Giao an Dai so 11

giáo án đại số & giải tích lớp 11 ban khtn
Tiết 1: Hàm số lợng giác (tiết 1)
I - Mục đích yêu cầu:
-Giúp học sinh nắm đợc khái niệm các hàm số lợng giác : y = sinx, y = cosx,
y = tgx,y = cotgx.
-Nắm đợc tính tuần hoàn của các hàm số lợng giác.
II - Trọng tâm:
-Định nghĩa các hàm số lợng giác,tính tuần hoàn của các hàm số lợng giác.
III - Nội dung:
1 - Bài củ :
2 - Bài mới :
Hoạt động 1:
1

:HS:Tính sinx,cosx với x là các số
sau:
; ;1.5; 2;3.1;4.25.
6 4

HS:Trên đờng tròn lợng giác xác
định điểm M mà số đo
ẳ
AM
bằng
x(rad) tơng ứng trên.
H1:Nh vậy ứng với mỗi giá trị của x
cho ta bao nhiêu giá trị của
sinx,cosx?
Hoạt động 2:
H2:Có nhận xét gì về tung độ điểm
M?

Hoạt động 3:
I.Định nghĩa:
1.Hàm số sin và hàm số cosin:
a) Hàm số sin:
ĐN: Qui tắc đặt tơng ứng:
sin:

Ă Ă
gọi là hàm số sin.

sinx y x=a
Tập xác định :
Ă

sinx sinx


'
a) Hàm số cosin:
ĐN: Qui tắc đặt tơng ứng:
cosin:

Ă Ă
gọi là hàm số cosin.

cosx y x
=
a
Tập xác định :
Ă

B y
cosx



Chú ý: -1

sinx

1; -1

cosx

1
2.Hàm số tang và hàm số cotang:
a)Hàm số tang:
nguyễn đình lộc xuân huy 2007/2008
1
O
A
A'
B'
M
x
x
O
O
A
B'
M

x
x
O
M
M
cosx
y
B
giáo án đại số & giải tích lớp 11 ban khtn
H2:Tìm tập xác định của hàm số y =
tgx
2

:HS: So sánh: sinx và sin(-x)
cosx và cos(-x)?
Xét tính chẵn lẻ của các hàm số lợng
giác?
3

:HS: Tìm các số T sao cho
f(x+T) = f(x) với mọi x thuộc tập xác
định của các hàm số sau:
a. f(x) = sinx b.f(x) = tgx
- Tìm số dơng nhỏ nhất trong các số
đó?
H3:Có nhận xét gì về giá trị của các
hàm số lợng giác khi đối số x tăng
hoặc giảm một số lần chu kỳ.
-Đồ thị hàm số tuần hoàn sẻ có dạng
nh thế nào?

ĐN: Hàm số tang đợc xác định bởi công
thức:
sin
cos
x
y tgx
x
= =
(cosx # 0)
Ta có: cosx

0
,
2
x k k


+ Z
nên tập xác định của hàm số y = tgx là:

\ /
2
D k k



= +


Ă Z

b)Hàm số cotang:
ĐN: Hàm số cotang là hàm số xác đinh bởi
công thức:
cos
cot
sin
x
y gx
x
= =
(sinx # 0)
Ta có:
sin 0 ,x x k k

Z
nên tập xác định của hàm số y = cotgx là:

{ }
\ /D k k

= Ă Z
Nhận xét:
-Hàm số y = sinx là hàm số lẻ, hàm số y = cosx
là hàm số chẵn.
-Hàm số y = tgx,y = cotgx là hàm số lẻ.
II/Tính tuần hoàn của hàm số l ợng giác :
Số dơng T =
2

là số dơng nhỏ nhất thoả

mãn: sin(x+T) = sinx,
x Ă
(1)
-Hàm số y = sinx thoã mãn (1) gọi là hàm số
tuần hoàn và
2

gọi là chu kỳ của nó.
Tơng tự:
-Hàm số y = cosx là hàm số tuần hoàn với
chu kỳ
2

-Các hàm số y = tgx,y = cotgx là những hàm
số tuần hoàn với chu kỳ

.
3. Luyện tập - Cũng cố:
-Tìm tập xác định của các hàm số:
1 cos
sin
x
y
x
+
=
;
cot ( )
4
y g x

=
III - Hớng dẫn về nhà :
- Bài tập 1,2(sgk)
- Xem trớc phần "Sự biến thiên của các hàm số lợng giác"
IV - Phần bổ sung:
nguyễn đình lộc xuân huy 2007/2008
2
giáo án đại số & giải tích lớp 11 ban khtn
Tiết 2: Hàm số lợng giác.(t2)
I - Mục đích yêu cầu:
- Giúp học sinh nắm đợc sự biến thiên và vẽ đợc đồ thị của các hàm số
y = sinx, y = cosx.
II - Trọng tâm:
- Sự biến thiên và đồ thị của các hàm số y = sinx, y = cosx.
III - Nội dung:
1.Bài cũ: Nêu các tính chất của hàm số y = sinx, y = cosx?
2.Bài mới:
Hoạt động 1:
H1:Nêu các tính chất của hàm số
y = sinx?
GV:Từ các tính chất đã có của
hàm số y = sinx ta chỉ cần khảo sát
sự biến thiên của hàm số trên một
chu kỳ có tâm đối xứng là O.
Ta chọn chu kỳ đó là đoạn[-

;

]

H2:So sánh sinx
1
và sinx
2
sinx
3
và sinx
4
Biểu diễn các điểm:(x
1
;sinx
1
),
(x
2
,sinx
2
);(x
3
;sinx
3
);(x
4
;sinx
4
)
trên mặt phẳng toạ độ.
III/Sự biến thiên của các hàm số l ợng giác
1.Hàm số y = sinx:
- TXĐ:

Ă
và -1

sinx

1.
- là hàm số lẻ.
- tuần hoàn với chu kỳ
2

a)Khảo sát trên đoạn [0 ;

]
Xét
1 2
, 0;
2
x x





với
1 2
0
2
x x

Đặt:
3 2 4 1
;x x x x

= =
Ta thấy:
Với:
1 2
, 0;
2
x x





thì x
1
< x
2

sinx
1
< sinx
2
.
Với:
3 4
, ;
2

x x






thì x
3
< x
4

sinx
3
> sinx
4
.
Vậy: hàm số y = sinx đồng biến trên:
0;
2




,
nghịch biến trên:
;
2

Bảng biến thiên:(sgk)
Do hàm số y = sinx lẻ nên lấy đối xứng đồ thị
nguyễn đình lộc xuân huy 2007/2008
3
y
y
x
x
1 2 3 4

2
x x x x

x
1
x
2
x
3
x
4
O
O
sinx
1
sinx
2

sinx
2
sinx
1
A
B
A'
B'
giáo án đại số & giải tích lớp 11 ban khtn
Trên đoạn:
[ ]
;


đồ thị hàm số y
= sinx có tính chất gì?
Đồ thị hàm số y = sinx trên
Ă
đợc
suy ra bằng cách tịnh tiến phần đồ
thị trên song song trục Ox các
đoạn có độ dài k
2

.
Hoạt động 2:
Nêu các tính chất của hàm số
y = cosx
H3:Tử điểm có toạ độ (x;sinx) hãy
dựng điểm (x;cosx)?

Từ đó hãy nêu cách dựng đồ thị
hàm số y = cosx?
H4: Dựa vào đồ thị nêu sự biến
hàm số trên đoạn [0 ;

] qua gốc toạ độ O ta
đợc đồ thị hàm số trên đoạn
[ ]
;0


.Từ đó ta
có đồ thị hàm số trên đoạn
[ ]
;


.



b)Đồ thị hàm số y = sinx trên
Ă
.
2.Hàm số y = cosx:
- TXĐ :
Ă
và -1

cosx

1.
- là hàm số chẵn.
- tuần hoàn với chu kỳ
2

.
Ngoài ra: với
x Ă
ta có:

sin cos
2
x x


+ =


Do đó đồ thị hàm số y= cosx đợc suy từ đồ thị
hàm số y = sinx bằng cách tịnh tiến song song
trục Ox qua trái 1 đoạn có dộ dài
2

nguyễn đình lộc xuân huy 2007/2008
4
y
x
O

2


2


y
x
O
1
-1
y
x
O
1
-1
giáo án đại số & giải tích lớp 11 ban khtn
thiên của hàm số y = cosx trên
đoạn
[ ]
;


?
Từ đồ thị suy ra:
Hàm số y= cosx đồng biến trên đoạn:
[ ]
;0

,
nghịch biến trên đoạn : [0 ;

]
Bảng biến thiên:(sgk).
3.Cũng cố - Luyện tập:
- Dựa vào đồ thị hàm số y = cosx tìm các giá trị của x để cosx =
1
2
?
- Dựa vào đồ thị hàm số y = cosx vẽ đồ thị hàm số y = cos(x-
4

)
IV - Hớng dẫn về nhà:
-Nắm các tính chất của các hàm số y = sinx, y = cosx.
-Bài tập: 3,4,5,6,7.
Xem trớc phần còn lại.
IV - Phần bổ sung:
nguyễn đình lộc xuân huy 2007/2008
5
giáo án đại số & giải tích lớp 11 ban khtn
Tiết 3: Hàm số lợng giác (t3)
I - Mục đích yêu cầu:
- Giúp học sinh nắm đợc sự biến thiên và đồ thị của hàm số y = tgx;
y = cotgx.
II - Trọng tâm:
- Sự biến thiên và đồ thị của các hàm số y = tgx;y = cotgx.
III - Nội dung:

1.Bài củ: Nêu các tính chất đã học của hàm số y = tgx;y = cotgx?
2.Bài mới:
Hoạt động 1:
H1:Nêu các tính chất của hàm
số y = tgx?
Xét tính đồng biến,nghịch biến
của hàm số y =tgx trên
0;
2






III/Sự biến thiên của các hàm số l ợng giác
3.Hàm số y = tgx:
- TXĐ:
\ /
2
D k k



= +


Ă Z
- Là hàm số lẻ.
- Tuần hoàn với chu kỳ

a)Sự biến thiên và đồ thị hàm số y = tgx trên
nữa khoảng
0;
2





Từ biểu diễn hình học của tgx ta có:
-Với x
1
,x
2
0;
2






, x
1
< x
2
thì tgx
1
< tgx

2
.
Vậy hàm số y = tgx đồng biến trên
0;
2





Bảng biến thiên:(sgk)
Đồ thị hàm số y = tgx trên nửa khoảng
0;
2





x
6


4


3

...
nguyễn đình lộc xuân huy 2007/2008

6
O A
B
A'
B'
M
1
M
2
T
1
T
2
t
y
O
x
giáo án đại số & giải tích lớp 11 ban khtn
H3:Hãy nêu cách dựng đồ thị
hàmsố y = tgx trên nữa khoảng
;0
2






?
Nêu cách dựng đồ thị hàm số

y = tgx trên
\ /
2
D k k



= +


Ă Z
?
Hoạt động 2:
H:Nêu các tính chất của hàm số
y = cotgx?
Từ sự biến thiên của hàm số
y = tgx hãy suy ra sự biến thiên
của đồ thị hàm số
y = cotgx?
y = tgx
1
3

1

3
...
b)Đồ thị hàm số y = tgx trên
;
2 2

c)Đồ thị hàm số y = tgx trên
\ /
2
D k k



= +


Ă Z
(sgk).
4.Hàm số y = cotgx:
- TXĐ:
{ }
\ /D k k

= Ă Z
- Là hàm số lẻ.
- Tuần hoàn với chu kỳ

.
Ta có:
1
cotgx

tgx
=
nên:
1 2 1 2
1 2
1 1
0
2
x x tgx tgx
tgx tgx

< < < < >
hay:
1 2
cotgx cotgx>
Tơng tự:
1 2 1 2
1 2
1 1
2
x x tgx tgx
tgx tgx


< < < < >
hay:
1 2
cotgx cotgx>
Vậy: hàm số y = cotgx nghịch biến trên
( )

0;

Bảng biến thiên:(sgk)
nguyễn đình lộc xuân huy 2007/2008
7
y
x
2


2

giáo án đại số & giải tích lớp 11 ban khtn
Đồ thị hàm số y = cotgx trên :
( )
0;

Đồ thị hàm số y = cotgx trên D (sgk)
4.Cũng cố - Luyện tập:
- Dựa vào đồ thị các hàm số y = tgx, y = cotgx tìm x để :
tgx = 0, cotgx = 1?
- Xét tính đồng biến,nghịch biến của các hàm số y = tgx, y = cotgx trên tập xác định
của nó?
IV.Hớng dẫn về nhà:
Bài tập:1,2,3,4,5,6,7(sgk)
IV - Phần bổ sung:
nguyễn đình lộc xuân huy 2007/2008
8
y
x

O

giáo án đại số & giải tích lớp 11 ban khtn
Tiết 4: Luyện tập
I - Mục đích yêu cầu:
- Gúp học sinh cũng cố lại các kiến thức đã học về các hàm số lợng giác. Rèn luyện
kỷ năng tìm tập xác định ,khảo sát ,vẽ đồ thị các hàm số lợng giác.
II - Trọng tâm:
- Các bài tập 1,2,3,6,7(SGK)
III - Nội dung:
1.Bài củ: Nêu các tính chất của các hàm số lợng giác đã học?
2.Bài mới:
Hoạt động 1:
HS1: giải câu a),b)
HS2: giải câu c),d)
GV:Hớng dẫn học sinh sử
dụng đồ thị hàm số y = tgx để
tìm kết quả bài toán.
Hoạt động 2:
HS3: giải câu a)
HS4: giải câu b)
HS5: giải câu c)
HS6: giải câu d)
GV:Đánh giá kết quả ,sửa
chữa sai sót,cho điểm.
Bài tập 1:
Tìm trên
[ ]
;2

,tìm x sao cho:
a) tgx = 0 b)tgx = 1
c) tgx > 0 d)tgx < 0
Giải:
a)
{ }
,0, ,2x


b)
3 5
, ,
4 4 4
x





c)
3
0 ; 0; ;
2 2 2
tgx x



>

3
0 ;0 ; ;2
2 2 2
tgx x



<


Bài tập 2: Tìm tập xác định của các hàm số:
a)
1 cos
sin
x
y
x
+
=
b)
1 cos
1 cos
x
y
x
+
=

c)

3
y tgx x


=


c)
cot
6
y g x


= +


Giải:
a)ĐK: sinx

0

x

k

Vậy D =
{ }
\ ,k k

Ă Z

b) ĐK:
1 cos
0 1 cos 0
1 cos
x
x
x
+





2x k


Vậy D =
{ }
\ 2 ,k k

Ă Z
c)ĐK:
3 2 6
x k x k


+ +
nguyễn đình lộc xuân huy 2007/2008
9
giáo án đại số & giải tích lớp 11 ban khtn

Hoạt động 3:
GV:Hớng dẫn giải bài tập này
cho học sinh.
H1:Mở trị tuỵêt đối của hàm
số.
H2:Khi nào hàm số y =
sin x
trùng với hàm số y = sinx?
H3:Trên những phần còn lại
giá trị hai hàm số nh thế nào?
H4:Hãy nêu cách vẽ đồ thị
hàm số y =
sin x
.
Hoạt động 4:
HS7:giải bài tập 4.
GV:Hớng dẫn: tìm các
khoảng đồ thị hàm số y=sinx
nằm phía trên trục Ox.
Hoạt động 5:
HS8:giải bài tập 5
Vậy D =
\ ,
6
k k



+

Ă Z
d)ĐK:
6 6
x k x k


+ +
Vậy: D =
\ ,
6
k k



+


Ă Z

Bài tập3:Dựa vào đồ thị hàm số y = sinx vẽ
đồ thị hàm số y =
sin x
.
Giải:
sin khi sinx 0
sin
-sinx khi sinx<0
x
y x

= =


Vậy đồ thị hàm số y =
sin x
đợc dựng nh
sau:
- Giữ nguyên phần đồ thị hàm số y = sinx
nằm phía trên trục hoành.
- Lấy đối xứng qua Ox phần đồ thị hàm số
y = sinx nằm phía dới trục hoành.
Bài tập 4: Dựa vào đồ thị hàm số y = sinx
tìm các giá trị của x để sinx > 0?
Giải:
sinx > 0

( )
2 ; 2 ,x k k k

+ Z
Bài tập 5: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số:
2(1 cos ) 1y x= + +
.
Giải:
cos 1 1 cos 2 2(1 cos ) 4x x x + +
2(1 cos ) 2 2(1 cos ) 1 3x x + + +
Vậy Max y = 3

cosx=1

2x k

=
IV - Hớng dẫn về nhà:
- Giải các bài tập còn lại.
- ôn lại các công thức lợng giác đã học ở lớp 10.
nguyễn đình lộc xuân huy 2007/2008
10
giáo án đại số & giải tích lớp 11 ban khtn
Tiết 5+6: Công thức biến đổi
I - Mục đích yêu cầu:
- Giúp học sinh nắm đợc các công thức biến đổi tích thành tổng,tổng thành tích.Vận
dụng đợc các công thức vào việc biến đổi lợng giác.
II - Trọng tâm:
- Công thức biến đổi tích thành tổng.
- Công thức biến đổi tổng thành tích.
III - Nội dung:
1.Bài củ: Nêu các công thức cộng đã học ở lớp 10.
2.Bài mới:
Hoạt động 1:
HS1:Viết các công thức:
cos(a + b),cos(a - b)
HS2:Viết các công thức:
sin(a + b),sin(a - b)
GV:Hớng dẫn học sinh nhận
xét đặc điểm 2 vế của các
công thức từ đó rút ra phơng
pháp học thuộc nhanh công

thức.
GV:Hớng dẫn hs cộng 2 vế
các công thức trên để rút ra
kết quả của định lý 1.
H1:Tìm tổng và hiệu của các
cung có trong A,B?
H2:Phân tích A,B thành tổng?
Hoạt động 2:
GV:Hớng dẫn học sinh đặt u
= a - b; v = a + b
rút ra a , b theo u , v thay vào
các công thức ở định lý 1 rút
1.Công thức biến đổi tích thành tổng:
Định lý 1: Với mọi a,b
Ă
cosa cosb =
1
2
[ cos(a - b) + cos(a + b)]
sina sinb =
1
2
[cos(a - b) - cos(a + b)]
sina cosb =
1
2
[sin(a - b) + sin(a + b)]
Ví dụ 1: Tính giá trị của biểu thức:
3
sin cos

8 8
A

=
;
13 5
sin sin
24 24
B

=
.
Giải: Ta có:
3 1 3 3
sin cos sin sin
8 8 2 8 8 8 8
A



= = + +




1 1 2
sin sin 1
2 4 2 2 2

= + =






.

13 5
sin sin
24 24
1 13 5 13 5
cos cos
2 24 24 24 24
= =


+
ữ ữ



B


1 3 1 1 2 1 2
cos cos

2 3 4 2 2 2 4


+

= = + =




2.Công thức biến đổi tổng thành tích:
Định lý 2:Với mọi u,v

Ă
ta có:
cos cos 2cos cos
2 2
u v u v
u v
+
+ =
nguyễn đình lộc xuân huy 2007/2008
11
giáo án đại số & giải tích lớp 11 ban khtn
ra kết quả ở định lý 2.
GV:Hớng dẫn hs cách học
thuộc nhanh các công thức
biến đổi tổng thành tích.
Hết tiết 5.
Hoạt động 3:

HS1:Biến đổi A thành tích.
Hoạt động 4:
GV:Hớng dẫn hs biến đổi
tổng:sinA + sinB + sinC
thành tích.
Hoạt động 5:
HS2:Chứng minh định lý.
GV:Hớng dẫn học sinh dùng
công thức:
sin
cos
x
tgx
x
=
và công thức cộng
để chứng minh định lý3
cos cos 2sin sin
2 2
u v u v
u v
+
=
sin sin 2sin cos
2 2
sin sin 2cos sin
2 2
u v u v
u v
u v u v

u v
+
+ =
+
=
Ví dụ 2: Tính
5 7
cos cos cos
9 9 9
A

= + +
Giải: Ta có:

7 7
cos cos cos
9 9 9
A


= + +



4 4
2cos cos cos
9 3 9

= +



4 4
cos cos 0
9 9

= =
Ví dụ 2: Chứng minh rằng trong tam giác ABC ta có:

sin sin sin 4cos cos cos
2 2 2
A B C
A B C
+ + =
.
Giải: Trong tam giác ABC ta có:
A + B + C =

do đó:
2 2 2
A B C

+
=
Vì vậy:
sin cos ,cos sin
2 2 2 2
A b C A B C

+ +
= =

sin sin sin
2sin cos 2sin cos
2 2 2 2
+ + =
+
= +
A B C
A B A B C C


2cos cos sin
2 2 2
2cos cos cos
2 2 2
4cos cos cos
2 2 2
C A B C
C A B A B
A B C


= +


+

= +

=
Định lý 3: với mọi u,v
,
2
k k


+ Z
.Ta có

( )
sin
cos cos
u v
tgu tgv
u v

=
nguyễn đình lộc xuân huy 2007/2008
12
giáo án đại số & giải tích lớp 11 ban khtn
HS3:Biến đổi tổng:
tgA + tgB + tgC thành tích.
Ví dụ 4: Chứng minh rằng nếu tam giác ABC khong
phải là tam giác vuông thì :
tgA + tgB + tgC = tgA tgB tgC.
Giải:
Vì tam giác ABC không phải là tam giác vuông nên

tgA, tgB,tgC xác định.Ta có:

sin( ) sin
cos cos cos
sin sin
cos cos cos
+
+ + = + =
= +
A B C
tgA tgB tgC
A B C
C C
A B C
=
( )
sin cos cos cos
cos cos cos
C C A B
A B C
+
=
[ ]
sin cos( ( )) cos cos
cos cos cos
C A B A B
A B C

+ +
=

[ ]
sin cos( ) cos cos
cos cos cos
C A B A B
A B C
+ +

=
( )
sin cos cos sin sin cos cos
cos cos cos
C A B A B A B
A B C
+ +
=tgA tgB tgC
3.Cũng cố - Luyện tập:
Đọc thuộc lòng các công thức biến đổi đã học.
Bài tập:1 (sgk)
VI - Hớng dẫn về nhà:
Học thuộc các công thức đã học
Bài tập 2,3,4,5,6.
IV - Phần bổ sung:
Tiết 7: Công thức biến đổi (t3)
nguyễn đình lộc xuân huy 2007/2008
13
giáo án đại số & giải tích lớp 11 ban khtn
I - Mục đích yêu cầu:
- Giúp học sinh nắm đợc phơng pháp biến đổi biểu thức asinx + bcosx thành
tích.Vận dụng thành thạo trong biến đổi lợng giác.
II - Trọng tâm:

- Phơng pháp biến đổi biểu thức asinx + bcosx thành tích.
III - Nội dung:
1.Bài củ: Phát biểu các công thức biến đổi tích thành tổng,tổng thành tích.
2.Bài mới:
Hoạt động 1:
HS1:Chứng minh:
sin cos 2 cos
4
x x x


+ =


HS2:Tìm giá trị lớn nhất của
biểu thức A = sinx + cosx.
Hoạt động 2:
GV:Nêu bài toán tổng quát:
Tìm giá trị lớn nhất,nhỏ nhất của
biểu thức:
A = asinx + bcosx
với a,b thuộc R
Để giải đợc bài toán này ta cần
phân tích A về dạng tơng tự nh
hệ thức trên.
GV: Từ biến đổi trên ta thấy giá
trị lớn nhất của A là
2 2
a b+
và

giá trị nhỏ nhất của A là
-
2 2
a b+

Hoạt động 3:
H1:Xác định a,b.Tính
2 2
a b+
HS3:Thực hiện các bớc biến đổi
nh đã học.
3.Công thức biến đổi biểu thức asinx + bcosx
Nếu a = 0 hoặc b = 0 biểu thức có dạng: asinx
hoặc bcosx.
Giả sử a,b

0 Ta có:
2 2
2 2 2 2
sin cos
sin cos
+ =

= + +
ữ
ữ
+ +

a x b x
a b

a b x x
a b a b
Vì
2 2
2 2 2 2
1
a b
a b a b

+ =


+ +

nên có số:


sao cho:
2 2 2 2
cos ; sin
a b
a b a b

= =
+ +
Khi đó ta đợc:

( )
2 2
sin cos

cos sin sin cos
+ =
= + +
a x b x
a b x x

=
2 2
sin( )a b x

+ +

Ví dụ: Biến đổi biểu thức sau thành tích:
3sinx -
3
cosx
Giải: Ta có:
3 3
3sin 3 cos 12 sin cos
12 12
x x x x

= +



3 1
2 3 sin cos
2 2
x x

=



2 3(sin cos cos cos )
6 6
x x

=
nguyễn đình lộc xuân huy 2007/2008
14
giáo án đại số & giải tích lớp 11 ban khtn
=
2 3 sin
6


ữ

x

3. Luyện tập - Cũng cố:
- Hãy biến đổi biểu thức asinx + bcosx về dạng tích của một số với cosin của một
góc.
- Phân tích biểu thức sau thành tích: 3sinx + 4cosx.
-Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 6sinx - 8cosx
V - Hớng dẫn về nhà:
Bài tập:1- 6
IV - Phần bổ sung:

Tiết 8: Luyện tập
nguyễn đình lộc xuân huy 2007/2008
15
giáo án đại số & giải tích lớp 11 ban khtn
I - Mục đích yêu cầu:
- Giúp học sinh nắm đợc các công thức biến đổi lợng giác.Rèn luyện các kỷ năng
phân tích tổng thành tích,tích thành tổng.Chuẩn bị tiền đề cho việc giải các phơng
trình lợng giác.
II - Trọng tâm:
- Các bài tập về biến đổi tổng thành tích.
III - Nội dung:
1.Bài củ: Phát biểu các công thức biến đổi tổng thành tích,tích thành tổng?
2.Bài mới:
Hoạt động 1:
HS1:giải a),b)
HS2:giải c),d)
Hoạt động 2:
HS3:giải a)
HS4:giải b)
GV:Hớng dẫn hs giải câu b
theo 2 cách: hạ bậc hoặc phân
tích thành tích rồi áp dụng
công thức biến đổi.
Bài tập1: Tính các giá trị sau:
a)
11 5
cos cos
12 12

b)
11 5
sin sin
12 12

+
c)
17
cos cos
12 12

+
d)
17
sin sin
12 12


Giải: Ta có:
11 5 2 6
cos cos 2sin sin
12 12 3 4 2

= =
11 5 2 6
sin sin 2sin cos
12 12 3 4 2

+ = =

17 3 2 2
cos cos 2cos cos
12 12 4 3 2

+ = =
17 3 2 6
sin sin 2cos sin
12 12 4 3 2

= =
Bài tập 2: Rút gọn biểu thức:
a)
sin sin
6 6
x x


+ +


b)
2 2
2 2
cos cos
3 3
x x


+

Giải: Ta có:
sin sin 2sin sin sin
6 6 6
x x x x


+ + = =


2 2
2 2
cos cos
3 3
x x


+ =


=
4 4
1 cos 2 1 cos 2
3 3
2 2
x x


+ + +

nguyễn đình lộc xuân huy 2007/2008
16
giáo án đại số & giải tích lớp 11 ban khtn
Hoạt động 3:
HS5 :giải a)
HS6 : giải b)
Hoạt động 4:
HS7 :giải A
HS 8:giải B.
Hoạt động 5:
GV:Chữa bài tập 5
=
1 4 4
cos 2 cos 2
2 3 3


+
ữ ữ



x x

4 3
sin sin 2 sin 2
3 2
= = x x

Bài tập 3:Biến đổi thành tích các biểu thức sau:
a) 1 - sinx b) 1 + 2cosx
Giải: Ta có:
1 - sinx = sin
2

- sinx =
2cos sin
4 2 4 2
x x


+


1 + 2cosx =
1
2 cos 2 cos cos
2 3
x x


+ = +



cos cos
6 2 6 2
x x

= +


Bài tập 4:Viết các tổng sau dới dạng tích:
A = sin26
0
+ sin28
0
+ sin32
0
+ sin34
0
.
B =
3 5 7
cos cos cos cos
12 12 12 12

+ + +
.
Giải: Ta có:
A = (sin26
0
+ sin34
0
) + (sin28
0
+ sin32

0
)
=2sin30
0
cos4
0
+ 2sin30
0
cos2
0

=2sin30
0
(cos4
0
+ cos2
0
)
=2cos3
0
cos1
0
.
B =
3 5 7
cos cos cos cos
12 12 12 12


+ + +

2cos cos 2cos cos
6 12 2 12

= +

3 cos
12

=
Bài tập 5:Biến đổi tích sau thành tổng và tính giá trị
biểu thức nhận đợc:
5 7
cos cos cos
18 18 18

.
Giải: Ta có
5 7 1 4 7
cos cos cos cos cos cos
18 18 18 2 18 3 18


= +



=

1 4 7 1 7
cos cos cos
2 18 18 4 18

+
=
1 11 1 11
cos cos cos
4 6 18 4 18



+ +


nguyễn đình lộc xuân huy 2007/2008
17
giáo án đại số & giải tích lớp 11 ban khtn
=
3 1 11 1 11 3
cos cos
8 4 18 4 18 8

+ =

IV - Hớng dẫn về nhà:
Bài tập 6.
IV - Phần bổ sung:
Tiết 9: Phơng trình lợng giác cơ bản.(t1)
I - Mục đích yêu cầu:

- Giúp học sinh nắm đợc phơng pháp giải các phơng trình sinx = a;cosx = a.
nguyễn đình lộc xuân huy 2007/2008
18
giáo án đại số & giải tích lớp 11 ban khtn
Nắm đợc các công thức nghiệm của các phơng trình trên,hiểu các khái niệm
arcsinx,arcscosx.
II - Trọng tâm:
- Công thức nghiệm của các phơng trình sinx= a ; cosx = a.
III - Nội dung:
1.Bài củ: Nhắc lại định nghĩa sinx,cosx?
2.Bài mới:
Hoạt động 1:
HS: Tìm 1 giá trị của x sao cho:
2sinx - 1 = 0?
GV:Nêu k/n phơng trình lợng
giác,nghiệm của phơng trình lợng
giác.Các phơng trình lợng giác cơ
bản.
Hoạt động 2:
H1:có x để sinx = 2 không?
H2:Hãy xác định các cung có sin
bằng a?
Gợi ý:Dựng các cung mà điểm ngọn
có tung độ bằng a?
H3:Xác định số đo của các cung lợng
giác AM,AM' theo

?Viết nghiệm
của phơng trình sinx = a?
I/Phơng trình lợng giác cơ bản:

Các phơng trình: sinx = a ; cosx = a ; tgx = a
cotgx = a gọi là các phơng trình lợng giác cơ
bản (a là 1 hằng số cho trớc)
1.Phơng trình sinx = a:
Trờng hợp:
1a >
phơng trình vô nghiệm vì
sin 1x
với mọi x.
Trờng hợp:
1a
Trên trục sin lấy điểm K
sao cho
OK
= a
Từ K kẻ đờng thẳng
vuông góc với trục
sin cắt đờng tròn
lợng giác tại M
và M' đối xứng nhau
qua trục sin.
Số đo của các cung
ẳ
ẳ
, 'AM AM
là nghiệm của phơng trình sin x = a.
Nếu

là 1 số đo bằng rađian của cung lợng
giác AM ta có: sđ

ẳ
AM
=

+ k2

,
k Z
sđ
ẳ
'AM
=

-

+ k2

,
k Z
Vậy nghiệm phơng trình sinx = a là:
x =

+ k2

,
k Z
x =

-

+ k2

,
k Z
Chú ý:
a)Nếu

cho bằng độ thì nghiệm phơng trình
sinx = a là: x =

+ k360
0
,
k Z
và x = 180
0
-

+ k360
0
,
k Z
nguyễn đình lộc xuân huy 2007/2008
19
A
B
A'
B'
M
M'

a K
O
giáo án đại số & giải tích lớp 11 ban khtn
VD:Tìm arcsin
1
2
,arcsin
3
2




.
GV:Công thức nghiệm của phơng
trình sinx = a có thể viết lại là:
x = arcsina + k2

x =

- arcsina + k2

HS:giải các phơng trình:
a)sinx =
1
3
; b) sin(x+45
0
) = -
2

2
Hoạt động 2:
Thực hiện tơng tự phơng trình
sinx = a
Tìm số đo của
các cung lợng giác
b)Nếu: 2 2
sin a








=

thì

= arcsina
c)Đặc biệt:
sinx = 1 thì x =
2

+ k2

,
k Z
sinx =-1 thì x = -

2

+ k2

,
k Z
sinx = 0 thì x = k

,
k Z
.
d) sinx = sin

thì x =

+ k2

và x =

-

+ k2


Ví dụ1: Giải phơng trình sin x = -
1
2
Giải: sinx = -
1
2

= sin
6





nên:
x =
2
6
k


+
và x =
5
2
6
k


+
,
k Z
2.Phơng trình cosx = a.
Trờng hợp:
1a >
phơng trình vô nghiệm vì
s 1co x

với mọi x.
Trờng hợp:
1a
Trên trục cosin lấy điểm H
sao cho
OH
= a
Từ H kẻ đờng thẳng
vuông góc với trục
cosin cắt đờng tròn
lợng giác tại M
và M' đối xứng nhau
qua trục cosin.
Số đo của các cung
ẳ
ẳ
, 'AM AM
là nghiệm của phơng trình cosx = a.
Nếu

là 1 số đo bằng rađian của cung lợng
giác AM ta có: sđ
ẳ
AM
=

+ k2

,
k Z

sđ
ẳ
'AM
= -

+ k2

,
k Z
Vậy nghiệm phơng trình cos = a là:
x =

+ k2

,
k Z
x = -

+ k2

,
k Z
Chú ý:
nguyễn đình lộc xuân huy 2007/2008
20
A
B
A'
B'
O

M
M'
a
H
giáo án đại số & giải tích lớp 11 ban khtn
AM,AM' theo

?Viết nghiệm của
phơng trình cosx = a?
H:Tìm arccos(-
1
2
)?
HS: giải các phơng trình:
cosx = -
1
2
;cosx =
2
3
cosx =
3
2
a)Nếu

cho bằng độ thì nghiệm phơng trình
cosx = a là: x =

+ k360
0

,
k Z
và x = -

+ k360
0
,
k Z
b)Nếu:
0
cos a





=

thì

= arccosa
Khi đó nghiệm phơng trình có thể viết:
x =

arccosa + k2

,
k Z
c)Đặc biệt:
cosx = 1 thì x = k2

,
k Z
cosx =-1 thì x =

+ k2

,
k Z
cosx = 0 thì x =
2

+ k

,
k Z
.
d) cosx = cos

thì x =

+ k2

và x = -

+ k2


Ví dụ 2: Giải các phơng trình:
a) cosx = cos

6

b)cos3x = -
2
2
b) cosx =
1
3
d)cos(x + 60
0
) =
2
2
Ví dụ 3: Giải phơng trình:
5cosx - 2sin2x = 0
Giải: Ta có:
5cosx - 2sin2x = 0

5cosx - 4sinxcosx =
0


cosx(5 - 4sinx) = 0

cos 0
5 4sin 0
x
x
=

=


.cosx = 0

x =
2

+ k

,
k Z
.
.5 - 4cosx = 0
5
sin 1
4
x = >
vô nghiệm.
Vậy phơng trình có nghiệm là x =
2

+ k

,
k Z
.
3.Cũng cố - Luyện tập:

- Viết lại các công thức nghiệm của các phơng trình sinx = a; cosx = a.
- Nêu các trờng hợp đặc biệt.
nguyễn đình lộc xuân huy 2007/2008
21
giáo án đại số & giải tích lớp 11 ban khtn
V - Hớng dẫn về nhà:
Bài tập:1,2,3,4,5,6.
IV - Phần bổ sung:
Tiết 10: Phơng trình lợng giác cơ bản.(t2)
I - Mục đích yêu cầu:
- Giúp học sinh nắm đợc phơng pháp giải các phơng trình tgx = a;cotgx = a.
nguyễn đình lộc xuân huy 2007/2008
22
giáo án đại số & giải tích lớp 11 ban khtn
Nắm đợc các công thức nghiệm của các phơng trình trên,hiểu các khái niệm
arctgx,arcsctgx.
II - Trọng tâm:
- Công thức nghiệm của các phơng trình tgx= a ; cotgx = a.
III - Nội dung:
1.Bài củ: Nêu các công thức nghiệm của phơng trình sinx = a; cosx = a?
2.Bài mới:
Hoạt động 1:
H1 :Dựa vào đồ thị hàm số y = tgx
và đồ thị hàm số y = a,nhận xét
mối quan hệ giữa hoành độ các
giao điểm của chúng?
H2:Nêu công thức nghiệm của ph-
ơng trình khi biết hoành độ của 1
giao điểm là

?
H3:Xác định arctg1,arctg(-1)?
Gọi HS đứng tại chổ giải.
HS:Giải các phơng trình:
a)tgx = 1; b)tgx = -1; c)tgx = 0.
3.Phơng trình tgx = a:
ĐK: x
,
2
k k


+ Z
.
Xét các giao điểm của đồ thị hàm số y = tgx và
đờng thẳng y = a ta thấy hoành độ của chúng
sai khác một bội nguyên của

.Nếu

là hoành
độ của một điểm thì nghiệm phơng trình tgx = a
là x =

+ k

,
k Z
.
Nếu: 2 2

tg a




< <



=

thì

= arctga
Khi đó nghiệm phơng trình tgx = a là
x = arctga + k

,
k Z
.
(Hình vẽ :SGK).
Chú ý:
1. tgx = tg

thì x =

+ k

,
k Z

.
2.Nếu

cho bằng đơn vị độ thì phơng trình có
nghiệm là:
x =

+ k180
0
,
k Z
.
Ví dụ 1: Giải các phơng trình:
a) tgx = tg
5

; b)tg2x = -
2
3
; c)tg(3x + 15
0
)=1
Giải:
a)
,
5 5
tgx tg x k k


= = + Z

1 1
) 2 2
3 3
1 1
,
2 3 2
b tg x x arctg k
x arctg k k



= = +



= +


Z

c) tg(3x + 15
0
) = 1

tg(3x + 15
0
) = tg45
0

3x + 15
0
= 45
0
+ k180
0



3x = 30
0
+ k180
0



x = 10
0
+ k60
0
,
k Z
nguyễn đình lộc xuân huy 2007/2008
23
giáo án đại số & giải tích lớp 11 ban khtn
Hoạt động 2:
Thực hiện tơng tự phơng trình
tgx=a
Xác định arccotg
( )

3
Gọi hs đứng tại chổ giải.
4.Phơng trình cotgx = a:
ĐK: x
,k k

Z
Xét các giao điểm của đồ thị hàm số
y = cotgx và đờng thẳng y = a ta thấy hoành độ
của chúng sai khác một bội nguyên của

.Nếu

là hoành độ của một điểm thì nghiệm phơng
trình cotgx = a là
x =

+ k

,
k Z
.
Nếu:
0
cotg a


< <

=

thì

= arccotga
Khi đó nghiệm phơng trình cotgx = a là
x = arccotga + k

,
k Z
.
(Hình vẽ :SGK).
Chú ý:
1. cotgx = cotg

thì x =

+ k

,
k Z
.
2.Nếu

cho bằng đơn vị độ thì phơng trình có
nghiệm là:
x =

+ k180
0

,
k Z
.
Ví dụ 2: Giải các phơng trình:
a)cotg4x = cotg
2
7

b)cotg3x = -2
c) cotg(2x-10
0
) =
1
3
Giải:
2 2
) 4 4
7 7
x ,
14 4
a cotg x cotg x k
k k



= = +
= + Z
) 3 2 3 ( 2)
1
x ( 2) ,

3 3
b cotg x x arccotg k
arccotg k k


= = +
= + Z
c)cotg(2x - 10
0
) =
1
3

cotg(2x - 10
0
) = cotg60
0


2x - 10
0
= 60
0
+ k180
0


2x = 70
0
+ k180

0


x = 35
0
+ k90
0
,
k Z
3.Luyện tập - Cũng cố:
Giải các phơng trình: cotgx = 1;cotgx = -1;cotgx = 0.
nguyễn đình lộc xuân huy 2007/2008
24
giáo án đại số & giải tích lớp 11 ban khtn
IV - Hớng dẫn về nhà:
Bài tập:7,8.
V - Phần bổ sung:
Tiết 11: Phơng trình lợng giác cơ bản (t3)
I - Mục đích yêu cầu:
- Giúp học sinh nắm đợc cách biểu diển nghiệm phơng trình lợng giác trên đờng tròn
lợng giác.
- Nắm đợc cách sử dụng máy tính bỏ túi Casio để giải các phơng trình lợng giác cơ
bản.
II - Trọng tâm:
nguyễn đình lộc xuân huy 2007/2008
25