ĐỀ THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN MÔN TOÁN ĐỀ SỐ 2

ĐỀ ÔN TẬP VÀO LỚP 10 CHUYÊN - MÔN TOÁN(CHUNG)
ĐỀ SỐ 2
Câu 1:
1
1
1
4

2
8
32 .
a) Tính giá trị biểu thức :
b) Rút gọn biểu thức sau và tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
� 2
1
3 x �1  y
B �


:
�
�x y
�x  y
y

x
x

y
�
�

.
Câu 2:
�x  y  xy  11
�
3x  3 y  5 xy  45
a) Giải hệ phương trình : �
b) Giải phương trình : 2 x  3  4x  12  4
Câu 3:
2
Cho phương trình : x  (2m  1)x  m  0 ( m là tham số)
A2

a) Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1 ,x2 với mọi m .
b) Tìm m để x1( x1  1)  x2(2m  x1) đạt giá trị nhỏ nhất .
Câu 4:
Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp trong đường tròn tâm O. Gọi M là trung điểm của
BC. Đường thẳng OM cắt (O) tại hai điểm K và Q (K thuộc cung lớn BC).
a) Chứng minh AQ là phân giác góc BAC.
b) Trên đoạn QA lấy một điểm I sao cho QI = QB. Chứng minh I là tâm đường tròn
nội tiếp tam giác ABC.
c) Chứng minh QI là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác KIM.
d) Các tia BI, CI lần lượt cắt (O) tại T và S (T khác B, S khác C). Chứng minh I là
trực tâm tam giác QTS.
Câu 5:
Cho ba số bất kì x, y, z. Chứng minh :
x 2  xy  y 2  x 2  xz  z 2 � y 2  yz  z 2

.

Câu 1. a)

A

GỢI Ý VÀ LỜI GIẢI

2
8

b)
DKXD:x �0,y �0,x �y
B

y
y 1
�
 .
y1 2 y 2

GTNN của B là

1
2

. Dấu "=" xảy ra khi y = 1,

x �1,x �0

Câu 2.

a) Đặt x + y = u, xy = v, ta được hệ
x  2; y  3
�x  y  5
�
 �
�
x  3; y  2
�xy  6
�
Từ đó
.
2 x  3  4x  12  4(x �3)
b)

�u  v  11
�
3u  5v  45
�

, giải ra ta được u = 5, v = 6

 4 x  3  4  x  3  1  x  4(TM)

Câu 3.
  (2m  1)2  4m  4m 2  1 �1  0

a) Chứng minh được
x1 (x1  1)  x 2 (2m  x1 )  x12  x1  2mx 2  x 2 x1

 x12  x1  (x1  x 2  1)x 2  x 2 x1  x12  x 22  2x1x 2  (x1  x 2 )

b)

1
1 1
 (x1  x 2 ) 2  (x1  x 2 )  (2m  1) 2  2m  1  4m 2  2m  4(m  ) 2  �
4
4 4

m
Dấu "=" xảy ra khi

1
4

.

Câu 4.
�  BIQ
�  IBC
�  QBC
�  BAI
� �
QB  QI  IBQ
ABI
�
 �
ABI  IBC
b)
=> BI là phân giác của góc ABC. Mà AI là phân giác góc BAC

Nên I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
c) Chứng minh QB2 = QM.QK = QI2
=> tam giác QIM và tam giác QKI đồng dạng => góc QIM = góc QKI
=> QI là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác KMI.
�  TSC
�  1 sd SQ
�  1 sdTC
�  1 sd SB
�  1 sd BQ
�  1 sdTC
�
d) STQ
2
2
2
2
2
1
� )  900  SC  TQ
 ( sd �
AB  sd �
AC  sd BC
4
Tương tự TB vuông góc với SQ => I là trực tâm tam giác STQ.
Câu 5.
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, xét các điểm:
� y 3 �
x ;
z

�
� 2 2 �
�
�
�,
A

� 3
3 � �y z �
0;
y
z�
�
� 2
�  ;0�
2 �
�
�, C �2 2 �
B
2

Ta có:

AB =

2
� y� � 3 �
x  �  � y �  x2  xy  y2
�
�

� 2� �
�2 �

2

AC =

2
� z� �3 �
x  �  � z �  x2  xz  z2
�
�
� 2� �
�2 �

2

BC =

2
�
�y z � � 3

(y  z)�  y2  yz+z2
�
� �
�
�2 2 � �
�2
�

Với 3 điểm A, B, C ta luôn có: AB + AC ≥ BC


x2  xy  y2  x2  xz+z2 � y2  yz+z2