♥❤ ✤❛ t❤ù❝

C[x, y, z] ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ t↕✐ (x, y, z)✳ ❑❤✐ ✤â tç♥ t↕✐ ♠ët ✐✤➯❛♥ ♥❣✉②➯♥ tè p s❛♦
(n)
❝❤♦
❦❤æ♥❣ ❧➔ ◆♦❡t❤❡r✱ tr♦♥❣ ✤â p(n) = pn Rp ∩ R ❧➔ ❧ô② t❤ø❛ ❤➻♥❤
n≥0 p

t❤ù❝ ❜➟❝ n ❝õ❛ p✳
❚r♦♥❣ ♥❤ú♥❣ ♣❤➛♥ tr÷î❝✱ t❛ ✤➣ ①➨t t➼♥❤ ◆♦❡t❤❡r ❝õ❛ ✤↕✐ sè ❘❡❡s✳ ❚✐➳♣
t❤❡♦ t❛ s➩ tê♥❣ q✉→t ❧å❝ ❧ô② t❤ø❛ t❤➔♥❤ ♠ët ❧î♣ ❧å❝ ❧î♥ ❤ì♥ ✈➔ tø ✤â ①➨t t➼♥❤
◆♦❡t❤❡r ❝õ❛ ✤↕✐ sè ❘❡❡s t❤❡♦ ❧å❝ ♥➔②✳

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✷✳✹✳ ✭✐✮ ❚❛ ❣å✐ ♠ët ❧å❝ F = {Fn}n∈Z ❝õ❛ ❝→❝ ✐✤➯❛♥ ❝õ❛ ✈➔♥❤
R ❧➔ ❧å❝ ❧ô② t❤ø❛ ❝èt ②➳✉ ✭❤❛② ❡✳♣✳❢✮ ♥➳✉ tç♥ t↕✐ ♠ët sè m > 0 s❛♦ ❝❤♦
m

Fn =

Fn−i Fi ✈î✐ ♠å✐ n ≥ 1✳ ◆➳✉ n − i < 0✱ t❛ ✤➦t Fn−i ❧➔ R✳

i=1

✭✐✐✮ ❱î✐ ❤❛✐ ❧å❝ F = {Fn }n∈Z ✈➔ F = {Fn }n∈Z ✱ t❛ ♥â✐ F ≤ F ♥➳✉
Ft ⊆ Ft ✈î✐ ♠å✐ t✳
❈❤♦ F = {Fn }n∈Z ❧➔ ♠ët ❧å❝ tr➯♥ ✈➔♥❤ R✳ ❑❤✐ ✤â t❛ ❝â t❤➸ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤
♠ët sè t➼♥❤ ❝❤➜t ✈➲ ❧å❝ ❧ô② t❤ø❛ ❝èt ②➳✉✳

▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✷✳✺✳ ❈❤♦ F = {Fn}n∈Z ❧➔ ♠ët ❧å❝ tr➯♥ ✈➔♥❤ R✳ ❑❤✐ ✤â ❝→❝ ♠➺♥❤
✤➲ s❛✉ ✤➙② ❧➔ t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣✿

✭✐✮ F ❧➔ ❧å❝ ❧ô② t❤ø❛ ❝èt ②➳✉❀
✶✶


ei
Fn = ( m
j=1 Fj ) tr õ m ữ tr ừ ồ ụ

tứ ốt tờ tr tt ei > 0 s e1 +2e2 +. . .+mem = n

ỗ t ởt số m N ợ t t F ồ ọ t tr R F
õ m + 1 số t R, F1 , F2 , . . . , Fm

ự ứ t t ồ ọ t tr ổ tỗ
t t ừ tt ồ ú ỵ ợ F = {Fn }nZ
F = {Fn }nZ t F F = {Fn Fn }nZ õ m + 1 số t
R, F1 , F2 , . . . , Fm ớ t ự
m

Fn =

i=1

Fni Fi ợ ồ n 1 Fn =

(

m
ei
j=1 Fj )

õ aei i Fn õ t t ữ ai . . . ai ei số tr Fiei Fiei =



m

Fiei j Fj

j=1

ỡ tự t tr Fn õ t t ữ t ừ số õ tờ
n õ õ tở Fn Fn Fn q t ụ õ
Fn Fn Fn = Fn
K = {Kn }nZ ởt ồ tũ ỵ tr R s Fi = Ki
ợ ồ i = 0, . . . m ữ t ừ ởt ồ t õ
m

m

Fiei )

(

=

i=1

t Hn =

m

(
i=1

Kiei ) Kn

(
i=1

Fiei ) ợ ồ n m Hn = Fn ợ ồ n < m õ

H = {Hn } ởt ồ tr R H ồ ọ ỡ K K ồ tũ ỵ
H ồ ọ t H F ữ H = F t ứ t õ
ự
t t ừ số s ừ ởt ồ t
tr ỹ tr t t ừ ồ ụ tứ ốt

ỵ ỵ R ởt tr ợ F = {Fn}

ởt ồ tũ ỵ tr R õ s tữỡ ữỡ
số s rở R ự ợ ồ F tr
R tr
R ỳ s tr R
F ồ ụ tứ ốt

ự ứ t õ tứ



✤➳♥ ✭✐✐✐✮ ❧➔ t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣ ✈➻ R ❧➔ ♣❤➙♥ ❜➟❝ ✈➔ R ❧➔ ◆♦❡t❤❡r✳ ❱➟② t❛ ❝❤➾ ❝➛♥
❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ♠➺♥❤ ✤➲ ✭✐✈✮ t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣ ✈î✐ ❝→❝ ♠➺♥❤ ✤➲ ❝á♥ ❧↕✐✳
✭✐✈✮⇒ ✭✐✐✐✮✳ ❚❤➟t ✈➙②✱ ✈➻ F ❧➔ ❧å❝ ❧ô② t❤ø❛ ❝èt ②➳✉ ♥➯♥ tç♥ t↕✐ ♠ët sè
m ∈ n s❛♦ ❝❤♦ t➜t ❝↔ ❝→❝ ♣❤➛♥ tû ❝õ❛ F ✤➲✉ ❝â t❤➸ ❜✐➸✉ ❞✐➵♥ q✉❛ m sè ❤↕♥❣
✤➛✉ t✐➯♥ ❝õ❛ F ✳ ❉♦ ✤â R = R[F1 t, F2 t2 , . . . , Fm tm ] ❦➨♦ t❤❡♦ R ❧➔ ❤ú✉ ❤↕♥
s✐♥❤✳
✭✐✐✐✮⇒ ✭✐✈✮✳ ✣➦t N = (F1 t, F2 t2 , . . .) ❧➔ ♠ët ✐✤➯❛♥ ❝õ❛ R✳ ●✐↔ sû
f1 , . . . , fm ❧➔ ♠ët ❤➺ s✐♥❤ ❝õ❛ N ✳ ❱➻ N ❧➔ t❤✉➛♥ ♥❤➜t ♥➯♥ t❛ ❝â t❤➸ ❣✐↔ sû
fi ❝ô♥❣ t❤✉➛♥ ♥❤➜t ✭✈➻ ♥➳✉ fi ❦❤æ♥❣ t❤✉➛♥ ♥❤➜t t❛ ❝â t❤➸ ❧➜② ❝→❝ t❤➔♥❤

♣❤➛♥ t❤✉➛♥ ♥❤➜t ✈➔ t❤➯♠ ❝❤ó♥❣ ✈➔♦ ❤➺✮✳ ❉♦ ✈➟②✱ fi = ai tei ✈î✐ ei > 0✳ ✣➦t
k = max{ei | i = 1, . . . m} t❤➻ N = (F1 t, F2 t2 , . . . , Fk tk )✳ ❈❤♦ n > k ✈➔ a ∈ Fn
t❤➻ x = atn ∈ N ✳ ◆❤÷♥❣ ♠é✐ ♣❤➛♥ tû ❝õ❛ N ❝â ❞↕♥❣
gi fi ✈î✐ ♠å✐ gi ∈ R✳
n−ei
❉♦ ✤â x =
gi fi ✳ ●✐↔ sû gi = bi t
✈➔ gi ❧➔ t❤✉➛♥ ♥❤➜t✳ ❉♦ ✈➟②✱

x=

bi tn−ei ai tei =

gi f i =

❙✉② r❛

ai bi tn = atn .

n

a=

ai bi ∈

m

FeI Fn−ei ⊆
i=1

❉♦ ✤â✱ ✈➻ a ∈ Fn ♥➯♥ Fn =
②➳✉✳

Fj Fn−j .
j=1

m
j=1 Fj Fn−j

✈î✐ n > m✳ ❱➟② F ❧➔ ❧å❝ ❧ô② t❤ø❛ ❝èt

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✷✳✼✳ ❈❤♦ M = {Mn} ❧➔ ♠ët ❧å❝ tr➯♥ ♠ët R✲♠æ✤✉♥ M

✈➔
F = {Fn } ❧➔ ♠ët ❧å❝ tr➯♥ R✳ ❑❤✐ ✤â M ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ F ✲❧å❝ tèt ♥➳✉ M ❧➔ t÷ì♥❣
t❤➼❝❤ ✈î✐ F ✈➔ tç♥ t↕✐ ♠ët sè m ♥❣✉②➯♥ ❞÷ì♥❣ s❛♦ ❝❤♦ Mn =

m

Fn−i Mi ✈î✐

i=1

♠å✐ n
0✳ ✣➦❝ ❜✐➺t s✉② r❛✱ F ❧➔ F ✲❧å❝ tèt ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ F ❧➔ ♠ët ❧å❝ ❧ô②
t❤ø❛ ❝èt ②➳✉✳

▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✷✳✽✳ ❈❤♦ R ❧➔ ♠ët ✈➔♥❤ ◆♦❡t❤❡r ✈î✐ F = {Fn} ❧➔ ♠ët ❧å❝ ❧ô②

t❤ø❛ ❝èt ②➳✉ ✈➔ ❝❤♦ M ❧➔ ♠ët R✲♠æ✤✉♥ ❤ú✉ ❤↕♥ s✐♥❤ ✈î✐ M = {Mn } ❧➔ ♠ët

F ✲❧å❝ ✳ ❑❤✐ ✤â M ❧➔ F ✲❧å❝ tèt ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ tç♥ t↕✐ ♠ët sè k > 0 s❛♦ ❝❤♦
Mk+i = Fk Mi ✈î✐ ♠å✐ i ≥ k ✳

❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ●✐↔ sû M ❧➔ F ✲❧å❝ tèt✳ ❑❤✐ ✤â t❤❡♦ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛✱ M ❧➔ t÷ì♥❣ t❤➼❝❤
✈î✐ ❧å❝ F ✈➔ tç♥ t↕✐ ♠ët sè m s❛♦ ❝❤♦ Mn =

m

Fn−i Mi ✈î✐ ♠å✐ n

i=1

n > n0 ♥➔♦ ✤â trð ✤✐✳ ❑❤✐ ✤â t❛ s➩ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ E =

i Mi t

i

❧➔ ❤ú✉ ❤↕♥ s✐♥❤

tr➯♥ S = R[F1 t, F2 t2 , . . .]✳ ✣➦t xn ∈ Mn ✈î✐ n > n0 ✳ ❑❤✐ ✤â xn =

m

Fn−i Mi
i=0

✶✸

0 ❤❛②

xn tn

m
i=1

õ tr

tni Fni Mi ti SMi ti ữ x E t x =
m

m

xn tn

i=0

S(Mi ti ) ỵ F ồ ụ tứ ốt

i=1

S = R[F1 t, F2 t2 , . . .] ỳ s tr R ữ tỗ t ởt số
h > 0 s S = R[F1 t, F2 t2 , . . . , Fh th ] F ởt ồ ụ tứ ốt
t j = lcm(2, 3, . . . , h) mi ởt số ữỡ s
imi = j ợ ồ i = 1, . . . , h õ (Fi ti )mi Fj tj A = R[Fj tj ]
õ ởt tỷ t xti ợ x Fi tr A S ỳ
s tr A tỷ S ỳ s tr
A = R[Fj tj ] õ E ởt Aổ ỳ
1 , . . . , m ởt tỷ s t t ừ E tr A

ợ deg i = di t d = max di ợ i = 1, . . . , m n > max{d, j}
x ởt tỷ ừ Mn ữ t õ t t x =
xi i tr õ xi
i

tỷ t t ừ A xi 0 õ n di
sỷ xi = 0 ợ ồ i = 1, . . . , m m õ n di 1 tt
tỷ ừ A õ ởt ở ừ j ợ ồ i = 1, . . . , m tỗ t
ởt số ữỡ ki s jki = n di õ
m

Fjki Mdi

xi i

x=
i=1

mi

m

Fj (

Fjki 1 Mdi ).

i=1

Fjki 1 Mdi Fj(ki 1) Mdi Mj(ki 1)+di = Mnj t õ Mn Fj Mnj
M tữỡ t ợ F Mn = Fj Mnj ợ ồ n > max{d, j}

ớ t k = jd i k õ t tự tr Mk+i = Mjd+1 =
Fj Mj(d1)+1 j(d 1) + i max(d, j) + 1 t õ t t tử
Fj t õ Fjd Mi Fk Mi õ Mi+k Fk Mi
ữủ số ữỡ k s Mk+i = Fk Mi ợ ồ i k
õ t ự E =
Mi ti ữủ s ữ ởt ổ tr S
M1 t, . . . , M2k1 t số i ợ t ổ tọ tt i = k 1
E ỳ s tr S t F ồ ụ tứ ốt t ự
E ỳ s tr S ồ Gi t ủ tt tỷ s ừ
Mi ợ i < 2k 1 õ Gi ỳ t tt ộ Mi ỳ
s tr R ữ ợ ộ tỷ m Mi m =
ri xi tr õ ỳ
i

ri R xi Mi ứ õ t tỷ s ừ E t ồ
tt tỷ s tứ ộ Gi ú ợ ụ tứ ừ t
tỷ s ừ E tr S tt số eti ợ e Gi



q F = {Fn} ởt ồ tr ởt tr R õ

F ởt ồ ụ tứ ốt tỗ t ởt số k > 0 s
Fk+i = Fi Fk ợ ồ i k
ự M = R M = F ữ tr t tỗ t ởt
số k s Fk+i = Fi Fk
ữủ số k tỗ t t t s t trữớ ủ s
n 2k t t õ t t
2k

Fn = Fnk Fk

Fni Fi Fn
i=1

ữ F ợ m = 2k
n < 2k t Fn

2k

Fni Fi t ừ ồ t

i=1

t õ ợ i = n t Fn = F0 Fn Fn

2k
i=1

F ởt ồ ụ tứ ốt

2k

Fni Fi õ Fn =

Fni Fi

i=1

R ởt ợ ồ F

ởt Rổ ợ M = {Mn }n0

= {Fn }n0 M
ởt F ồ tọ Mn ởt R

ổ ỳ s ợ ồ n 1 õ G (M, M) =
+

ởt G ổ ỳ s ừ G(M, M) =





Mn /Mn+1
n=1

Mn /Mn+1

n=1

tỗ t ởt số ữỡ k s ợ ồ j k t Mj+1 =
Fj M1 + . . . + Fjk+1 Mk + Mj+2

ự sỷ G + (M, M) =
s ừ G(M, M) =

Mn /Mn+1 ởt G ổ ỳ

n=1

Mn /Mn+1 ỹ ổ ữ s

n=1

t Aij = Fj M1 + Fj1 M2 + . . . + Fji+1 Mi + Mj+2 Ai =



Aij /Mj+2

j=0

õ Ai ởt G ổ ừ G + (M, M) ỡ ỳ Ai Ai+1
ò
+
i=1 Ai = G (M, M) õ t tt s r r tỗ t ởt số
ữỡ k s Ak = Ak+t ợ ồ t 0 s r Akj /A(k+t)j = 0 ợ
ồ j 0 t 0 t j k t 1 t Fjkt+1 Mk+t
Fj M1 + . . . + Fjk+1 Mk + Mj+2 ợ ồ j k ữủ
õ Fjkt+1 Mk+t = Fj E1 + . . . + Fjk+1 Mk + Mj+2 ớ ợ



t = j − k + 1✱ t❛ t❤✉ ✤÷ñ❝ Mj+1 = Fj M1 + . . . + Fj−k+1 Mk + Mj+2 ✈î✐ ♠å✐
j ≥ k✳

◆❣÷ñ❝ ❧↕✐✱ ❣✐↔ sû tç♥ t↕✐ sè k ♥❤÷ tr♦♥❣ ❣✐↔ t❤✐➳t✳ ❑❤✐ ✤â✱ ✈î✐ ♠é✐ j ≥ k ✱
Mj+1 /Mj+2 = (Fj M1 +. . .+Fj−k+1 Mk +Mj+2 )/Mj+2 = (Fj /Fj+1 )(M1 /M2 )+
. . . + (Fj−k+1 /Fj−k+2 )(Mk /Mk+1 )✳ ❙✉② r❛ G + (M, M) ✤÷ñ❝ s✐♥❤ ♥❤÷ ♠ët G ✲
♠æ✤✉♥ ❝♦♥ ❝õ❛ G(M, M) ❜ð✐ Mn /Mn+1 ✈î✐ ♠å✐ n = 1, . . . , k ✳ ❱➻ ♠é✐ Mn
❧➔ ❤ú✉ ❤↕♥ s✐♥❤ s✉② r❛ G + (M, M) ❧➔ ♠ët G ✲♠æ✤✉♥ ❝♦♥ ❤ú✉ ❤↕♥ s✐♥❤ ❝õ❛
G(M, M)✳

❍➺ q✉↔ ✶✳✷✳✶✶✳ ❈❤♦ R ❧➔ ♠ët ✈➔♥❤ ◆♦❡t❤❡r ✈î✐ ♠ët ❧å❝ F

= {Fn }n≥0 ✈➔
❝❤♦ M ❧➔ ♠ët R✲♠æ✤✉♥ ❤ú✉ ❤↕♥ s✐♥❤ ✈î✐ M = {Mn }n≥0 ❧➔ ♠ët F ✲❧å❝✳ ◆➳✉
G(M, M) ❧➔ ♠ët G ✲♠æ✤✉♥ ❤ú✉ ❤↕♥ s✐♥❤ ✈➔ ✈î✐ ♠é✐ sè ♥❣✉②➯♥ ❞÷ì♥❣ n ❧✉æ♥
tç♥ t↕✐ sè ♥❣✉②➯♥ ❞÷ì♥❣ ρ(n) s❛♦ ❝❤♦ Mρ(n) ⊆ (Rad(F1 ))n M1 t❤➻ M ❧➔ F ✲❧å❝
tèt✳
❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ❱➻ G(M, M) ❧➔ ♠ët G ✲♠æ✤✉♥ ❤ú✉ ❤↕♥ s✐♥❤ ♥➯♥ ❝❤♦ k ❧➔ sè
♥❣✉②➯♥ ❞÷ì♥❣ ♥❤÷ tr♦♥❣ ▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✷✳✶✵✳ ◆❤÷ ✈➟②✱ ❜➡♥❣ ❝→❝❤ ①➨t ❝→❝ ❣✐→ trà
❧✐➯♥ t✐➳♣ ❝õ❛ j ✱ ✈î✐ ♠å✐ j ≥ k t❛ ❝â Mj+1 = Fj M1 + . . . + Fj−k+1 Mk + Mj+2 ✳
❱➻ Mn+1 ⊆ Mn ♥➯♥ s✉② r❛ ✈î✐ ♠å✐ j ≥ k ✱

Mj+1 = Fj M1 + . . . + Fj−k+1 Mk + Mt

✭✶✳✻✮

✈î✐ ♠å✐ t ≥ j + 2 ❜➡♥❣ q✉② ♥↕♣ t❤❡♦ t✳
●✐↔ sû ρ(n) ❧➔ tç♥ t↕✐✳ ❱➻ R ❧➔ ◆♦❡t❤❡r ♥➯♥ ✈î✐ ♠é✐ ✐✤➯❛♥ ❝õ❛ R ❝❤ù❛
♠ët ❧ô② t❤ø❛ ❝õ❛ ❝➠♥ ❝õ❛ ♥â✳ ❱➟② tç♥ t↕✐ ♠ët sè ♥❣✉②➯♥ ❞÷ì♥❣ m s❛♦ ❝❤♦
(Rad(Ij ))m ⊆ Fj ✳ ❍ì♥ ♥ú❛✱ (Rad(I1 ))m = (Rad(Fj ))m ✱ ✈➻ Fj ⊆ F1 ✈➔
F1j ⊆ Fj ♥➯♥ (Rad(F1 ))m ⊆ Fj ✳ ❚❤❡♦ ❣✐↔ t❤✐➳t ✈î✐ ♠é✐ sè ♥❣✉②➯♥ ❞÷ì♥❣ n
❧✉æ♥ tç♥ t↕✐ sè ♥❣✉②➯♥ ❞÷ì♥❣ ρ(n) s❛♦ ❝❤♦ Mρ(n) ⊆ (Rad(F1 ))n M1 ✳ ❉♦ ✤â
Mρ(m) ⊆ (Rad(F1 ))m M1 ⊆ Fj M1 ✳ ✣➦t t = ρ(m) tr♦♥❣ ✤➥♥❣ t❤ù❝ ✭✶✳✻✮ t❛ ❝â

Mj+1 = Fj M1 + . . . + Fj−k+1 Mk ✈î✐ ♠å✐ j ≥ k ✳ ❉♦ ✤â✱ ✈î✐ m, n ❜➜t ❦ý t❛ ❝â
Fm Mn ⊆ Mn+m ✳ ❚ø ✤➙② s✉② r❛ e ❧➔ F ✲❧å❝ tèt✳

❍➺ q✉↔ ✶✳✷✳✶✷✳ ❬✶✾✱ ❍➺ q✉↔ ✸✳✶✻❪ ◆➳✉ F

= {Fn }n≥0 ❧➔ ♠ët ❧å❝ tr➯♥ ✈➔♥❤
◆♦❡t❤❡r R t❤➻ ❝→❝ ♠➺♥❤ ✤➲ s❛✉ ✤➙② ❧➔ t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣✿
✭✐✮ F ❧➔ ♠ët ❧å❝ ❧ô② t❤ø❛ ❝èt ②➳✉❀
✭✐✐✮ G ❧➔ ✈➔♥❤ ◆♦❡t❤❡r ✈➔ tç♥ t↕✐ ♠ët sè ♥❣✉②➯♥ ❞÷ì♥❣ k s❛♦ ❝❤♦
Fkn ⊆ (Rad(F1 ))n ❦❤✐ n
0❀

✶✻


✭✐✐✐✮ G ❧➔ ✈➔♥❤ ◆♦❡t❤❡r ✈➔ ✈î✐ ♠é✐ sè ♥❣✉②➯♥ ❞÷ì♥❣ n ❧✉æ♥ tç♥ t↕✐ sè
♥❣✉②➯♥ ❞÷ì♥❣ ρ(n) s❛♦ ❝❤♦ Fρ(n) ⊆ (Rad(F1 ))n ✳

❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ✣➛✉ t✐➯♥ ❝❤ó þ r➡♥❣ ✈➻ F ❧➔ ♠ët ❧å❝ ❧ô② t❤ø❛ ❝èt ②➳✉ ♥➯♥ R ❧➔
◆♦❡t❤❡r✳ ❱➻ t❛ ✤➣ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ tr♦♥❣ ◆❤➟♥ ①➨t ✶✳✶✳✶✵ r➡♥❣ R /t−1 R ∼
= G ✈➔
✈➔♥❤ t❤÷ì♥❣ ❝õ❛ ✈➔♥❤ ◆♦❡t❤❡r ❧➔ ◆♦❡t❤❡r ♥➯♥ F ❧✉æ♥ ❧➔ ❧å❝ ◆♦❡t❤❡r✳
✭✐✮⇒ ✭✐✐✮✳ ❚❤❡♦ ❍➺ q✉↔ ✶✳✷✳✾ t❛ ❜✐➳t r➡♥❣ tç♥ t↕✐ ♠ët sè m s❛♦ ❝❤♦
Fm+i = Fm Fi ✈î✐ ♠å✐ i ≥ m✳ ❉♦ ✤â✱ Fkn = Fkn−1 Fk ✈î✐ ♠å✐ n ≥ 1✳ ◆❤÷ ✈➟②
Fkn = Fkn−1 Fk ⊆ (F1 )n−1 F1 ⊆ (Rad(F1 ))n ✈î✐ ♠å✐ n ≥ 1✳
✭✐✐✮⇒ ✭✐✐✐✮✳ ❍✐➸♥ ♥❤✐➯♥✳
✭✐✐✐✮⇒ ✭✐✮✳ ❚❤❡♦ ❍➺ q✉↔ ✶✳✷✳✾✱ ♥➳✉ M ❧➔ ♠ët R✲♠æ✤✉♥ ❤ú✉ ❤↕♥ s✐♥❤ ✈î✐
F ✲❧å❝ M = {Mn } ✈➔ ♥➳✉ G(M, M) ❧➔ ♠ët G ✲♠æ✤✉♥ ❤ú✉ ❤↕♥ s✐♥❤ ✈➔ tç♥ t↕✐
♠ët sè ρ(n) s❛♦ ❝❤♦ Mρ(n) ⊆ (Rad(F1 ))n M1 t❤➻ M ❧➔ F ✲❧å❝ tèt✳ ❉♦ ✤â✱ ♥➳✉
M = R ✈➔ M = F t❤➻ t❤❡♦ ▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✷✳✽✱ F ❧➔ F ✲❧å❝ tèt ❤❛② F ❧➔ ❧å❝ ❧ô②

t❤ø❛ ❝èt ②➳✉✳

✶✼


❈❤÷ì♥❣ ✷

❚➼♥❤ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② ❞➣② ❝õ❛ ✤↕✐ sè
❘❡❡s
❚r♦♥❣ s✉èt ❝❤÷ì♥❣ ♥➔② t❛ ❧✉æ♥ ❣✐↔ sû R ❧➔ ✈➔♥❤ ❣✐❛♦ ❤♦→♥ ◆♦❡t❤❡r ✈➔
M = (0) ❧➔ ♠ët R✲♠æ✤✉♥ ❤ú✉ ❤↕♥ s✐♥❤ ❝❤✐➲✉ ❑r✉❧❧ ❤ú✉ ❤↕♥✳ ▼ët sè ❦✐➳♥ t❤ù❝
❝❤✉➞♥ ❜à ✈➲ ✈➔♥❤ ✈➔ ♠æ✤✉♥ tr♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤ñ♣ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ ✤÷ñ❝ ♥➯✉ r❛ ð ✤➙②✳
▲÷✉ þ t❛ ❝â t❤➸ ①➨t ❝❤♦ tr÷í♥❣ ❤ñ♣ ♣❤➙♥ ❜➟❝ ✭①❡♠ ❬✹❪ ✈➔ ❬✸❪✮✳

✷✳✶ ▲å❝ ❝❤✐➲✉
❈→❝ ❦➳t q✉↔ ♠ö❝ ♥➔② t❤❛♠ ❦❤↔♦ ✈➔ ❝❤✐ t✐➳t ❤â❛ t❤❡♦ ❝→❝ t➔✐ ❧✐➺✉ ❬✺❪✱ ❬✽❪✱
❬✶✶❪ ✈➔ ❬✷✹❪✳
❈❤♦ R ❧➔ ♠ët ✈➔♥❤ ❣✐❛♦ ❤♦→♥ ◆♦❡t❤❡r ✈➔ M (= (0)) ❧➔ ♠ët R✲♠æ✤✉♥
❤ú✉ ❤↕♥ s✐♥❤ ✈î✐ ❝❤✐➲✉ ❑r✉❧❧ ❤ú✉ ❤↕♥✱ ❣✐↔ sû d = dimR M ✳ ❚❛ ✤➦t

AsshR M = p ∈ SuppR M | dim R/ p = d .
❑❤✐ ✤â

AsshR M ⊆ MinR M ⊆ AssR M
✣➦t S = dimR L|L ❧➔ ♠ët R✲♠æ✤✉♥ ❝♦♥ ❝õ❛ M , L = (0) ✳ ❑❤✐ ✤â t❛ ❝â

S(M ) = dimR R/ p | p ∈ AssR M < ∞.
✣➦t = S ✳ ●✐↔ sû S = {d1 , . . . , d } ✈î✐ d1 < d2 < . . . < d ✈➔ ✤➦t d0 = 0✳ ❱î✐
♠é✐ di ∈ S tç♥ t↕✐ p ∈ AssR M s❛♦ ❝❤♦ dim R/ p = di ✈➔ t❛ ❝â R/ p ∼
= N✱ N

❧➔ R✲♠æ✤✉♥ ❝♦♥ ❝õ❛ M ♥➯♥ M ❝â ❝→❝ ♠æ✤✉♥ ❝♦♥ ❝❤✐➲✉ di , 1 ≤ i ≤ ✳ ❱î✐ ♠é✐
✶✽


1 i t
= {N | N ởt ổ ừ M dim N di }.
õ 0

Di sỷ N

= R tr
ụ tỷ tố

õ tỷ tố ồ

dim(N + Di ) dim(N Di ) max{dim N, dim Di } di ,
N + Di Di tố N + Di = Di t N Di õ Di
tỷ ợ t t q ợ ộ 1 i Rổ
M ự ởt Rổ ợ t Di ợ dimR Di = di

R tr M Rổ sỷ Di

Rổ ợ t õ dimR Di = di ợ ộ 1 i t D0 = (0)
t õ ồ D = {Di }0i
D0 = (0)

D1

D2

...

D =M

ừ Rổ ừ M ồ õ ồ ừ M
ồ ữủ ữ r t P t
t P ữớ t
ồ ữỡ õ t r
r t sốt
ồ t t ữớ t
r r
ỹ t q ứ t õ ồ ổ tỗ t
t t ữ r ổ t tt ỡ ồ

sỷ R tr M Rổ ỳ s

0=
t

pAssR (M ) N (p)

t sỡ t ồ ừ ổ 0 ừ M

N (p) = Ha0i (M ),

Di =
dim(R/ p) di+1

tr õ di = dim Di , ai =
pAssR M,dim R/ p

AssR M, dim R/ p di } = t t ai = R

di

p r trữớ ủ {p

ỡ ỳ sỷ N ổ ừ M dim N < dim M õ tỗ
t ởt Di tr ồ D ừ M s N Di dim N = dim Di




ự õ

Ha0i (M ) = ai (M ) =

(0 :M ani )
n 0

=

(

N (p) :M ani ) =

N (p) :M ani ).

(
pAssR M n 0

n 0 pAssR M

ú ỵ r R tr M Rổ N ổ P
sỡ ừ M t õ n 0 N :M I n = M ợ ồ I P n 0 N :M
I n = N ợ ồ I
P. ứ õ t õ n 0 N (p) :M ani = M ợ ồ
ai õ Ha0i (M ) =
p ai n 0 N (p) :M ani = N (p) ợ ồ p
pAssR M,dim R/ p di+1 N (p) dim Di = max{dim R/ p | p AssR Di }

AssR (Di ) {p AssR M | dim R/ p

di }.

t t õ ai pAssR Di p = AnnR (Di ) s r ai Di = 0 t Di
(0 :M ai ) õ Di Ha0i (M ) ú ỵ r AssR (Ha0i (M )) = AssR M V (ai )
AssR (Ha0i (M )) = {p AssR M | dim R/ p di } r dim Ha0i (M ) = di
Di ổ ợ t ừ M õ di s r Di = Ha0i (M )
dim N = dim Dt1 t t õ õ ự tự
N Dt1 t ỹ ừ Dt1 dim N < dim Dt1 t t s s
dim N ợ dim Dt2 dim N = dim Dt2 t t õ õ ự
t ỹ ừ Dt2 dim N < dim Dt2 t t tử s s dim N
ợ dim Dt3 ữ s s dim N ợ dim Dt2 tr tr ứ
s ỳ ữợ ữ t ổ t ữủ ổ Di õ ừ ồ
D s N Di dim N = dim Di

t t tt R ữỡ ợ tố

m t r õ Hm0 (M ) ổ ợ t ừ M õ ợ
Hm0 (M ) = 0 t õ m (M ) = n 0 (0 :M mn ) t tr

ừ M tỗ t số tỹ n s m (M ) = (0 :M mn ) r
mn AnnR (m (M )) s r AnnR (m (M )) = m r dim(m (M )) = 0
sỷ N ởt ổ ừ M õ t õ AnnR (N ) = m
õ tỗ t số ữỡ k s mk AnnR N s r N (0 :M
mk ) m (M ) ữ Hm0 (M ) ổ ợ t ừ M õ

t ữ t ởt số tổ t ồ rữợ t t õ ờ
s