Bài giảng Hình học 11 chương 3 bài 4: Hai mặt phẳng vuông góc

TaiLieu.VN


Cho m ⊥ (α ); n ⊥ ( β )
a ⊥ c, b ⊥ c, c = (α ) I ( β )
m

n

m

n
∏

a

β)

∏

β)

l1

b
α)

TaiLieu.VN

x

y

c
I
α)

hình 2


m

Trên giao tuyến c của ( α ) và
(β ) từ điểm I bất kì dựng
trong ( α ) đường thẳng a ⊥ c
và dựng trong ( β ) đường
thẳng b ⊥ c

n

l1

b
α)

TaiLieu.VN

a

β)

x

y

c
I


Ví dụ1: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều ABC cạnh a,

cạnh bên SA vuông góc với mp(ABC) và SA = a/2
a) Tính góc giữa hai mp(ABC) và (SBC)
S
b) Tính diện tích tam giác SBC.
Làm thế nào để xác định góc
giữa 2 mp (ABC) và (SBC)?

C

A

Tam giác ABC đều ta xác định
đường cao của tam giác ABC ?

B

S

C

A
H

TaiLieu.VN

B


a) Gọi

H là trung điểm cạnh BC.
Ta có HA ⊥ BC suy ra SH ⊥ BC ( 3 đvg);
a

Ta có : AH =
a

2

4

+

3a

3

2

, SH

=

SA

2

+ AH 2

S

=

2

4

= a

Góc giữa (SBC) và (ABC) là góc
Tan ϕ = SA/AH= 1/ 3

ϕ

C

A
H
B

ϕ = 300

S

b) Ta có SSBC = ½.BC.SH=1/2.a2
SSBC = ½.BC.AH/ cos ϕ = SABC./cos ϕ
A

C

ϕ
H
B

TaiLieu.VN


Từ Ví dụ trên phần b) Ta có
S ABC=S SBC.cos
ϕ , với
ϕ là góc giữa 2
mp(ABC) và (SBC) .
Vậy Nếu Cho đa giác (H) nằm
α ) trên mp
có diện tích S, và (H') là hình chiếu vuo
góc của (H) trên
mp(
đó diện tích S'
β ). Khi
của (H') và S có quan hệ như thế nào

3.Diện

tích hình chiếu của một đa giác

Cho đa giác (H) nằm trên mp ( α ) có diện tích S, và (H')
là hình chiếu vng góc của (H) trên mp( β ). Khi đó diện
tích S' của (H') được tính bởi cơng thức : S' = S. cos ϕ ,
với ϕ là góc giữa ( α ) và ( β )
TaiLieu.VN


Từ ví dụ1: Hãy xác định góc của hai mp (SAB) &(ABC)
Nếu gọi M, N lần lượt là trung
điểm của AB, SB Thì góc giữa
2mp(SAB) & (ABC) sẽ bằng bao
nhiêu ?
Tam giác ABC đều nên CM

S

C

A

AB⊥

MN//SA ⊥ mp(ABC) nên MN ⊥ AB

S

B

Do đó Góc giữa (SAB) và (ABC) là
Góc< CMN và bằng 90o
N

Ta nói mp(SAB) và (ABC)
Vuông góc với nhau
TaiLieu.VN

C

A
H

M

B


II. HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC

Minh hoa1
1.Định nghĩa: Hai mặt phẳng gọi là vuông góc với nhau nếu góc
giữa hai mặt phẳng đó là góc vuông.

(α) ⊥ ( β )

Nếu hai mp ( α ) và ( β )vuông góc với nhau,Kí hiệu:

S

Theo đ/n ta có (SAB),(ABC) vuông
góc nhau.Nếu ta lấy điểm F bất kì
trên mp(ABC) thì (SAF) &(ABC) có
vuông góc với nhau ?
2. Các định lí:

N

Định lí 1:

( α ) ⊥ ( β ) ⇔ ∃a ⊂ ( α ) , a ⊥ ( β )

H

M

B

(α )
a

b
(β )

TaiLieu.VN

C

A

F


*) ( α ) ⊥ ( β ) ; a ⊥ c, b ⊥ c
a ⊂ ( α ) , b ⊂ ( β ) , c = ( α ) I ( β ) ⇒ ( a, b ) = 900

(α )

⇒ a ⊥ ( β ) ;b ⊥ ( α )

a

c
b
(β )

a ' ⊂ ( α ) , a ' ⊥ ( β ) , O ' = a 'I ( β )

O ' ∈ b ', b ' ⊂ ( β ) , b ' ⊥ c
a' ⊥ ( β ) ⇒ a' ⊥ b'

⇒ (a ', b ') = 900 ⇒ ( α ) ⊥ ( β )

(α )
a'

c
O'

b'
(β )

TaiLieu.VN


( α ) ⊥ ( β )

( α ) ∩ ( β ) = c ⇒ a ⊥ ( β ) ?

a ⊂ ( α ) , a ⊥ c
( α ) ⊥ ( β )


 H = a ∩ c,
?
( α ) ∩ ( β ) = c ⇒ 
 H ∈ b, b ⊂ ( β ) , b ⊥ c ⇒

a ⊂ ( α ) , a ⊥ c

(α )
a
c
b
(β )

a ⊥ c


⇒?
a ⊥ b
b;c ⊂ β
( )

( α ) ⊥ ( β )

 H = a ∩ c,
a ⊥ c
⇒
⇒a⊥(β)
( α ) ∩ ( β ) = c ⇒ 
 H ∈ b, b ⊂ ( β ) , b ⊥ c a ⊥ b

a ⊂ ( α ) , a ⊥ c
TaiLieu.VN


( α ) ⊥ ( β )
Minh hoạ2

Hệ quả1
( α ) ∩ ( β ) = c ⇒ a ⊥ ( β )

∀a ⊂ ( α ) , a ⊥ c
Hệ quả 2 
( α ) ⊥ ( β ) , ∀M ∈ ( α )
⇒ a ⊂ (α)

 M ∈ a, a ⊥ ( β )

( α ) ⊥ ( γ ) , ( α ) I ( β ) = d
⇒ d ⊥(γ )

( β ) ⊥ ( γ )
M ∈ d , M ∈ d ' ⊥ ( γ ) ⇒ hq 2 ?

(α )
a
c
b
(β )

Định lí 2

hq 2 ⇒ d ' ⊂ ( α ) , d ' ⊂ ( β ) ⇒ d , d '?


( α ) ⊥ ( γ ) , ( α ) I ( β ) = d
⇒


( β ) ⊥ ( γ )

M ∈ d
⇒


∃d ', M ∈ d ' ⊥ ( γ )


M ∈ d = ( α ) I ( β )
⇒ d'≡ d ⊥(γ )

TaiLieu.VN

M ∈ d ' ⊂ ( α ) , ( β )

(α )
M

a
c
(β )

(β )
(α )
M

d, d’
(γ )


D
H1:Tứ diện ABCD có ba cạnh AB,AC,AD đôi một vuông
góc nhau.

Các mp(ABC), (ACD), (ADB) có quan hệ gì
với nhau ?
Ta có

A

 AD ⊥ AB
B
⇒ AD ⊥ ( ABC ), AD ⊂ ( ADC ), AD ⊂ ( ADB ) ⇒ ?

 AD ⊥ AC
 AD ⊥ AB
⇒ AD ⊥ ( ABC ), AD ⊂ ( ADC ), AD ⊂ ( ADB ) ⇒

 AD ⊥ AC
( ABC ) ⊥ ( ADC ) & ( ADB )
Tương tự ta cũng có ba mp (ABC), (ADC), (ADB) vuông
góc nhau từng đôi một
TaiLieu.VN

C


S

H2:Cho hình vuông ABCD. Dựng đoạn
thẳng SA vuông góc với mp (ABCD)
Mặt phẳng nào chứa SB và vuông góc với mp(ABCD) ?

A

1/ Mp(SAB) chứa SB và chứa SA vuông góc
với mp(ABCD) nên (SAB) vuông góc với

B
(ABCD)
Tương tự (SAC) chứa SC, (SAD) chứa SD cũng vuông
góc với (ABCD)
ABCD là hình vuông nên AC và BD có quan hệ gì ?
SA vuông góc với (ABCD) nên SA và BD có quan hệ gì ?
ABCD hình vuông nên AC vuông góc với BD
SA vuông góc với (ABCD) nên SA vuông góc với BD.
Vậy BD vuông góc với (SAC). Do đó mp (SAC) vuông góc với
mp(SBD)
TaiLieu.VN

D

C


III. HÌNH HỘP ĐỨNG, HÌNH HỘP CHỮ NHẬT, HÌNH LẬP PHƯƠNG

h1

1. Định nghĩa :

h2

h3

h4

Trong bốn hình lăng trụ trên hình nào đặc biệt ?

Hình lăng trụ đứng là:
Hình lăng trụ có các cạnh bên vuông góc với các mặt đáy.
Độ dài cạnh bên được gọi là chiều cao của hình lăng trụ đứng.

TaiLieu.VN


* Hình lăng trụ đứng có đáy là tam giác, tứ giác, v.v… được gọi là
hình lăng trụ đứng tam giác, hình lăng trụ đứng tứ giác, v.v…
*Hình lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều được gọi là
hình lăng trụđều
Tacũng gọi Hình lăng trụ tam giác đều, hình lăng trụ tứ giác đều,v.v…
*Hình lăng trụ đứng có đáy là hình bình hành được gọi là
hình hộp đứng.
*Hình lăng trụ đứng có đáy là hình chữ nhật được gọi là hình hộp chữ
nhật.
*Hình lăng trụ đứng có đáy là hình vuông và các mặt bên đều là hình
vuông được gọi là hình lập phương
TaiLieu.VN


//
\\

\\

//
h5

//
h6

h7

Các em hãy cho biết h5, h6, h7 thuộc loại hình gì ?
H7: Hình hộp chữ nhật, H6: Hình lập phương, H5: lăng trụ tứ giác
đều
Các em hãy cho biết mệnh đề nào sau đây là đúng ?
a) Hình hộp là hình lăng trụ đứng.
b) Hình hộp chữ nhật là hình lăng trụ đứng.
c) Hình lăng trụ là hình hộp.
d) Có hình lăng trụ không phải là hình hộp.
TaiLieu.VN


Các em nhận thấy các mặt bên của các hình lăng trụ đứng là những hình
gì ?
2.Nhận xét:
Các mặt bên của hình lăng trụ đứng luôn luôn vuông góc với
mặt phẳng đáy và là những hình chữ nhật
Trong hình hộp chữ nhật các mặt của nó là những hình gì ?
Trong hình hộp chữ nhật các mặt của nó đều là những hình
chữ nhật

TaiLieu.VN


Ví dụ: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Tính
diện tích thiết diện của hình lập phương bị cắt bởi mặt phẳng trung

trực ( α ) của đoạn AC’
M
B

Gọi M,N,P,Q,R,S lần lượt là trung
điểm của BC,CD,Đ’,D’A’,A’B’,B’B .
Các em hãy tính xem độ dài các cặp
cạnh MA,MC’; NA,NC’; PA,PC’ là
bao nhiêu ?

C

N

D

A

S
B'

P

C'

R
A'

D'

Q
Ta có:
a 5
MA=MC’=NA=NC’=PA=PC’=QA=QC’=RA=RC’=SA=SC’=

2

Suy ra M,N,P,Q,R,S đều thuộc mặt phẳng trung trực của đoạn AC’
Và MN = NP = PQ =QR= RS = SM = a 2
Vậy thiết diện là lục giác đều MNPQRS
2

TaiLieu.VN

a 2
3 3 3 2
S = 6 
.
=
a
÷
÷
4
 2  4

2


S

IV. HÌNH CHÓP ĐỀU VÀ HÌNH CHÓP CỤT ĐỀU
S

1.Hình chóp đều
A

A
\\
B

//

D

H

D
H
h8

C

B

h9

C

Các em có nhận xét gì về hai hình chóp trên ?
Cho hình chóp có đỉnh S có đáy là đa giác A1A2…An và H là

hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng đáy (A1A2…An).
Khi đó đoạn thẳng SH gọi là đường cao của hình chóp và H là
chân đường cao.
Một hình chóp được gọi là đều nếu nó có đáy là một đa giác
đều và có chân đường cao trùng với tâm của đa giác đáy.
Trong
một hình
chópđều
đềucác
cácmặt
cạnh
bên giác
có đặc
a)Trong
h/chóp
bênbên,mặt
là các tam
cânđiểm
bằnggì?
nhau và tạo với đáy các góc bằng nhau.
b)Trong h/chóp đều các cạnh bên là các đoạn thẳng bằng
TaiLieu.VN
nhau và tạo với đáy các góc bằng nhau.


2.Hình chóp cụt đều
Phần hình chóp đều nằm giữa đáy
và một thiết diện song song với đáy
cắt các cạnh bên của hình chóp đều
được gọi là hìnhchóp cụt đều.

S
A'

D'
C'

B'
A
\\

D
H

//
Hình 10 là hình chóp cụt đều
C
B
h10
ABCD.A’B’C’D’
Trong hình chóp cụt đều Các mặt bên, cạnh bên, mặt đáy có đặc
điểm gì ?
•Trong hình chóp cụt đều có:

•- Hai đáy là hai đa giác đều đồng dạng
H6:Trong h/c đều chân đường cao trùng với tâm của đáy nên các
tam giác vuông có chung đường cao và cạnh góc vuông còn lại bán
kính đường tròn ngoại tiếp đáy nên các cạnh huyền là các cạnh bên
bằng nhau
H7: Nếu AB cắt CD thì tồn tại , Nếu AB song song CD thì sao ?

TaiLieu.VN


BÀI TẬP VỀ NHÀ
Bài: 1; 3 ; 5 ; 7; 9; 11 Trang 113 & 114
Sách giáo Khoa Lớp 11

TaiLieu.VN