Bài giảng Hình học 7 chương 1 bài 2: Hai đường thẳng vuông góc

BÀI GIẢNG HÌNH HỌC 7
BÀI 2



BÀI 2.

HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC
I. GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG
II. HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC
III. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN.
IV. BÀI TẬP ÁP DỤNG


I. GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG
• Góc giữa 2 đường thẳng a và b cắt nhau :
Hai đường thẳng a và b cắt nhau tạo thành 4
góc. Số đo nhỏ nhất trong 4 góc này gọi là góc
giữa hai đường thẳng a và b.
a
O

• Kí hiệu :

�
�
(a,b) = (b,a)

b

• Góc giữa 2 đường thẳng chéo nhau :

Góc giữa 2 đường thẳng a và b chéo nhau
là góc giữa hai đường thẳng a’ và b’ cắt
nhau lần lượt cùng phương với a và b

� = (a',b')
�
(a,b)

• Kí hiệu :

a’
O

a
b

b’
O

a’

O
b’


Ghi chú


Với 2 đường thẳng a, b tùy ý, ta có :






o
�
0 �(a,b) �90
o

a//b
�
o
�
(a,b) = 0 � �
a �b
�
o
�
(a,b) = 90 � a  b


II. HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG
GÓC
1. Định nghĩa.
o
�
a  b � (a,b)  90

b’

b

O



a’

a


2. Tính chất :

a//b �
�� c  b
c  a�
c
a
b


Các mệnh đề sau đúng hay sai ?
a) Hai đường thẳng vuông góc nhau thì cắt
nhau ?
Sai, vì chúng có thể chéo nhau

c

b
a



b) Hai đường thẳng cùng vuông góc với đường
thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau ?

Sai, vì chúng có thể chéo nhau hoặc cắt nhau


u
a

b
b



PHƯƠNG PHÁP GiẢI TOÁN
Chứng minh hai đường thẳng vuông góc :

1. Dùng định nghĩa :
2.

c // b �
�� a  b
a  c�

3.

a  () �
�� a  b
b �(  ) �

�  90o
a  b � (a,b)

4. Nếu a, b đồng phẳng dùng các phương
pháp trong hình học phẳng, như Pytago đảo,
trung tuyến của tam giác cân, tính chất đường
cao, trung trực,…


BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là
trung điểm của BC và CD. Biết
AB = CD = 2a và MN = a 3
�
Tính góc (AB,CD)


Hướng dẫn giải toán
Gọi O là trung điểm của AC
 OM , ON lần lượt là ĐTB của
ABC, ACD.
 OM = ON = a và OM // AB,
ON // CD
�
�

� (AB,CD)
= (OM,ON)

A

2a

O

a



a

N

a 3

B
M

D


2a

C

O

�
Tính góc (AB,CD)

a

a

M

N
a 3
2

H
+ Cách 1 :
Gọi H là trung điểm của MN. Trong tam giác cân
OMN có :
a 3
OM = a, MH = 2

�
�
 MON
= 2.MOH
 2.60o = 120 o
�
�
� (AB,CD)

= (OM,ON)
= 180o  120o  60o


+ Cách 2. Áp dụng định lí cosin cho MON :
�
MN2 = OM2 + ON2 – 2.OM.ON.cos MON
Suy ra :
1
�
cosMON = 2
Do đó :

�
MON
= 120 o

Vậy :

O
�
(AB,CD) = 60


BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 2. Cho tứ diện đều ABCD, cạnh a. Gọi
M, N, P , Q , R lần lượt là các trung điểm
của AB, CD, AD, BC và AC
a) Chứng minh : MN  RP và MN  RQ
b) Chứng minh : AB  CD

a. Chứng minh MN  RP, MN  RQ
Ta có : RP là ĐTB ACD
 RP // CD (1)

A

MCD cân  MN  CD (2)
Từ (1) và (2) suy ra :
M
MN  RP
Tương tự : RQ là ĐTB
ABC  RQ // AB (3)
B
và ABN cân
 MN  AB (4)
(3) , (4)  MN  RQ

R

P
D

Q

C

N

b. Chứng minh AB  CD
Tương tự : PQ  AD
Ta có : RP // CD và RQ // AB

A

Ta chứng minh : RP  RQ
QPD vuông tại P, nên :
2

2

QP = QD - DP
2
a
2
QP =
2

Ta có :

2

2

a
2
RQ + RP = = QP
2

2

2

M

R

P
D

B
Q

Do đó : RP  RQ  AB  CD

C

N


Bài tập
Bài 3 . Cho tứ diện đều ABCD cạnh a, gọi M
� DM)
là trung điểm của BC. Tính góc
(AB,


Hướng dẫn giải toán
A

� DM)
Tính góc (AB,
MN là ĐTB ABC,
nên MN // AB
� DM)  NMD
�

 (AB,

B

N



Áp
*Cách
dụngkhác
định: lí cosin cho

tam giác MND , ta được :
Trong tam giác cân MND tại M 
2
2 của 2
D, gọi H làMN
trung
điểm
 MD
 ND

3 3
C
MH
a
/
4
cosnên
 :

MN,
cos



2.MN.MD
6
DM a 3 / 2 6

D


Bài 4. Tứ diện ABCD có AB = CD = a, AC
= BD = b, AD = BC = c.
a) Chứng minh các đoạn nối trung điểm
của các cạnh đối thì vuông góc với hai cạnh
đó.
b) Tính cosin của góc hợp bởi các đường
thẳng AC và BD

Hướng dẫn giải toán
a) Chứng minh :
+ MN  CD , MN 
a
AB
Ta
có; : AD , PQ  BC
+ PQ
M

ABC = BDA (c-c-c)
 MC = MD
 MND cân
 MN  CD
Tương tự : MN  AB



A

b



P c

b

B
c Q



D


C

N

a


Hướng dẫn giải toán
a) Chứng minh :
+ PQ  AD , PQ  BC
ABC = DCB (c-c-c)

A
a
M

c


b



P

 QA = QD
 QAD cân tại Q
 PQ  AD
Tương tự : PQ  BC

b

B
c Q



D


a
N

C
Vậy các đoạn nối trung điểm các cạnh đối vuông góc
với các cặp cạnh đối đó.


�
b) Tính cos(AC,BD)

Ta có : NP // AC, MP // BD
�
� 

Nên : (AC,BD)
 MPN
Áp dụng định lí cosin cho
tam giác MNP :
2
2


MP NP MN
cos  
2MPNP
2

MNC vuông tại N

B

A
a
M



b/2


c


P

b/2

b

D

 MN2 = MC2 – NC2
c 

a
Q
Áp dụng định lí trung tuyến
N
C
cho ABC , ta được :
2
2
2
2
2



a c
2b 2c a
2
�
Vậy : cos(AC,BD)  cos  
MC 
2

4
b


Bài 5 . Cho hình chóp S.ABCD có đáy là
hình bình hành với AB = a, AD = 2a,
SAB là tam giác vuông cân tại A, M là 1
điểm trên cạnh AD (M khác A và D). Mặt
phẳng  qua M và song song với
mp(SAB) cắt BC, SC, SD lần lượt tại N,
P, Q.
a) Chứng minh MNPQ là hình thang
vuông.
b) Đặt AM = x. Tính diện tích của
MNPQ theo a và x.