Bài giảng Hình học 11 chương 3 bài 2: Hai đường thẳng vuông góc

TaiLieu.VN


Bài cũ:1.Định nghĩa tích vô hướng của hai véc tơ
2.Định lí Cô sin trong tam giác ABC

Trả lời: 1. a . b = a . b .Cos( a , b )
2
2
2
=
+
− 2. AB. AC.CosA
BC
AB
AC
2.

TaiLieu.VN


Trong mặt phẳng, góc giữa hai đường
thẳng cắt nhau a và b được xác định
như thế nào ?
α

O
a

TaiLieu.VN

b


1. Góc giữa hai đường thẳng:
Định nghĩa 1:
Góc giữa hai đường thẳng a
a
và b là góc giữa hai đường
thẳng a´ và b´ cùng đi qua
một điểm và lần lượt song
song (hoặc trùng) với a và b.

b

a´

u1

O

α

b´

u2
ϕ

Nhận xét:
Có thể lấy điểm O nằm trên a hoặc b không?

a.Để xác định góc giữa hai đường thẳng a và b ta có thể lấy điểm
O nằm trên a hoặc b.

Có nhận xét gì về góc giữa hai đường thẳng?
b.Gọi

α

TaiLieu.VN

0 0
là góc giữa hai đường thẳng a và b thì Ooo ≤≤αα≤≤9090


 
Gọi u1 ,u 2 lần lượt là véctơ chỉ phương của a, b. Gọiϕ
 
là góc giữa u1 ,u 2 .Có nhận xét gì về số đo α , ϕ ?

 
c.Gọi u1 ,u 2
 
u1 ,u 2 thì

là véctơ chỉ phương của a, b .Gọi ϕ là góc giữa

α=

ϕ Nếu ϕ ≤ 90
180 − ϕ Nếu

0

0

ϕ  90

Có thể tính cos α theo cosϕ không?
COSα = COSϕ

TaiLieu.VN

0


Phiếu trắc nghiệm số 1

Cho hình lập phương ABCD. A′B′C ′D′

1. Góc giữa hai đường thẳng AD và A′B ′ là:
0
60
B.

0
90
C.
D. 45 0
2. Góc giữa hai đường thẳng AB ′ và A′C ′ là:

0

30
A.

A. 30

0

B

A

0
60
B.

0
90
C.

C
D

C′

B′

A′
TaiLieu.VN

D′

0
45
D.


Cách 1:
SC.AB (SC+AC).AB
=
Cos(SC,AB)=
2
a
SC . AB a 2

Ví dụ 1:
2

Cho hình chóp S.ABC có
SA=SB=SC=AB=AC=a và

−
BC=a 2 .Tính góc giữa hai
= SA . AB +2 AC . AB =
đường thẳng SC và AB.

a

S

N

M

A
P

PP1:

0
120
Suy ra (SC, AB )=

C

2

+0

a2

1
=−
2

Vậy góc giữa hai đường thẳng SC và
AB bằng
60 0
2
2
Cách 2:

a
3
a
5
a
2
2
MN
=
MP
=
;
SP
=
;
BP
=
;
B
2
4
4
SB 2
3a 2
2
2
2
2
BP + SP = 2 NP +
⇒ NP =

2
4
2
2
2
NP = NM + MP − 2.MN .NP.CosNMP;

Tính góc giữa SC và AB bằng
định nghiã tích vô hướng

a2
1
⇒ CosNMP = − 4 = − ⇒ NMP = 120 0
a a
2
2. .
PP2:Dùng định lý Côsin
2 2
0
trong tam giác MNP

TaiLieu.VN

Vậy góc giữa hai đường thẳng SCvà AB là

60


2.Hai đường thẳng vuông góc:
Định nghĩa 2:

Hai đường thẳng được gọi là vuông góc
với nhau nếu góc giữa chúng bằng 90
Nếu u, v lần lượt là véc tơ chỉ phương của
hai đường thẳng a và b thì
a

Nhận xét: a

b

b

a'

u

u .v = 0

a

a

b

c

b c
Nêu phương pháp chứng minh a
Phương pháp chứng minh a b:

v

b?

1.Chứng minh góc giữa hai đường thẳng a và b bằng 90.
2.Xác định VTCP của hai đường thẳng . Chứng minh tích vô
hướng của chúng bằng 0.
3.Chứng minh đường thẳng a
TaiLieu.VN

c mà c

b.


Trắc nghiệm khách quan
Điền đúng sai vào các mệnh đề sau:
A. Hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ
ba thì song song với nhau.S

S
B.Hai đường thẳng vuông góc có duy nhất một điểm chung.
C.Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường
thẳng song song thì vuông góc với đường thẳng kia.Đ
D.Hai đường thẳng cùng vuông với đường thẳng thứ ba thì
vuông góc với nhau. S
TaiLieu.VN

Chú ý:Hình hộp có tất cả các cạnh bằng nhau gọi là hình hộp thoi
Cho hình hộp thoi ABCD. A′B ′C ′D ′.Hãy giải thích tại sao AC ⊥ B ′D ′ ?

A

Ví dụ 2:

D

Cho hình hộp thoi ABCD. A′B ′C ′D ′
có tất cả các cạnh đều bằng a và B

C

60 0
ABC =B BA =B BC =

A′B ′CD

A′

Giải:

′CD
Tứdiện
giáctích
là hình thoi.
A′Btứ
Tính
giác

C′
B′
2
2
a
a
=0
+
= CB.BA + BB ′.BA = −
2
2

CB ′.CD = (CB + BB ′).BA

Vậy tứ giác A′B ′CD là hình vuông.
Nên có diện tích là:
TaiLieu.VN

S

a

2

D′


Ví dụ 3:
Cho hình lập phương ABCD, trong đó AB AC, AB

BD.Gọi P
và Q là các điểm lần lượt thuộc các đường thẳng AB và CD sao
cho PA=k PB, QC=k QD (k 1).Chứng minh rằng AB và PQ
vuông góc với nhau.
A
Giải

P

PQ=PA + AC + CQ
=kPB +AC +kDQ (1)
B
PQ = PB + BD +DQ
kPQ = kPB + kBD +kDQ (2)
Lấy (1)-(2) ta có: (1-k)PQ=AC - kBD

C
Q
D

(1-k)PQ . AB =(AC –kBD).AB =AC. AB – kBD . AB =0
PQ . AB =0
Vậy AB PQ
TaiLieu.VN


Ví dụ 4:

E

Giải: a,

P
Hai tam giác đều ABC và BA.CE=BA.(BE- BC) Q
ABE trong không gian có
A
chung cạnh AB và nằm
B
trong hai mặt phẳng khác =BA.BE – BA.BC
M
N
nhau.Gọi M,N,P,Q lần lượt
là trung điểm của các cạnh
C
AC,CB,BE,EA.
=BA.BE.cos60 – BA.BC.cos60 =0
AB
CE
a, Chứng minh AB CE.
b , MNPQ là hình bình hành.
CE AB
b, Chứng minh tứ giác
MNPQ là hình chữ nhật.
PN CE
PN MN
C, Tính diện tích hình achữ6
MN AB
nhật MNPQ biết CE=
MNPQ là hình chữ nhật.
2

a 6
và AB=a
PN =
c, PQ = a ;
4
2

TaiLieu.VN

S MNPQ

a2 6
= PQ.PN =
8


Tóm tắt nội dung chính đã học

1. Góc giữa hai đường thẳng:

Góc giữa hai đường thẳng a và b là góc giữa hai đường thẳng a´ và b´ cùng đi
qua một điểm và lần lượt song song (hoặc trùng) với a và b.

PP tính góc giữa hai đường thẳng:

PP1:Tính góc giữa hai véctơ chỉ phương hoặc góc giữa hai véctơ
pháp tuyến bằng cách vận dụng định nghĩa tích vô hướng
PP2: Vận dụng định lý côsin trong tam giác

2.Hai đường thẳng vuông góc:

Hai đường thẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa
chúng bằng 90
Phương pháp chứng minh a b:
1.Chứng minh góc giữa hai đường thẳng a và b bằng 90.
2.Xác định VTCP của hai đường thẳng . Chứng minh tích vô
hướng của chúng bằng 0.

3.Chứng minh đường thẳng a
TaiLieu.VN

c mà c

b.


TaiLieu.VN