CÔNG THỨC TOÁN ÔN THI THPT QUỐC GIA

GV: Vũ Viết Tiệp

Trung tâm GDNN-GDTX Lương Tài

PHẦN ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH
LỚP 11
HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
I. Hệ thức giữa các giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt
1. Hai cung đối nhau  và 
4. Hai cung hơn kém nhau π :  và π  
sin      sin                 tan      tan 
sin       sin              tan       tan 
  
 
cos     cos                   cot      cot 
cos        cos             cot       cot 
2. Hai cung bù nhau  và π  
sin      sin              tan       tan 
 
 
cos        cos          cot       cot 
3. Hai cung phụ nhau  và 





cos      sin              cot      tan 
2

2


II. Công thức lượng giác
1. Công thức lượng giác cơ bản

 

 

 





cos       sin            cot       tan 
2

2

 

tan  .cot   1; tan  

 

1

;    k , k  
2
cos 

2
2. Công thức cộng

cos  a  b   cos a cos b  sin a sin b

 

  

1  tan 2  

sin  a  b   sin a cos b  cos a sin b

π
π
:  và  
2
2





sin      cos               tan       cot 
2

2


π

  
2





sin      cos              tan      cot 
2

2


sin 2   cos 2   1   

5. Hai cung hơn kém nhau

1  cot 2  

sin 
cos 
; cot  
 
cos 
sin 

1
;   k , k  
sin 2 

tan a  tan b
1  tan a tan b
 
cot a cot b  1
cot  a  b  
cot a  cot b
tan  a  b  

    

 

3. Công thức nhân
a) Công thức nhân đôi
cos 2a  cos 2 a  sin 2 a  2 cos 2 a  1  1  2 sin 2 a  

sin 2a  2sin a cos a  

tan 2a 

2 tan a
 
1  tan 2 a

b) Công thức nhân ba
3

sin 3a  3sin a  4sin a   

c) Công thức hạ bậc

1  cos 2a
sin 2 a 
   
2
 sin 3a  3sin a
sin 3 a 
  
4

3

 

cos 3a  4 cos a  3cos a  

 

cos 2 a 

1  cos 2a
   
2
cos 3a  3cos a
cos3 a 
 
4

 

d) Công thức biến đổi theo t  tan

Tài liệu ôn thi THPT Quốc gia 

 

tan 2 a 

1  cos 2a
  
1  cos 2a

 

a
2

2t
1 t2
;
cos
a

  
1 t2
1 t2
4. Công thức biến đổi tổng thành tích
sin a 

 

3 tan a  tan 3 a
tan 3a 
 
1  3 tan 2 a

 

 

 

tan a 

2t
;
1 t2

cot a 

1 t2
 
2t
Trang 1


GV: Vũ Viết Tiệp

Trung tâm GDNN-GDTX Lương Tài

ab

a b
cos
sin  a  b 
sin  a  b 
2
2
tan a  tan b 
                 tan a  tan b 
cos a cos b
cos a cos b
ab
a b
cos a  cos b  2sin
sin
cos  a  b 
2
2
2
                  tan a  cot a 
          tan a  cot b 
 
ab
a b
cos a sin b
sin 2a
sin a  sin b  2sin
cos
cot a  tan a  2 cot 2a
2
2

ab
ab
sin a  sin b  2 cos
sin
2
2
cos a  cos b  2cos









sin a  cos a  2 sin  a    2 cos  a                  sin a  cos a  2 sin  a     2 cos  a  
4
4
4
4








cos a  sin a   2 sin  a    2 cos  a  

4
4


 
5. Công thức biến đổi tích thành tổng
1
cos a cos b  cos  a  b   cos  a  b  
2
    
 
1
sin a sin b  cos  a  b   cos  a  b  
2
III. Bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt
0
300
450
600
Góc
π
π
π
 
 
 
HSLG
0 
6
4

3
sin

0 

cos

1 

tan

0 

cot

||

1
sin  a  b   sin  a  b  
2
 
1
cos a sin b  sin  a  b   sin  a  b  
2

sin a cos b 

900
π
 

2

1200
2π
 
3

1350
3π
 
4

1500
5π
 
6

2
 
2

1
 
2

1
 
2

2

 
2

3
 
2

1 

3
 
2

3
 
2
1
 
3

2
 
2

1
 
2

0 

1
  
2

1 

3 

||

 3 

1  

1 

1
 
3

0 



1
 
3

1  

3 



2
 
2

3
 
2
1

 
3


 3 

1800

π 
0 
1  

0 
||

IV. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
1. Tính tuần hoàn của hàm số

Định nghĩa: Hàm số  y  f ( x)  xác định trên tập  D  được gọi là hàm số tuần hoàn nếu có số 
T  0  sao cho với mọi  x  D  ta có  x  T  D  và  f ( x  T )  f ( x) . 

Nếu có số  T dương nhỏ nhất thỏa mãn các điều kiện trên thì hàm số đó được gọi là hàm số
tuần hoàn với chu kì T . 
2. Các hàm số lượng giác
a. Hàm số y  sin x
  Tập xác định:  D  R  
  Tập giác trị:  [  1;1] , tức là  1  sin x  1  x  R  
   Hàm  số  đồng  biến  trên  mỗi  khoảng  (


2

 k 2 ;


2

 k 2 ) ,  nghịch  biến  trên  mỗi  khoảng 


3
(  k 2 ;
 k 2 ) . 
2
2
  Hàm số  y  sin x  là hàm số lẻ nên đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ  O  làm tâm đối xứng. 
Tài liệu ôn thi THPT Quốc gia 

 

Trang 2


GV: Vũ Viết Tiệp

Trung tâm GDNN-GDTX Lương Tài

  Hàm số  y  sin x  là hàm số tuần hoàn với chu kì  T  2 . 
  Đồ thị hàm số  y  sin x . 
y
-

-5
-

-2

2

3

2

-3

-3

O



1 

2

3

2
5

2

2

x

2

2

 

b. Hàm số y  cos x
  Tập xác định:  D  R  
  Tập giác trị:  [  1;1] , tức là  1  cos x  1  x  R  
   Hàm  số  y  cos x   nghịch  biến  trên  mỗi  khoảng  (k 2 ;   k 2 ) ,  đồng  biến  trên  mỗi  khoảng 

(  k 2 ; k 2 ) . 

  Hàm số  y  cos x  là hàm số chẵn nên đồ thị hàm số nhận trục  Oy  làm trục đối xứng. 
  Hàm số  y  cos x  là hàm số tuần hoàn với chu kì  T  2 . 
  Đồ thị hàm số  y  cos x . 



Đồ thị hàm số  y  cos x  bằng cách tịnh tiến đồ thị hàm số  y  sin x  theo véc tơ  v  ( ; 0) . 
2
y
1

-

-5
-

-2

2



2

-3

-3

3

O

2

2

3

2



5

2

2

x

 
c. Hàm số y  tan x


  Tập xác định:  D   \   k ,  k     
2

  Tập giá trị:    
  Là hàm số lẻ 
  Là hàm số tuần hoàn với chu kì  T    


 

  Hàm đồng biến trên mỗi khoảng     k ;  k   
2
 2

  Đồ thị nhận mỗi đường thẳng  x 


2

 k ,  k    làm một đường tiệm cận. 

  Đồ thị: 
y

-

-2
-5

-3

2

2

-



2

2

5

3


2

2

2
x

O

 
d. Hàm số y  cot x
  Tập xác định:  D   \ k ,  k    
Tài liệu ôn thi THPT Quốc gia 

 

Trang 3

GV: Vũ Viết Tiệp

Trung tâm GDNN-GDTX Lương Tài

  Tập giá trị:    
  Là hàm số lẻ 
  Là hàm số tuần hoàn với chu kì  T    
  Hàm nghịch biến trên mỗi khoảng   k ;   k   
  Đồ thị nhận mỗi đường thẳng  x  k ,  k    làm một đường tiệm cận. 
  Đồ thị: 
y

-

-2
-5

-3

2

2

-



2

2

5

3


2

2

2
x

O

 
V. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
1. Phương trình lượng giác cơ bản:
Phương trình sinx = a
 x    k 2π
sin x  a  sin   
;k   
 x  π    k 2π

Phương trình cosx = a
 x    k 2π
cos x  a  cos   
;k  
 x    k 2π

 x  ar sina  k 2π
sin x  a  
;k  
 x  π  ar sin a  k 2π
Chú ý:
π
sin x  1  x   k 2π; k  
2
sin x  0  x  kπ; k  
π
sin x  1  x    k 2π; k  
2
Phương trình tanx = a
tan x  a  tan   x    kπ; k    
tan x  a  x  arctan a  kπ; k  

 x  arc cos a  k 2π
cos x  a  
;k  
 x   arccos a  k 2π
Chú ý:
cos x  1  x  k 2π; k  
π
cos x  0  x   kπ; k  
2
cos x  1  x  π  k 2π; k  
Phương trình cotx = a
cot x  a  cot   x    kπ; k    
cot x  a  x  arc cot a  kπ; k  

2. Phương trình bậc hai, bậc ba đối với một hàm số lượng giác:
Đặt ẩn phụ:  t  s inx; t = cosx , điều kiện:  1  t  1 ;  
Đặt ẩn phụ:  t  s in 2 x; t = cos 2 x , điều kiện:  0  t  1 ;  
3. Phương trình bậc nhất đối với sinx, cosx: acosx + bsinx = c (1) trong đó a2 + b2  0:
Điều kiện để phương trình (1) có nghiệm:  a 2  b 2  c 2 .          
Cách giải: Chia hai vế phương trình cho  a 2  b 2 , đưa PT về dạng: sinu = sinv hoặc cosu = cosv  
4. Phương trình đẳng cấp bậc hai đối với sinx và cosx:  asin2x + bsinx.cosx + c.cos2x = 0:
+ Xét cosx = 0: Nếu thoả mãn ta lấy nghiệm . 
 
+  Xét  cos x  0   chia  hai  vế  của  PT  cho  cos2x  rồi  đặt  t  =  tanx,  PT  trở  thành  PT 
a.tan 2 x  b.tan x  c     0  
5. Phương trình đối xứng: a(sinx + cosx ) + b sinxcosx + c = 0:
t 2 1


a) Đặt  t = sinx + cosx = 2 cos  x   , Điều kiện    2  t  2  khi đó sinx.cosx = 
 
2
4

Ta đưa PT đã cho về PT bậc hai hoặc bậc 3  theo t. Giải chọn t, suy ra nghiệm x. 
Tài liệu ôn thi THPT Quốc gia 

 

Trang 4


GV: Vũ Viết Tiệp

Trung tâm GDNN-GDTX Lương Tài

b) Phương trình có dạng: a(sinx - cosx) + bsinxcosx + c = 0 .  
2

1 t


Đặt t = sinx – cosx = 2 sin  x     , Điều kiện    2  t  2  khi đó sinx.cosx = 
. Ta giải 
2
4

tương tự  phần a).            
HOÁN VỊ – CHỈNH HỢP – TỔ HỢP
I. HOÁN VỊ
1. Định nghĩa: Cho tập  A  gồm  n  phần tử   n  1 . Mỗi kết quả của sự sắp xếp thứ tự  n  phần tử của 
tập hợp  A  được gọi là một hoán vị của  n  phần tử đó.
2. Định lí: Số các hoán vị của  n  phần tử, kí hiệu là  Pn  n !  n.  n  1 .  n  2  ...3.2.1.
II. CHỈNH HỢP
1. Định nghĩa: Cho tập hợp  A  gồm  n   phần tử   n  1 . Kết quả của việc lấy  k   1  k  n   phần tử 
khác nhau từ  n  phần tử của tập hợp  A  và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh 
hợp chập  k  của  n  phần tử đã cho.
2. Định lí: Số các chỉnh hợp chập  k  của một tập hợp có  n  phần tử là  Ank 

n!
.
 n  k !

3. Một số qui ước: 0!  1,    An0  1,    Ann  n !  Pn
III. TỔ HỢP
1. Định nghĩa: Giả sử tập  A  có  n   phần tử   n  1 .  Mỗi tập con gồm  k   1  k  n   phần tử của  A  
được gọi là một tổ hợp chập  k  của  n  phần tử đã cho. 
2. Định lí: Số các tổ hợp chập  k  của một tập hợp có  n  phần tử là  Cnk 
3. Một số quy ước: Cn0  1,    Cnn  1 với  qui  ước  này  ta  có  Cnk 
dương  k  thỏa  0  k  n.
4. Tính chất:
Tính chất 1: Cnk  Cnn  k      0  k  n  .  

n!
.
k !.  n  k !

n!
  đúng  với  số  nguyên 
k !.  n  k  !

Tính chất 2: Cnk11  Cnk1 =Cnk     1  k  n  .  

 

 

XÁC SUẤT
1. Khái niệm:
 
– Không gian mẫu Ω: là tập hợp các kết quả có thể xảy ra của một phép thử. 
 
– Biến cố A: là tập các kết quả của phép thử làm xảy ra A. A là tập con của Ω. 

 
– Biến cố không là tập rỗng 
 
– Biến cố chắc chắn là tập Ω 
 
– Biến cố đối của A là biến cố A không xảy ra 
 
– Hợp của hai biến cố là biến cố hoặc A xảy ra hoặc B xảy ra 
 
– Giao của hai biến cố là biến cố A và B đồng thời xảy ra, ký hiệu A ∩ B 
 
– Hai biến cố xung khắc nếu giao của chúng là rỗng 
 
– Hai biến cố là độc lập nếu việc xảy ra biến cố này không ảnh hưởng đến việc xảy ra biến cố kia. 
n( A)
– Xác suất của biến cố A là P( A) 
.
n(  )
 
Trong đó n(A) là số phần tử tập A, n(Ω) là số phần tử tập Ω. 
2. Tính chất:
Tài liệu ôn thi THPT Quốc gia 

 

Trang 5


GV: Vũ Viết Tiệp

Trung tâm GDNN-GDTX Lương Tài

 
– 0 ≤ P(A) ≤ 1 
 
– P(A ∩ B) = P(A).P(B) nếu 2 biến cố độc lập nhau. 
 
– Xác suất của biến cố hợp bằng tổng xác suất của mỗi biến cố nếu chúng xung khác nhau. 
 
– Nếu hai biến cố không xung khắc thì xác suất biến cố hợp tổng xác suất của mỗi biến cố trừ 
đi xác suất của biến cố giao. 
 
– Tổng xác suất hai biến cố bù nhau thì bằng 1 
 
DÃY SỐ
1. Định nghĩa: Dãy số là tập hợp các giá trị của hàm số  u : *  ,  n  u (n)  
Được sắp xếp theo thứ tự tăng dần liên tiếp theo đối số tự nhiên  n :  u (1), u (2), u (3),..., u (n),...  
 

  Ta kí hiệu  u (n)  bởi  un  và gọi là số hạng thứ n hay số hạng tổng quát của dãy số,  u1  được gọi 

là số hạng đầu của dãy số. 
  Ta có thể viết dãy số dưới dạng khai triển  u1 , u2 ,..., un ,...  hoặc dạng rút gọn  (un ) . 
 
2. Cách cho dãy số:
  Cho số hạng tổng quát, tức là: cho hàm số u xác định dãy số đó 
 
  Cho bằng công thức truy hồi, tức là: 
 
 

* Cho một vài số hạng đầu của dãy 
    
* Cho hệ thức biểu thị số hạng tổng quát qua số hạng (hoặc một vài số hạng) đứng trước nó. 
3. Dãy số tăng, dãy số giảm
  Dãy số  (un )  gọi là dãy tăng nếu  un  un 1   n   *  
  Dãy số  (un )  gọi là dãy giảm nếu  un  un 1   n   *  

4. Dãy số bị chặn:
  Dãy số  (un )  gọi là dãy bị chặn trên nếu có một số thực  M  sao cho  un  M  n   * . 
  Dãy số  (un )  gọi là dãy bị chặn dưới nếu có một số thực  m  sao cho  un  m  n   * . 
  Dãy số vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới gọi là dãy bị chặn, tức là tồn tại số thực dương   M  
sao cho  un  M  n   * . 

CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN
I. CẤP SỐ CỘNG

 u1  a
,  n  N *   gọi là cấp số cộng;  d  gọi là công sai. 
1. Định nghĩa: Dãy số (un) được xác định bởi  
un 1  un  d
2. Các tính chất:
   Số hạng tổng quát:  un  u1  (n  1)d . 
  Ba số hạng  uk , uk 1 , uk  2  là ba số hạng liên tiếp của cấp số cộng khi và chỉ khi  uk 1 
  Tổng  n  số hạng đầu tiên  Sn : S n  u1  u2  ...  un 

1
 uk  uk  2  . 
2

n

n
 u1  un   2u1   n  1 d  . 
2
2

II. CẤP SỐ NHÂN

 u1  a
,  n  N *   gọi là cấp số cộng;  q  gọi là công bội. 
1.Định nghĩa: Dãy số (un) được xác định bởi  
u

u
.
q
n
 n 1
2. Các tính chất:
   Số hạng tổng quát:  un  u1q n 1 . 
Tài liệu ôn thi THPT Quốc gia 

 

Trang 6


GV: Vũ Viết Tiệp

Trung tâm GDNN-GDTX Lương Tài

  Ba số hạng  uk , uk 1 , uk  2  là ba số hạng liên tiếp của cấp số cộng khi và chỉ khi  uk21  uk .uk  2 . 

qn 1
  Tổng  n  số hạng đầu tiên  Sn : Sn  u1  u2  ...  un  u1
. 
q 1
GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
1. Định nghĩa:
Định nghĩa 1: Ta nói rằng dãy số (un) có giới hạn là  0 khi n dần tới vô cực, nếu  un  có thể 
nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ số hạng nào đó trở đi.  
Kí hiệu:  lim  un   0 hay u n  0 khi n  +.  
n
Định nghĩa 2: Ta  nói  dãy  số  (un)  có  giới  hạn  là  a    hay  (un)  dần  tới  a  khi  n  dần  tới  vô  cực 
( n   ), nếu  lim  un  a   0.   
n 

Kí hiệu:  lim  un   a  hay u n  a  khi n  +.  
n 

 Chú ý:  lim  un   lim  un  . 
n 

2. Một vài giới hạn đặc biệt:
1
1
lim  0 ,  lim k  0 , n  *  
 
lim  q n   0   với  q  1 . 
n
n

lim(un) = c (c là hằng số) => Lim(un) = limc = c. 
3. Một số định lý về giới hạn của dãy số:
Định lý 1: Cho dãy số (un), (vn) và (wn) có :  v n  un  wn  n  *  và 

lim  vn   lim  wn   a    lim  u n   a . 
Định lý 2: Nếu lim(un)=a , lim(vn)=b thì: 
lim  un  vn   lim  un   lim  vn   a  b  
 
lim

un lim  un  a

  ,  v n  0 n  * ; b  0   
vn lim  vn  b

 

lim  un .vn   lim un .lim vn  a.b  

 

lim un  lim  un   a  ,  un  0 ,a  0   

4. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có công bội q ,với q  1: lim Sn  lim

u1
1 q

5. Dãy số dần tới vô cực:
Định nghĩa 1: Ta nói dãy số (un) dần tới vô cực   un     khi n dần tới vô cực   n     

nếu un lớn hơn một số dương bất kỳ, kể từ số hạng nào đó trở đi. Kí hiệu: lim(un)=   hay  un     
khi  n   . 
Định nghĩa 2: Ta nói dãy số (un) có giới hạn là    khi  n    nếu lim  un    .Ký hiệu: 
lim(un)=   hay un    khi  n   . 
Định lý:
Nếu:  lim  un   0   u n  0 ,n  *   thì  lim
Nếu:  lim  un       thì  lim

1
  
un

1
0 
un

PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 
P  n
1. Giới hạn của dãy số (un) với un 
với P,Q là các đa thức:
Q n
Tài liệu ôn thi THPT Quốc gia 

 

Trang 7


GV: Vũ Viết Tiệp



Trung tâm GDNN-GDTX Lương Tài

Nếu bậc P = bậc Q = k, hệ số cao nhất của P là a0, hệ số cao nhất của Q là b0 thì chia tử số  và mẫu 
a
số cho nk để đi đến kết quả :  lim  un   0 . 
b0

Nếu bậc P nhỏ hơn bậc Q = k, thì chia tử và mẫu cho nk để đi đến kết quả: lim(un)=0. 
Nếu k = bậc P > bậc Q, chia tử và mẫu cho nk để đi đến kết quả: lim(un)=  . 
f n
2. Giới hạn của dãy số dạng: un 
, f và g là các biển thức chứa căn.
g n






Chia tử và mẫu cho nk với k chọn thích hợp. 
Nhân tử và mẫu với biểu thức liên hợp. 

 
GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
 
1. Định nghĩa: Cho hàm số f(x) xác định trên khoảng K.Ta nói rằng hàm số f(x) có giới hạn là L khi x 
dần tới a nếu với mọi dãy số (xn), xn   K và xn   a , n  *  mà lim(xn) = a đều có lim[f(xn)]=L.  
Kí hiệu: lim  f  x    L . 

x a
2. Một số định lý về giới hạn của hàm số:
Định lý 1: Nếu hàm số có giới hạn bằng L thì giới hạn đó là duy nhất. 
Định lý 2: Nếu các giới hạn: lim  f  x    L  ,   lim  g  x    M  thì: 
x a
x a
lim  f  x   g  x    lim  f  x    lim  g  x    L  M    
x a
xa
x a
lim  f  x  .g  x    lim  f  x   .lim  g  x    L.M  
x a
xa
xa

lim
x a

lim
x a

 f  x   L
f  x  lim
 xa

 , M  0  
g  x  lim  g  x   M
xa

 

 

f  x   lim  f  x    L  ; f  x   0, L  0  
xa

Cho  ba  hàm  số  f(x),  h(x)  và  g(x)  xác  định  trên  khoảng  K  chứa  điểm  a  (có  thể  trừ  điểm  a), 
g(x)  f(x)  h(x)  x  K , x  a  và  lim  g  x    lim  h  x    L  lim  f  x    L . 
x a
xa
xa
PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
Khi tìm giới hạn hàm số ta thường gặp các dạng sau:
f  x  0 
    
1. Giới hạn của hàm số dạng: lim
x a g  x 
0
Nếu f(x), g(x) là các hàm đa thức thì có thể chia tử số, mẫu số cho (x-a) hoặc (x-a)2. 
Nếu f(x), g(x) là các biểu thức chứa căn thì nhân tử và mẫu cho các biểu thức liên hợp. 
f  x   
    
2. Giới hạn của hàm số dạng: lim
x  g  x 

Chia  tử  và  mẫu  cho  xk  với  k  chọn  thích  hợp.  Chú  ý  rằng  nếu  x     thì  coi  như  x>0,  nếu 
x    thì coi như x<0 khi đưa x ra hoặc vào khỏi căn bậc chẵn. 

Giới hạn của hàm số dạng:  lim  f  x  .g  x        0.  . Ta biến đổi về dạng:     
x 


3. Giới hạn của hàm số dạng: lim  f  x   g  x         - 

x  
f  x  g  x
Đưa về dạng:  lim
 
x 
f  x  g  x
Tài liệu ôn thi THPT Quốc gia 

 

Trang 8


GV: Vũ Viết Tiệp

Trung tâm GDNN-GDTX Lương Tài

HÀM SỐ LIÊN TỤC
1. Hàm số liên tục tại một điểm trên một khoảng:
- Cho hàm số f(x) xác định trên khoảng (a;b). Hàm số được gọi là liên tục tại điểm x0    (a;b) 
nếu: lim  f  x    f  x0  . Điểm x0 tại đó f(x) không liên tục gọi là điểm gián đoạn của hàm số. 
x  x0
-  f(x)  xác  định  trên  khoảng  (a;b)  và  liên  tục  tại  điểm  x0     (a;b) 

 lim  f  x    lim  f  x    lim  f  x    f  x0  . 
x  x0
x  x0

x  x0
- f(x) xác định trên khoảng (a;b) được gọi là liên tục trên khoảng (a;b) nếu nó liên tục tại mọi 
điểm thuộc khoảng ấy. 
-  f(x)  xác  định  trên  khoảng  [a;b]  được  gọi  là  liên  tục  trên  khoảng  [a;b]  nếu  nó  liên  tục  trên 
 lim  f  x    f  a 
 xa
khoảng (a;b) và  
 
 f  x    f  b 
 xlim
 
b
2. Một số định lý về hàm số liên tục:

- Định lý 1: f(x) và g(x) liên tục tại x0 thì: f  x   g  x  , f  x  .g  x  , 

f  x
g  x

    g  x   0   cũng 

liên tục tại x0 . 
- Định lý 2: Các hàm đa thức, hàm hữu tỷ, hàm lượng giác liên tục trên tập xác định của chúng. 
- Định lý 3:  f(x)  liên  tục  trên  đoạn  [a;b]  thì  nó  đạt  GTLN,  GTNN  và  mọi  giá  trị  trung  giữa 
GTLN và GTNN trên đoạn đó. 
- Hệ quả: Nếu f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và f(a).f(b)<0 thì tồn tại ít nhất một điểm c  (a;b) 
sao cho f(c) = 0 . Tức là có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (a;b). 
PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
 g  x                    x  x 0 
1. Xét tính liên tục của hàm số dạng: f  x   

               
a                         x=x 0 
 Tìm  lim  g  x   . Hàm số liên tục tại x0   lim  g  x    a . 
x  x0
x  x0

 g  x              x
2. Xét tính liên tục của hàm số dạng: f  x   a                   x=x 0 

h  x              x>x 0 
 lim  f  x    lim  g  x  
x  x0
 x  x0

Tìm :   lim  f  x    lim  g  x   .  
x  x0
 x  x0
 f  x0 


Hàm số liên tục tại x = x0   lim  f  x    lim  f  x    f  x0   a . 
x  x0
x  x0
3. Chứng minh phương trình f(x) = 0 có nghiệm trong khoảng (a;b).
Chứng tỏ f(x) liên tục trên đoạn [a;b]. 
Chứng tỏ f(a).f(b)<0 
Khi đó f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc (a;b). 
Nếu chưa có (a;b) thì ta cần tính các giá trị f(x) để tìm a và b. Muốn chứng minh f(x)=0 có hai , 
ba nghiệm thì ta tìm hai , ba khoảng rời nhau và trên mỗi khoảng f(x)=0 đều có nghiệm. 

Tài liệu ôn thi THPT Quốc gia 

 

Trang 9


GV: Vũ Viết Tiệp

Trung tâm GDNN-GDTX Lương Tài

ĐẠO HÀM
1. Đạo hàm của các hàm số đơn giản:

C 

/

 x

 0 

/

 x

 1 

1

/



2 x

n /

x 

 

 nx n 1  

2. Các quy tắc tính đạo hàm:
/

u  v 

/

/

/

u v  

u  v 

/

/

/

 u.v 

 u v  

/

/

k .u  k .u ,  k  R  
/

1
1
   2  
x
 x

/

/

 u v  uv  

/
/

 u  u v  uv

 
 
v2
v

/

v/
1


 
 
v2
v

/

/

v/
k


k
.
 
 

v2
v

/

/

ad  bc
 ax  b 
 

 
2
 cx  d   cx  d 

/
u u

  ,  k  R  
 
k
k

 u.v.w 

/

 u / vw  uv / w  uvw/  
y / x  y / u .u / x  

(Đạo hàm của hàm số hợp) 

3. Đạo hàm của các hàm số sơ cấp cơ bản:
Đạo hàm của các hàm số hợp ( u  u  x  )

Đạo hàm của các hàm số sơ cấp cơ bản 
 /

x 

 /

 u   .u

  .x 1  

/

1

/



 sin x 

/

 cos x 

/

 tan x 

/

 cot x 

/

2 x

/

 u

 

 u / .cos u  

/

 u / .sin u  

 cos u 

1
 1  tan 2 x  
cos 2 x



1
  1  cot 2 x   
sin 2 x

 tan u 

/

 cot u 

/

e 

x /

 a x .ln a  

a 

/

 ln x  
/

1
 
x

 log a x  



u/
 u / 1  tan 2 u   
2
cos u



 u / .eu  

u /

 a u .u / .ln a  
/

/

u/
 
u

 log a u  
 

u/
 u / . 1  cot 2 u   

2
sin u

u /

 ln u  

1
 
x.ln a

Tài liệu ôn thi THPT Quốc gia 

u/
 
2 u

/

  sin x  

 ex  

a 



 sin u 

x /

e 

/

 cos x  



.u /  

v/
1
 


 
v2
v

1
1
   2  
x
 x

 x

 1

u/
 
u.ln a
Trang 10


GV: Vũ Viết Tiệp

Trung tâm GDNN-GDTX Lương Tài

LỚP 12
CHƯƠNG 1. KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
I. KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ: y  ax3  ax 2  cx  d

 a  0

1. Các bước khảo sát:
- TXĐ: D  
- Tính đạo hàm  y / ; giải phương trình  y /  0  tìm  x  y . 
- Tính giới hạn:  
+ Nếu  a  0   lim y   ;  lim y   ;   
 
+ Nếu  a  0 lim y   ;  lim y       
x 

x 

x 

x 

/

- Lập bảng biến thiên (xét dấu  y ), suy ra khoảng đồng biến, nghịch biến, điểm cực đại, cực tiểu của hàm 
số. 
- Đồ thị:  
+ Cho các điểm lân cận của điểm cực đại, cực tiểu.      
+ Vẽ đồ thị :Chiều biến thiên là hình dạng của đồ thị. Đồ thị của hàm số có một tâm đối xứng. 
2. Các dạng đồ thị:
a>0
a<0
y '  0  có hai nghiệm phân 
y
y
biệt hay   /  0
y

O

x

O

y '  0  có hai nghiệm kép 

x

y

y

hay   /  0
y
O

x
O

y '  0  vô nghiệm 

y

x

y

hay   /  0
y
O
x

O

Tài liệu ôn thi THPT Quốc gia 

 

x

Trang 11

GV: Vũ Viết Tiệp

Trung tâm GDNN-GDTX Lương Tài

II. KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ: y  ax 4  bx 2  c  a  0 
1. Các bước khảo sát:
- TXĐ: D  
- Tính đạo hàm  y / ; giải phương trình  y /  0  tìm  x  y  
- Tính giới hạn:  
+ Nếu  a  0    lim y   ;   lim y   ;     
+ Nếu  a  0    lim y     ;  lim y     
x 

x 

x 

x 

/

- Lập bảng biến thiên (xét dấu  y ), suy ra khoảng đồng biến ,nghịch biến; điểm cực đại, cực tiểu của hàm 
số. 
- Đồ thị :  
+ Cho các điểm lân cận của điểm cực đại , cực tiểu.      
+ Vẽ đồ thị :Chiều biến thiên là hình dạng của đồ thị . Đồ thị của hàm số  đối xứng qua trục Oy .
2. Các dạng đồ thị:
a>0

y '  0  có 3 nghiệm phân 

a<0
y

y

biệt hay  ab  0  
O

O

y'  0 

có 

đúng 

x

x

1 

y

y

nghiệm hay  ab  0
O

O

x

III. KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ: y 

ax  b
,
cx  d

x

 a  0, ad  bc  0 

1. Các bước khảo sát:
 d
- TXĐ : D   \                                       
 c
ad  bc
- Tính đạo hàm  y / 
 
2
 cx  d 
d
d
, nếu  ad  bc  0    
 
+  y /  0; x   , nếu  ad  bc  0  
c

c
- Tính giới hạn và kết luận các đường tiệm cận:  
a
a
a
+  lim y    ;  lim y   y    là tiệm cận ngang 
c
c
c
x 
x 
d
+ Nếu  y /  0; x    thì  lim y   và  lim y    
c
d
d
d
x 
x 
c
c
 x      là tiệm cận đứng 
c
d
+ Nếu  y /  0; x    thì và  lim y   lim y    
c
d
d
x 
x 

+  y /  0; x  

c

c

- Lập bảng biến thiên : 
Tài liệu ôn thi THPT Quốc gia 

 

Trang 12


GV: Vũ Viết Tiệp

Trung tâm GDNN-GDTX Lương Tài

d
d
                                          
                                                                       
x 
c
c
                                                                    
/
y                      +                                  + 
 

a
a
 
                                                                       
y 
c
c
                                                                    
                                                  
 
d  d


Hàm số luôn đồng biến trên từng khoảng   ;   va   ;   và không có cực trị. 
c  c



+ Nếu  y /  0; x  

+ Nếu  y /  0; x  

d
 
c

x 

 
 

 
 
 

                              

d
                                   
c

y /                                     
 
y 

a
a
                                                                 
c
c

d  d


Hàm số luôn nghịch biến trên  khoảng   ;   va   ;   và không có cực trị . 
c  c


Cho điểm đặc biệt :
b
+ Tìm giao điểm của đồ thị với trục tung (nếu có): Cho x  0  y 

d

+ Tìm giao điểm của đồ thị với trục hoành (nếu có): Cho y  0  ax  b  0  x  

b
a

Vẽ đồ thị :
+ Chiều biến thiên là hình dạng của đồ thị .
 d a
+ Đồ thị  gồm hai nhánh đối xứng nhau qua  giao điểm của hai đường tiệm cận hay điểm  I   ;  .  
 c c
+ Ta vẽ hai đường tiệm cận trước, rồi  vẽ 2  nhánh riêng biệt đối xứng nhau qua  I . 
2. Các dạng đồ thị:
ad  bc  0
ad  bc  0
y

y

O

O

1

x

x

IV. CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ
1. Bài toán 1: Tìm tham số m để hàm số y  f  x  luôn đồng biến hoặc nghịch biến trên TXĐ D của nó.
Cách giải :
+ Tìm MXĐ  D  của hàm số y  f  x  .  
+ Tính đạo hàm  y /  f /  x   , tính    hoặc   /  của  y / .
+ Hàm số y  f x   đồng biến trên D  y /  0  x  D 
Tài liệu ôn thi THPT Quốc gia 

 



a0
0

 m  
Trang 13


GV: Vũ Viết Tiệp

Trung tâm GDNN-GDTX Lương Tài
/

+ Hàm số y  f  x   nghịch biến trên D  y  0  x  D 



a0
 0

 m 

2. Bài toán 2: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y  f  x  trên đoạn  a; b .
Cách giải :
+ Tính  f /  x  , giải phương trình  f /  x0   0  tìm nghiệm x0   a; b  ; Tính các giá trị: f  a  ; f  x0  ;

f b   
+ Kết luận :    max f  x   max  f  a  ; f  x0  ; f  b  ;   min f  x   min  f  a  ; f  x0  ; f  b   
 a ,b 

 a ,b

3. Bài toán 3: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số.
a) Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số y  f  x  tại điểm M  x0 ; y0    C 
Cách giải:
+ Phương trình tiếp tuyến với đồ thị  C  của hàm số  y  f  x   tại điểm  M  x0 ; y 0   C  có dạng : 

y  f /  x0  x  x0   y0 1 . 
+ Thế x0 ; y0 ; f /  x0   đã cho hoặc vừa tìm vào  1 ta được tiếp tuyến cần tìm.  
b) Dạng 2: Viết PT tiếp tuyến với đồ thị hàm số y  f  x  biết tiếp tuyến có hệ số góc k cho trước:
Cách giải:
+ Phương trình tiếp tuyến với đồ thị  C  của hàm số  y  f  x   có dạng :  y  k  x  x0   y0 1
+  Gọi M  x0 ; y0  là  tọa  độ  tiếp  điểm.  Do  tiếp  tuyến  có  hệ  số  góc  k  nên  f /  x0   k ,  giải  phương 
trình  tìm được   x0  y0  f  x0  . Suy ra phương  trình tiếp tuyến (1) 
c) Dạng 3:  Viết PT tiếp tuyến với đồ thị  C  của hàm số y  f x  biết tiếp tuyến song song hoặc
vuông góc với một đường thẳng cho trước. 
Cách giải : Phương trình tiếp tuyến có dạng :  y  k  x  x0   y0    1    
Gọi M  x0 ; y0  là tọa độ tiếp điểm .  
+  Nếu  tiếp  tuyến  song  song  với  đường  thẳng  d : y  ax  b thì  f /  x0   a ,  giải  pt    tìm 

được x0  y0  f  x0  . Kết luận phương  trình tiếp tuyến . 
1
+ Nếu tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng  d : y  ax  b thì  f /  x0  .a  1  f /  x0     . 
a
Giải phương trình này tìm được  x0  y0  f  x0  . Kết luận phương  trình tiếp tuyến . 

4. Bài toán 4: Dựa vào đồ thị biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình cho trước

g  x, m   0 1 .
Cách giải :
+  Đưa  phương  trình 1   về  dạng  : f  x   Am  B , trong  đó  y  f  x    là  đồ  thị   C    đã  vẽ  và 
y  Am  B    d   là đường thẳng song song hoặc trùng với trục Ox . 

+ Số nghiệm của phương trình 1  là số hoành độ giao điểm của đồ thị   C  và   d   
+ Dựa vào đồ thị biện luận (có 5 trường hợp ), thường dựa vào  yCD và  yCT  của hàm số để biện luận. 
5. Bài toán 5: Tìm tham số m để hàm số y  f  x  có cực trị (cực đại, cực tiểu). 
Cách giải :
+ Tính đạo hàm  y / , tính    hoặc   /  của  y / . 

Tài liệu ôn thi THPT Quốc gia 

 

Trang 14


GV: Vũ Viết Tiệp

Trung tâm GDNN-GDTX Lương Tài

a  0
 m    
+ Để hàm số có cực đại , cực tiểu thì phương trình y /  0  có hai nghiệm phân biệt  
  0
6. Bài toán 6: Tìm tham số m để hàm số y  f  x  đạt cực trị tại x  x0 .
Cách giải :
+ Tính đạo hàm  y /  f /  x 
+ Hàm số đạt cực trị tại  x  x0  f /  x0   m
7. Bài toán 7: Tìm tham số m để hàm số y  f  x  đạt cực đại tại x  x0 .
Cách giải:
+ Tính đạo hàm  y /  f / x   ;  
+ Tính đạo hàm  y / /  f / /  x  ;  

 f   x0   0
 m 
+ Hàm số đạt cực đại  tại  x  x0  
 f   x0   0
8. Bài toán 8: Tìm tham số m để hàm số y  f  x  đạt cực tiểu tại x  x0 . 
Cách giải :
+ Tính đạo hàm  y /  f /  x   
+ Tính đạo hàm  y / /  f / /  x 

 f   x0   0
 m 
+ Hàm số đạt cực tiểu  tại  x  x0  
 f   x0   0
9. Bài toán 9: Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực đại, cực tiểu của hàm số y  f  x  .
Cách giải 1 :
+ Tìm điểm cực đại A x A ; y A  và điểm cực tiểu B  xB ; yB  của hàm số y  f x 
+ Viết phương trình đường thẳng AB :

x  xA
y  yA
 

xB  x A yB  y A

Cách giải 2: Cho hàm số bậc ba y  f x    
    +  Tính  y’.  Viết  lại  y  y '.g  x   h  x  .  Gọi  x1 , x2   lần  lượt  là  hai  điểm  cực  trị,  ta  có 

y '  x1   0;  y '  x2   0 .  
    + Khi đó, đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là  y  h  x  . 
Cho hàm số hữu tỷ  y 

f  x
g  x

 , đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là  y 

f ' x
g ' x

.

10. Bài toán 10: Biến đổi đồ thị.
Cho hàm số  y  f  x   có đồ thị   C  . Khi đó, với số  a  0  ta có: 
a x 1
 lên trên  a  đơn vị. 
xb
- Hàm số  y  f  x   a  có đồ thị   C    là tịnh tiến   C   theo phương của  y  a  2   xuống dưới  a  đơn vị. 

- Hàm số  y  f  x   a có đồ thị   C    là tịnh tiến   C   theo phương của  y 

- Hàm số  y  f  x  a   có đồ thị   C    là tịnh tiến   C   theo phương của  a, b, c  qua trái  a  đơn vị. 
-  Hàm  số  y  f  x  a    có  đồ  thị   C     là  tịnh  tiến   C    theo  phương  của  a  2, b  1, c  1;   qua 
phải  a  đơn vị. 
- Hàm số  y   f  x   có đồ thị   C    là đối xứng của   C   qua trục  a  2, b  2, c  1; . 
Tài liệu ôn thi THPT Quốc gia 

 

Trang 15


GV: Vũ Viết Tiệp

Trung tâm GDNN-GDTX Lương Tài

- Hàm số  y  f   x   có đồ thị   C    là đối xứng của   C   qua trục  x  1 . 

 f  x  khi
Hàm số  y  f  x   
 f   x  khi

x0
 có đồ thị   C    bằng cách: 
x0

 Giữ nguyên phần đồ thị   C   nằm bên phải trục   0;1  và bỏ phần   C   nằm bên trái  y 

a x 1
. 
xb

 Lấy đối xứng phần đồ thị   C   nằm bên phải trục  x  b  qua  y  a . 
y

(C )

(C1 )

(C 2 )

y

(C )

y

(C 2 )

(C )

(C 3 )

(C1 )

x

O

(C )

x

O

x

O

(C )

(C )
(C 3 )

( C 1 ) : y1  f ( x )

(C 2 ) : y2  f

x

(C 3 ) : y3  f ( x )

 

 
CHƯƠNG 2. HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ, HÀM SỐ LOGARIT
 
I. LŨY THỪA
1. Định nghĩa luỹ thừa

Số mũ 

Cơ số a

Luỹ thừa a

  n  N*
 0

aR

a  a n  a.a......a (n thừa số a)

a0

  n ( n  N * )  

a  0 

a  a 0  1
1
a  a  n  n  
a



m
(m  Z , n  N * )  
n

  lim rn (rn  Q, n  N * )  

m

a 0 

a  a n  n a m ( n a  b  b n  a )  

a 0 

a  lim a rn  

2. Tính chất của luỹ thừa 
 Với mọi a > 0, b > 0 ta có:  




a .a  a

 

;

a
 a  

a



 

; (a )  a

 .







; (ab)  a .b

a
a
;      
b
b

 a > 1 :  a  a      ;   0 < a < 1 :  a  a       
a m  bm  m  0  
 Với 0 < a < b ta có:  a m  b m  m  0 ; 
Chú ý:
+ Khi xét luỹ thừa với số mũ 0 và số mũ nguyên âm thì cơ số a phải khác 0.
+ Khi xét luỹ thừa với số mũ không nguyên thì cơ số a phải dương.
3. Định nghĩa và tính chất của căn thức
 Căn bậc n của a là số b sao cho  b n  a . 
 Với a, b  0, m, n  N*, p, q  Z ta có: 

n

NÕu

n

n

ab  a . b ; 

p q
 thì
n m

n

n

a na

(b  0) ; 
b nb

n

p

a p   n a  (a  0) ;   m n a  mn a  

a p  m a q (a  0) ; Đặc biệt  n a  mn a m  

 Nếu n là số nguyên dương lẻ và a < b thì  n a  n b . 
 Nếu n là số nguyên dương chẵn và 0 < a < b thì  n a  n b . 
Tài liệu ôn thi THPT Quốc gia 

 

Trang 16


GV: V Vit Tip

Trung tõm GDNN-GDTX Lng Ti

Chỳ ý:
+ Khi n l, mi s thc a ch cú mt cn bc n. Kớ hiu n a .
+ Khi n chn, mi s thc dng a cú ỳng hai cn bc n l hai s i nhau.
II. HM S LY THA
1. Khỏi nim
a) Hm s lu tha y x (lhngs)
Hm s y x

S m

Tp xỏc nh D

=n(nnguyờndng)

y xn

D=

=n(nnguyờnõmhocn=0)

y xn

D= \{0}

lsthckhụngnguyờn

y x

D=(0;+)



Chỳ ý: Hm s y

1
xn

khụng ng nht vi hm s y n x ( n N *) .

2. o hm

x x 1 ( x 0) ;

Chỳ ý:

n x

1
n

n x

n 1

u u 1.u
vụựi x 0 neỏu n chaỹn
vụựi x 0 neỏu n leỷ .



n u

u
n

n u

n 1

III. LOGARIT
1. nh ngha
Via>0,a1,b>0tacú: log a b a b
a 0, a 1
Chỳ ý: log a b cú ngha khi
b 0
Logaritthpphõn: lg b log b log10 b
n

Logarittnhiờn(logaritNepe):
2. Tớnh cht
log a 1 0 ; log a a 1 ;

1
ln b log e b (vi e lim 1 2, 718281 )
n

log a a b b ;

Choa>0,a1,b,c>0.Khiú:
+Nua>1thỡ log a b log a c b c

a log a b b (b 0)
+Nu0


3. Cỏc quy tc tớnh logarit
Via>0,a1,b,c>0,tacú:

log a (bc) log a b log a c

b
log a log a b log a c
c

4. i c s
Via,b,c>0va,b1,tacú:

log a c
log b c
hay log a b.logb c log a c
log a b

log a b

1

logb a

log a b log a b

log a c

1



log a c ( 0)

IV. HM S M, HM S LễGARIT
1. Hm s m y a x (a>0,a1).
Tpxỏcnh: D=
Tpgiỏtr:
T=(0;+)
Khia>1hmsngbin,khi0Ti liu ụn thi THPT Quc gia



Trang 17


GV: Vũ Viết Tiệp

Trung tâm GDNN-GDTX Lương Tài

   Nhận trục hoành làm tiệm cận ngang 
   Đồ thị: 
y

 y=ax 

1

1

x

x

 a>1 

 
2. Hàm số logarit  y  log a x  (a > 0, a  1) 
 
 
 
 
 

y

 y=ax 

 

 0
 

 

 Tập xác định:  D = (0; +) 
 Tập giá trị: 
T =    
 Khi a > 1 hàm số đồng biến, khi 0 < a < 1 hàm số nghịch biến 
 Nhận trục tung làm tiệm cận đứng 
 Đồ thị: 

y
y

O

 y=logax 

y=logax 

1

x

1

x

O

0
a>1 

 

  

 

3. Giới hạn đặc biệt 

x

1
x

 1
    lim(1  x)  lim 1    e    
x 0
x  
x
4. Đạo hàm  
     a x   a x ln a ;   a u   a u ln a.u  

ln(1  x)
 1 
x 0
x

  lim

 

 

ex 1
 1 
x 0
x

 

  lim

 e x   e x ; 

 eu   eu .u  

 
1
; 
 log a u   u    
x ln a
u ln a
V. PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ

     log a x  

x

u

b  0
ax  b  
  
 x  log a b

1. Phương trình mũ cơ bản: Với a > 0, a  1:  
2. Một số phương pháp giải phương trình mũ 
a) Đưa về cùng cơ số: 
Với a > 0, a  1:  

a f ( x )  a g ( x )  f ( x )  g ( x)    

  Chú ý: Trong trường hợp cơ số có chứa ẩn số thì:
b) Logarit hoá: 

 ln x   1  (x > 0);   ln u   u    

a M  a N  (a  1)( M  N )  0

a f ( x )  b g ( x )  f ( x)   log a b  .g ( x)  

c) Đặt ẩn phụ: 
 

t  a f ( x ) , t  0
 Dạng 1:   P(a f ( x ) )  0    
, trong đó P(t) là đa thức theo t. 
 P(t )  0

 

 Dạng 2:   a 2 f ( x )   (ab) f ( x )   b 2 f ( x )  0

Tài liệu ôn thi THPT Quốc gia 

 

Trang 18

GV: Vũ Viết Tiệp

Trung tâm GDNN-GDTX Lương Tài

a
   Chia 2 vế cho b 2 f ( x ) , rồi đặt ẩn phụ  t   
b
 

f ( x)

 

 Dạng 3:  a f (x )  b f ( x )  m , với  ab  1 . Đặt  t  a f ( x )  b f ( x ) 

1
t

d) Sử dụng tính đơn điệu của hàm số 
  Xét phương trình:  f(x) = g(x) 
(1)
   Đốn nhận x0 là một nghiệm của (1). 
   Dựa vào tính đồng biến, nghịch biến của f(x) và g(x) để kết luận x0 là nghiệm duy nhất: 
 f (x) đồng biến và g(x) nghòch biến (hoặc đồng biến nhưng nghiêm ngặt).
 

 f (x) đơn điệu và g(x)  c hằng số
   Nếu f(x) đồng biến (hoặc nghịch biến) thì  f (u)  f (v)  u  v  

 

e) Đưa về phương trình các phương trình đặc biệt
A  0
A  0
   Phương trình tích A.B = 0   
   Phương trình A 2  B2  0  
 
B  0
B  0
f) Phương pháp đối lập 
  Xét phương trình:  f(x) = g(x) 
(1)
f (x)  M
  Nếu ta chứng minh được:  
 
g(x)  M

f (x)  M
(1)   
  
g(x)  M
VI. PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT
1. Phương trình logarit cơ bản: Với a > 0, a  1:  log a x  b  x  a b    
thì  

2. Một số phương pháp giải phương trình logarit 
a) Đưa về cùng cơ số 
f (x)  g(x)
  Với a > 0, a  1:   log a f (x)  log a g(x)  

  
f (x)  0 (hoặc g(x)  0)
b) Mũ hố
  Với a > 0, a  1: 

log a f (x)  b  a loga f (x)  a b  

c) Đặt ẩn phụ
d) Sử dụng tính đơn điệu của hàm số 
e) Đưa về phương trình đặc biệt  
f) Phương pháp đối lập 
  Chú ý:
 Khi giải phương trình logarit cần chú ý điều kiện để biểu thức có nghĩa.

 Với a, b, c > 0 và a, b, c  1:

a log b c  c log b a

 
CHƯƠNG 3. NGUN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
 
I. NGUN HÀM
1. Ngun hàm
Định nghĩa: Cho hàm số  f  x   xác định trên  K  ( K  là khoảng, đoạn hay nửa khoảng). Hàm 
số  F  x   được gọi là ngun hàm của hàm số  f  x   trên  K  nếu  F '  x   f  x   với mọi  x  K . 
Định lí:
1) Nếu  F  x   là một ngun hàm của hàm số  f  x   trên  K  thì với mỗi hằng số  C , hàm số 

G  x   F  x   C  cũng là một ngun hàm của  f  x   trên  K . 
Tài liệu ơn thi THPT Quốc gia 

 

Trang 19


GV: Vũ Viết Tiệp

Trung tâm GDNN-GDTX Lương Tài

2) Nếu  F  x   là một  nguyên  hàm của hàm số  f  x   trên  K  thì  mọi  nguyên hàm của  f  x   
trên  K  đều có dạng  F  x   C , với  C  là một hằng số. 
Do  đó  F  x   C , C     là  họ  tất  cả  các  nguyên  hàm  của  f  x    trên  K .  Ký  hiệu 

 f  x  dx  F  x   C . 
2. Tính chất của nguyên hàm

 Tính chất 1:

  f  x  dx   f  x   và   f '  x  dx  f  x   C

 Tính chất 2:  kf  x  dx  k  f  x  dx  với  k  là hằng số khác  0 .
 Tính chất 3:   f  x   g  x   dx   f  x  dx   g  x  dx
3. Sự tồn tại của nguyên hàm
Định lí: Mọi hàm số  f  x   liên tục trên  K  đều có nguyên hàm trên  K . 
4. Bảng nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp
Nguyên hàm của hàm số hợp  u  u  x  

Nguyên hàm của hàm số sơ cấp

 dx  x  C   

 du  u  C   

x 1
 x dx    1  C   1   
1
 x dx  ln x  C   


x

 e dx  e
x
 a dx 

x

u



du 

1  1
u  C   1   
 1

1

 u du  ln u  C   
u

 C   

 e du  e

ax
 C  a  0, a  1   
ln a

u
 a du 

u

 C   

au
 C  a  0, a  1   
ln a

 sin xdx   cos x  C   

 sin udu   cos u  C   

 cos xdx  sin x  C   

 cos udu  sin u  C   

1

 cos

2

x

1

 sin

2

x

1

dx  tan x  C   

 cos

dx   cot x  C   

 sin

2

u

1
2

u

du  tan u  C   
du   cot u  C   

Chú ý:
1

 1

1  ax  b 
  ax  b  dx  a   1
1 ax b
ax  b
 e dx  a e  C


1

x

n

dx  

1
C

 n  1 x n1

1

 cos  ax  b  dx  a sin  ax  b   C

1

1

 sin  ax  b  dx   a cot  ax  b   C

 sin  ax  b  dx   a cos  ax  b   C
1

1

 ax  b dx  a ln ax  b  C

 C   1

1

 cos  ax  b  dx  a tan  ax  b   C
2

Tài liệu ôn thi THPT Quốc gia 

1

2

 

Trang 20


GV: Vũ Viết Tiệp

Trung tâm GDNN-GDTX Lương Tài

5. Phương pháp tính nguyên hàm
a. Phương pháp đổi biến số
Định lí 1:  Nếu   f  u  du  F  u   C   và  u  u  x    là  hàm  số  có  đạo  hàm  liên  tục  thì 

 f  u  x   u '  x  dx  F  u  x    C . 
Hệ quả: Nếu  u  ax  b  a  0   thì ta có  f  ax  b  dx 

1
F  ax  b   C  
a

b. Phương pháp nguyên hàm từng phần
Định lí 2: Nếu  hai  hàm  số  u  u  x    và  v  v  x    có  đạo  hàm  liên  tục  trên  K  
thì  u  x  v '  x  dx .   u  x  v  x    u '  x  v  x  dx Hay  udv  uv   vdu  
II. TÍCH PHÂN
1. Định nghĩa  
Cho  f  là hàm số liên tục trên đoạn  [a; b].  Giả sử  F  là một nguyên hàm của  f trên  [a; b].   
Hiệu số  F (b)  F (a )  được gọi là tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định trên đoạn  [a; b] ) 
b

của hàm số  f ( x), kí hiệu là   f ( x)dx.  
a

b

Ta dùng kí hiệu  F ( x) a  F (b)  F (a )  để chỉ hiệu số  F (b)  F (a ) .  
b
b

Vậy   f ( x)dx  F ( x) a  F (b)  F (a) . 
a

Trong đó: 
 a là cận trên, b là cận dưới  
 dx gọi là vi phân của đối số 

 f(x) gọi là hàm số dưới dấu tích phân 
 f(x)dx gọi là biểu thức dưới dấu tích phân 

 
 

b

b

Nhận xét: Tích phân của hàm số  f  từ a đến b có thể kí hiệu bởi   f ( x)dx  hay   f (t )dt.  Tích 
a

a

phân đó chỉ phụ thuộc vào f và các cận a, b mà không phụ thuộc vào cách ghi biến số.
 
Ý nghĩa hình học của tích phân: Nếu hàm số  f  liên tục và không âm trên đoạn  [a; b]  thì tích 
b

phân   f ( x)dx là diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số  y  f ( x) , trục Ox và hai 
a

b

đường thẳng  x  a, x  b.  Vậy  S   f ( x)dx.  
a

2. Tính chất của tích phân 
a

b

1.   f ( x)dx  0  

 

 

 

 

 

a
b

a

c

c

b

 

a

b

 

b

b

3.   f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx ( a  b  c  ) 
a
b

a

2.   f ( x)dx    f ( x)dx  
b

4.   k . f ( x)dx  k . f ( x)dx  (k  )  
a

a

b

5.   [ f ( x)  g ( x)]dx   f ( x)dx   g ( x)dx . 
a

a

a

b

b

6. Tích phân không phụ thuộc vào biến:   f  x  dx   f  t  dt   
a

a

a

7. Nếu f(x) là hàm số chẵn và liên tục trên đoạn   a; a   thì  I 



a

a

f  x  dx  2 f  x  dx   
0

a

8. Nếu f(x) là hàm số lẻ và liên tục trên đoạn   a; a   thì  I 

 f  x  dx  0   

a

3. Một số phương pháp tính tích phân
Tài liệu ôn thi THPT Quốc gia 

 

Trang 21


GV: Vũ Viết Tiệp

Trung tâm GDNN-GDTX Lương Tài

a. Dạng 1: Phương pháp đổi biến số
*Đổi biến số dạng 1: Cho hàm số  f  liên tục trên đoạn  [a; b]. Giả sử hàm số  u  u ( x)  có đạo 
hàm liên tục trên đoạn  [a; b]  và    u ( x)   .  Giả sử có thể viết  f ( x)  g (u ( x))u '( x), x  [a;b],  với  g  
u (b )

b

liên tục trên đoạn  [ ;  ].  Khi đó, ta có  I   f ( x)dx 
a

 

Dấu hiệu

1  Có 

f ( x)  

t

2  Có  (ax  b) n  



g (u )du.

u(a)

Dấu hiệu nhận biết và cách tính tính phân
Có thể đặt

Ví dụ
3
3 x dx
I 
. Đặt  t  x  1  
f ( x)  
0
x 1
1

I   x( x  1) 2016 dx . Đặt  t  x  1  

t  ax  b  

0



e tan x 3
dx . Đặt  t  tan x  3  
0 cos 2 x
e
ln xdx
. Đặt  t  ln x  1  
t  ln x  hoặc biểu thức chứa  ln x   I  1
x(ln x  1)
t  f ( x)  

I  4

5  Có  e x dx  

t  e x  hoặc biểu thức chứa  e x  

I 

6  Có  sin xdx  

t  cos x  

3  Có  a f ( x )  
4  Có 

dx
và ln x  
x

ln 2

0

e 2 x 3e x  1dx . Đặt  t  3e x  1  



I   2 sin 3 x cos xdx . Đặt  t  sin x  
0

7  Có  cos xdx  

sin 3 x
dx  Đặt  t  2 cos x  1  
0 2 cos x  1


1
1
4
I 
dx   4 (1  tan 2 x)
dx  
0 cos 4 x
0
cos 2 x
 Đặt  t  tan x  

ecot x
ecot x
4
I  
dx  
dx . Đặt 
2sin 2 x
6 1  cos 2 x
t  cot x  

t  sin xdx  

8  Có 

dx
 
cos 2 x

t  tan x  

9  Có 

dx
 
sin 2 x

t  cot x  

I 



*Đổi biến số dạng 2: Cho hàm số  f  liên tục và có đạo hàm trên đoạn  [a; b].  Giả sử hàm số 
x   (t)  có đạo hàm và liên tục trên đoạn  [ ;  ](*)  sao cho   ( )  a,  (  )  b  và  a   (t )  b  với mọi 
b



t  [ ;  ].  Khi đó:   f ( x)dx   f ( (t )) '(t )dt.
a



Một số phương pháp đổi biến: Nếu biểu thức dưới dấu tích phân có dạng

|a|
  
  
+  a 2  x 2 : đặt  x | a | sin t ; t    ;     
 
+  x 
; t    ;  \ {0}  
sin t
 2 2
 2 2
ax
ax
  
+  x 2  a 2 :  x | a | tan t ; t    ;   
 
 
+ 
hoặc 
: đặt  x  a.cos 2t  
ax
ax
 2 2
Lưu ý: Chỉ nên sử dụng phép đặt này khi các dấu hiệu 1, 2, 3 đi với x mũ chẵn. Ví dụ, để tính tích 
3

phân  I 

x 2 dx



x2  1

0

 thì phải đổi biến dạng 2 còn với tích phân  I  

0

3

x3 dx
x2  1

 thì nên đổi biến dạng 1. 

b. Dạng 2: Phương pháp tính tích phân từng phần
 
Định lí : Nếu  u  u ( x)  và  v  v( x)  là hai hàm số có đạo hàm và liên tục trên đoạn  [a; b]  thì  
b

 u( x)v '( x)dx   u( x)v( x) 
a

b
a

b

b

b
b
a

  u '( x)v( x)dx , hay viết gọn là   udv  uv |   vdu .  
a

a

a

b

Các dạng cơ bản: Giả sử cần tính  I   P( x).Q( x)dx  
a

Tài liệu ôn thi THPT Quốc gia 

 

Trang 22


GV: Vũ Viết Tiệp

Dạng
hàm

Trung tâm GDNN-GDTX Lương Tài

P(x): Đa thức
Q(x): sin  kx  hay

cos  kx 

Cách
đặt

*  u  P( x)   
*  dv  là  Phần  còn  lại 
của  biểu  thức  dưới 
dấu tích phân 

P(x): Đa thức
1
1
Q(x): 2 hay
sin x
cos 2 x

P(x): Đa thức
Q(x): ln  ax  b 

P(x): Đa thức
Q(x): ekx

*  u  P( x)  
* dv là Phần còn lại  *  u  ln  ax  b    
của  biểu  thức  dưới  *  dv   P  x  dx   

dấu tích phân 

*  u  P( x)  
*  dv là  Phần  còn  lại  của 
biểu  thức  dưới  dấu  tích 
phân 

Thông thường nên chú ý: “Nhất log, nhì đa, tam lượng, tứ mũ”.
III. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
1. Diện tích hình phẳng
a.  Diện  tích  hình  phẳng  giới  hạn  bởi  đồ  thị  hàm  số  y  f ( x)   liên  tục  trên  đoạn   a; b ,  trục 
b

hoành (Ox) và hai đường thẳng  x  a ,  x  b  được xác định:  S   f ( x) dx  
a

y

y  f ( x)

O a c1

y  f ( x)

y  0
(H ) 
x  a
 x  b

c3 b x

c2

b

S   f ( x ) dx
a

 
 
b. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số  y  f ( x) ,  y  g ( x)  liên tục trên đoạn   a; b  
b

và hai đường thẳng  x  a ,  x  b  được xác định:  S   f ( x)  g ( x) dx  
a

y

(C1 ) : y  f1 ( x )

(C ) : y  f2 ( x )
(H )  2
x  a
x  b


(C1 )
(C 2 )

b

O

c2

a c1

S   f1 ( x )  f 2 ( x ) dx

x

b

a

 
Chú ý:
- Nếu phương trình f(x) = 0 vô nghiệm trên (a; b) hay hàm số  f ( x)  không đổi dấu thì: 
b



b

f ( x) dx 

a

 f ( x)dx  
a

- Nếu phương trình f(x) = 0 có 1 nghiệm  c   a; b   thì: 
b

c

S   f ( x) dx 
a

b

 f  x  dx   f  x  dx  
a

c

- Nắm vững cách tính tích phân của hàm số có chứa giá trị tuyệt đối 
-  Diện  tích  của  hình  phẳng  giới  hạn  bởi  các  đường  x  g ( y ) ,  x  h( y )   và  hai  đường  thẳng 
d

y  c ,  y  d  được xác định:  S   g ( y )  h( y ) dy  
c

Tài liệu ôn thi THPT Quốc gia 

 

Trang 23

GV: Vũ Viết Tiệp

Trung tâm GDNN-GDTX Lương Tài

2. Thể tích vật thể và thể tích khối tròn xoay
a. Thể tích vật thể:
Gọi  B  là phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các điểm a và b; 
S ( x)   là  diện  tích  thiết  diện  của  vật  thể  bị  cắt  bởi  mặt  phẳng  vuông  góc  với  trục  Ox  tại  điểm  x , 
(a  x  b) . Giả sử  S ( x)  là hàm số liên tục trên đoạn  [a; b] . 
(V )
O

b

x

a

b

V

x



 S ( x )dx
a

S(x)

 

b

Khi đó, thể tích của vật thể B được xác định:  V   S ( x)dx  
a

b. Thể tích khối tròn xoay:
Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng  giới hạn bởi các đường  y  f ( x) , 
trục hoành và hai đường thẳng  x  a ,  x  b  quanh trục Ox:  
y

y  f (x)

O

a

(C ) : y  f ( x )

b
2
(Ox ) : y  0
V



x
a  f ( x ) dx

x x  a
 x  b

b

 
Chú ý:
- Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường  x  g ( y ) , 
trục hoành và hai đường thẳng  y  c ,  y  d  quanh trục Oy:  
y
d

c
O

(C ) : x  g( y )

(Oy ) : x  0

y  c
 y  d

x

d
2

V y     g ( y ) dy
c

 
- Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường  y  f ( x) , 
y  g ( x)  và hai đường thẳng  x  a ,  x  b  quanh trục Ox: 
b

V    f 2 ( x)  g 2 ( x) dx  
a

Lưu ý: Diện tích hình phẳng hay thể tích vật thể tròn xoay đều là những giá trị dương.
CHƯƠNG 4. SỐ PHỨC
1. Khái niệm số phức 
 Tập hợp số phức:     
  Số phức (dạng đại số):  z  a  bi  (a, b   , a là phần thực, b là phần ảo, i là đơn vị ảo, i2 = –1) 
 z là số thực    phần ảo của z bằng 0 (b = 0) 
z là thuần ảo  phần thực của z bằng 0 (a = 0) 
Số 0 vừa là số thực vừa là số ảo. 
Tài liệu ôn thi THPT Quốc gia 

 

Trang 24


GV: Vũ Viết Tiệp

Trung tâm GDNN-GDTX Lương Tài

2. Hai số phức bằng nhau:
Cho hai số phức z  a  bi; z '  a ' b ' i  a, b, a ', b '    . Khi đó:   
a  a '

z  z '  a  bi  a ' b ' i  
 
b  b '
3. Biểu diễn hình học:  

  Số  phức  z  =  a  +  bi  (a,  b  )   được  biểu  diễn  bởi  điểm  M(a;  b)  hay  bởi  u  (a; b) trong 
mp(Oxy) (mp phức).     
Gốc tọa độ O biểu diễn số 0 
Các điểm trên trục hoành Ox biểu diễn các số thực, nên trục Ox còn gọi là trục thực. 
Các điểm trên trục tung Oy biểu diễn các số thuần ảo, nên trục Oy còn gọi là trục ảo.                   

 
4. Môđun của số phức:  
 Mô đun của số phức z = a + bi   a, b     được kí hiệu là  z   

z  a  bi  a 2  b 2  
Chú ý:


  z  zz  OM

  z.z '  z . z '  

  z  0, z  C , z  0  z  0
 

 

 

 

z
z

 
z'
z'

 

  z  z '  z  z '  z  z '  

5. Số phức liên hợp:
 Số phức liên hợp của số phức z = a + bi là  z  a  bi  
Chú ý:
Trong mặt phẳng tọa độ, các điểm biểu diễn z và  z  đối xứng với nhau qua trục Ox. 

z  z
  z  z ; z  z '  z  z ' ; z.z '  z.z ';  1   1 ;  z.z  a 2  b 2  
 z2  z2
  z là số thực   z  z  ;    z là số ảo   z   z  
6. Cộng và trừ số phức:  
   a  bi    c  di    a  c    b  d  i           
   a  bi    c  di    a  c    b  d  i  
 Số đối của z = a + bi là –z = –a – bi   


 
 

  u  biểu diễn z,  u '  biểu diễn z' thì  u  u ' biểu diễn z + z’  và  u  u '  biểu diễn z – z’. 
7. Nhân hai số phức: 
   a  bi  c  di     ac – bd    ad   bc  i    
  k (a  bi )  ka  kbi (k  )  
Chú ý: Các giá trị lũy thừa của i:  i 2  1   
i 3  i 2 .i  i     

Tổng quát:  i 4 k  1   

 

2

2

i 4   i 2    1  1   
i 4 k 1  i  

  i 4 k  2  1   

 

i 4 k 3  i    k      

7. Chia hai số phức: 
1
 Số phức nghịch đảo của z là số phức    
z

Tài liệu ôn thi THPT Quốc gia 

 

Trang 25