Dạy học môn toán lớp 5 theo hướng phát triển năng lực biểu diễn toán học cho học sinh

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI II

NGUYỄN THỊ HƯƠNG

DẠY HỌC MÔN TOÁN LỚP 5 THEO HƯỚNG PHÁT TRIỂN
NĂNG LỰC BIỂU DIỄN TOÁN HỌC CHO HỌC SINH

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

HÀ NỘI - 2018


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI II

NGUYỄN THỊ HƯƠNG

DẠY HỌC MÔN TOÁN LỚP 5 THEO HƯỚNG PHÁT TRIỂN
NĂNG LỰC BIỂU DIỄN TOÁN HỌC CHO HỌC SINH
Chuyên ngành: Giáo dục Tiểu học
Mã số: 8.14.01.01

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS Đào Thái Lai

HÀ NỘI - 2018


LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan luận văn “ Dạy học môn toán lớp 5 theo hướng phát triển
năng lực biểu diễn toán học cho học sinh.” là công trình nghiên cứu của riêng
tôi. Các nội dung nghiên cứu và kết quả được trình bày trong luận văn là hoàn
toàn trung thực và chưa từng được công bố trong bất kì công trình nào khác. Các
thông tin trích dẫn trong luận văn đều được ghi rõ nguồn gốc.
Tác giả luận văn

Nguyễn Thị Hương


LỜI CẢM ƠN

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với PGS.TS Đào Thái Lai người thầy
đã tận tình chỉ bảo, giúp đỡ tôi vượt qua những khó khăn, trở ngại trên con đường
nghiên cứu khoa học. Tôi cũng muốn gửi lời cảm ơn tới các thầy cô giáo trong
Khoa Giáo dục Tiểu học, phòng Sau Đại học - trường ĐHSP Hà Nội 2 đã luôn hết
lòng hướng dẫn, nhiệt tình chỉ bảo, cung cấp tài liệu và thông tin cho tôi trong suốt
quá trình học tập và làm luận văn. Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo và
các em học sinh ở hai trường tiểu học trên địa bàn huyện Đông Anh đã ủng hộ,
cộng tác và giúp đỡ tôi trong quá trình điều tra, đánh giá và tổ chức thực nghiệm
các nội dung có liên quan đến luận văn. Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn chân
thành và sâu sắc nhất tới Ban giám hiệu trường Tiểu học Cổ Loa, bạn bè, đồng
nghiệp và gia đình đã luôn động viên tạo điều kiện tốt nhất cho tôi trong quá trình
hoàn thành luận văn.
Tác giả luận văn

Nguyễn Thị Hương

MỤC LỤC

Trang bìa
Lời cam đoan
Lời cảm ơn
Danh mục chữ viết tắt
MỞ ĐẦU ................................................................................................................................... 1

1. Lí do chọn đề tài ................................................................................................. 1
2. Mục đích nghiên cứu .......................................................................................... 4
3. Khách thể, đối tượng, phạm vi nghiên cứu ........................................................ 4
3.1 Khách thể nghiên cứu: .........................................................................................4
3.2 Đối tượng nghiên cứu: .........................................................................................4
3.3 Phạm vi nghiên cứu:.............................................................................................4
4.Giả thuyết khoa học: ........................................................................................... 5
5. Nhiệm vụ nghiên cứu của đề tài:........................................................................ 5
6. Phương pháp tiến hành nghiên cứu .................................................................... 5
6.1: Phương pháp nghiên cứu lí luận:........................................................................5
6.2: Phương pháp nghiên cứu thực tiễn.....................................................................5
7. Dự kiến đóng góp của luận văn.......................................................................... 6
8. Cấu trúc của luận văn ......................................................................................... 6
CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN ................................................................ 7

1.1. Năng lực, phát triển năng lực toán học. .......................................................... 7
1.1.1 Khái niệm về năng lực ......................................................................................7
1.1.2 Năng lực toán học cần phát triển cho học sinh Tiểu học. ...............................8
1.2. Năng lực biểu diễn toán học.......................................................................... 12
1.2.1 Khái niệm biểu diễn và biểu diễn toán học....................................................12
1.2.2 Năng lực biểu diễn toán học ...........................................................................14

1.2.3 Phân loại biểu diễn toán học ...........................................................................15
1.2.4 Các mức độ năng lực biểu diễn .............................................................. 19
1.2.5 Nội dung dạy học Toán tiểu học (tập trung vào nội dung dạy học toán 5) .22
1.2.6 Các tình huống biểu diễn toán học ở lớp 5 ....................................................24
1.2.7 Đặc điểm của học sinh tiểu học và học sinh lớp 5 ................................. 28
1.2.8 Những cơ hội để phát triển năng lực biểu diễn toán học cho học sinh khi dạy
học toán ở lớp 5. ........................................................................................................30
1.2.9 Về đánh giá năng lực biểu diễn toán học( ở lớp 5) .......................................32
1.3. Thực trạng việc dạy học năng lực biểu diễn toán ở Tiểu học thông qua dạy
học môn toán lớp 5. .............................................................................................. 35
1.3.1. Mục đích khảo sát: .........................................................................................35
1.3.2. Ðối tượng khảo sát: ................................................................................ 35
1.3.3. Nội dung khảo sát: ................................................................................. 36
1.3.4. Phương pháp khảo sát ............................................................................ 36
1.3.6. Nguyên nhân của các hạn chế ................................................................ 40
Kết luận chương 1 ............................................................................................. 42
CHƯƠNG 2: BIỆN PHÁP PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC BIỂU DIỄN TOÁN
HỌC TRONG DẠY HỌC MÔN TOÁN 5 ...................................................... 43
2.1. Định hướng xây dựng các biện pháp phát triển năng lực biểu diễn cho HS
trong dạy học môn toán lớp 5............................................................................... 43
2.1.1 Các biện pháp đảm bảo sự phù hợp với mục tiêu. ........................................43
2.1.2 Các biện pháp được xây dựng căn cứ vào nội dung và chuẩn kiến thức, kĩ
năng của chương trình môn toán lớp 5. ...................................................................44
2.1.3 Các biện pháp đảm bảo tính khả thi. ..............................................................45
2.2 Một số biện pháp phát triển năng lực biểu diễn toán học .............................. 45


Biện pháp 2.2.1 Tổ chức cho học sinh các hoạt động nhận biết, hiểu và sử dụng
đúng các dạng biểu diễn về các đối tượng, quan hệ và các bước biến đổi toán học.

............................................................................................................................. 45
2.2.1.1. Mục đích của biện pháp. .............................................................................46
2.2.1.2 Nội dung biện pháp. ............................................................................. 46
2.2.1.3 Cách tổ chức thực hện biện pháp. ........................................................ 46
2.2.1.4 Các điều kiện để thực hiện biện pháp. ................................................. 48
Biện pháp 2.2.2 Tổ chức các hoạt động liên kết, tương tác hoặc tạo ra năng lực
biểu diễn toán học trong quá trình dạy học ......................................................... 54
2.2.2.1 Mục đích của biện pháp. ...................................................................... 54
2.2.2.2 Nội dung biện pháp. ............................................................................. 54
2.2.2.3 Cách tổ chức thực hện biện pháp. ........................................................ 54
2.2.2.4 Các điều kiện để thực hiện biện pháp. ................................................. 56
Biện pháp 2.2.3 Xây dựng và tổ chức học theo hướng tăng cường các hoạt động biểu
diễn toán học. ................................................................................................................64
2.2.3.1 Mục đích của biện pháp. ...................................................................... 64
2.2.3.2 Nội dung biện pháp. ............................................................................. 64
2.2.3.3 Cách tổ chức thực hiện biện pháp. ....................................................... 65
2.2.3.4 Các điều kiện để thực hiện biện pháp ................................................. 66
2.2.3.5 Thiết kế nội dung bài học theo hướng phát triển các hoạt động biểu diễn
toán học lớp 5 ...................................................................................................... 73
Kết luận chương 2 ............................................................................................. 92
CHƯƠNG 3: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM ......................................................................... 93

3.1 Mục đích và yêu cầu của thực nghiệm sư phạm ............................................ 93
3.1.1 Mục đích ..........................................................................................................93


3.1.2 Yêu cầu ............................................................................................................93
3.2 Đối tượng thực nghiệm .................................................................................. 93
3.3 Nội dung thực nghiệm .................................................................................... 94
3.4 Tiến trình thực nghiệm ................................................................................... 95

3.5. Các phương pháp đánh giá TN ..................................................................... 96
3.6 Phân tích và đánh giá kết quả thực nghiệm ................................................... 97
3.6.1. Đánh giá định tính ..........................................................................................97
3.6.1.1. Biện pháp ...................................................................................... 97
3.6.1.2. Kết quả .......................................................................................... 97
3.6.2. Về mặt định lượng: ........................................................................................99
Kết luận chương 3 .............................................................................................. 104
KẾT LUẬN ........................................................................................................................... 105
TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................................... 106


DANH MỤC VIẾT TẮT

Viết tắt

Viết đầy đủ

BDTH

Biểu diễn toán học

DH

Dạy học

GV

Giáo viên

HS

Học sinh

NNTH

Ngôn ngữ toán học

OECD

PPDH

Organization for Economic Cooperation and
Development (Tổ chức Hợp tác và Phát triển Kinh tế)
Programme for International Student Assessment
(Chương trình đánh giá HS quốc tế)
Phương pháp dạy học

SBT

Sách bài tập

SGK

Sách giáo khoa

SGV

Sách giáo viên

PISA

MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Toán học là môn học quan trọng trong nhà trường Tiểu học và có ý nghĩa to
lớn trong giáo dục toán học. Thủ tướng Phạm Văn Đồng khẳng định: “ Trong các
môn khoa học và kỹ thuật, Toán học giữ một vị trí nổi bật. Nó có tác dụng lớn đối
với các ngành khoa học khác, đối với kinh tế, đối với sản xuất và chiến đấu. Nó
còn là môn thể thao trí tuệ giúp chúng ta nhiều trong việc rèn luyện phương pháp
suy nghĩ, phương pháp suy luận, phương pháp học tập, phương pháp giải quyết
các vấn đề giúp ta rèn luyện trí thông minh và sáng tạo. Nó còn giúp ta rèn luyện
những đức tính quý báu khác như: cần cù, nhẫn nại, ham chuộng chân lí… Dù các
bạn phục vụ trong ngành nào, trong công tác nào thì kiến thức Toán học cũng rất
cần cho các bạn”. Và có khá nhiều công trình của những nhà khoa học, nhà giáo
dục nghiên cứu về việc phát triển năng lực người học. Các luận án tiến sĩ của Trần
Ngọc Bích, Thái Huy Vinh, Huỳnh Thái Lộc tiếp tục khẳng định việc phát triển
năng lực toán học cho học sinh ngày càng có ý nghĩa.
Xu hướng phát triển năng lực trong giáo dục của quốc tế và yêu cầu đổi mới
giáo dục ở Việt Nam hiện nay hướng tới 4 trụ cột giáo dục thế kỉ 21 của UNESCO
là học để biết, học để làm, học để làm người và học để cùng chung sống. Nhiều
nước tiên tiến trên thế giới đã xác định rõ những lĩnh vực cơ bản, những năng lực
cơ bản.Chiến lược phát triển giáo dục 2011-2020 của Việt Nam cũng xác định
phát triển năng lực của học sinh (HS) là định hướng quan trọng để phát triển
chương trình và sách giáo khoa (SGK) sau năm 2015.Dựa trên kết quả nghiên cứu
về năng lực toán học của Niss Mogens, Chương trình đánh giá HS quốc tế (PISA)
đã xác định 8 năng lực toán học cho HS 15 tuổi là: Năng lực tư duy, năng lực lập
luận, năng lực giao tiếp, năng lực mô hình hóa, năng lực đặt vấn đề và giải, năng
1

lực biểu diễn, năng lực sử dụng ngôn ngữ ký hiệu, hình thức, kỹ thuật và các phép
toán, năng lực sử dụng các đồ dùng hỗ trợ và công cụ. Trong đó biểu diễn toán
học là một trong những năng lực quan trọng[34, tr 31-32]. Nghị quyết số 29 về đổi
mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo của Ban Chấp hành Trung ương Đảng
khóa XI đã chỉ đạo: “Phát triển giáo dục và đào tạo là nâng cao dân trí, đào tạo
nhân lực, bồi dưỡng nhân tài. Chuyển mạnh quá trình giáo dục từ chủ yếu trang bị
kiến thức sang phát triển toàn diện năng lực và phẩm chất người học. Học đi đôi
với hành; lý luận gắn với thực tiễn; giáo dục nhà trường kết hợp với giáo dục gia
đình và giáo dục xã hội” và một trong những nhiệm vụ, giải pháp đặt ra là: “Tiếp
tục đổi mới mạnh mẽ và đồng bộ các yếu tố cơ bản của giáo dục theo hướng coi
trọng phát triển phẩm chất và năng lực người học” [28].
Như vậy, năng lực nói chung và năng lực toán học nói riêng là vấn đề quan
trọng, cấp thiết, cần tập trung nghiên cứu nhằm đáp ứng yêu cầu đổi mới GDPT ở
Việt Nam hiện nay và xu hướng phát triển chung của GDPT quốc tế.
Việc đổi mới phương pháp dạy học theo hướng lấy học sinh làm trung tâm
đã được triển khai thực hiện ở các nhà trường. Trong các lớp học, mặc dù đã có
cải tiến đôi chút về biện pháp, kĩ thuật và phương tiện DH nhưng vẫn chưa thay
đổi bản chất của DH lấy GV làm trung tâm . DH môn Toán trong bối cảnh đổi mới
giáo dục hiện nay, cần quan tâm nghiên cứu xây dựng và tổ chức các hoạt động
học tập để hình thành và phát triển năng lực toán học cho HS. Việc tổ chức các
hoạt động học tập hình thành các năng lực cụ thể gắn với nội dung chương trình,
SGK môn Toán sẽ góp phần làm rõ hơn định hướng DH phát triển năng lực toán
học trong hoạt động và bằng hoạt động tích cực, tự giác, sáng tạo của HS.Khảo sát
qua phiếu hỏi, dự các giờ dạy toán ở tiểu học, đặc biệt ở các lớp 5 với vị trí quan
trọng là các lớp cuối cấp và nghiên cứu vở ghi, bài kiểm tra môn Toán, cho thấy
2


khả năng nói và viết toán của HS còn nhiều hạn chế. HS quen sử dụng các biểu
diễn số học, lúng túng khi sử dụng các biểu diễn hình ảnh, biểu đồ trong suy luận

nên gặp khó khăn khi tìm kiếm các giải pháp toán học. Thực tế trong đào tạo, bồi
dưỡng GV cũng chưa đề cập nhiều đến BDTH trong DH toán. Có thể nói,cho đến
nay chưa có nghiên cứu một cách hệ thống về năng lực BDTH trong DH toán phổ
thông Việt Nam. Nhiều GV chưa có biện pháp hiệu quả để tổ chức cho HS tham
gia các hoạt động học tập nói chung, các hoạt động phát triển năng lực môn toán
nói riêng. HS thường bị động, không tự tin, thiếu môi trường và động lực tham gia
hoạt động học tập. HS chưa linh hoạt vận dụng toán học vào giải quyết các vấn đề
thực tiễn.Tuy nhiên, trên thực tế nhiều giáo viên chưa có biện pháp tổ chức cho
học sinh tham gia các hoạt động học tập nói chung, các hoạt biểu diễn toán học
nói riêng. Vì vậy học sinh khó khăn khi tham gia trình bày các nội dung toán học
có liên quan đến biểu diễn toán học. Việc xây dựng và tổ chức được các tình huống
để học sinh hoạt động biểu diễn không chỉ là tiền đề kích thích các hoạt động nói
trên mà còn góp phần làm rõ thêm định hướng đổi mới dạy học theo phát triển
năng lực người học, nâng cao trách nhiệm của người học trong xây dựng sự hiểu
biết toán học cho bản thân và chủ động trong việc tạo dựng vốn kiến thức vững
chắc của mình. Trong bối cảnh đổi mới giáo dục phổ thông, việc nghiên cứu xây
dựng các biện pháp bồi dưỡng năng lực toán học cho học sinh trong dạy học toán
nhày càng cần thiết, nhằm hình thành, phát triển năng lực cho người học.
Mới đây, trong nghiên cứu nhằm hiện thực hóa định hướng phát triển năng lực
người học trong DH môn Toán ở Việt Nam đã có thêm một số kết quả quan trọng
liên quan tới lĩnh vực nghiên cứu đề tài như: Nghiên cứu của Trần Kiều về mục tiêu
môn Toán ở trường phổ thông Việt Nam, xác định 6 năng lực cần hình thành và
phát triển qua DH môn Toán: Năng lực tư duy; năng lực giải quyết vấn đề; năng
3


lực mô hình hóa toán học; năng lực giao tiếp; năng lực sử dụng các công cụ,
phương tiện học toán [18]; Nguyễn Bá Kim cho rằng giáo dục toán học cần tập
trung vào phát triển năng lực người học bằng hoạt động [17] ; Đỗ Đức Thái đưa ra
“Một số quan điểm cơ bản về việc xác định nội dung DH môn Toán trong trường

phổ thông Việt Nam” [29]. Phạm Đức Quang chỉ ra cơ hội hình thành và phát triển
một số năng lực chung cốt lõi qua DH môn Toán ở trường phổ thông Việt Nam
[25], hay luận văn tiến sĩ của Vũ Thị Bình về việc bồi dưỡng năng lực biểu diễn và
năng lực giao tiếp toán học cho học sinh lớp 6, 7 trong dạy học môn toán [4],... Tuy
nhiên, chưa có đề tài nào nghiên cứu kĩ về phát triển năng lực biểu diễn toán học
cho học sinh lớp 5.
Từ những lí do trên, tôi nghiên cứu đề tài: Dạy học môn toán lớp 5 theo
hướng phát triển năng lực biểu diễn toán học cho học sinh.
2. Mục đích nghiên cứu
Đề xuất các biện pháp sư phạm dạy học môn toán lớp 5 theo hướng phát triển
năng lực biểu diễn toán học cho học sinh.
3. Khách thể, đối tượng, phạm vi nghiên cứu
3.1 Khách thể nghiên cứu:
- Quá trình dạy học môn toán Tiểu học.
3.2 Đối tượng nghiên cứu:
- Phát triển năng lực biểu diễn cho học sinh trong dạy học môn toán lớp 5.
3.3 Phạm vi nghiên cứu:
- Giới hạn về nội dung: Luận văn tập trung khai thác, sử dụng các kí hiệu,
thuật ngữ và các biểu tượng toán học ( hình vẽ, biểu đồ,...) nhằm phát triển năng
lực biểu diễn cho học sinh trong dạy học môn toán lớp 5.
- Thời gian: từ tháng 9 /2017 đến tháng 3/2018
4


- Không gian: Địa bàn Huyện Đông Anh.
4.Giả thuyết khoa học:
Trong dạy học môn toán lớp 5, nếu xây dựng và thực hiện các biện pháp phát
triển năng lực biểu diễn toán học một cách phù hợp thì sẽ góp phần nâng cao kết
quả học tập môn toán cho học sinh.
5. Nhiệm vụ nghiên cứu của đề tài:

Nghiên cứu lí luận về năng lực biểu diễn toán học, về dạy học phát triển năng
lực này trong dạy học toán ở Tiểu học; Nội dung chương trình Toán tiểu học và
Toán 5, các khả năng phát triển năng lực biểu diễn toán cho HS lớp 5 thông qua
dạy học theo chương trình toán 5.
Thực trạng dạy học phát triển năng lực biểu diễn cho học sinh lớp 5.
Xây dựng các biện pháp sư phạm phát triển năng lực biểu diễn toán học cho
học sinh trong dạy học môn toán ở lớp 5; Thực nghiệm sư phạm, bước đầu đánh
giá tính khả thi, tính hiệu quả của các biện pháp đề xuất.
6. Phương pháp tiến hành nghiên cứu
6.1: Phương pháp nghiên cứu lí luận:
- Phân tích, tổng hợp, thu thập thông tin, nghiên cứu tài liệu,... để xây dựng
cơ sở lí thuyết cho đề tài.
6.2: Phương pháp nghiên cứu thực tiễn
- Phương pháp chuyên gia: Xin ý kiến các chuyên gia, các nhà nghiên cứu về
các vẫn đề thuộc phạm vi nghiên cứu của đề tài.
- Phương pháp quan sát, điều tra, phỏng vấn: Điều tra thực trạng dạy học sử
dụng biểu diễn toán học cho học sinh trong dạy học môn toán ở Tiểu học. Quan sát
việc học tập của học sinh các giờ học toán Tiểu học. Phỏng vấn, khảo sát việc tổ
chức các hoạt động hình thành và phát triển năng lực biểu diễn cho học sinh lớp 5.
5


- Phương pháp thực nghiệm sư phạm.
7. Dự kiến đóng góp của luận văn.
Đưa ra những biện pháp nhằm phát triển năng lực biểu diễn toán học cho HS
lớp 5(Các biện pháp có cơ sở lí luận và thực tiễn). Các biện pháp đề xuất sẽ góp phần
giúp giáo viên tiểu học vận dụng dạy học sinh biểu diễn toán học trong dạy học.
8. Cấu trúc của luận văn
Ngoài phần mở đầu và kết luận, nội dung của luận văn gồm 3 chương
- Chương 1: Cơ sở lí luận và thực tiễn.

- Chương 2: Biện pháp phát triển năng lực biểu diễn toán học cho học sinh
trong dạy học môn toán lớp 5.
- Chương 3: Thực nghiệm sư phạm.

6


CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Năng lực, phát triển năng lực toán học.
1.1.1 Khái niệm về năng lực
Năng lực được định nghĩa theo nhiều cách khác nhau do sự lựa chọn dấu hiệu
khác nhau.
Theo Tâm lý học, năng lực là tổ hợp các thuộc tính độc đáo của cá nhân,
phù hợp với những yêu cầu của một hoạt động nhất định, đảm bảo cho hoạt động
đó có kết quả [33, tr.178].
Năng lực là khả năng cá nhân đáp ứng các yêu cầu phức hợp và thực hiện
thành công trong một bối cảnh. (OECD, 2002)
Năng lực là khả năng vận dụng những kiến thức, kinh nghiệm, kĩ năng, thái
độ và hứng thú để hành động một cách phù hợp và có hiệu quả trong các tình
huống đa dạng của cuộc sống. (Québec – Ministere de l’ Education,2004)
Năng lực là khả năng làm chủ những hệ thống kiến thức, kĩ năng, thái độ và
vận hành (kết nối) chúng một cách hợp lí vào thực hiện thành công nhiệm vụ hoặc
giải quyết hiệu quả vấn đề đặt ra của cuộc sống. (Nguyễn Công Khanh, 2012).
Năng lực là khả năng vận dụng đồng bộ các kiến thức, kĩ năng, thái độ, phẩm
chất đã tích lũy được để ứng xử, xử lí tình huống hay để giải quyết vấn đề một
cách có hiệu quả. (Lê Đức Ngọc, 2014).
Theo Xavier Roegiers khẳng định: Năng lực là sự tích hợp các kĩ năng tác
động một cách tự nhiên lên các nội dung trong một loại tình huống cho trước để
giải quyết những vấn đề do những tình huống này đặt ra [30, tr.91].

Quan niệm về năng lực của Xavier Roegiers gần với giáo dục học và phù hợp
với hướng nghiên cứu của luận văn. Hiểu theo nghĩa: Năng lực là tập hợp các kĩ
năng (các hoạt động) tác động lên các nội dung trong một tình huống có ý nghĩa
7


đối với HS. Theo tác giả, kĩ năng là hoạt động được thực hiện và kĩ năng đạt được
dần dần trong suốt cả cuộc đời [30, tr.80].
Như vậy, có nhiều quan niệm về năng lực nhưng đều có sự thống nhất như
sau:
Về đặc điểm: Năng lực được hình thành và bộc lộ trong hoạt động; Năng lực
luôn gắn với một hoạt động cụ thể; Năng lực chịu sự chi phối của các yếu tố bẩm
sinh di truyền, môi trường và hoạt động của bản thân.
Về mối quan hệ với tri thức, kĩ năng: Tri thức, kĩ năng là điều kiện cần thiết
để hình thành năng lực; năng lực góp phần cho quá trình lĩnh hội tri thức, kĩ năng
trong lĩnh vực hoạt động nhất định được nhanh chóng, thuận lợi, dễ dàng; có năng
lực tức là có tri thức, kĩ năng hoạt động trong lĩnh vực đó, nhưng ngược lại, có tri
thức, kĩ năng không có nghĩa là có năng lực về lĩnh vực đó.
Những đặc điểm và mối quan hệ của năng lực đã định hướng con đường hình
thành, phát hiện và bồi dưỡng năng lực (thông qua hoạt động) và đánh giá năng
lực (qua sự vận dụng kiến thức, kĩ năng trong những tình huống cụ thể). Bởi năng
lực của mỗi người dựa trên cơ sở tư chất, nhưng điều chủ yếu là năng lực hình
thành, phát triển và thể hiện trong hoạt động tích cực của con người dưới sự tác
động của rèn luyện, dạy học và giáo dục.
1.1.2 Năng lực toán học cần phát triển cho học sinh Tiểu học.
Theo V.A. Cruchetxki: ”Những năng lực toán học được hiểu là những đặc
điểm tâm lí cá nhân đáp ứng những yêu cầu của hoạt động học tập toán và trong
những điều kiện vững chắc như nhau thì nguyên nhân của sự thành công trong
việc nắm vững một cách sáng tạo toán học với tư cách là một môn khoa học, đặc
biệt nắm vững tương đối nhanh, dễ dàng, sâu sắc những kiến thức, kĩ năng, kĩ xảo

trong lĩnh vực Toán học”. Theo Trần Kiều và nhóm nghiên cứu Viện Khoa học
8


giáo dục Việt Nam(2012), có nhiều cách liệt kê năng lực được hình thành và phát
triển qua học tập toán do xuất phát từ những góc độ khác nhau đó là:
Năng lực tư duy: là tổng hợp những khả năng ghi nhớ, tái hiện, trừu tượng
hóa, khái quát hóa, tưởng tượng, suy luận - giải quyết vấn đề, xử lý và linh cảm
trong quá trình phản ánh, phát triển tri thức và vận dụng vào thực tiễn. Năng lực
tư duy của học sinh tiểu học trong quá trình học toán thể hiện qua các thao tác chủ
yếu như: phân tích và tổng hợp, đặc biệt hóa và khái quát hóa...
Năng lực giải quyết vấn đề: là khả năng cá nhân sử dụng hiệu quả các quá
trình nhận thức, hành động và thái độ, động cơ, xác cảm để giải quyết những tình
huống có vấn đề mà ở đó không có sẵn quy trình, thủ tục, giải pháp thông thường.
Đây là một trong những năng lực mà môn toán có nhiều lợi thế để phát triển cho
người học qua việc tiếp nhận khái niệm, quy tắc toán học và đặc biệt là qua giải
toán.
Năng lực mô hình hóa (còn gọi là năng lực toán học hóa tình huống thực
tiễn): là khả năng chuyển hóa một vấn đề thực tế sang một vấn đề toán học bằng
cách thiết lập và giải quyết các mô hình toán học, thể hiện và đánh giá lời giải
trong ngữ cảnh thực tế.
Năng lực giao tiếp toán học: là khả năng sử dụng ngôn ngữ nói, viết và biểu
diễn toán học để làm thuyết trình và giải thích làm sáng tỏ vấn đề toán học. Năng
lực giao tiếp liên quan đến việc sử dụng ngôn ngữ toán học kết hợp các ngôn ngữ
thông thường. Năng lực này được thể hiện qua việc hiểu các văn bản toán học, đặt
câu hỏi, trả lời câu hỏi, lập luận khi giải toán...
Năng lực sử dụng các công cụ, phương tiện học toán: giúp học sinh làm
quen với các phương tiện toán học thông thường và bắt đầu làm quen với công
nghệ thông tin.
9

Ngoài 5 năng lực cơ bản trên, năng lực biểu diễn cũng đóng vai trò quan trọng
trong việc phát triển năng lực cho học sinh. Việc dạy học toán ở tiểu học theo
hướng phát triển năng lực học sinh cần dựa trên những nguyên tắc cơ bản sau: Thứ
nhất, học sinh phải được học thông qua việc quan sát các sự vật, hiện tượng xảy
ra hàng ngày, gần gũi với đời sống, dễ cảm nhận đối với các em; các em sẽ thực
hành để qua đó thu nhận kiến thức mới. Thứ hai, học sinh phải được trải qua quá
trình tìm hiểu, suy nghĩ và lập luận; đưa ra tranh luận trước tập thể những suy nghĩ
và lập luận của mình. Từ đó các em tự điều chỉnh nhận thức và lĩnh hội tri thức
mới. Thứ ba, những hoạt động do giáo viên đề xuất cho học sinh được tổ chức
theo một tiến trình dạy học nhằm nâng cao dần mức độ tiếp thu tự lực và sáng tạo
của các em. Các hoạt động này phải làm cho các nội dung học tập được nâng cao
lên và dành phần lớn hoạt động ở trường cho sự tự chủ của học sinh. Thứ tư, qua
các hoạt động, học sinh chiếm lĩnh dần dần các khái niệm toán học và kỹ năng
thực hành, kèm theo đó là sự củng cố và phát triển ngôn ngữ viết và nói. Khuyến
khích các em ghi chép theo cách thức và ngôn ngữ của riêng mình.
Tiến trình dạy học toán ở tiểu học theo hướng phát triển năng lực, có thể đi
qua các bước: Bước 1: Nêu vấn đề là tình huống do giáo viên chủ động đưa ra như
là cách dẫn dắt vào bài học một cách ngắn gọn và dễ hiểu. Bước 2: Giúp học sinh
nêu được ý tưởng ban đầu. Đây là bước quan trọng nhằm khuyến khích các em
nêu suy nghĩ, nhận thức ban đầu trước khi học được kiến thức. Bước 3: Đề xuất
hướng giải quyết vấn đề. Đây là bước khá khó khăn vì giáo viên cần lựa chọn các
ý tưởng ban đầu của học sinh theo mục đích dạy học và phải linh hoạt điều khiển
thảo luận nhằm giúp các em đề xuất câu hỏi từ những sự khác biệt theo ý đồ dạy
học. Bước 4: Kết luận, hợp thức hóa kiến thức là bước cuối cùng giáo viên có

10

nhiệm vụ tóm tắt, kết luận và hệ hống lại để học sinh ghi nhớ là kiến thức của bài
học.
Ví dụ 1.1. Khi dạy bài Trừ hai số thập phân
GV cho HS nêu ví dụ trong SGK, sau đó yêu cầu HS nêu cách giải bài toán.
Để trừ hai số thập phân cho nhau ta làm thế nào? Lúc này HS suy nghĩ và đưa ra
các phương án để tính.
HS1: Dựa vài bài phép cộng số thập phân để thực hiện tính
HS2: Đổi các số thập phân ở đơn vị mét về đơn vị xăng-ti-mét sau đó thành
trừ hai số tự nhiên. Được kết quả lại tiếp tục đổi về đơn vị cần tìm.
=> GV chốt, hướng dẫn HS cách trừ hai số thập phân.
Theo Nghị quyết số 29-NQ/TW, ngày 04/11/2013, định hướng đổi mới DH
trong giai đoạn hiện nay là: “Chuyển mạnh quá trình giáo dục từ chủ yếu trang bị
kiến thức sang phát triển toán diện năng lực và phẩm chất người học”. Vì vậy, để
phát triển một năng lực cụ thể cho người học, cần tạo ra những tình huống học tập
mà ở đó, HS phải thể hiện mức độ thành thạo của các kĩ năng khi tiến hành các
hoạt động đặc thù của năng lực đó. Trên cơ sở mối quan hệ mật thiết giữa năng
lực và hoạt động, có thể xác định bản chất của việc phát triển năng lực toán học
cho HS là nhằm nâng cao hiệu quả học tập, hoàn thiện quá trình DH. Một cách
khái quát, phát triển năng lực toán học cho HS là quá trình tổ chức cho HS vận
dụng các kiến thức, kĩ năng toán học để thực hiện các hoạt động học tập tương
thích với các thành tố và các biểu hiện đặc trưng của từng năng lực. Qua đó, năng
lực của HS được phát triển cao hơn.[4, tr 17]
Với HS lớp 5, để dạy học phát triển năng lực môn toán thì đầu tiên GV cần
Phải không ngừng nghiên cứu, đổi mới phương pháp dạy học nhằm giúp HS
kiến tạo tri thức cho chính mình một cách tích cực, chủ động và sáng tạo. GV cần
11


xây dựng môi trường học tập mà ở đó HS được trải nghiệm, thực hành dựa trên
vốn kiến thức, kinh nghiệm của bản thân để giải quyết các vấn đề đặt ra trong quá

trình học toán và trong cuộc sống thực tiễn. Vì HS lớp 5 khả năng tư duy bắt đầu
phát triển sâu hơn so với các lớp dưới nên GV cũng cần lựa chọn các hoạt động
thích hợp trong dạy học toán để giúp HS phát triển được năng lực của mình.
Ví dụ 1.2 Mua một ki-lô-gam thịt lợn hết 80000 đồng. Hỏi mua 5 ki-lô-gam
thịt lợn như vậy hết bao nhiêu tiền?
Với bài toán này, GV cho HS dựa vào kiến thức đã học ở lớp 3 để giải bài
toán. Đồng thời dựa vào kiến thức hằng ngày để HS đưa ra được cách làm. Bài
toán giúp HS củng cố kĩ năng tính toán; Có ý thức vận dụng kiến thức bài học để
xử lí những tình huống thực tế cuộc sống, sản xuất; Tạo hứng thú cho HS vận dụng
toán học vào cuộc sống. Qua bài toán còn giúp HS phát triển năng lực tính toán,
năng lực tư duy sáng tạo, năng lực giải quyết vấn đề.
1.2. Năng lực biểu diễn toán học.
1.2.1 Khái niệm biểu diễn và biểu diễn toán học
Theo Từ điển từ và ngữ Việt Nam, biểu diễn: “ghi bằng hình vẽ hoặc kí hiệu”
[20, tr.147]; một số trang từ điển trực tuyến cũng mô tả biểu diễn: “Diễn tả bằng
công thức hoặc hình vẽ” (Từ điển Tra từ); “Diễn tả bằng kí hiệu hoặc hình vẽ”
(Từ điển Lạc Việt).
Theo Gerald Goldin và Nina Shteingold, một biểu diễn thường là một dấu
hiệu hoặc một hình dạng của các dấu hiệu, ký tự hoặc các đối tượng có thể đại
diện (tượng trưng, phản ánh, mã hóa, hoặc mô tả) cho một cái gì đó khác hơn chính
nó [35, tr.3]. Theo hội giáo viến toán –Mĩ cho rằng: biểu diễn được hiểu là một tổ
chức các hình ảnh, kí hiệu (dấu hiệu trên giấy, hình vẽ, sơ đồ, biểu đồ, đồ thị, phác
thảo hình học, các phương trình) [36, tr.16].
12


Theo Vũ Thị Bình [4, tr31] BDTH là việc sử dụng, sắp xếp các thuật ngữ, kí
hiệu, biểu tượng (sơ đồ, biểu đồ, hình vẽ, đồ thị, dấu hiệu trên giấy, phác thảo
hình học,...) hay các đối tượng cụ thể hàm chứa nội dung toán học để mô tả, tượng
trưng hoặc đại diện cho một đối tượng, quan hệ hay một qui trình toán học.

Qua các quan niệm trên cho thấy: BDTH gồm các biểu diễn trên các đối
tượng thực (các đối tượng, quan hệ trong cuộc sống tự nhiên – xã hội), các biểu
diễn trực quan (sử dụng các sơ đồ, biểu, bảng, các hình ảnh cụ thể,...) và các biểu
diễn ngôn ngữ (công thức, kí hiệu toán học...). Biểu diễn trực quan đóng vai trò
trung gian kết nối biểu diễn thực tế với biểu diễn ngôn ngữ (kí hiệu).
Nói cách khác, BDTH là sự trình bày nội dung toán học bằng các thuật ngữ, kí
hiệu, biểu tượng. BDTH có thể thay đổi theo bối cảnh hoặc theo cách mà ta sử dụng
các biểu diễn. BDTH cũng được xem là kết quả của quá trình BDTH.
Ví dụ 1.3 So sánh

và 1. Với HS tiểu học có các cách só sánh như sau.

Cách 1: Vận dụng quy tắc phân số nào có tử số bé hơn mẫu số thì phân số đó bé
hơn 1. Vậy
Cách 2: 1=

< 1.
nên <

=>

< 1.

Cách 3:

=>

< 1.

Qua ví dụ trên, đã cho thấy được có 3 cách thường sử dụng để hướng dẫn

HS so sánh một phân số với 1. Đồng thời thể hiện HS đã biết sử dụng các kí hiệu,

13


biểu tượng để từ đó khẳng định được < 1. Các hình vẽ, sơ đồ, biểu đồ, kí hiệu,...
được coi là biểu diễn trực quan có hiệu quả và được sử dụng rất nhiều trong môn
toán. Bởi với HS tiểu học tư duy mang đậm màu sắc xúc cảm và chiếm ưu thế ở
tư duy trực quan hành động nên biểu diễn trực quan sẽ giúp HS dễ tiếp thu bài
cũng như gây hứng thú với HS.
1.2.2 Năng lực biểu diễn toán học
Khả năng sử dụng và thao tác được nhiều loại biểu diễn khác nhau một cách
thành thạo cho các đối tượng và tình huống toán học là năng lực biểu diễn toán
học. Các biểu diễn bao gồm: bảng biểu, biểu đồ, hình ảnh, sơ đồ, văn bản cũng
như các biểu diễn kí hiệu toán học khác. Trọng tâm của năng lực này là khả năng
hiểu và sử dụng mối quan hệ giữa các biểu diễn khác nhau.
BDTH vừa hỗ trợ phát triển khả năng suy luận, nhận thức toán học vừa là
phương tiện để trao đổi thông tin toán học mà nó làm đại diện. Trong thực tế, do
bản chất trừu tượng của toán học, mọi người có thể tiếp cận đến ý tưởng toán học
thông qua các đại diện của chúng. Có thể thấy, năng lực BDTH gắn kết chặt chẽ
với khả năng giải mã, tạo mã (kí mã), chọn mã và chuyển mã bằng ngôn ngữ toán
học, ngôn ngữ biểu tượng, ngôn ngữ hình thức.
Trong DH toán, việc thiết lập được nhiều biểu diễn khác nhau cho cùng một
khái niệm toán học có tác dụng thúc đẩy việc hiểu khái niệm toán của HS. HS có
thể chứng tỏ việc hiểu sâu sắc một khái niệm bằng cách chuyển từ biểu diễn này
sang kiểu biểu diễn khác của cùng một khái niệm [37, tr.155-173].
Ví dụ 1.4 Bài Diện tích hình tròn.
Sau khi học xong bài, HS có thể biểu diễn công thức tính diện tích hình tròn theo
hai cách:

14


(1) Nêu quy tắc tính bằng ngôn ngữ: Muốn tính diện tích hình tròn ta lấy bán kính
nhân với bán kính rồi nhân với số 3,14.
(2) HS viết và nếu công thức tính
S = r x r x 3,14 (S là diện tích hình tròn, r là bán kính hình tròn)
Qua hai cách biểu diễn này giúp HS nắm được kiến thức về tính diện tích chắc
chắn hơn.
Biểu diễn toán có thể xem như các mô hình nhận thức hiệu quả mà người dạy
và người học có thể khai thác, tận dụng để thúc đẩy hiểu biết toán học. Nhiều nghiên
cứu cho thấy, kĩ năng BDTH của HS quan trọng trong giải quyết vấn đề. Việc học
tập của HS cần luôn hướng đến việc kết nối giữa các loại biểu diễn khác nhau như:
tranh ảnh, các biểu tượng, các kí hiệu, hình vẽ, sơ đồ, biểu, bảng,...; biểu diễn bằng
lời nói và bằng hình ảnh; biểu diễn bên trong và biểu diễn bên ngoài.
1.2.3 Phân loại biểu diễn toán học
a. Biểu diễn theo qui ước và biểu diễn không theo qui ước
Những biểu diễn theo qui ước như: Hệ thống kí tự số, công thức, đồ thị,
hình hình học, biểu đồ, .... Ngoài ra, còn có những biểu diễn không theo qui ước
là các hệ thống kí hiệu, các sơ đồ, hình vẽ ước lệ, các mô hình, phác thảo có tính
cá nhân, được tạo ra trong quá trình nhận thức toán học của mỗi cá nhân [35]
Ví dụ 1.5: Khi học xong bài Diện tích hình tròn thì HS biết được quy tắc và
công thức tính diện tích hình tròn:
Quy tắc: Muốn tính diện tích của hình tròn ta lấy bán kính nhân với bán
kính rồi nhân với số 3,14.
Công thức: S = r x r x 3,14 ( S là diện tích hình tròn; r là bán kính hình tròn).
Nhận xét: Hoạt động biểu diễn ở đây được diễn đạt dưới dạng quy tắc và
công thức. Với cách biểu diễn như trên là biểu diễn có qui ước.
15

Ví dụ 1.6 Cho mảnh đất được ghép bởi hình chữ nhật có chiều dài 14m,
chiều rộng 6m và hình vuông có cạnh 7m. Tính diện tích mảnh đất.
Với bài tập này, sau khi đọc xong đề bài, HS có thể biểu diễn lại mảnh đất
dưới dạng hình vẽ như hình bên. Cách HS biểu
diễn như hình bên được gọi là biểu diễn không
theo quy ước.

Hình 1.1
b. Biểu diễn bên trong và biểu diễn bên ngoài
Biểu diễn bên trong thường diễn ra trong ý nghĩ của HS khi sử dụng biểu diễn
để hỗ trợ cho tư duy, cho nhận thức hay giải quyết các vấn đề toán học.
Biểu diễn bên ngoài thể hiện khi HS trình bày suy nghĩ, trao đổi, lập luận,
giải thích, kết nối các đối tượng và các mối quan hệ toán học bằng BDTH. Như
vậy, biểu diễn bên ngoài có chức năng hỗ trợ phát triển tư duy, đồng thời góp phần
giao tiếp một cách hiệu quả, sáng tạo.
Ví dụ 1.7 Quá trình suy nghĩ, hình dung việc biểu diễn các hỗn số trên tia số,
sao cho mỗi hỗn số 1 , 1 , … ứng với mỗi tia số là biểu diễn bên trong. Khi HS
tạo ra tia số và các điểm tương ứng trên bản vẽ thì đó là biểu diễn ngoài. Cùng
một “biểu diễn bên trong” nhưng HS có thể có “biểu diễn ngoài” là những sản
phẩm khác nhau. Để rút ngắn khoảng cách này cần thông qua các hoạt động luyện
tập, thực hành, chuyển đổi các BDTH.

16