SKKN giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất image marked

SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO BÌNH PHƯỚC
TRƯỜNG THPT ĐỒNG XỒI

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
MƠN TỐN

ĐỀ TÀI: CÁC PHƯƠNG PHÁP TÌM GIÁ TRỊ
LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA
HÀM SỐ


A/ PHẦN MỞ ĐẦU
I/ LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Trong quá trình giảng dạy cho các em học sinh nhất là học sinh lớp 12, khi
dạy bài “GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT” các em thường đặt
vấn đề là:“Có bao nhiêu cách tìm GTLN-GTNN của một hàm số hay một
biểu thức”. Thực tế vấn đề GTLN-GTNN các em đã bắt đầu học từ chương
trình lớp 8, lớp 9 và trong chương trình ở bậc THPT.
Các bài toán tìm GTLN-GTNN rất phong phú và đa dạng, nó mang một nội
dung vô cùng sâu sắc trong việc giáo dục tư tưởng qua môn toán: đi tìm cái tốt
nhất, rẻ nhất, ngắn nhất, dài nhất … trong một bài toán, để dần hình thành cho
học sinh một thói quen đi tìm một giải pháp tối ưu cho một công việc nào đó
cho cuộc sống sau này .
II/TÍNH CẤP THIẾT KHI CHỌN ĐỀ TÀI
Các bài toán tìm GTLN-GTNN có một vò trí xứng đáng trong chương trình học
và dạy ở các trường phổ thông. Các bài toán này đòi hỏi vận dụng nhiều kiến
thức và vận dụng một cách hợp lý, nhiều khi khá độc đáo. Do đó các em học
sinh thường gặp nhiều khó khăn trong việc đi tìm lời giải, các em không biết
bắt đầu từ đâu, vận dụng kiến thức nào trong chương trình đã học ?
Mặt khác trong các đề thi tốt nghiệp THPT, đề thi Đại Học và đề thi HSG thì
bài toán tìm GTLN-GTNN rất thường xuyên xuất hiện, thí sinh khi làm các

bài thi này thường rất lúng túng trong việc tìm lời giải .
Để giúp các em bớt gặp khó khăn cũng như có cách nhìn chung về vấn đề tìm
GTLN-GTNN, bài viết sau đây nhằm mục đích hệ thống lại các phương pháp
tìm GTLN-GTNN của một hàm số hay một biểu thức.
Tác giả rất mong nhận được ý kiến đóng góp chân thành của q thầy cô cùng
đồng nghiệp để bài viết được tổng quát hơn, hay hơn.


NỘI DUNG I : ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT CỦA GTNN - GTLN
1/ ĐỊNH NGHĨA:
a/ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT:
Cho hàm số f(x) có miền xác đònh D.Ta nói M là giá trò lớn nhất của f(x) trên
miền D ,nếu như đồng thời thỏa mãn hai điều kiện sau:
1/ f(x)  M x  D
2/ x0  D : f ( x0 )  M
Ký hiệu: M = max f(x)
xD

b/ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT:
Cho hàm số f(x) có miền xác đònh D.Ta nói m là giá trò nhỏ nhất của f(x) trên
miền D ,nếu như đồng thời thỏa mãn hai điều kiện sau:
1/ f(x)  m x  D
2/ x0  D : f ( x0 )  m
Ký hiệu: m = min
f(x)
xD
Chú ý: Khi nói đến GTLN-GTNN của một hàm số , bao giờ ta cũng xem nó
xác đònh trên tập hợp nào .Cùng một hàm số , nhưng nếu xác đònh trên tập
khác nhau , thì nói chung GTLN –GTNN tương ứng là khác nhau.

2/ CÁC TÍNH CHẤT
Sau đây là môt số tính chất cơ bản của GTLN-GTNN để học sinh tham khảo
cũng như có thể xem là những ví dụ cho các bài toán về GTLN-GTNN mà
trong sách giáo khoa chưa đề cập .
a/ Tính chất 1: Giả sử A  B, khi đó ta có :
*/ max f ( x)  max f ( x)
x A

xB

f ( x)  min f ( x)
**/ min
x A
xB

b/ Tính chất 2: Giả sử D = D1  D2, khi đó ta có:



**/ min f ( x)  min min f ( x), min f ( x)
*/ max f ( x)  max max f ( x), max f ( x)
xD

xD1

xD

xD1

xD2

xD2

c/ Tính chất 3: Nếu f(x)  0 x  D , khi đó ta có:
*/ max f ( x)  max f 2 ( x)
xD

xD

f ( x)  min f 2 ( x)
**/ min
xD
xD


d/ Tính chất 4:
*/ max[ f ( x)  g ( x)]  max f ( x)  max g ( x)
xD

**/

xD

xD

min[ f ( x)  g ( x)]  min f ( x)  min g ( x)
xD

xD

xD

 f ( x))
e/ Tính chất 5: max f ( x)   min(
xD
xD

f ( x) thì:
f/ Tính chất 6: Nếu đặt M = max f ( x) và m = min
xD
max f ( x)  max  M , m 

xD

xD

NỘI DUNG 2: HỆ THỐNG LẠI CÁC PHƯƠNG PHÁP TÌNH GTLN-GTNN
PHƯƠNG PHÁP 1: ĐƯA VỀ DẠNG BÌNH PHƯƠNG
KIẾN THỨC CẦN NHỚ: A2  0, dấu bằng xãy ra khi A = 0
1/ KIẾN THỨC Ở CẤP 2:
Ở cấp 2 nhìn chung các bài toán thường giải bằng cách đưa về dạng bình
phương , chẳng hạn ta nhắc lại một số dạng sau đây :
Ví dụ 1: Với giá trò nào của x thì biểu thức : y = x2 – 2x + 5 có giá trò nhỏ
nhất (SGK lớp 8)
Giải :
Hàm số y = x2 – 2x + 5 xác đònh x  R
Ta có : y = x2 – 2x + 5 = (x – 1)2 + 4  4 x  R
Dấu “=” xãy ra khi và chỉ khi x – 1 = 0  x  1
y = 4 khi x = 1
Vậy min

xR
Ví dụ 2: Với giá trò nào của x thì biểu thức : y = 18 – 6x – x2 có giá trò lớn
nhất(SGK lớp 8)
Giải:
Hàm số y = 18 – 6x – x2 xác đònh x  R
Ta có y = 27 – (x +3)2  27 x  R
Dấu “=” xãy ra khi và chỉ khi x+3 = 0  x  3
Vậy max y = 27 khi x = -3
xR

2/ KIẾN THỨC Ở CẤP 3: Sang cấp 3 cũng bằng phương pháp bình phương ta
cũng có thể giải các bài toán sau:
Ví dụ 3: Gọi  là một góc cố đònh cho trước .Tìm giá trò nhỏ nhất của
hàm số : y = tan2(x+  ) + tan2(x -  )


Giải:
1
1
[tan(x+  ) +tan(x -  )]2+ [tan(x+  ) -tan(x -  )]2
2
2
2
sin 2 x
1
sin 2 2
1

=
2 cos 2 ( x   ) cos 2 ( x   ) 2 cos 2 ( x   ) cos 2 ( x   )

Ta có : y =

sin 2 2 x  sin 2 2
=
2 cos 2 ( x   ) cos 2 ( x   )

=

2(sin 2 2 x  sin 2 2 )
(cos 2 x  cos 2 ) 2

Nhận xét:
+ Tử số đạt giá trò nhỏ nhất khi sin 2x = 0 , khi đó cos 2x =  1
+ Mẫu số đạt giá trò lớn nhất bằng (1 + cos 2  )2 nếu cos 2   0 khi cos 2x = 1
và bằng (-1 +cos 2  )2 nếu cos 2   0 khi cos 2x = -1
2sin 2 2
 2 tan 2 
Vậy :i/ Nếu cos 2   0 thì miny =
2
(1  cos 2 )

ii/ Nếu cos 2  < 0 thì miny =

2sin 2 2
 2cot 2 
2
(1  cos 2 )

Ví dụ 4:Cho tam giác ABC .Tìm giá trò lớn nhất của:

P = 3 cosB + 3( cosA + cosC)
Giải:

AC
AC
B
AC
cos
= 3 cosB + 6 sin cos
2
2
2
2
B
B
A

C
= 3 (1 – 2 sin2 ) + 6 sin cos
2
2
2
B
B
 2 3 sin 2 + 6 sin + 3
2
2
B
3 2 5 3 5 3
 2 3(sin 

) 

2
2
2
2
A

C

cos 2  1  A  C  300
5 3
Suy ra : maxP =
khi 

0
2
B
3
 B  120
sin 

2
2

Ta có : P = 3 cosB + 6cos

Ví dụ 5: Tìm giá trò lớn nhất , giá trò nhỏ nhất của
f(x,y) = cosx + cosy – cos(x+y) với x;y   ;  
Giải: Ta có :

f(x,y) = cosx + cosy – cos(x+y) = 2cos

x y
x y
x y
cos
- 2 cos2
+1
2
2
2


x y
x y
x y
- cos
cos
] +1
2
2
2
x y
1
x y
x y
1
x y
1
x y

= -2[cos2
- 2. cos
cos
+ cos 2
] + cos 2
+1
2
2
2
2
2
4
2
2
x y
1
x y 2 1
x y
= -2(cos
- cos
) + cos 2
+1
2
2
2
2
2
1
3
Suy ra f(x,y)   1 

x, y  R
2
2
 2 x y
cos 2  1
Dấu “=” xãy ra khi 
cos x  y  1 cos x  y

2
2
2


 x y
 x y
 x  3
sin 2  0 sin 2  0




x y
3
cos x  y  1 cos x  y   1
y  

2
2 
2
2

3


= -2 [cos2

Mặt khác x;y   ;   thì cosx  1 ; cosy  1 ; - cos(x+y)  1
 f ( x, y )  3

x  
 x  

 y    y  

Dấu “=” xãy ra khi 



 x  3
3

x y
Vậy max f(x,y)= khi 
3
2
y  

3
x  
 x  
min f(x,y) = -3 khi 


 y    y  

PHƯƠNG PHÁP 2: SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC
KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
1/ Bất đẳng thức Cauchy:
Nếu a1, a2 ,a3 ,……, an là các số không âm, ta có :
a1  a2  a3  ......  an n
 a1a2 a3 .....an
n

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a1 = a2 = a3 = ….. = an
2/ Bất đẳng thức Bunhiacopski:
Nếu a1, a2 ,a3 ,……, an và b1 ,b2 , b3 , ….. ,bn là 2n số tùy ý , ta có :
(a12 +a22 +a32 +….+an2)(b12 + b22 + b32 +…..+ bn2)  (a1b1 + a2b2 +…….+anbn)2
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

a
a1 a2

 ......  n
b1 b2
bn


(với quy ước rằng trong phân số

ai
nếu bi = 0 thì ai = 0)
bi

Ví dụ 1: Tìm giá trò lớn nhất , giá trò nhỏ nhất của hàm số :
f(x) = x  1  5  x xét trên miền D = [1;5]
Giải:
Dựa vào tính chất sau đây của bất đẳng thức:
Nếu a,b  0 thì a  b  a 2  b 2
Theo tính chất 3 : Nếu f(x)  0 x  D , khi đó ta có ;
1/ max f ( x)  max f 2 ( x)
xD

xD

f ( x)  min f 2 ( x)
2/ min
xD
xD

Ta thấy hàm số f(x) = x  1  5  x  0
f 2(x) = 4 + 2 ( x  1)(5  x)

x  D , nên sử dụng tính chất 3 ta có :

2
 f ( x)  4, x  D
Từ đó ta có :  2
 f (1)  4

f 2 ( x)  4  min f ( x)  2
Vậy min
xD

xD

Theo bất đẳng thức Cauchy , ta có :
f 2(x) = 4 + 2 ( x  1)(5  x)  4  [( x  1)  (5  x)]  f 2 ( x)  8, x  D
Mặt khác f2(3)=8
Vậy max f 2 ( x)  8  max f ( x)  2 2
xD

xD

Ví dụ 2:Tìm giá trò nhỏ nhất của hàm số :f(x) = x100 – 10x10 + 10 với x  R

Giải: p dụng bất đẳng thức Cauchy , ta có :
10 100 9
10
 1

1  ... 
x 100 + 1
1  10 x 1 = 10x
9 so

:x100

Suy ra
– 10x10 + 9  0  f ( x)  1, x  R
Mặt khác f(1) = 1


f ( x)  1

Vậy min
xR

Ví dụ 3: Cho tam giác ABC nhọn .Tìm gtnn của P = tgA + tgB + tgC
Giải :
Ta có A + B + C =   tg ( A  B)  tg (  C )  tgC  tgA  tgB  tgC  tgAtgBtgC
p dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số dương tgA , tgB , tgC, ta có :
P = tgA + tgB + tgC  3 3 tgAtgBtgC
 P  3 3 P  27 P  P 3
 P 2  27  P  3 3

Dấu “=” xảy ra khi tgA = tgB = tgC  A  B  C
Vậy min P = 3 3 khi tam giác ABC là tam giác đều

Ví dụ 4: Tìm giá trò nhỏ nhất của y =

2
1

trên (0;1)
1 x x

Giải :

2
1
2  2x  2x 1 x  x
2x 1 x
2x 1  x




1 = 3 +

=
=2+
1 x
x
1 x x
1 x
x
1 x
x
Vì x  (0;1)  1  x > 0

y=

Theo bất đẳng thức Cauchy , ta có :
2x 1 x
2x 1  x
2
.
2 2

1 x
x
1 x x
 y  3 2 2
2x 1  x


Dấu “=” xảy ra khi
 (1  x) 2  2 x 2  x 2  2 x  1  0  x  2  1
1 x
x
Vậy min y  3  2 2 khi x  2  1
x(0;1)

Ví dụ 5: Ba đại lượng biến thiên x , y , z luôn thỏa mãn điều kiện :
xy+yz+zx = 4.Tìm giá trò nhỏ nhất của biểu thức : A = x4 + y4 + z4.
Giải:
p dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có :
16 = (xy + yz + zx)2  (x2 + y2 + z2)(y2 + z2 + x2) = (x2 + y2 + z2 )2
Suy ra : x2 + y2 + z2  4
Cũng theo bất đẳng thức Bunhiacopxki , ta có :
16  ( x 2  y 2  z 2 )2  (12+12+12)(x4+y4+z4)=3(x4+y4+z4)
Suy ra :x4+y4+z4 

16
3


Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 
Vậy min A =

2 3
3

2 3
16
khi x = y = z = 

3
3

Ví dụ 6: Tìm gtln của hàm số : y = sinx + 2  sin 2 x  sin x 2  sin 2 x
Giải:
Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki , ta có :
Sinx + 2  sin 2 x  (12  12 )(sin 2 x  2  sin 2 x)  2
Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có:
sin x 2  sin 2 x  sin x 2  sin 2 x  sin 2 x(2  sin 2 x)



1
(sin 2 x  2  sin 2 x)  1
2

Vậy y = sinx + 2  sin 2 x  sin x 2  sin 2 x  3
sin x  2  sin 2 x


 sin x  1  x   k 2, k  Z
Dấu “=” xảy ra khi sin x  sin x
2
 2
2
sin x  2  sin x

Vậy : max y = 3 khi  x   k 2, k  Z
2

Ví dụ 7: Tìm giá trò lớn nhất của hàm số : y =

x2  4 x

Giải : + Tập xác đònh của hàm số là : D = [2;4]
Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki , ta có :
y = 1. x  2  1. 4  x  12  12 . x  2  4  x  2
Dấu “=” xảy ra khi x  2  4  x  x  3
Vậy max y = 2 khi x = 3
[2;4]

Nhận xét : Ở ví dụ 7 ta chỉ cần tìm giá trò lớn nhất nên ta có thể sử dụng bất
đẳng thức để tìm , nhưng nếu cũng với hàm số y = x  2  4  x ta cần tìm giá
trò lớn nhất và giá trò nhỏ nhất thì cách làm gọn nhất là sử dụng đạo hàm để
tìm miền giá trò của hàm số từ đó ta tìm được GTLN và GTNN của hàm số .
Phương pháp sử dụng miền giá trò của hàm số là một phương pháp rất hay , rất
thuận lợi cho học sinh trong việc đi tìm GTLN –GTNN
PHƯƠNG PHÁP 3 : SỬ DỤNG MIỀN GIÁ TRỊ CỦA HÀM SỐ :
KIẾN THỨC CẦN NHỚ:


1/Cho hàm số y = f(x) xác đònh trên D , có miền giá trò T
y0  T  phương trình y0 = f(x) có nghiệm x  D
 m  y0  M ( dấu “=” xảy ra được)
f ( x)  m và max f ( x)  M
Khi đó min
xD
xD

2/ Phương trình : asinx + bcosx = c có nghiệm khi và chỉ khi a2 + b2  c2

Như vậy để tìm GTLN –GTNN của hàm số theo phương pháp này ta quy về
việc tìm điều kiện để một phương trình ( có thêm điều kiện phụ ) có nghiệm.

Ví dụ 1: Tìm giá trò lớn nhất , giá trò nhỏ nhất của hàm số :y =

2x 1
x x4
2

Giải:
+ Tập xác đònh D = R.Gọi T là tập giá trò của hàm số
Gọi y0  T  phương trình y0 =

2x 1
có nghiệm x  R
x x4
2

 phương trình :y0x2 + (y0 – 2)x + 4y0 + 1= 0 (1) có nghiệm x  R

Ta xét hai trường hợp :

1
2
/
 Nếu y0  0 thì (1) có nghiệm    15 y0 2  8 y0  4  0

 Nếu y0 = 0 thì (1)  - 2x + 1 = 0  x 

4  2 19

4  2 19
 y0 
( y0  0)
15
15
4  2 19
4  2 19
 y0 
Kết hợp hai trường hợp ta có pt (1) có nghiệm 
15
15
4  2 19
4  2 19
y
Vậy max y 
và min
x

R
xR
15
15


Ví dụ 2: Xác đònh các tham số a và b sao cho hàm số : y =
lớn nhất bằng 4 và đạt giá trò nhỏ nhất bằng -1
Giải:+ Tập xác đònh D = R

ax  b
đạt giá trò

x2  1


 ax  b
 x 2  1  4, x  R
max y  4  
xR
 pt ax  b  4
 x 2  1

Có nghiệm x  R

4 x 2  ax  4  b  0, x  R

2
Có nghiệm x  R
 pt : 4 x  ax  4  b  0
  a 2  16(4  b)  0

2
  a  16(4  b)  0
 a 2  64  16b  0(1)
 ax  b
 x 2  1  1, x  R
min y  1  
xR
 pt : ax  b  1
Có nghiệm x  R

x2  1

 x 2  ax  b  1  0, x  R

2
Có nghiệm x  R
 pt : x  ax  b  1  0
a 2  4(b  1)  0
 2
 a 2  4(b  1)  0(2)
a  4(b  1)  0
a 2  64  16b  0
60  20b  0
Vậy yêu cầu bài toán   2
 2
a  4  4b  0
a  4  4b  0
 b  3

b  3
a  4
 2

 b  3
a  16

 a  4

Ví dụ 3: Tìm giá trò lớn nhất , giá trò nhỏ nhất của hàm số :y =

2  cos x
sin x  cos x  2

Giải:
Vì phương trình : sinx + cosx – 2 = 0 vô nghiệm nên tập xác đònh D = R
Gọi T là tập giá trò của hàm số
2  cos x
có nghiệm x  R
sin x  cos x  2
 y0 2  ( y0  1) 2  4(1  y0 ) 2

Gọi y0  T  phương trình y0 =


 2 y0 2  10 y0  3  0
5  19
5  19
 y0 
2
2
5  19
5  19
max y 
, min y 
xR
xR
2
2


Vậy :

PHƯƠNG PHÁP 4: SỬ DỤNG TAM THỨC BẬC HAI
KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
Để tìm GTLN-GTNN của hàm số bậc hai : ax2+bx +c = 0 ( a  0) trên [  ,  ] ta
có nhận xét sau: đồ thò của hàm số là Parabol có hoành độ đỉnh là x0 = Ta xét hai trường hợp :
y  f ( x0 ) ,
1/ a>0: * Nếu x0  [ ,  ] thì xmin
[ ,  ]

b
2a

max y  max  f ( ), f (  )

x[ ,  ]

y  min  f ( ), f (  ) và max y  max  f ( ), f (  )
* Nếu x0  [ ,  ] thì xmin
[ ,  ]
x[ ,  ]

2/ a < 0: * Nếu x0  [ ,  ] thì max y  f ( x0 ) ,
x[ ,  ]

min y  min  f ( ), f (  )

x[ ,  ]

y  min  f ( ), f (  )
* Nếu x0  [ ,  ] thì max y  max  f ( ), f (  ) và xmin
[ ,  ]

x[ ,  ]

 x  y  2a  1

Ví dụ 1: Giả sử (x,y) là nghiệm của hệ phương trình : 

2
2
2
 x  y  a  2a  3

Xác đònh a để tích xy là nhỏ nhất ?

Giải :
Đặt S = x + y và P = xy
Ta có : S = 2a – 1 , x2 + y2 = S2 – 2P = a2 + 2a – 3
Suy ra P =
Điều

1
(3a 2  6a  4)
2

kiện

để

hệ

có

nghiệm

là

:

S2

–

4P

2
2
 a  2
2
2
2
2
1
Bây giờ ta tìm a để P = (3a 2  6a  4) đạt giá trò nhỏ nhất trên [2- , 2  ]
2
2
2
 2a 2  8a  7  0  2 

0

Ta có hoành độ đỉnh parabol : a0 = 1 < 2 -

2
2

Parabol có bề lõm quay lên , do đó minP đạt được khi a = 2Vậy với a = 2-

2
2

2
thì xy đạt giá trò nhỏ nhất
2

Ví dụ 2: Tìm tham số a để giá trò nhỏ nhất của hàm số :
y = 4ax +  x 2  4 x  3 lớn hơn 2
Giải:
 2
 x  4(a  1) x  3
Ta có : y = 
 2
 x  4(a  1) x  3

x  1
khi 
x  3
khi 1  x  3

Khi đó miny = min  y (2  2a); y (1); y (3)  min 4a 2  8a  1; 4a;12a
4a 2  8a  1  2

1
3

 a
Vậy : min y > 2  4a  2
2
2
12a  2


Ví dụ 3: Tìm giá trò lớn nhất và giá trò nhỏ nhất của hàm số :
y = cos

2x
4x
 cos
1
2
1 x
1  x2

Giải :
Đặt u =

2x
với x  R thì -1  u  1 khi đó
1  x2

y = cos u + cos2u + 1 = cos u + 2cos2u
Đặt t =cosu  u  [1,1] thì cos1  t  1

Khi đó y = 2t2 + t có đồ thò là parabol với hoành độ đỉnh : t0 < -

1
< cos1
4

Vậy : max y = y(1) = 3 tại x = 0, Min y = y(cos1) = 2 cos21 + cos1 tại x = 1

PHƯƠNG PHÁP 5: DÙNG ĐẠO HÀM:
KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
Trong chương trình lớp 12 , ở phần đạo hàm chúng ta đã sử dụng tính đơn điệu
và cực trò của hàm số để tìm GTLN-GTNN.
Đặc biệt nếu D = [a;b] và hàm số y = f(x) liên tục và có đạo hàm trên (a;b) thì


max f ( x)  max  f ( x0 ), f ( x1 ),...., f (a ), f (b)
xD

min f ( x)  min  f ( x0 ), f ( x1 ),...., f (a ), f (b)

với x0 , x1 ,…  (a; b) lànghiệm của pt y/= 0

xD

Ở đây ta xét thêm một số bài toán tìm GTLN-GTNN bằng phương pháp đạo
hàm.
Ví dụ 1: Tìm giá trò nhỏ nhất của hàm số : y =

2

1
 trên (0;1)
1 x x

Nhận xét:Ví dụ 1 ta đã giải bằng pp sử dụng bất đẳng thức , nhưng đối với
học sinh yếu thì các em không sử dụng bất đẳng thức thành thạo .
Mặt khác ở chương trình lớp 12 các em đã học đạo hàm và biết cách lập bảng
biến thiên ,do đó khi giải ví dụ 1 thì phương pháp đạo hàm chiếm ưu thế hơn
vì mọi học sinh đều có thể giải được
Giải : Ta xét hàm số trên khoảng (0;1)
y/

x2  2x 1
=
,
( x 2  x) 2

BBT:

 x  1  2

y  3 2 2

 x  1  2
 y  3  2 2

y/ = 0  x 2  2 x  1  0  

x -  -1- 2 0
-1+ 2

y/
+ 0 - 0
+
y

+

1
+

+
+

3+2 2

Vậy : min y  3  2 2 khi x  1  2
(0;1)

Ví dụ 2: Tìm giá trò lớn nhất , giá trò nhỏ nhất của hàm số :
f(x) = x  1  5  x xét trên miền D = [1;5]
Nhận xét: Ví dụ 2 ta cũng đã giải bằng phương pháp bất đẳng thức , bây giờ
ta giải ví dụ này theo phương pháp đạo hàm để thấy tính ưu việt của phương
pháp đạo hàm.


Giải: Tập xác đònh : D = [1;5]
f/(x) =

1
1

5  x  x 1


2 x 1 2 5  x 2 5  x x 1
1  x  5
 x3
5  x  x  1

f/(x) = 0  5  x  x  1  
BBT:

x -

1

f/(x)

+

f(x)

3
0
2 2

2
Suy ra : x  [1;5]

5

+

2

 2  f ( x)  2 2
x  1

Vậy: min f ( x)  2 khi 
, max f ( x)  2 2 khi x  3
x[1;5]
 x  5 x[1;5]
Ví dụ 3:Tìm giá trò lớn nhất của hàm số :y = sinx + 3 sin 2x
Giải: Miền xác đònh: D = R
y/ = cosx + 6cos 2x = 12cos2x + cosx – 6
2

cos x  3
y/ = 0  
cos x   3

4
5
5 5
2
thì sinx =   y  sin x  6sin x cos x  
3
3
3
3
7

7 7
 y  sin x  6sin x cos x  
2/ Với cosx = - thì sinx = 
4
8
4
5 5
2
5
khi cos x  ,sin x 
Vậy : max y 
xD
3
3
3

1/ Với cosx =

Chú ý : Trong các ví dụ sau nếu xét hàm số đã cho theo biến x thì ta khó xét
tính đơn điệu của hàm số , nhưng nếu đặt ẩn phụ t thì ta có thể đưa hàm số
trên về dạng hàm số theo biến t quen thuộc với học sinh lớp 12 vì đó là một
trong các dạng hàm số mà các em đã khảo sát và vẽ đồ thò trong chương trình
lớp 12.
Ví dụ 4:Với giá trò nào của x ,hàm số sau đạt giá trò nhỏ nhất:
y = lg2x +

1
lg x  2
2

Giải:
Miền xác đònh D = (0;+  )
Đặt t = lg2x , t  0.Khi đó y = t +
y/ = 1 -

1
t2

1
(t  1)(t  3)

 t  0
2
(t  2)
(t  2) 2

Do đó hàm số luôn đồng biến trên [0;+  )
Suy ra y(t)  y (0) 
y
Vậy : min
xD

1
2

1
2

, t  0

x 1

khi

Giải: Hàm số xác đònh với mọi x  R
Đặt t = sinx , t  [1;1]
t 1
xác đònh trên [1;1]
t  t 1
t  0
t 2  2t
y/ = 2
, y/ = 0  
2
(t  t  1)
t  2  (1;1)
2
y(0) = 1 , y(1) =
, y(-1) = 0
3
Vậy : max y  1 khi t  0  sin x  0  x  k  (k  Z)

Khi đó y =

2

xR

min y  0 khi t  1  sin x  1  x  
xR


 k 2 (k  Z)
2

Ví dụ 6: Tìm giá trò nhỏ nhất của hàm số : y = x 2 

1
1
 2( x  )  5
2
x
x

Giải:
Hàm số xác đònh với mọi x  0
Đặt t = x +

1
x

t  2
t  2

, điều kiện : t  2  

Khi đó y = t2 – 2t + 3 = g(t)
BBT:
x
y/

y

-
+

y/ = 2t – 2 = 0  t  1

-2
-

11

1
0

2
+

+
+

3

+


1
x

y  min y  g (2)  3 khi t  2  x   2  x  1

Vậy: min
x0
t 2

Ví dụ 7: Tìm giá trò lớn nhất , giá trò nhỏ nhất của hàm số :
y=

cos x  2sin x  3
2 cos x  sin x  4

khi x  (;  )

Nhận xét : Ở bài toán này nếu ta giải theo phương pháp miền giá trò của hàm
số thì ta không thể chỉ ra được x bằng bao nhiêu khi hàm số đạt GTLN ,
GTNN.Như vậy ta không trả lời được đúng yêu cầu của đề bài .Vì vậy ở bài
này ta phải giải bằng cách đặt ẩn phụ.
Giải:
Đặt t = tg

x
, vì
2

x  (;  ) nên t  R

1 t2
2t
, sin x 
2
1 t

1 t2
t 2  2t  2
Suy ra y = 2
t t 3
t  2
y  2
3t 2  2t  8
/
/

,y 0
y = 2
4  
2
2

(t  t  3)
t
y
3
11



Khi đó : cosx =

BBT:
x -
y/

-

4
3
0

1

2
+

0
2

+
-

y

Vậy:

2
11

1

x
 2  x  2 với tg  2
(  ;  )
2

4
2
4
x 4
min y 
khi t 
 tg 
 x  2  với tg   
(  ;  )
11
3
2 3
3
max y  2 khi t  2  tg

Ví dụ 8: Tìm giá trò lớn nhất , giá trò nhỏ nhất của hàm số :
y= cos x  sin x
Giải:
Hàm số có chu kỳ T = 2 


Vì y  0 và tính chất chẵn , lẻ của hàm số sinx , cosx nên ta chỉ cần xét hàm số
y= cos x  sin x trên miền xác đònh D = [0;

4


]
2

Đặt t = cosx + sinx = 2 cos( x  )
Vì 0  x 


1 t  2
2

Ta có : y2 = t + 2t 2  2  f (t )
y/ (t) = 1 +

2t
2t 2  2

 0 , t  [1; 2]

Do đó với t  [1; 2] thì hàm số y= cos x  sin x là hàm đồng biến
y  y (1)  1 , max y  y ( 2)  2 2
Vậy : min
xD
xD

PHƯƠNG PHÁP 6: PHƯƠNG PHÁP ĐỒ THỊ VÀ HÌNH HỌC
KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
 Trong tất cả các đường gấp khúc nối hai điểm A , B cho trước thì đường
thẳng nối hai điểm A , B có độ dài nhỏ nhất .
 Trong một tam giác , tổng hai cạnh luôn lớn hơn cạnh thứ ba .
 Cho điểm M ở ngoài một đường thẳng d cho trước , khi đó độ dài đoạn
vuông góc kẻ từ M xuống d ngắn hơn mọi đường xiên kẻ từ M xuống
cùng đường thẳng ấy .
 Trong các tam giác cùng nội tiếp một đường tròn thì tam giác đều có

chu vi và diện tích lớn nhất.
Trong thực tế phương pháp tìm GTLN-GTNN bằng phương pháp hình học ,
chúng ta cũng đã làm quen rất nhiều ở cấp 2 , chẳng hạn : “ Trong các tam
giác có cùng cạnh đáy và cùng diện tích , tam giác nào có chu vi nhỏ
nhất”hay “ Chứng minh rằng trong các tam giác có cùng cạnh đáy và cùng
diện tích , tam giác cân có bán kính đường tròn nội tiếp lớn nhất.”
Như vậy nếu như một bài toán nào đó tìm GTLN-GTNN bằng một phép
biến đổi nào đó có thể quy về sự kiện hình học mà bằng phương pháp đồ
thò và hình học ta có thể dễ dàng giải được thì chúng ta sử dụng phương
pháp này .

Ví dụ 1: Tìm giá trò lớn nhất của hàm số :
y= f(x)= x 2  6 x  34  x 2  6 x  10 trên miền xác đònh D = R


B

Giải:
Ta viết f (x) =

A

D

2

x  3  52 

2

x  3  12

Khi đó : f(3) = 4
Dựng tam giácABC vuông tại A, AC = 5 , AB = x  3

C

Trên cạnh AC lấy điểm D sao cho AD = 1.
Theo đònh lý Pitago, ta có :
BC =

2

AB 2  AC 2 

BD =

x  3  52
2

AB 2  AD 2 

x  3  12

Trong tam giác BCD ta luôn có: BC – BD < DC
Tức là :

2

x  3  52 

x  3  12 < 4
2

Vậy : f(x) < 4 , x  3 , f(3) = 4 .Từ đó suy ra : max f ( x)  4
xR

Ví dụ 2:Tìm giá trò nhỏ nhất của hàm số:
f(x) = x 2  x  1  x 2  x  1 trên miền xác đònh D = R
Giải :

y
- 3

B

2

-1
2

C
1
2

O

Ta có :

A

1
2

f(x) = ( x  )2  (

3 2
1
3
)  ( x  )2  ( )2
2
2
2

1
2

= [ x  ( )]2  [0  (
1
2

- 3
2

3 2
1
3 2
)]  ( x  ) 2  (0 
) (1)
2

2
2

Xét các điểm A(- ; 

3
1 3
) , B( ; ) và C (0;x) trên mặt phẳng tọa độ Oxy.
2 2
2

Từ (1) ta có : f(x) = CA + CB
Rõ ràng : CA + CB  AB với AB = 1  ( 3)2  2
Vậy : f(x)  2 x  R
Dấu “=” xảy ra  ba điểm A , B , C thẳng hàng  C  O
f ( x)  2
Vậy : min
xR
Ví dụ 3: Tìm giá trò lớn nhất và giá trò nhỏ nhất của hàm số :
f(x,y) = 4x + 3y có miền xác đònh D = ( x, y ) : x 2  y 2  16  8 x  6 y

x


Giải:
Nếu (x,y)  D ta có : x2 + y2 +16 = 8x + 6y  ( x  4)2  ( y  3)2  9
Vậy D chính là đường tròn tâm O1( 4; 3), bán kính R = 3
M
M2
3

O1
M1

O

Khi (x,y)  D ta có : f(x,y) = 4x + 3y =

4

x

x 2  y 2  16
1
 8  ( x2  y 2 )
2
2

(1)

Xét điểm M(x;y) trên D .Nối OO1 cắt đường tròn D tại M1 , M2.
OM  OM 1  OO1  MO1  5  3  2
Khi đó : M min
( x ; y )D
max OM  OM 2  OO1  O1M 2  5  3  8

M ( x ; y )D

Vì x2 + y2 = OM2 nên từ (1) ta suy ra :
max f ( x, y )  40 và

min f ( x, y )  10
M ( x ; y )D
M ( x ; y )D

PHƯƠNG PHÁP 7: PHƯƠNG PHÁP VECTƠ
KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
1/ Các đẳng thức vectơ:


Trong không gian n chiều , cho hai vectơ : a  (a1 ; a2 ;....; an ) , b  (b1 ; b2 ;....; bn )
 

Khi đó : * a  b  (a1  b1 ; a2  b2 ;....; an  bn )




* a  b  (a1  b1; a2  b2 ;....; an  bn )


* k .a  (ka1; ka2 ;....; kan ) với k  R


* a.b  a1b1  a2b2  ....  anbn


 

 

* a.b  a . b cos(a, b)


* a  a12  a2 2  ....  an 2
2/ Các bất đẳng thức :
  
* a.b  a . b
















* ab  a  b

* ab  a  b


Dạng 1: sử dụng bất đẳng thức :

  
a.b  a . b

Ví dụ 1: Tìm giá trò lớn nhất của hàm số : y =
Giải:



Xét hai vectơ: a  (0;1)


 a 1

và


1  x2
2x
2x
 1.

Mặt khác : a.b  0.
2
2
1 x
1 x
1  x2
  
x
Do a.b  a . b  2

1
x 1


Dấu “=” xảy ra  a cùng phương với b
x  1
 x2  1  
 x  1
x  1
1
Vậy : max y =
khi 
2
 x  1

x
x 1

 1  x2 2x
b(
;
)
1  x2 1  x2

2


 b 1

Ví dụ 2: Cho x2 + y2 = 1.Tìm giá trò lớn nhất của biểu thức : A =

Giải:

Xét hai vectơ : a  (0;1)


và b  (

2 y  1 3x
;
)
2 y 2 y

3x
2 y


 a 1


2 y 1 2
3x 2
b (
) (
)
2 y
2 y


b

y2  4 y  4
1
(2  y ) 2

2 y 1
3x
3x
Mặt khác : a.b  0.
 1.

2 y
2 y 2 y
x
1
y

2
1 x
2
  
3x
3x
Do a.b  a . b

1  A 
1
2 y
2 y



Dấu “=” xảy ra  a cùng phương với b
2 y  1  0

  3x
2  y  0


  
a.b  a . b



2x
1
1  x2


1

y



2

x   3

2
1


y



2
Vậy : max A = 1 khi 
x   3

2

Ví dụ 3: Tìm giá trò lớn nhất của biểu thức :A = sinx.siny.sinz +cosx.cosy.cosz
Giải:


Xét hai vectơ: a  (sin x.sin y;cos x.cos y ) và b  (sin z;cos z )

 a.b = sinx.siny.sinz + cosx.cosy.cosz
 
a . b  sin 2 x.sin 2 y  cos 2 x.cos 2 y . sin 2 z  cos 2 z

= sin 2 x.sin 2 y  cos 2 x.cos 2 y .



 

Do a.b  a . b  sinx.siny.sinz + cosx.cosy.cosz  sin 2 x.sin 2 y  cos 2 x.cos 2 y .
 A  sin 2 x.sin 2 y  cos 2 x.cos 2 y .



(sin 4 x  cos 4 x).(sin 4 y  cos 4 y )

1
1
(1  sin 2 2 x).(1  sin 2 2 y )  1
2
2
cos x  1 cos x  1 cos x  1 cos x  1
Dấu “=” xảy ra  cos y  1  cos y  1  cos y  1  cos y  1
cos z  1 cos z  1
cos z  1 cos z  1






Vậy : max A = 1
Ví dụ 4: Tìm giá trò lớn nhất của hàm số : y= sinx + 2  sin 2 x  (sin x) 2  sin 2 x
Giải:

Xét hai vectơ : u  (sin x;1; 2  sin 2 x )



v  (1; 2  sin 2 x ;sin x)


 u  sin 2 x  1  2  sin 2 x  3


 v  1  2  sin 2 x  sin 2 x  3

Mặt khác : u.v  sin x  2  sin 2 x  (sin x) 2  sin 2 x
  
Do u.v  u . v  sinx + 2  sin 2 x  (sin x) 2  sin 2 x  3
 
Dấu “=” xảy ra  u, v cùng hướng


sin x
1
2  sin 2 x


1
sin x
2  sin 2 x

 y3


sin x  1

2
2
 2  sin x  sin x  1

 sin x  1  x   k 2
2


(k  Z )
Vậy : max y= 3 khi x=  k 2
2

(k  Z )

Ví dụ 5: Gọi  ,  ,  là ba góc tạo bởi đường chéo của hình hộp chữ nhật với
ba cạnh phát xuất từ một đỉnh và cos 2   cos 2   cos 2   1 .Tìm giá trò lớn nhất
của biểu thức : A = 4 cos 2   1  4 cos 2   1  4 cos 2   1
Giải:

Xét hai vectơ : u  ( 4 cos 2   1; 4 cos 2   1; 4 cos 2   1)


 u  4 cos 2   1  4 cos 2   1  4 cos 2   1  7


v  3
và v  (1;1;1)

Mặt khác : u.v = 4 cos 2   1  4 cos 2   1  4 cos 2   1
  
Do u.v  u . v  4 cos 2   1  4 cos 2   1  4 cos 2   1  21

 A  21

 

Dấu “=” xảy ra  u, v cùng hướng

4 cos 2   1
4 cos 2   1
4 cos 2   1



1
1
1
3
 cos   cos   cos  
3
Vậy : max A = 21
   
Dạng 2: Sử dụng bất đẳng thức : a  b  a  b

Nhận xét chung : Phân tích đề bài một cách khéo léo để chọn tọa độ vectơ
thích hợp thì giải được bài toán nhẹ nhàng
Ví dụ 1: Tìm giá trò nhỏ nhất của hàm số : y = x 2  2 x  5  x 2  2 x  5
Giải:
Nhận xét : x2 – 2x + 5 = (1 – x)2 +22 , x2 + 2x + 5 = (x+1)2 +22
Suy ra ta chọn hai vectơ có tọa độ thích hợp sao cho y bằng tổng độ lớn của
hai vectơ đó.


Xét hai vectơ: a  (1  x; 2)
 a  (1  x) 2  4  x 2  2 x  5


b  ( x  1; 2)

 b  ( x  1) 2  4  x 2  2 x  5
  
  
 c  ab  2 5
Mà : c  a  b  (2; 4)






 

Do : a  b  a  b



x2  2x  5  x2  2x  5  2 5

 y2 5
 
Dấu “=” xảy ra  a, b cùng hướng
 1 x  1 x  x  0

Vậy : min y = 2 5 khi x = 0
Ví dụ 2: Tìm giá trò nhỏ nhất của biểu thức :
A = 4 cos 2 x.cos 2 y  sin 2 ( x  y )  4sin 2 x.sin 2 y  sin 2 ( x  y )
Giải:
Nhận xét : Ta chọn hai vectơ có tọa độ thích hợp sao cho A bằng tổng độ lớn
của hai vectơ đó



Xét hai vectơ: a  (2 cos x.cos y;sin( x  y ))  a  4 cos 2 x.cos 2 y  sin 2 ( x  y )







b  (2sin x.sin y;sin( x  y ))


 b  4sin 2 x.sin 2 y  sin 2 ( x  y )

Mà : c  a  b  (2sin x.sin y  2cos x.cos y;2sin( x  y ))  (2cos( x  y );2sin( x  y ))
  
 c  a  b  4[cos 2 ( x  y )  sin 2 ( x  y )]  2





 

p dụng bất đẳng thức : a  b  a  b
 4 cos 2 x.cos 2 y  sin 2 ( x  y )  4sin 2 x.sin 2 y  sin 2 ( x  y )  2
 A2

Dấu “=” xảy ra  x  y  k 

Vậy : min A = 2 khi x  y  k 

(k  Z )
(k  Z )

Ví dụ 3 : Tìm giá trò nhỏ nhất của biểu thức : A = cos 4 x  cos 4 y  sin 2 x  sin 2 y
Giải:
Nhận xét : Ta chọn ba vectơ có tọa độ thích hợp sao cho A bằng tổng độ lớn
của ba vectơ đó


Xét ba vectơ : a  (cos 2 x;cos 2 y )  a  cos 4 x  cos 4 y


b  (sin 2 x;0)  b  sin 2 x


c  (0;sin 2 y )  c  sin 2 y
  
Mà : a  b  c  (cos 2 x  sin 2 x;cos 2 y  sin 2 y )  (1;1)
  
 abc  2
     
p dụng bất đẳng thức : a  b  c  a  b  c


 cos 4 x  cos 4 y  sin 2 x  sin 2 y  2

 A 2

 x  k
(k , m  Z )
 y  m
 x  k
2 khi 
(k , m  Z )
 y  m

Dấu “=” xảy ra  
Vậy : min A =

Ví dụ 4: Tìm giá trò nhỏ nhất của biểu thức :
A = x 2  4  x 2  2 xy  y 2  1  y 2  6 y  10
Giải:

Xét ba vectơ : a  ( x; 2)


 a  x2  4


b  ( y  x;1)  b  ( y  x) 2  1  x 2  2 xy  y 2  1


c  (3  y;1)  c  (3  y ) 2  1  y 2  6 y  10
   
   
Mà : d  a  b  c  (3; 4)  d  a  b  c  5
     
p dụng bất đẳng thức : a  b  c  a  b  c



x 2  4  x 2  2 xy  y 2  1  y 2  6 y  10  5

 A5

  

Dấu “=” xảy ra  a, b, c cùng hướng
3

x

 x  2( y  x)

2


y  x  3 y
y  9

4
3

 x  2
Vậy : min A = 5 khi 
y  9

4

Ví dụ 5: Tìm giá trò lớn nhất của hàm số : y =

x 2  2 x  5  x 2  12 x  136

Nhận xét : Ta chọn hai vectơ có tọa độ thích hợp sao cho y bằng giá trò tuyệt
đối của hiệu độ lớn của hai vectơ đó
Giải:


Xét hai vectơ : a  ( x  1; 2)  a  ( x  1)2  4  x 2  2 x  5


b  ( x  6;10)  b
  
  
Mà : c  a  b  (5; 8)  c  a  b
 
p dụng bất đẳng thức : a  b 

 ( x  6) 2  100  x 2  12 x  136

 89
  
a b  c