PHƯƠNG PHÁP XÂY DỰNG ĐỒ THỊ HÀM SỐ TRONG CHƯƠNG TRÌNH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

—————

TỐNG THIÊN LONG

PHƯƠNG PHÁP XÂY DỰNG ĐỒ THỊ HÀM SỐ
TRONG CHƯƠNG TRÌNH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Đà Nẵng - Năm 2014


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

—————

TỐNG THIÊN LONG

PHƯƠNG PHÁP XÂY DỰNG ĐỒ THỊ HÀM SỐ
TRONG CHƯƠNG TRÌNH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp
Mã số: 60 46 0113

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Người hướng dẫn khoa học :

TS. LÊ HẢI TRUNG

Đà Nẵng - 2014


LỜI CAM ĐOAN
Tôi cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi.
Các số liệu kết quả nêu trong luận văn là trung thực và chưa từng được
ai công bố trong bất kỳ công trình nào khác.

Tác giả

Tống Thiên Long


MỤC LỤC

MỞ ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1. Tính cấp thiết của đề tài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

2. Mục tiêu nghiên cứu của đề tài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

4. Phương pháp nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

5. Bố cục đề tài. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

6. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

Chương 1. KIẾN THỨC CƠ SỞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.

1.2.

1.3.

KHÁI NIỆM HÀM SỐ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.1. Các tập hợp số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.2. Ánh xạ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.1.3. Hàm số một biến thực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

HỆ TỌA ĐỘ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.2.1. Hệ tọa độ Descartes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.2.2. Hệ tọa độ cực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

KHÁI NIỆM ĐỒ THỊ HÀM SỐ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

Chương 2. XÂY DỰNG ĐỒ THỊ CỦA MỘT SỐ HÀM SỐ TRONG
CHƯƠNG TRÌNH THPT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.

16

XÂY DỰNG ĐỒ THỊ HÀM SỐ CỦA CÁC HÀM ĐA THỨC CƠ BẢN
16
2.1.1. Hàm đa thức bậc nhất. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

2.1.2. Hàm đa thức bậc hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

2.1.3. Hàm đa thức bậc ba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18


2.2.

2.1.4. Hàm trùng phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

XÂY DỰNG ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ HỮU TỶ. . . . . . . . . . . . . . . . .

26

2.2.1. Hàm số hữu tỷ bậc nhất trên bậc nhất. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

2.2.2. Hàm số hữu tỷ bậc hai trên bậc nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

Pn (x)
, Qm (x) = 0 . . . . . . . . . . . . .
Qm (x)

30

2.2.3. Đồ thị hàm phân thức y =
2.3.

XÂY DỰNG ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT .
33

2.4.

2.5.

2.3.1. Hàm số mũ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

2.3.2. Hàm số Logarit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

XÂY DỰNG ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN .

36

2.4.1. Đồ thị hàm số y = sin x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

2.4.2. Đồ thị hàm số y = cos x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

2.4.3. Đồ thị hàm số y = tan x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

2.4.4. Đồ thị hàm số y = cot x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

XÂY DỰNG ĐỒ THỊ CỦA HÀM GIẢI TÍCH CÓ CHỨA DẤU TRỊ
TUYỆT ĐỐI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

2.5.1. Đồ thị hàm số y = |f (x)| . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

2.5.2. Đồ thị hàm số y = f (|x|) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41

2.5.3. Đồ thị hàm số y = |f (|x|)| . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

42

2.5.4. Đường biểu diễn đường cong |y| = f (x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43

2.6.

XÂY DỰNG ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ NGƯỢC . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

2.7.

XÂY DỰNG ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ PHỨC TẠP . . . . . . . . . . . . . .

46

2.7.1. Đồ thị hàm số y = f (x) ± g(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

46

2.7.2. Đồ thị hàm số y = f (x).g(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

49

f (x)
, g(x) = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
g(x)

51

2.7.3. Đồ thị hàm số y =


2.8.

2.9.

CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI ĐỒ THỊ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

54

2.8.1. Đồ thị hàm số y = −f (x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

54

2.8.2. Đồ thị hàm số y = f (−x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

55

2.8.3. Đồ thị hàm số y = −f (−x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

55

2.8.4. Đồ thị hàm số y = f (x) + b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

56

2.8.5. Đồ thị hàm số y = f (x + a) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

57

2.8.6. Đồ thị hàm số y = f (x + a) + b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

58

2.8.7. Đồ thị hàm số y = p.f (x), p > 0, p = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

59

2.8.8. Đồ thị hàm số y = f (kx), k > 0, k = 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

61

BÀI TẬP ÁP DỤNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

62

Chương 3. ỨNG DỤNG PHẦN MỀM GEOMETER’S SKETCHPAD (GSP) TRONG VIỆC XÂY DỰNG ĐỒ THỊ HÀM
SỐ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.

3.2.

75

GIỚI THIỆU SƠ LƯỢC PHẦN MỀM GEOMETER’S SKETCHPAD
(GSP) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

75

3.1.1. Giao diện phần mềm GSP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

76

3.1.2. Các công cụ cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

76

3.1.3. Menu chính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

78

ĐỒ THỊ TRONG PHẦN MỀM GEOMETER’S SKETCHPAD (GSP)
79

3.3.

3.2.1. Hệ trục tọa độ trong GSP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

79

3.2.2. Vẽ đồ thị hàm số trong GSP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

80

3.2.3. Đạo hàm và tiếp tuyến đường cong trong GSP . . . . . . . . . . . . .

82

ỨNG DỤNG BIỂU DIỄN ĐỒ THỊ HÀM SỐ TRONG PHẦN MỀM
GEOMETER’S SKETCHPAD (GSP) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

85
97


TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN (BẢN SAO)

98


1

MỞ ĐẦU

1. Tính cấp thiết của đề tài
Trong chương trình Toán ở cấp Trung học phổ thông(THPT), các bài
toán xây dựng đồ thị của một hàm số luôn là một chủ đề thú vị và hấp
dẫn. Ngoài phương pháp kinh điển là dựa vào đạo hàm để từ đó xây dựng
được đồ thị của hàm số, thì ta còn có thể xây dựng được đồ thị của chúng
thông qua các tính chất cơ bản và đặc thù của hàm số nhằm tạo một nét

mới, và cũng là giới thiệu thêm một phương pháp xây dựng đồ thị của
hàm số, để giúp cho giáo viên và học sinh ở cấp THPT có thêm một cách
nhìn nhận và lựa chọn trong việc tiếp cận với việc xây dựng đồ thị cho
hàm số. Được sự gợi ý của giáo viên hướng dẫn, thầy giáo – TS. Lê Hải
Trung, tôi đã chọn đề tài “ Phương pháp xây dựng đồ thị hàm số
trong chương trình Trung học phổ thông ” cho luận văn thạc sĩ của
mình.
2. Mục tiêu nghiên cứu
Mục tiêu của đề tài là nghiên cứu các tính chất của hàm số, để từ đó
xây dựng phương pháp vẽ đồ thị của chúng, đồng thời ứng dụng phần mềm
Geometer’s Sketchpad (GSP) để vẽ đồ thị.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Nghiên cứu các phương pháp xây dựng đồ thị các hàm số một biến cơ
bản và các hàm số phức tạp trong chương trình THPT.
4. Phương pháp nghiên cứu
Trong luận văn, các phương pháp sử dụng nằm trong các lĩnh vực sau
đây: Giải tích, Đại số,. . . .
5. Bố cục đề tài
Luận văn có cấu trúc như sau:
- Chương 1: Kiến thức cơ sở
- Chương 2: Xây dựng đồ thị của một số hàm số trong chương


2

trình Trung học phổ thông
- Chương 3: Ứng dụng phần mềm Geometer’s Sketchpad (GSP)
trong việc xây dựng đồ thị của hàm số
- Kết luận và Tài liệu tham khảo

3

CHƯƠNG 1

KIẾN THỨC CƠ SỞ

1.1. KHÁI NIỆM HÀM SỐ
1.1.1.

Các tập hợp số

Định nghĩa 1.1.1. Tập hợp số tự nhiên là tập hợp bao gồm các số

0, 1, 2, 3, 4, 5, .... Ký hiệu: N. Ta viết như sau:
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...} .
Định nghĩa 1.1.2. Tập hợp các số tự nhiên khác 0 (còn gọi là tập hợp
các số nguyên dương) được ký hiệu là N∗ . Ta viết như sau:
N∗ = {1, 2, 3, 4, 5, ...} .
Định nghĩa 1.1.3. Tập hợp các số nguyên là tập hợp bao gồm các số tự
nhiên và các số đối của các số tự nhiên khác 0. Ký hiệu: Z. Ta viết như
sau:
Z = {..., −5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...} .
Định nghĩa 1.1.4. Tập hợp số hữu tỉ là tập hợp các số có dạng

a
, trong
b

đó a, b là các số nguyên và b = 0. Ký hiệu: Q. Ta viết như sau:

a
Q=
; a, b ∈ Z; b = 0 .
b
Định lý 1.1.1. Mỗi số hữu tỉ đều có thể viết dưới dạng số thập phân hữu
hạn hoặc số thập phân vô hạn tuần hoàn.1
Định nghĩa 1.1.5. Tập hợp các số thực là tập hợp bao gồm các số hữu
tỉ và các số vô tỉ (số vô tỉ là số biểu diễn bởi số thập phân vô hạn không
tuần hoàn). Ký hiệu : R.
Quan hệ giữa các tập hợp số: N∗ ⊂ N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R.
1

Định lý 1.1.1 được trích dẫn từ tài liệu tham khảo [4].


4

1.1.2.

Ánh xạ

Định nghĩa 1.1.6. Cho hai tập hợp X, Y . Một ánh xạ f từ X đến Y là
một quy tắc cho ứng với mỗi x ∈ X một và chỉ một phần tử y ∈ Y , ký
hiệu là:

f : X −→ Y
x −→ y = f (x)
nghĩa là ∀x ∈ X : ∃!y ∈ Y, y = f (x).

X được gọi là tập nguồn, Y được gọi là tập đích, phần tử y = f (x) ∈ Y

là ảnh của phần tử x ∈ X .

Hình 1.1: Ánh xạ.

Định nghĩa 1.1.7. Ta nói: f : X −→ Y là một đơn ánh nếu hai phần tử
khác nhau bất kỳ của X đều có ảnh khác nhau, nghĩa là:

∀(x, x ∈ X : x = x )[f (x) = f (x )].

Hình 1.2: Đơn ánh.


5

Định nghĩa 1.1.8. Ánh xạ: f : X −→ Y là một toàn ánh nếu ảnh của

X là toàn bộ tập hợp Y . Khi đó, người ta cũng gọi f là ánh xạ từ X lên
Y , và viết là: f (X) = Y . Hay ∀(y ∈ Y )∃(x ∈ X)[f (x) = y].

Hình 1.3: Toàn ánh.

Định nghĩa 1.1.9. Song ánh là ánh xạ vừa là đơn ánh, vừa là toàn ánh.

Hình 1.4: Song ánh.

Định nghĩa 1.1.10. Cho các ánh xạ:

f : X −→ Y
x −→ y = f (x)
g : Y −→ Z

y −→ z = g(x)
F : X −→ Z
x −→ z = g(f (x))
thì F gọi là ánh xạ tích của hai ánh xạ f và g , ký hiệu là F = g ◦ f .


6

Định nghĩa 1.1.11. Cho ánh xạ f : X −→ Y , nếu có ánh xạ g : Y −→ X
sao cho

∀x ∈ X : (g ◦ f )(x) = x
∀y ∈ Y : (f ◦ g)(y) = y
thì g được gọi là ánh xạ ngược (hay nghịch đảo của f ). Kí hiệu là f −1 .
Định lý 1.1.2. Ánh xạ f có ánh xạ ngược khi và chỉ khi f là song ánh.2
1.1.3.

Hàm số một biến thực

Định nghĩa 1.1.12. Cho hai tập hợp số X và Y (X ⊂ R, Y ⊂ R). Một
ánh xạ f từ X đến Y là một hàm số f từ X đến Y , ký hiệu là:

f : X −→ Y
x −→ y = f (x).
Trong định nghĩa trên, x gọi là đối số, y = f (x) gọi là hàm số.
Định nghĩa 1.1.13. Tập xác định của hàm số y = f (x) là tập hợp tất cả
các số thực x sao cho biểu thức f (x) có nghĩa. Ký hiệu là X = Df .
Định nghĩa 1.1.14. Tập giá trị của hàm số là tập hợp các giá trị của hàm
số tại mọi điểm x ∈ X . Ký hiệu là E = {f (x)|x ∈ X} hoặc E = f (X).
Định nghĩa 1.1.15. Cho hàm số y = f (x) xác định trên khoảng (a; b).

• (y = f (x) − đồng biến trên (a; b))

∀(x1 , x2 ∈ (a; b) : (x2 >

x1 )[f (x2 ) > f (x1 )].
• (y = f (x) − nghịch biến trên (a; b))
x1 )[f (x2 ) < f (x1 )].
2

Định lý 1.1.2 được trích dẫn từ tài liệu tham khảo [4].

∀(x1 , x2 ∈ (a; b) : (x2 >


7

Nhận xét 1.1.1. Lập tỉ số

f (x2 ) − f (x1 )
với x1 , x2 ∈ (a; b) và x1 = x2 .
x2 − x1

• Nếu

f (x2 ) − f (x1 )
> 0 thì hàm số y = f (x) đồng biến trên (a; b).
x2 − x1

• Nếu

f (x2 ) − f (x1 )
< 0 thì hàm số y = f (x) nghịch biến trên (a; b).
x2 − x1

Chú ý 1.1.1. Ta thường biểu diễn sự biến thiên của hàm số dưới dạng
bảng gọi là bảng biến thiên của hàm số như sau:

Hình 1.5: Bảng biến thiên.

Định nghĩa 1.1.16. Cho hàm số y = f (x) xác định trên X .

• (y = f (x) − hàm chẵn trên X)
• (y = f (x) − hàm lẻ trên X)

∀(x, −x ∈ X)[f (−x) = f (x)].
∀(x, −x ∈ X)[f (−x) = −f (x)].

Định nghĩa 1.1.17. Hàm số f (x) gọi là tuần hoàn trên X nếu tồn tại

τ ∈ R∗+ , (R∗+ được ký hiệu là tập các số dương) sao cho ∀x ∈ X thì
x + τ ∈ X và f (x + τ ) = f (x).
Số T dương bé nhất trong các số τ gọi là chu kỳ của hàm số tuần hoàn

f (x).
Định nghĩa 1.1.18. Hàm số hợp:

y = f (u) có tập xác định D, u = g(x) có tập xác định D.
y = f [g(x)] là hàm hợp với tập xác định D, D = {x ∈ D|g(x) ∈ D} .

8

Định nghĩa 1.1.19. Giả sử hàm số y = f (x) đơn điệu tăng (giảm) trên

D và miền giá trị E . Hàm số ngược của f là:
f −1 : E −→ D
y −→ x = f −1 (y) ⇔ y = f (x),
ký hiệu là y = f −1 (x).
Định nghĩa 1.1.20. Giả sử hàm số f xác định trên tập hợp D và x0 ∈ D.
1. Điểm x0 được gọi là một điểm cực đại của hàm số f nếu tồn tại một
khoảng (a; b) chứa điểm x0 sao cho (a; b) ⊂ D và

f (x) < f (x0 ) với mọi x ∈ (a; b)\ {x0 }.
Khi đó f (x0 ) được gọi là giá trị cực đại của hàm số f .
2. Điểm x0 được gọi là một điểm cực tiểu của hàm số f nếu tồn tại một
khoảng (a; b) chứa điểm x0 sao cho (a; b) ⊂ D và

f (x) > f (x0 ) với mọi x ∈ (a; b)\ {x0 }.
Khi đó f (x0 ) được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số f .
Điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị.
Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là cực trị.
Định nghĩa 1.1.21. Giả sử hàm f xác định trên tập hợp D.
1. Nếu tồn tại một điểm x0 ∈ D sao cho

f (x) ≤ f (x0 ) với mọi x ∈ D
thì số M = f (x0 ) được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số f trên D, ký
hiệu là M = max f (x).
x∈D

9

2. Nếu tồn tại một điểm x0 ∈ D sao cho

f (x) ≥ f (x0 ) với mọi x ∈ D
thì số m = f (x0 ) được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số f trên D, ký
hiệu là m = min f (x).
x∈D

1.2. HỆ TỌA ĐỘ
1.2.1.

Hệ tọa độ Descartes

Hệ tọa độ Descartes là hệ trục gồm 2 trục tọa độ vuông góc x Ox và
→
− →
−
y Oy mà trên đó đã chọn 2 vectơ đơn vị i , j sao cho độ dài của 2 vectơ
này bằng nhau.
Gốc tọa độ là điểm O(0; 0). Trục x Ox gọi là trục hoành. Trục y Oy
gọi là trục tung.
Hệ tọa độ Descartes có bốn góc phần tư. Các mũi tên ở hai đầu mỗi
trục nhằm minh họa rằng các trục này trải dài vô tận theo hướng các mũi
tên.

Hình 1.6: Hệ tọa độ Descartes.

A. Phép tịnh tiến hệ tọa độ

Giả sử I là một điểm của mặt phẳng và (x0 ; y0 ) là tọa độ của điểm I
đối với hệ tọa độ Oxy . Gọi IXY là hệ tọa độ mới có gốc là điểm I và


10

→
− →
−
hai trục IX, IY theo thứ tự có cùng các vectơ đơn vị i , j với hai trục
Ox, Oy .
Giả sử M là một điểm bất kỳ của mặt phẳng. Gọi (x; y) là tọa độ của
điểm M đối với hệ tọa độ Oxy và (X; Y ) là tọa độ của điểm M đối với hệ
tọa độ IXY .
Khi đó,

−−→ −→ −−→
OM = OI + IM ,

hay

→
−
→
−
→
−
→
−
→

−
→
−
x i + y j = (x0 i + y0 j ) + (X i + Y j )
→
−
→
−
= (X + x0 ) i + (Y + y0 ) j .

x = X + x0 ,
Do đó
y = Y + y .
0

Các hệ thức trên gọi là công thức chuyển hệ tọa độ trong phép tịnh tiến
−→
theo vectơ OI .

Hình 1.7: Tịnh tiến hệ tọa độ

B. Phương trình của đường cong đối với hệ tọa độ mới
Giả sử (C) là đồ thị của hàm số y = f (x) đối với hệ tọa độ Oxy đã
cho. Khi đó phương trình của đường cong (C) đối với hệ tọa độ Oxy là

y = f (x). Ta sẽ viết phương trình của (C) đối với hệ tọa độ IXY .
Giả sử M là một điểm bất kỳ của mặt phẳng, (x, y) và (X; Y ) là tọa
độ của điểm M , theo thứ tự, đối với hệ tọa độ Oxy và IXY .

11

Khi đó,

M ∈ (C) ⇔ y = f (x).
Áp dụng công thức chuyển hệ tọa độ trong phép tịnh tiến theo vectơ
−→
OI ,

M ∈ (C) ⇔ Y + y0 = f (X + x0 )
⇔ Y = f (X + x0 ) − y0 .
Vậy phương trình của đường cong (C) đối với hệ tọa độ IXY là

Y = f (X + x0 ) − y0 .
1.2.2.

Hệ tọa độ cực

Hệ tọa độ cực là một hệ tọa độ hai chiều. Trong đó, mỗi điểm trên một
mặt phẳng được biểu diễn bằng một góc và một khoảng cách.
Tọa độ cực của điểm M trên mặt phẳng là cặp số (r, θ) được xác định
như sau:

• r ≥ 0 là khoảng cách từ điểm M đến gốc tọa độ O (gốc cực).
−−→
• 0 ≤ θ ≤ 2π là góc (Ox, OM ).

Hình 1.8: Hệ tọa độ cực.

Tọa độ cực liên hệ với tọa độ Descartes vuông góc tương ứng bởi công

thức sau:

x = r. cos θ,
y = r. sin θ.


12

Hình 1.9: Mối liên hệ giữa hệ tọa độ cực và hệ tọa độ Descartes.

1.3. KHÁI NIỆM ĐỒ THỊ HÀM SỐ
Định nghĩa 1.3.1. Cho hàm số y = f (x) xác định trên X .
Đồ thị của hàm số là tập hợp tất cả các điểm M (x; y) trong mặt phẳng
tọa độ Descartes vuông góc hoặc tọa độ cực. Ký hiệu:

(C) = {(x; y)|x ∈ X, y = f (x)} .
Công thức y = f (x) được gọi là phương trình của đồ thị.
Nhận xét 1.3.1. 3 Cho hàm số y = f (x) có đồ thị (C):
1. Nếu f (x) là hàm số chẵn thì đồ thị của nó đối xứng qua trục Oy . Khi
đó trục Oy được gọi là trục đối xứng của đồ thị hàm số.
2. Nếu f (x) là hàm số lẻ thì đồ thị của nó đối xứng qua gốc tọa độ O. Khi
đó gốc O được gọi là tâm đối xứng của đồ thị hàm số.
Nhận xét 1.3.2. 4 Đường thẳng x = a được gọi là trục đối xứng của đồ
thị y = f (x) ⇔ với phép biến đổi tọa độ:


X = x − a
x = X + a
⇔
Y = y

y = Y
hàm số Y = F (X) là hàm số chẵn.
3
4

Nhận xét 1.3.1 được trích dẫn từ tài liệu tham khảo [10].
Nhận xét 1.3.2 được trích dẫn từ tài liệu tham khảo [10].


13

Nhận xét 1.3.3. 5 Điểm I(a; b) được gọi là tâm đối xứng của đồ thị

y = f (x) ⇔ với phép biến đổi tọa độ:


X = x − a
x = X + a
⇔
Y = y − b
y = Y + b
hàm số Y = F (X) − b là hàm số lẻ.
Định nghĩa 1.3.2. 6 Hàm số y = f (x) được gọi là có điểm uốn tại điểm

M nằm trên đường cong có hoành độ x0 nếu nó thỏa mãn đồng thời hai
điều kiện:
i) f (x0 ) = 0;
ii) f (x) đổi dấu khi qua điểm M (x0 ; y0 ).
Chú ý 1.3.1. Điều kiện f ”(x0 ) = 0 chỉ là điều kiện cần để tồn tại điểm
uốn có hoành độ x0 .

Ví dụ 1.3.1. Cho hàm số y = x4 . Khi đó y = 12x2 .
Mặc dù y (0) = 0 nhưng do y ≥ 0, ∀x ∈ R.
Suy ra đồ thị hàm số y = x4 không có điểm uốn.
Định nghĩa 1.3.3. Cho đường cong (C) : y = f (x) và đường thẳng (D).
Lấy điểm M bất kỳ thuộc (C). Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên

(D).
Khi đó ta nói đường thẳng (D) là tiệm cận của đường cong (C) ⇔

lim

|M H| = 0.

M (x;y)→∞

Nhận xét 1.3.4. Đường cong (C) : y = f (x) chỉ có thể có tiệm cận ⇔
miền xác định hoặc miền giá trị của hàm số y = f (x) phải chứa ∞ ⇔
đường cong (C) : y = f (x) phải có nhánh chạy ra vô tận. Tuy nhiên có
những hàm số có nhánh chạy ra vô tận nhưng vẫn không có tiệm cận.
5
6

Nhận xét 1.3.3 được trích dẫn từ tài liệu tham khảo [10].
Định nghĩa 1.3.2 được trích dẫn từ tài liệu tham khảo [1].


14

Hình 1.10: Tiệm cận đồ thị hàm số.

Nhận xét 1.3.5. 7 Cho đường cong (C) : y = f (x). Xét các dấu hiệu với
các tiệm cận tương ứng:
1. Tiệm cận đứng: lim f (x) = ∞ ⇔ x = a là tiệm cận đứng.
x→a

2. Tiệm cận ngang: lim f (x) = b ⇔ y = b là tiệm cận ngang.
x→∞

3. Tiệm cận xiên: lim [f (x) − (ax + b)] = 0 ⇔ y = ax + b là tiệm cận
x→∞

xiên (a = 0).

Hình 1.11: Tiệm cận đứng, tiệm cận ngang, tiệm cận xiên.

Nhận xét 1.3.6. 8 Cho hàm phân thức y = f (x) =

u(x)
, ta có các nhận
v(x)

xét:
1. Hàm phân thức có tiệm cận ngang nếu như deg u(x) = deg v(x). Khi
đó đường thằng y = a là tiệm cận ngang của hàm phân thức nếu:

u(x)
= a.
x→∞ v(x)
lim

7
8

Nhận xét 1.3.5 được trích dẫn từ tài liệu tham khảo [10].
Nhận xét 1.3.6 được trích dẫn từ tài liệu tham khảo [10].


15

2. Hàm phân thức có tiệm cận đứng nếu như v(x) có nghiệm.
Giả sử x1 , x2 , x3 , ..., xn là các nghiệm của v(x). Khi đó hàm phân thức
có k tiệm cận đứng x = xk , k = 1, 2, 3, ..., n bởi vì:

u(x)
= ∞, với mọi k = 1, 2, 3, ..., n.
x→xk v(x)
lim

3. Hàm phân thức có tiệm cận xiên nếu như deg u(x) = deg v(x) + 1. Khi
đó, ta có đường thẳng y = ax + b là tiệm cận xiên của hàm phân thức
với:

u(x)
;
x→∞ v(x)
u(x)
b = lim
− ax .
x→∞ v(x)
a = lim

16

CHƯƠNG 2

XÂY DỰNG ĐỒ THỊ CỦA MỘT SỐ HÀM SỐ
TRONG CHƯƠNG TRÌNH THPT

2.1. XÂY DỰNG ĐỒ THỊ HÀM SỐ CỦA CÁC HÀM ĐA THỨC
CƠ BẢN
2.1.1.

Hàm đa thức bậc nhất

Hàm đa thức bậc nhất là hàm số có dạng : y = ax + b, trong đó a, b là
các hằng số với a = 0.
Tập xác định là R.
A. Sự biến thiên:
- Khi a > 0, hàm số đồng biến trên
R.
- Khi a < 0, hàm số nghịch biến
trên R.

Bảng 2.1

B. Đồ thị:
Đồ thị của hàm số y = ax + b, (a = 0) là một đường thẳng không cùng
phương với các trục tọa độ. Trong đó, a được gọi là hệ số góc của đường
thẳng. (Hình 2.1)

Hình 2.1


17

b
Đồ thị cắt trục Ox tại điểm B − ; 0 và cắt trục Oy tại điểm A(0; b).
a
2.1.2.

Hàm đa thức bậc hai

Hàm đa thức bậc hai là hàm số có dạng y = ax2 + bx + c, trong đó

a, b, c là các hằng số và a = 0.
Tập xác định là R.
A. Sự biến thiên:

• Nếu a > 0 thì hàm số nghịch biến
b
trên khoảng −∞; −
và đồng
2a
b
biến trên khoảng − ; +∞ .
2a
• Nếu a < 0 thì hàm số đồng
b
biến trên khoảng −∞; −

và
2a
b
nghịch biến trên khoảng − ; +∞ .
2a

Bảng 2.2

B. Đồ thị hàm số:
Đồ thị của hàm số y = ax2 +bx+c là một Parabol, đỉnh I −
và nhận đường thẳng x = −

b
làm trục đối xứng. Ta có hai dạng đồ thị
2a

sau:

Hình 2.2a

∆
b
;−
2a 4a

Hình 2.2b

•Với a > 0: Parabol quay bề lõm lên trên. (Hình 2.2a)
•Với a < 0: Parabol quay bề lõm lên trên. (Hình 2.2b)

18

∆
b
khi x = − .
4a
2a
C. Một số tính chất của hàm đa thức bậc hai:
Hàm số đạt cực trị bằng −

Tính chất 1. Hàm số luôn có hai miền đơn điệu khác nhau là
b
b
−∞; −
và − ; +∞ .
2a
2a
Tính chất 2. Hàm số luôn có cực trị :

b
.
2a
b
• Với a < 0, hàm số đạt cực đại tại x = − .
2a
Tính chất 3. Đồ thị của hàm đa thức bậc hai là một Parabol nhận
b
làm trục đối xứng.
đường thẳng x = −

2a
b
∆
Chứng minh. Thật vậy, bằng phép tịnh tiến về gốc I − ; −
,
2a
4a


 x=X− b ,
2a
với công thức:
∆

 y=Y − .
4a
Thay x, y vào phương trình y = ax2 + bx + c ta được:
• Với a > 0, hàm số đạt cực tiểu tại x = −

∆
b
b
= a(X − )2 + b(X − ) + c ⇔ Y = aX 2 .
4a
2a
2a
b
Hàm số này là hàm số chẵn nên nhận đường thẳng x = −
làm trục
2a

đối xứng.
Y −

2.1.3.

Hàm đa thức bậc ba

Hàm đa thức bậc ba là hàm số có dạng y = ax3 + bx2 + cx + d, trong
đó a, b, c, d là các hằng số và a = 0.
Tập xác định là R.
A. Cực trị và chiều biến thiên:

• Đạo hàm cấp một: y = 3ax2 + 2bx + c,
y = 0 ⇔ 3ax2 + 2bx + c = 0.

(2.1)