HỆ TRỤC tọa độ

HỆ TRỤC TỌA ĐỘ

1. MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1: [THPT Chuyên Nguyễn Trãi] Cho

A2; 0; 0, B0; 2;0, C0; 0; 2

. Tập hợp các điểm

M
trên mặt phẳng
Oxy
sao cho


2
MA MB MC . 3
là.

A. Một điểm. B. Một đường tròn. C. Tập rỗng. D. Một mặt cầu

HƢỚNG DẪN GIẢI

Điểm
M Oxy  


nên
M x y  ; ;0.

Ta có:

MA x y    2 ; ;0
;
MB x y     ;2 ;0
;
MC x y     ; ;2 .


2

2 2 2 2 MA MB MC x x y y x y . 2 2 4 .
Do đó


2

22221
.32222100
2
MA MB MC x y x y x y x y .
Ví dụ 2: [TT Hiếu Học Minh Châu] Trong không gian với hệ tọa độ cho hình hộp
có và . Tọa độ trọng tâm của tam


giác là.
A.
1;1; 2 

B.
1; 2; 1 

C.
2;1; 2 

D.
2;1; 1 

HƢỚNG DẪN GIẢI

.

Gọi , , .

Oxyz,

ABCD A B C D .
    A0;0;0 , B3;0;0 , D0;3;0 D0;3; 3 
ABC  


A a a a  1 2 3 ; ;  B b b b  1 2 3 ; ;  C c c c  1 2 3 ; ; 

Luôn yêu để Sống, luôn sống để học Toán, luôn học toán để Yêu PTM 2
Do tính chất hình hộp ta có:

.

.

.

Tọa độ trọng tâm của tam giác là: .
Ví dụ 3: (Toán Học Tuổi Trẻ) Trong không gian với hệ trục tọa độ
Oxyz
, cho ba điểm

A0; 2; 1   , B  2; 4; 3, C1; 3; 1 

và mặt phẳng

P x y z  : 2 3 0    

. Tìm điểm


M P  
sao cho
MA MB MC   2

đạt giá trị nhỏ nhất

A.



1 1; ; 1
22
M B.




1 1 ; ;1
22
M.

C.

M2; 2; 4 . D.

M  2; 2; 4 .


HƢỚNG DẪN GIẢI

Gọi
I,O
lần lượt là trung điểm của
AB
và
IC
, khi đó với điểm
M
bất kỳ ta luôn có

MA MB MI IA MI IB MI           2

; tương tự

MI MC MO   2 .

Suy ra

d MA MB MC MI MC MO       2 2 2 4
nên
d
nhỏ nhất khi và chỉ khi
MO


nhỏ nhất

  MO P 
nên
M
là hình chiếu vuông góc của
O
lên
P .

1
2
3
0
0
3
a
AA DD a
a








  A0;0; 3



11
22
33
303
0 0 3;0; 3
33
bb

BB DD b b B

bb








11
22

33
33
3 0 3 3;3;0
00
cc
DC AB c c C
cc




G ABC   G2;1; 2  

I

AB
M

Luôn yêu để Sống, luôn sống để học Toán, luôn học toán để Yêu PTM 3
Có
A0; 2; 1   , B  2; 4; 3    I 1; 3;1

, kết hợp với

C1;3; 1 


ta có
O0; 0; 0 .

Đường thẳng qua
O0; 0; 0

vuông góc với
P
có phương trình



:
2
xt
dyt
zt
.

Giao điểm của
d
và
P
chính là hình chiếu vuông góc
M


của
O0;0;0 

lên mặt phẳng

P .

Giải hệ











20
2
x3
x

yz


t
yt
zt

ta được


111,,,1
222

txyz.

Vậy


1 1; ; 1
22
M.
Ví dụ 4: (THPT Đặng Thúc Hứa - Nghệ An) Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho hai điểm

A0; 2; 2 , B2; 2; 4 
. Giả sử
Iabc;;
là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác


OAB. Tính

222Tabc.
A.
T8

B.
T2

C.
T6

D.
T  14

HƢỚNG DẪN GIẢI

Ta có
OA   0;2; 2, OB   2;2; 4 . OAB

có phương trình:

xyz    0


I OAB       a b c 0.
AI a b c     ; 2; 2, BI a b c      2; 2; 4 , OI a b c   ; ; .

Ta có hệ


AI BI
AI OI







2222
2222

224
22
acac
bcbc






4
2
ac
bc

Ta có hệ

   

4
2
0
ac
bc
abc




4

2
ac
bc




2
0
2
a
b
c
.

Vậy
I 2;0; 2       2 2 2 T a b c 8

Luôn yêu để Sống, luôn sống để học Toán, luôn học toán để Yêu PTM 4
Ví dụ 5: [THPT Chuyên Lê Hồng Phong-HCM] Trong không gian với hệ toạ độ
Oxyz
, cho ba

điểm
A2; 3;1, B2;1; 0, C  3; 1;1

. Tìm tất cả các điểm
D
sao cho
ABCD

là hình


thang có đáy
AD
và


 3 ABCD ABC S S

A.
D8;7; 1   B.






8; 7;1
12;1; 3
D
D

C.






8;7; 1
12; 1; 3
D
D

D.

D  12; 1; 3

HƢỚNG DẪN GIẢI

Ta có:


1

.,

2
ABCD S AD BC d A BC       1 2
.

2


ABC

ABCD

S
S AD BC
BC
.







.

3

ABC

ABC
AD BC S
S


BC    3BC AD BC   AD BC 2 .

Mà
ABCD
là hình thang có đáy
AD
nên
AD BC  2 1 .

BC     5; 2;1 , AD x y z      D D D 2; 3; 1.
1


2 10
34
12
D
D
D
x
y
z



12


1
3
D
D
D
x
y
z
.

Vậy

D  12; 1; 3.
2. ĐỀ TỰ LUYỆN

ĐỀ SỐ 1

THỜI GIAN LÀM BÀI: 60 PHÚT

CÂU 1: [THPT TRẦN QUỐC TUẤN] Trong không gian với hệ trục tọa độ
Oxyz
cho hình

thang
ABCD
vuông tại


A
và
B
. Ba đỉnh
A(1;2;1), B(2;0; 1)  , C(6;1;0)

Hình thang có diện

tích bằng
62
. Giả sử đỉnh
Dabc(;;)
, tìm mệnh đề đúng?

A.
a b c    6 . B.

a b c    5 . C.

a b c    8 . D.

abc7.

CÂU 2: (THPT Chuyên Lê Quý Đôn - Đà Nẵng) Trong không gian với hệ trục tọa độ
Oxyz ,


cho bốn điểm

A2; 3;7  , B0; 4;1, C3; 0; 5
và
D3; 3; 3
. Gọi
M
là điểm nằm trên mặt

phẳng
Oyz
sao cho biểu thức

MA MB MC MD   

đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó tọa độ của

Luôn yêu để Sống, luôn sống để học Toán, luôn học toán để Yêu PTM 5
M
là:
A.
M0;1; 4 . B.

M2;1;0 . C.


M0;1; 2  . D.

M0;1; 4 .

CÂU 3: (Chuyên KHTN - Lần 3) Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
cho ba điểm

A2; 1;1  , M5; 3;1 , N 4;1; 2

và mặt phẳng

P y z  : 27  

. Biết rằng tồn tại điểm
B
trên

tia
AM
, điểm

C
trên
P


và điểm
D
trên tia
AN
sao cho tứ giác
ABCD
là hình thoi. Tọa độ

điểm
C
là
A.
15; 21;6. B.

21; 21; 6. C.

15;7; 20 . D.

21;19; 8.

CÂU 4: (THPT LƢƠNG VĂN CHÁNH) Trong không gian
Oxyz
cho ba điểm

A1; 1; 1   ,