Đề tài nghiên cứu khoa học trường THCS phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh lớp 8

Phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử cho học
sinh lớp 8

Phần thứ nhất:Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài:
Trong dy hc i s THCS, vic dy cho hc sinh nm vng cỏc phng
phỏp phõn tớch a thc thnh nhõn t v bit vn dng mt cỏch hp lớ cỏc
phng phỏp ú vo gii bi tp úng vai trũ quan trng. Cú nhiu loi bi
tp s dng ti kt qu ca vic phõn tớch a thc thnh nhõn t. Vớ d: Rỳt
gn phõn thc, gii phng trỡnh bc cao, quy ng mu nhiu phõn thc,
bin i ng nht cỏc phõn thc hu t, tỡm giỏ tr ca bin biu thc cú
giỏ tr nguyờn, tỡm giỏ tr nh nht, tỡm giỏ tr ln nht ca biu thc...
Vỡ vy, ngoi vic nm vng, s dng thnh tho cỏc phng phỏp phõn tớch
a thc thnh nhõn t c trỡnh by trong sỏch giỏo khoa thỡ vic hiu, bit
vn dng cỏc phng phỏp phõn tớch a thc thnh nhõn t khỏc l cn thit.
Thờm na, khi s dng mt phng phỏp phõn tớch no ú, hc sinh cn vn
dng rt nhiu kin thc liờn quan nh: Nhm nghim ca a thc, by hng
ng thc, chia a thc...nờn vic chun b cỏc kin thc ny cho hc sinh l
rt cn thit.
Qua nhiu nm ging dy mụn toỏn c bit l i s 8, tụi thy Phõn tớch
a thc thnh nhõn t chim mt phn rt quan trng trong ni dung chng
trỡnh, trong khi ú rt nhiu em hc sinh cũn lỳng tỳng trong quỏ trỡnh phõn
tớch a thc thnh nhõn t. Vỡ vy, vic hc tp mụn toỏn ca cỏc em cũn gp
khú khn. Do ú tụi chn ti Phõn tớch a thc thnh nhõn t vi mc
ớch h thng, cng c kin thc phõn tớch a thc thnh nhõn t v gúp phn
rốn luyn trớ thụng minh v nng lc t duy sỏng to ca hc sinh.
2. Mc ớch nghiờn cu:
Nhm giỳp hc sinh thc hin thnh tho dng toỏn Phõn tớch a thc thnh
nhõn t cỏc em vn dng gii cỏc bi bp dng phõn tớch a thc thnh nhõn
t, tỡm nghim ca a thc ( tỡm x), chia a thc, rỳt gn phõn thc, bin i biu
thc hu t v dng phõn thc. T ú cỏc em cú th trỏnh c nhng sai lm

trong khi gii cỏc bi toỏn dng ny, to nim say mờ, hng thỳ cho hc sinh i
vi mụn toỏn núi chung v i s núi riờng.
Gúp phn nõng cao cht lng dy hc.
3. Nhim v nghiờn cu:
a. H thng cỏc phng phỏp phõn tớch a thc thnh nhõn t theo SKG v mt
s phng phỏp khỏc.

1


Phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử cho học
sinh lớp 8
b. La chn bi tp phự hp lm ni bt tng phng phỏp.
c. Mt s dng bi tp liờn quan n phõn tớch a thc thnh nhõn t trong mụn
i s 8
4. Phạm vi và đối tợng nghiên cứu:
Đề tài nghiên cứu Phơng pháp phân tích đa thức thành nhân
tử và các bài tập
vận dụng
Đối tợng nghiên cứu:
Học sinh lớp 8 trờng THCS Bắc Trạch, Bố Trạch, Quảng
Bình.
5.

Phơng pháp nghiên cứu:

- Phơng pháp nghiên cứu lý luận.
- Phơng pháp thực nghiệm s phạm.
Phần thứ hai:Nội dung
Chơng 1:Cơ sở lý luận thực tiễn có liên quan đến đề tài

nghiên cứu.
Xuất phát từ những khó khăn của học sinh khi giải các bài toán
có liên quan
đến việc phân tích đa thức thành nhân tử đã làm cho tôi
cảm thấy cần nghiên cứu làm
thế nào giúp các em vợt qua đợc trở ngại này bằng sự đúc kết
của bản thân.
Những học sinh cha nắm vững phơng pháp giải loại bài toán
này thì tỏ ra lúng túng không biết vận dụng linh hoạt. Do đó
cha đạt yêu cầu dẫn đến điểm kém sẽ sinh ra chán nản, lời
học môn toán. Bên cạnh đó những em nắm đợc thuật toán
để giải bài
đôi khi tỏ ra chủ quan nên kết quả bài làm cha cao, cách giải
cha tối u.Từ những khó khăn đó giáo viên phải làm cho học sinh
hiểu rõ phơng pháp giải
loại bài toán này từ đơn giản đến phức tạp, nắm chắc các
2


Ph¬ng ph¸p ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tư cho häc
sinh líp 8
tht to¸n ®Ĩ tõ ®ã ¸p dơng linh ho¹t vµo viƯc gi¶i tõng bµi cơ
thĨ vµ viƯc lun tËp nhiỊu sÏ h×nh
thµnh thãi quen cho häc sinh.
Ch¬ng 2: C¸c biƯn ph¸p s ph¹m cÇn thùc hiƯn ®Ĩ gãp
phÇn n©ng cao
chÊt lỵng d¹y häc néi dung ®ang quan t©m.
§Ĩ gióp häc sinh thùc hiƯn tèt viƯc gi¶i to¸n “ph©n tÝch ®a
thøc thµnh nh©n tư” th× tríc hÕt ph¶i híng dÉn c¸c em n¾m ®ỵc kh¸i niƯm th«ng qua mét sè vÝ dơ, “viƯc ph©n tÝch ®a
thøc thµnh nh©n tư ” thùc ra lµ biÕn ®ỉi ®a thøc thµnh tÝch

cđa nh÷ng ®¬n thøc vµ ®a thøc hc tÝch cđa nh÷ng ®a
thøc.
VÝ dơ: a, 5x - 5y = 5(x - y)
ë ®©y 5x - 5y ®ỵc biÕn ®ỉi thµnh tÝch cđa 5 vµ (x - y)
b, x3 - 3x2 - x + 3 = (x - 1)(x + 1)(x - 3)
x3- 3x2 - x + 3 ®ỵc biÕn ®ỉi thµnh tÝch cđa ba ®a thøc (x - 1)(x
+ 1)(x - 3)
TiÕp ®Õn lµ ph¶i lµm cho häc sinh n¾m râ c¸c ph¬ng ph¸p
®Ĩ ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tư.
Đối với học sinh yếu, kém: củng cố kiến thức cơ bản
ta cã thĨ giíi thiƯu c¸c ph¬ng ph¸p nh trong s¸ch gi¸o khoa.
+ Phương pháp Đặt nhân tử chung
+ Phương pháp Dùng hằng đẳng thức
+ Phương pháp Nhóm nhiều hạng tử
Đối với học sinh đại trà: Vận dụng và phát triển kỹ năng
+ Phối hợp nhiều phương pháp (các phương pháp trên)
- Chữa các sai lầm thường gặp của học sinh trong giải
toán.
- Củng cố các phép biến đổi cơ bản và hoàn thiện
các kó năng thực hành.
- Tìm tòi những cách giải hay, khai thác bài toán.
- Giới thiệu hai phương pháp phân tích đa thức thành
nhân tử (Nâng cao).
Đối với học sinh khá, giỏi: Phát triển tư duy (giới thiệu
3


Ph¬ng ph¸p ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tư cho häc
sinh líp 8
hai phương pháp)

+ Phương pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng
tử khác.
+ Phương pháp thêm và bớt cùng một hạng tử.
I. C¸c ph¬ng ph¸p ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tư c¬
b¶n ®ỵc tr×nh bµy trong SGK:
1)Ph¬ng ph¸p ®Ỉt nh©n tư chung:
Khi c¸c h¹ng tư cđa mét ®a thøc cã chung mét nh©n tư ta cã
thĨ ®Ỉt nh©n tư chung ra ngoµi dÊu ngc theo c«ng thøc:A.B
+ A.C = A(B + C)
Nªn cho häc sinh n¾m ®ỵc ph¬ng ph¸p nµy dùa trªn tÝnh chÊt
ph©n phèi cđa
phÐp nh©n ®èi víi phÐp céng c¸c ®a thøc.
a) Ph¬ng ph¸p tiÕn hµnh:
Bíc 1: T×m nh©n tư chung lµ nh÷ng ®¬n thøc, ®a thøc cã
mỈt trong tÊt c¶ c¸c h¹ng tư.
Bíc 2: Ph©n tÝch mçi h¹ng tư thµnh tÝch cđa nh©n tư chung vµ
mét nh©n tư kh¸c.
(cã thĨ ®ỉi dÊu h¹ng tư ®Ĩ lµm xt hiƯn nh©n tư chung).
Bíc 3: ViÕt nh©n tư chung ra ngoµi dÊu ngc, c¸c nh©n tư
cßn l¹i ®ỵc viÕt trong ngc kÌm theo dÊu cđa chóng.
b) VÝ dơ:
VD1:Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tư:
12x2y3 - 6xy2 + 3x2y2
Bíc 1: C¸c h¹ng tư cã hƯ sè lµ: 12; -6; 3 cã íc chung lín nhÊt lµ 3
PhÇn biÕn chøa x vµ y: lòy thõa nhá nhÊt cđa x lµ 1; lòy
thõa nhá nhÊt cđa y lµ 2
VËy nh©n tư chung lµ: 3xy2
Bíc 2: 12x2y3 = 3xy2. 4xy
- 6xy2 = 3xy2. (-2)
3x2y2 = 3xy2.x

4


Phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử cho học
sinh lớp 8
Bớc 3: 12x2y3 - 6xy2 + 3x2y2 = 3xy2(4xy - 2 + x )
VD2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
x(a - b) + 2y(b - a) = x(a - b) - 2y(a - b)
= (a - b)(x - 2y)
2) Phơng pháp dùng hằng đẳng thức
Nếu một đa thức chứa một trong các vế của 7 hằng đẳng
thức đáng nhớ thì ta
có thể dùng hằng đẳng thức đó để viết đa thức thành tích
các đa thức.
a) Phơng pháp tiến hành:
+ Xét bậc của đa thức, dự định quy đa thức về hằng đẳng
thức nào (theo bậc,
theo số hạng tử của đa thức).
+ Biến đổi về đợc dạng hằng đẳng thức mong muốn.
+ Viết đa thức dới dạng tích.
b) Ví dụ:
VD1:Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
y2 - 25
+ Nhận xét về số hạng tử: 2 hạng tử
+ Lũy thừa của hạng tử: y có lũy thừa 2
+ Trong các hằng đẳng thức có lũy thừa 2, hằng đẳng thức
nào có 2 hạng tử ?
+ Làm thế nào để biến đa thức đã cho thành hằng đẳng
thức đó ?

Giải:
y2 - 25 = y2 - 52
= (y + 5)(y - 5)
VD2:Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
-a3 + 6a2 - 12a + 8
? Đa thức trên có dạng hằng đẳng thức nào cha ?
5


Phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử cho học
sinh lớp 8
? Cần biến đổi nh thế nào để xuất hiện hằng đẳng thức (a b) 3 ?
Giải:
-a3 + 6a2 - 12a + 8 = -( a3 - 6a2 + 12a - 8)
= -( a3 - 3a2.2 + 3a.22 - 23)
= - (a - 2)3
( Hoặc (2 - a)3)
* Chú ý:
- Việc xét số hạng tử của đa thức có thể giúp xác định nhanh
dạng hằng đẳng thức:
+ Có 2 hạng tử , dạng: A3 - B3 ; A3 + B3 ; A2 - B2
+ Có 3 hạng tử, dạng: A2 - 2AB + B2 ; A2 + 2AB + B2
+ Có 4 hạng tử, dạng: A3 + 3A2B + 3AB2 + B3 ; A3 - 3A2B + 3AB2 B3
Ngoài ra, nên giới thiệu thêm cho học sinh khá giỏi một số hằng
đẳng thức mở rộng nh:
an + bn = (a + b)(an - 1 - an - 2 b + an - 3 b2 + - a.bn - 2 + bn - 1)
( n lẻ).
an - bn = (a - b)(an - 1 + an - 2 b + an - 3 b2 + - a.bn - 2 + bn - 1)
nguyên dơng).

(n

3) Phơng pháp nhóm hạng tử:
a) Phơng pháp tiến hành:
- Phát hiện các hạng tử có quan hệ (hằng đẳng thức, nhân tử
chung) để kết hợp chúng thành nhóm.
- áp dụng các phơng pháp: đặt nhân tử chung hoặc dùng hằng
đẳng thức cho đến khi phân tích hoàn toàn đa thức đã cho
thành nhân tử.
Chẳng hạn: A.B + A.C - D.B - D.C = (A.B + A.C) - (D.B + D.C)
= A(B + C) - D(B + C)
= (B + C)(A - D)
b) Ví dụ:
6


Phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử cho học
sinh lớp 8
VD1:Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
2y3 - 7y2 + 2y - 7 = (2y3 + 2y)- (7y2 + 7)
= 2y(y2 + 1) 7(y2 + 1)
= (y2 + 1) (2y 7)
Hoặc:

2y3 - 7y2 + 2y - 7 = (2y3 - 7y2) + (2y 7)
= y2(2y 7) + (2y 7)
= (2y 7) (y2 + 1)

VD2:Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
x2 + x - y 2 + y

Nếu nhóm (x2 + x); (-y2 + y) thì bớc sau không phân tích
tiếp đợc nữa.
Ta có:
x2 + x - y2 + y = (x2 - y2) + (x + y)
= (x y)(x + y)(x + y)
VD3:Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
-x2 + 2xy + 5x 5y - y2 = -( x2 - 2xy + y2) + (5x 5y)
= -(x y)2 + 5(x y)
= (x y)(y x + 5)
4) Phối hợp nhiều phơng pháp:
a) Phơng pháp tiến hành:
- Vận dụng với những bài không thể dùng các phơng pháp đơn lẻ
nêu trên.
- Lựa chọn phơng pháp theo thứ tự u tiên:
+ Đặt nhân tử chung.
+ Dùng hằng đẳng thức.
+ Nhóm nhiều hạng tử.
b) Ví dụ:
VD1:Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
x4 + 5x3 + 15x - 9 = (x4- 9) + (5x3 + 15x)

7


Phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử cho học
sinh lớp 8
= (x2 + 3)(x2 - 3) + 5x(x2 + 3)
= (x2 + 3)( x2 + 5x- 3)
VD2:Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
3x3y - 6 x2y - 3xy3 6axy2 - 3a2xy + 3xy

= 3xy(x2 - 2x y2 2ay - a2 + 1)
= 3xy[(x2 - 2x + 1) (a2 + 2ay + y2)]
= 3xy[(x 1)2 - (a + y)2]
= 3xy(x 1 a y)( x 1 + a + y)
= 3xy(x y a 1)( x + y + a 1)
Đối với học sinh khá, giỏi cần giới thiệu thêm một số phơng
pháp sau:
II. Một số phơng pháp khác:
1.Phơng pháp tách hạng tử:
a) Phơng pháp tiến hành:
Ta có thể tách một hạng tử nào đó của đa thức thành hai hay
nhiều hạng tử thích hợp để làm xuất hiện những nhóm hạng
tử mà ta có thể dùng các
phơng pháp khác để phân tích đợc.
b) Ví dụ:
Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
x2 + 4x + 3
Cách 1:
x2 + 4x + 3 = x2 + x + 3x + 3
= (x2 + x)( 3x + 3)
= x(x + 1) + 3(x + 1)
= (x + 1)(x + 3)
Cách 2:
x2 + 4x + 3 = x2 + 4x + 4 1
= (x + 2)2 1

8


Phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử cho học

sinh lớp 8
= (x + 2 1)(x + 2 + 1)
= (x + 1)(x + 3)
Cách 3:
x2 + 4x + 3 = x2 + 2x + 2x + 1 + 2
= (x2 + 2x + 1) + (2x + 2)
= (x + 1)2 + 2(x + 1)
= (x + 1)(x + 1 + 2)
= (x + 1)(x + 3)
Cách 4:
x2 + 4x + 3 = x2 + 4x + 4 1
= (x2 1) + (4x + 4)
= (x + 1)(x 1) + 4(x + 1)
= (x + 1)(x 1 + 4)
= (x + 1)(x + 3)
Cách 5:
x2 + 4x + 3 = x2 + 4x 9 + 12
= (x2 9) + (4x + 12)
= (x + 3)(x 3) + 4(x + 3)
= (x + 3)(x 3 + 4)
= (x + 3)(x + 1)
c) Lu ý:
Thờng thì việc phân tích đợc tiến hành theo 2 cách:
Cách 1:
Tách hạng tử bậc nhất thành 2 hạng tử rồi dùng phơng pháp
nhóm các hạng tử và đặt nhân tử chung mới.
Khi phân tích ax2 + bx + c, ta làm nh sau:
Tìm tích a.c
Phân tích ac ra tích của hai thừa số nguyên bằng mọi cách

9


Phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử cho học
sinh lớp 8
Trong đó chọn hai thừa số mà tổng bằng b
Ví dụ:
9x2 + 6x 8

ta có a = 9; b = 6; c = -8

Bớc 1:

a.c = 9.(-8) = -72

Bớc 2:
(-8).9

-72 = (-1).72 = (-2).36 = (-3).24 = (-4).18 = (-6).12 =

Bớc 3:
Chọn hai thừa số mà tổng bằng b ( tức là bằng 6) đó
là (-6) và 12
Vậy 9x2 + 6x 8 = 9x2 6x + 12x 8
= (9x2 6x) + (12x 8)
= 3x(3x - 2) + 4(3x 2)
= (3x - 2)( 3x + 4)
Cách 2:
Tách một hạng tử không đổi rồi đa đa thức về dạng hiệu hai
bình phơng

Ví dụ:
4x2 - 4x 3 = 4x2 - 4x + 1 4
= (2x 1)2 - 22
= (2x 1 + 2)(2x 1 2)
= (2x + 1)(2x 3)
2.Phơng pháp thêm, bớt cùng một hạng tử:
a) Phơng pháp tiến hành:
Ta thêm và bớt cùng một hạng tử nào đó vào một đa thức để
làm xuất hiện những nhóm hạng tử mà ta có thể dùng các phơng pháp khác nhau để phân tích đợc.
Khi thêm, bớt thờng sử dụng hằng đẳng thức: a2 - b2 = (a +
b)(a b)
2ab + b2

(a - b)2 = a2
(a + b) 2 = a2 +

10


Phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử cho học
sinh lớp 8
2ab + b2
Nguyên tắc: Nếu cộng vào đa thức một hạng tử thì phải bớt
hạng tử đó đi để giá trị đa thức không đổi.
b)Ví dụ:
VD1:Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
a4 + 4 = a4 + 4a2 + 4 - 4a2 = (a2 + 2)2 - (2a2)
= (a2 - 2a + 2)( a2 + 2a + 2)
VD2:Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
x5 + x + 1 = x5 + x4 - x4 + x3 - x3 + x2 - x2 + x +1

(thêm, bớt x4 ; x3 ; x2)
= (x5 + x4 + x3 ) - (x4 + x3 + x2 ) + ( x2 + x +
1)
= x3( x2 + x + 1) - x2( x2 + x + 1) + ( x2 + x +
1)
= (x2 + x + 1)( x3 - x2 + 1)
VD3:Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
x7 + x 2 + 1 = x 7 + x 2 + x - x + 1
= (x7 - x) + (x2 + x + 1)
= x(x6 - 1) + (x2 + x + 1)
= x[(x3)2 - 1] + (x2 + x + 1)
= x(x3 - 1)( x3 + 1) + (x2 + x + 1)
= (x4 + x)(x - 1) (x2 + x + 1) + (x2 + x + 1)
= (x2 + x + 1) [(x4 + x)(x - 1) + 1]
= (x2 + x + 1)( x5 - x4 + x2 - x + 1)
VD4:Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
x4 + 4y4 = (x2)2 + 2.x2.2.y2 + (2y2)2 - 2.x2.2.y2
2.x2.2.y2)

(thêm, bớt

= [(x2)2 + 2.x2.2y2 + (2y2)2] - 2.x2.2y2
= (x2 + 2y2)2 - (2xy)2
=(x + 2y2- 2xy)(x + 2y2 + 2xy)
11


Phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử cho học
sinh lớp 8
=(x- 2xy + 2y2)(x + 2xy + 2y2)

3.Phơng pháp đặt ẩn phụ:
a) Phơng pháp tiến hành:
Khi gặp đa thức nhiều ẩn hoặc một ẩn nhng phức tạp ta
nên dùng cách đặt ẩn phụ rồi phối hợp các phơng pháp đặt
nhân tử chung, hằng đẳng thức, tách và thêm bớt số hạng để
phân tích ra thừa số.
Cụ thể:
+ Đặt một nhóm các biến theo biến mới; thay đa thức đã cho
thành đa thức với biến mới
+ Phân tích đa thức chứa biến mới.
+ Thay biến cũ vào biến mowistrong đa thức đã đợc phân
tích.
b)Ví dụ:
VD1:Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
(x2 + x)2 + 3(x2 + x) + 2
Giải:
Đặt y = x2 + x, ta có:
(x2 + x)2 + 3(x2 + x) + 2 = y2 + 3y + 2
= y2 + y + 2y + 2
=y(y + 1) + 2(y + 1)
=(y + 1)(y + 2)
Thay y = x2 + x vào ta đợc:
(y + 1)(y + 2) = (x2 + x + 1)( x2 + x + 2)
Sau khi đã nắm đợc các phơng pháp giải bài toán dạng
phân tích đa thức thành nhân tử thì việc luyện tập nhiều
sẽ hình thành thói quen cho học sinh vào việc phân tích đa
thức thành nhân tử. Tuy không khó hiểu cho học sinh nhng
trong quá trình giải các bài toán dạng này thì các em gặp
không ít khó khăn, đặc biệt những bài có nhiều hạng tử các
em có thể mắc những sai lầm sau:

12


Phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử cho học
sinh lớp 8
Tình huống1: Phân tích cha triệt để
Ví dụ: x3 - x = x(x2 - 1)
Tình huống 2(Thờng xảy ra): Nhóm những hạng tử cha
thích hợp dẫn đến không thể thực hiện đợc việc phân tích
đa thức thành nhân tử.
Ví dụ : x2 + 6x + 9 - y2 = (x2 + 6x) + (9 - y2)
=x(x + 6) + (3 - y)(3 + y)
Tình huống 3: Không biết dùng phơng pháp đặt nhân tử
chung trớc, khi đa thức có nhân tử chung dẫn đến bài giải dài,
cha tối u.
Ví dụ: 64xy - 96x2y + 48x3y - 8x4y = (64xy - 96x2y) + (48x3y 8x4y)
= 8xy(8 - 12x) + 8xy(6x2- x3)
= 8xy(8 - 12x) + (6x2 - x3)
= 8xy(8-12x + 6x2-x3)
= 8xy(23-3.22.x + 3.2.x2-x3)
= 8xy(2 - x)3
Vì vậy trớc khi giải bài tập giáo viên nêu yêu cầu học sinh đọc
kỹ đề bài,suy nghĩ tìm lời giải sao cho thích hợp và cũng nên
gợi ý cho học sinh trong từng điều kiện cụ thể của từng bài,
khi dạy phần phân tích đa thức thành nhân tử bằng phơng
pháp nhóm hạng tử nên chú ý cho học sinh tìm các nhóm hạng
tử thích hợp, cụm từ thích hợp mang ý nghĩa mỗi nhóm
đều có thể phân tích đợc. Sau khi phân tích đa thức thành
nhân tử ở mỗi nhóm thì quá trình phân tích phải tiếp tục

đợc.
Muốn tháo gỡ đợc những sai lầm, vớng mắc cho học sinh
thì giáo viên phải nghiên cứu kỹ nội dung bài, tìm lời giải cho
từng bài và nhiều cách giải (nếu có thể).
Để kịp thời uốn nắn sửa sai cho các em bằng cách chữa
một số bài tập điển hình áp dụng các phơng pháp dạy học
tích cực vào từng tình huống cụ thể lu ý là nên khích lệ,
động viên những em học tốt, khá, sửa chữa uốn nắn những em

13


Phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử cho học
sinh lớp 8
làm còn nhiều sai sót bằng cách nhận xét khen, chê hợp lý.
Đối với những tình huống ta có thể tháo gỡ nh sau:
Tình huống 1: x3 - x = x(x2 - 1)
= x(x2 - 12)

(gợi ý cho học sinh thực hiện

tiếp)
=x(x + 1)(x - 1)
Tình huống 2:Gợi ý học sinh nhóm hạng tử thích hợp để đa
về dạng hằng đẳng
thức rồi yêu cầu học sinh lên bảng thực hiện tiếp.
x2 + 6x + 9 - y2 = (x2 + 6x + 9) - y2
=(x + 3)2 - y2
=(x + 3 - y)(x + 3 + y)
=(x - y + 3)(x + y + 3)

Tình huống 3:Đối với tình huống này giáo viên nên gợi ý cho
học sinh đặt nhân tử chung trớc thì việc thực hiện sẽ đơn
giản và tối u hơn.
64xy - 96x2y + 48x3y - 8x4y = 8xy(8 - 12x + 6x2 - x3)
= 8xy(2 - x)3
Sau khi giải các bài tập giáo viên nên hớng dẫn học sinh rút ra
kết luận: khi phân tích một đa thức thành nhân tử ta phải vận
dụng linh hoạt sáng tạo các phơng pháp trên và phải biết phối
hợp chúng một cách hợp lý, kết quả phân tích đa thức thành
nhân tử là duy nhất.
Trong quá trình thực hiện học sinh sẽ đợc rèn luyện kỹ năng
phân tích để từ đó có thể thực hiện đợc những bài toán ở
dạng tổng hợp hơn với mức độ cao hơn, trong đó có sử dụng
phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử nh:
Dạng 1: Tính nhanh.
Ví dụ: 1,43.141 - 1,43.41 = 1,43(141 - 41)
= 1,43.100
= 143

14


Phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử cho học
sinh lớp 8
Dạng 2: Tìm x.
Ví dụ: tìm x biết: 3(x + 5) - x(x + 5)
Dạng 3:Chứng minh một đa thức nào đó chia hết cho một số
cụ thể nào đó.
Ví dụ: Chứng minh rằng (n + 3)2- (n - 1)2 chia hết cho 8
với mọi số nguyên n.

Dạng 4: Tính giá trị biểu thức
Ví dụ: Tính giá trị của biểu thức: x3 + xy - 5x - 5y với x =
2; y = 13
4.Phơng pháp tìm nghiệm của đa thức:
a) Phơng pháp tiến hành:
f(x) M(x - a) f(a) = 0
+ Nếu a là nghiệm của f(x) thì f(x) phân tích đợc thành tích
có chứa nhân tử
(x - a)
+ Nếu đa thức có tổng các hệ số bằng 0 thì có nghiệm là 1
chứa nhân tử x - 1
+ Nếu tổng các hệ số của các hạng tử bậc chẵn bằng tổng các
hệ số của các hạng tử bậc lẻ thì đa thức có nghiệm là (-1)
chứa nhân tử x + 1
+ Nếu một đa thức có các hệ số nguyên, có nghiệm nguyên
thì nghiệm nguyên đó là ớc của hạng tử không đổi.
b)Ví dụ:
VD1:Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
x3 + 3x2 - 4
Nếu đa thức trên có nghiệm là a thì có nhân tử x - a, gọi
nhân tử còn lại là
x2 + bx+c
Ta có: x3 + 3x2 - 4 = (x - a)( x2 + bx + c) -a.c = -4
Vậy a là ớc của 4; các ớc của 4 là 1; 2; 4; -1; -2; -4
Kiểm tra thấy 1 là nghiệm của đa thức trên. Vậy đa thức có

15


Phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử cho học

sinh lớp 8
nhân tử là x - 1
Tách đa thức để xuất hiện x - 1

Cách 1:
x3 + 3x2 4 = x3 - x2 + 4x2 - 4
= x2(x - 1) + 4(x2 - 1)
= x2(x - 1) + 4(x - 1)(x + 1)
= (x - 1)( x2 + 4x + 4)
= (x - 1)(x + 2)2
Cách 2:
x3 + 3x2 - 4 = x3 - 1 + 3x2 - 3
= (x - 1)(x2 + x + 1) + 3(x2 - 1)
= (x - 1)(x2 + x + 1) + 3(x- 1)(x + 1)
= (x - 1)( x2 + x + 1 + 3x + 3)
= (x - 1)( x2+ 4x + 4)
= (x - 1)(x + 2)2
Ghi chú:
+ Có thể phát hiện nhanh đa thức trên có nghiệm là 1 bằng
cách xét tổng các hệ số
+ Sử dụng máy tính bỏ túi Casio fx- 500MS có thể giúp tính
nhanh giá trị phù hợp của nghiệm hoặc tính nghiệm bằng quy
trình ấn phím giải phơng trình bậc 2; bậc 3.
VD2:Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
f(x) = x3 - 7x + 6
+ Các ớc của 6 là 1; 2; 3; 6; -1; -2; -3; -6
+ Đa thức có nghiệm là 1 (x3 - 7x + 6) M(x - 1)
Thực hiện chia (x3 - 7x + 6) : (x - 1) = x2- x - 6 = g(x)
Nhẩm nghiệm g(x)
(x2- x - 6) : (x - 3) = x + 2

Vậy (x + 1)(x - 3)(x + 2) = (x + 1)( x2- 3x +2x - 6)

16


Phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử cho học
sinh lớp 8
= x3 - 3x2 + 2x2- 6x + x2- 3x +2x - 6
Qua đó, ta thấy đợc cần tách hạng tử nào của f(x)
c) Chú ý:
Có thể dùng sơ đồ hoocne để tìm nghiệm nguyên của đa
thức một cách thuận lợi
n
n 1
Cho f ( x) a nx a n 1x ... a1 x a0

Lập bảng:

a


b

n

a

n 1

b

n 1

n2

Trong đó là ớc nguyên của

b

n2

b

n 3

a

=


a

n 1

n 2

.

a

.

b

a;b
0

n 1

=

a

1

a

0

r

0

n

+ . b n 1

.b n 2

.

b

0

=

r=

a

a
0

1

+ . b1

+ . b 0

Ví dụ:
Phân tích f(x) = x4 + x3 - 5x2 + x - 6
Các ớc của 6 là-1; -2; -3; -6; 1; 2; 3; 6
Bằng cách xét tổng các hệ số, ta thấy x = -1 và x = 1 không là
nghiệm của f(x)
Thử với = 2

= 2

1

1

-5

1

-6

1

3

1

3

r=0

Vậy = 2 là nghiệm của f(x)

17


Phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử cho học
sinh lớp 8
f(x) = (x - 2)(x3 + 3x2 + x + 3)
Phân tích tiếp g(x) = x3 + 3x2 + x + 3
Các ớc của 3 là -1; -3; 1; 3
Nhẩm tổng các hệ số, loại bỏ x = 1 và x = -1

Xét = -3

= 2

1

3

1

3

1

0

1

0

x3 + 3x2 + x + 3 = (x + 3)(x2 + 1)
Tiếp tục, ta thấy x2 + 1 vô nghiệm
Vậy f(x) = x4 + x3 - 5x2 + x - 6 = (x - 2)(x + 3)(x2 + 1)
5.Phơng pháp hệ số bất định:
Ví dụ:
Phân tích A = 2x3 -5x2 + 8x - 3 thành nhân tử
Giải:
Giả sử đa thức trên đợc phân tích thành dạng (ax + b)(cx2 + dx
+ m)
Thực hiện nhân ta đợc A = acx3 + (ad + bc)x2 + (am + bd)x

+bm
Đồng nhất đa thức này với 2x3 -5x2 + 8x - 3, ta có:
ac 2
ad bc 5


am bd 8

bm 3


Ta giả thiết a > 0 (nếu a < 0, ta đổi dấu hai vể của pt)
ac = 2 a = 2 hoặc a = 1
Xét ac = 2 c = 1
Vậy, ta có

2d b 5


2m bd 8


bm 3


18


Phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử cho học
sinh lớp 8

bm = -3 b là ớc của -3
Ta có các ớc của -3 là -1; -3; 1; 3
Vậy b có thể bằng -1; -3; 1; 3
Xét b = -1 thì m = 3; d = -2 (thỏa mãn điều kiện đã nêu)
Vậy a = 2; c = 1; b = -1; m = 3; d = 2
Ta có 2x3 -5x2 + 8x - 3 = (2x - 4)( x2 - 2x + 3)
6.Phơng pháp xét giá trị riêng:
a) Xác định dạng các thừa số cha biết của đa thức:
+ Xác định dạng các thừa số chứa biến của đa thức
+ Giải cho biết giá trị cụ thể; xác định thừa số còn lại
b) Ví dụ:
VD1: phân tích đa thức sau thành nhân tử
P = ab(a b) + bc(b c) + ca(c a)
Giải:
Nếu thay a bởi b thì: P = 0 + bc(b c) + cb(c b)
=0
Vậy P M(a b)
Do vai trò a; b; c nh nhau trong đa thức nên P M(a b)(b c)(c
a)
Vì P và (a b)(b c)(c a) đều có bậc ba đối với tập các biến
nên thơng của phép chia P cho (a b)(b c)(c a) là hằng số k
P = k. (a b)(b c)(c a)
Hay ab(a b) + bc(b c) + ca(c a) = k. (a b)(b c)(c a)
(1)
Cho a = 2; b = 1; c = 0, thay vào (1) ta có:
2.1.1 + 0 + 0 = k.1.1.(-2) 2 = -2k k = -1
Vậy P = -(a b)(b c)(c a)
= (b a)(b c)(c a)
19

Phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử cho học
sinh lớp 8
VD2: phân tích đa thức sau thành nhân tử
Q = (a + b + c)3 a3 b3 - c3
Giải:
Thay a bởi (-b) thì: N = c3 + b3 - b3 c3 = 0
N M(a + b)

Do vai trò a; b; c trong Q nh nhau nên Q M(a + b)(b + c )(c + a)
Trong đó N và (a + b)(b + c )(c + a) đều có bậc ba đối với tập
các biến nên:
Q : (a + b)(b + c )(c + a) = k
(a + b + c)3 a3 b3 - c3 = k. (a + b)(b + c )(c + a)

(2)
Cho biến nhận các giá trị riêng a = 2; b = 1; c = 0, thay vào (2)
ta có:
33 23 13 = k.3.1.2
27 8 1= 6k
18 = 6k
k=3
vậy Q = (a + b + c)3 a3 b3 - c3 = 3.(a + b)(b + c )(c + a)
III. Một số bài toán nâng cao:
Bài 1: phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a, a7 + a2 + 1
b, a5 + a + 1
c, x4 + 6x3 + 7x2 - 6x + 1
Hớng đẫn học sinh:
a, Thêm, bớt các hạng tử a6 ; a5 ; a4 ; a3 ; a sau đó nhóm 3 hạng

tử liên tiếp cùng dấu.
Kết quả (a2 + a + 1)( a5 - a4 + a3 a + 1)
b, Thêm, bớt các hạng tử a4 ; a3 ; a2
Kết quả (a2 + a + 1)(a3 a2 + 1)
c, Tách hạng tử 7x2 = 9x2 - 2x2
20


Phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử cho học
sinh lớp 8
Ta có x4 + 6x3 + 7x2 - 6x + 1 = x4 + 6x3 + 9x2 - 2x2 - 6x + 1
= (x2 + 3x)2 2(x2 + 3x) + 1
= (x2 + 3x - 1)2
Bài 2: phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a, a4 + b4 + c4 - 2a2b2 - 2b2c2 - 2c2a2
b, x4 + 64
Hớng dẫn học sinh:
a, Ta có (a4 +2a2b2 + b4) (2b2c2 + 2c2a2) + c4 - 4a2b2
= [(a2+ b2)2 - 2c2(a2+ b2) + c4] - 4a2b2
= (a2 + b2 - c2)2 (2ab)2
= (a2+ b2 - c2 2ab) (a2+ b2 - c2 + 2ab)
=[(a+ b)2 - c2][(a- b)2 c2]
= (a + b + c)(a + b - c)(a b + c)(a b c)
b, Thêm, bớt 16x2
Bài 3: phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a, 6x4 - 11x2 + 3
b, (a2 + b)2 + 3(a2 + b) + 2
c,

x2 2xy + y2 + 3x 3y 10

Hớng dẫn học sinh:
a, Đặt ẩn phụ
b, Đặt ẩn phụ
c, Biến đổi x2 2xy + y2 + 3x 3y 10, ta đợc (x + y) 2 + 3(x
+ y) 10
đặt ẩn phụ rồi phân tích tiếp.
Bài 4: phân tích các đa thức sau thành nhân tử bằng
cách xét giá trị riêng
a, M = x(y2 - z2) + y(z2 x2) + z(x2 y2)
b, Q = x2(y - z) + y2(z x) + z2(x y)
Kết quả:

21


Phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử cho học
sinh lớp 8
a, M = (y z)(x z)(y x)
b, Q = (y z)(x z)(x - y)
IV. Một số dạng bài toán sử dụng phân tích đa thúc
thành nhân tử:
1. Dạng rút gọn phân thức:
a. Phơng pháp:
+ Phân tích tử và mẫu thành nhân tử.
+ Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung.
b. Ví dụ:
VD1: Rút gọn
x 3 4 x 2 4 x x( x 2 4 x 4)

x2 4
( x 2)( x 2)


x( x 2)2
x( x 2)

( x 2)( x 2)
x2

(Đk: x 2; x -2)
VD2: Rút gọn
x 2 y 2 z 2 2 xy ( x y ) 2 z 2 ( x y z )( z y z ) x y z

=
=
x 2 y 2 z 2 2 xz ( x z ) 2 y 2 ( x y z )( x z y ) x z y

VD3: Rút gọn
a3b ab3 b3c bc3 c 3a ca 3 (a b)(a c)(b c)(a b c )

abc
a 2b ab 2 b 2c bc 2 c 2 a ca 2
(a b)(a c )(b c )

VD4:Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
x2 x 1
D
x 1 2

Ta có: D

x 2 x 1

x 1

2

2

x 1 x 1 1

1
x 1 2

1
1

x 1 x 1 2

22


Phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử cho học
sinh lớp 8
Đặt

1
t , khi đó D có dạng:
x 1

D = t2 - t + 1
2

1 3 3
= t
2 4 4

với mọi t.

2

3
1
1
1
D t 0
x 1.
4
x 1 2
2

Vậy giá trị nhỏ nhất của D bằng

3
, đạt đợc khi x = 1.
4

2. Dạng bài quy đồng mẫu thức của nhiều phân thức
a. Phơng pháp:

+ Rút gọn phân thức (nếu có thể)
+ Phân tích các mẫu thành nhân tử.
+ Tìm mẫu thức chung.
+ Nhân tử, mẫu của mỗi phân thức với từng nhân tử phụ tơng
ứng.
b. Ví dụ:
VD1: Quy đồng mẫu các phân thức sau
2x
x
v 2
x 8 x 16
3x 12 x
2

Ta có :
x2 8x + 16 = x2 - 2.4x + 42 = (x - 4)2
3x2 -12x = 3x(x - 4)
MTC: 3x(x - 4)2
Ta có
2x
2x
2 x.3 x
6x2

= ( x 4) 2 =
x 2 8 x 16
3x ( x 4) 2 3 x( x 4) 2
x
x( x 4)
x

=
3 x( x 4) 3 x( x 4) 2
3x 12 x
2

VD2: Quy đồng mẫu các phân thức sau

23


Phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử cho học
sinh lớp 8
1 2x
4 x2 3x 5
; 2
v -2
3
x x 1
x 1

Ta có
x3 - 1 = (x -1)(x2 + x + 1)
Vy MTC: (x -1)(x2 + x + 1)
4 x 2 3x 5
4 x2 3x 5
=
( x 1)( x 2 x 1)
x3 1
(1 2 x )( x 1)

1 2x
= ( x 1)( x 2 x 1)
x x 1
2

-2 =

2( x 3 1)
( x 1)( x 2 x 1)

VD3: Quy đồng mẫu các phân thức sau
x5
x
v
x 4x 4
3x 6
2

Ta có
x2 + 4x + 4 = (x + 2)2
3x + 6 = 3(x + 2)
MTC: 3(x + 2)2
Ta có
x5
3( x 5)
x5

=
2
3( x 2) 2

x 2 4 x 4 ( x 2)
x
x( x 2)
x
= 3( x 2) 3( x 2)2
3x 6

3. Dạng giải phơng trình:
a. Phơng pháp:
Khi giải phơng trình từ bậc hai trở lên, ta biến đổi, phân
tích vế trái thành dạng A(x).B(x) = 0 A(x) = 0 hoặc B(x) = 0
hoặc thành dạng Ax.Bx + Cx = 0, trong đó Ax.Bx; Cx luôn dơng, ta có phơng trình vô nghiệm.
24


Phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử cho học
sinh lớp 8
b. Ví dụ:
VD1: giải phơng trình sau
( x2 - 2x + 1) - 4 = 0

(1)

Giải:
(1) (x - 1)2 - 22 = 0 ( x + 1)(x - 3) = 0 x + 1= 0 hoặc x - 3 = 0
x = -1 hoặc x = 3

Vậy S = {-1 ; 3}
VD2: giải phơng trình sau
16x2 - 8x + 5 = 0

(2)

Giải
(2) (4x - 1)2 + 4 4
Vậy: PT vụ nghim
VD3: giải phơng trình sau
x2
2x 3

(3)
x
2( x 2)

Giải
- KX ca PT l: x 0 ; x 2.
(3)

2( x 2)( x 2) x(2 x 3)

2 x( x 2)
2 x( x 2)

2(x + 2)(x - 2) = x(2x + 3)
2x2 - 8 = 2x2 + 3x
3x = -8 x = -

Ta thy x = -

8

.
3

8
tho món vi KX ca phng trỡnh.
3

Vy tp nghim ca PT l: S = {-

8
}
3

VD4: giải phơng trình sau

25