MÔN TOÁN
HAI ĐƯỜNG
THẲNG VUÔNG
GÓC
BÀI 1.
HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC
I. GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG
II. HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC
III. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN.
IV. BÀI TẬP ÁP DỤNG
I. GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG
• Góc giữa 2 đường thẳng a và b cắt nhau :
Hai đường thẳng a và b cắt nhau tạo thành 4
góc. Số đo nhỏ nhất trong 4 góc này gọi là góc
giữa hai đường thẳng a và b.
a
O
• Kí hiệu :
�
�
(a,b) = (b,a)
b
• Góc giữa 2 đường thẳng chéo nhau :
Góc giữa 2 đường thẳng a và b chéo nhau
là góc giữa hai đường thẳng a’ và b’ cắt
nhau lần lượt cùng phương với a và b
� = (a',b')
�
(a,b)
• Kí hiệu :
a’
O
a
b
b’
O
a’
O
b’
Ghi chú
Với 2 đường thẳng a, b tùy ý, ta có :
TaiLieu.VN
o
�
0 �(a,b) �90
o
a//b
�
o
�
(a,b) = 0 � �
a �b
�
o
�
(a,b) = 90 � a b
II. HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG
GÓC
1. Định nghĩa.
o
�
a b � (a,b) 90
b’
b
O
a’
a
TaiLieu.VN
2. Tính chất :
a//b �
�� c b
c a�
c
a
b
TaiLieu.VN
Các mệnh đề sau đúng hay sai ?
a) Hai đường thẳng vuông góc nhau
thì cắt nhau ?
Sai, vì chúng có thể chéo nhau
c
b
a
TaiLieu.VN
b) Hai đường thẳng cùng vuông góc
với đường thẳng thứ ba thì chúng
song song với nhau ?
Sai, vì chúng có thể chéo nhau hoặc cắt nhau
u
a
TaiLieu.VN
b
b
PHƯƠNG PHÁP GiẢI TOÁN
Chứng minh hai đường thẳng vuông góc :
1. Dùng định nghĩa :
2.
c // b �
�� a b
a c�
3.
a () �
�� a b
b �( ) �
� 90o
a b � (a,b)
4. Nếu a, b đồng phẳng dùng các phương
pháp trong hình học phẳng, như Pytago đảo,
trung tuyến của tam giác cân, tính chất đường
cao, trung trực,…
BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là
trung điểm của BC và CD. Biết
AB = CD = 2a và MN = a 3
�
Tính góc (AB,CD)
Hướng dẫn giải toán
Gọi O là trung điểm của AC
OM , ON lần lượt là ĐTB của
ABC, ACD.
OM = ON = a và OM // AB,
ON // CD
�
�
� (AB,CD)
= (OM,ON)
A
2a
O
a
a
N
a 3
B
M
D
2a
C
O
�
Tính góc (AB,CD)
a
a
M
N
a 3
2
H
+ Cách 1 :
Gọi H là trung điểm của MN. Trong tam giác cân
OMN có :
a 3
OM = a, MH = 2
�
�
MON
= 2.MOH
2.60o = 120 o
�
�
� (AB,CD)
= (OM,ON)
= 180o 120o 60o
+ Cách 2. Áp dụng định lí cosin cho MON :
�
MN2 = OM2 + ON2 – 2.OM.ON.cos MON
Suy ra :
1
�
cosMON = 2
Do đó :
�
MON
= 120 o
Vậy :
O
�
(AB,CD) = 60
BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 2. Cho tứ diện đều ABCD, cạnh a. Gọi
M, N, P , Q , R lần lượt là các trung điểm
của AB, CD, AD, BC và AC
a) Chứng minh : MN RP và MN RQ
b) Chứng minh : AB CD
a. Chứng minh MN RP, MN RQ
Ta có : RP là ĐTB ACD
RP // CD (1)
A
MCD cân MN CD (2)
Từ (1) và (2) suy ra :
M
MN RP
Tương tự : RQ là ĐTB
ABC RQ // AB (3)
B
và ABN cân
MN AB (4)
(3) , (4) MN RQ
R
P
D
Q
C
N
b. Chứng minh AB CD
Tương tự : PQ AD
Ta có : RP // CD và RQ // AB
A
Ta chứng minh : RP RQ
QPD vuông tại P, nên :
2
2
QP = QD - DP
2
a
2
QP =
2
Ta có :
2
2
a
2
RQ + RP = = QP
2
2
2
M
R
P
D
B
Q
Do đó : RP RQ AB CD
C
N
Bài tập
Bài 3 . Cho tứ diện đều ABCD cạnh a, gọi M
� DM)
là trung điểm của BC. Tính góc
(AB,
Hướng dẫn giải toán
A
� DM)
Tính góc (AB,
MN là ĐTB ABC,
nên MN // AB
� DM) NMD
�
(AB,
B
N
Áp
*Cách
dụngkhác
định: lí cosin cho
tam giác MND , ta được :
Trong tam giác cân MND tại M
2
2 của 2
D, gọi H làMN
trung
điểm
MD
ND
3 3
C
MH
a
/
4
cosnên
:
MN,
cos
2.MN.MD
6
DM a 3 / 2 6
D
Bài 4. Tứ diện ABCD có AB = CD = a, AC
= BD = b, AD = BC = c.
a) Chứng minh các đoạn nối trung điểm
của các cạnh đối thì vuông góc với hai cạnh
đó.
b) Tính cosin của góc hợp bởi các đường
thẳng AC và BD
Hướng dẫn giải toán
a) Chứng minh :
+ MN CD , MN
a
AB
Ta
có; : AD , PQ BC
+ PQ
M
ABC = BDA (c-c-c)
MC = MD
MND cân
MN CD
Tương tự : MN AB
A
b
P c
b
B
c Q
D
C
N
a
Hướng dẫn giải toán
a) Chứng minh :
+ PQ AD , PQ BC
ABC = DCB (c-c-c)
A
a
M
c
b
P
QA = QD
QAD cân tại Q
PQ AD
Tương tự : PQ BC
b
B
c Q
D
a
N
C
Vậy các đoạn nối trung điểm các cạnh đối vuông góc
với các cặp cạnh đối đó.
�
b) Tính cos(AC,BD)
Ta có : NP // AC, MP // BD
�
�
Nên : (AC,BD)
MPN
Áp dụng định lí cosin cho
tam giác MNP :
2
2
MP NP MN
cos
2MPNP
2
MNC vuông tại N
B
A
a
M
b/2
c
P
b/2
b
D
MN2 = MC2 – NC2
c
a
Q
Áp dụng định lí trung tuyến
N
C
cho ABC , ta được :
2
2
2
2
2
a c
2b 2c a
2
�
Vậy : cos(AC,BD) cos
MC
2
4
b
Bài 5 . Cho hình chóp S.ABCD có đáy là
hình bình hành với AB = a, AD = 2a,
SAB là tam giác vuông cân tại A, M là 1
điểm trên cạnh AD (M khác A và D). Mặt
phẳng qua M và song song với
mp(SAB) cắt BC, SC, SD lần lượt tại N,
P, Q.
a) Chứng minh MNPQ là hình thang
vuông.
b) Đặt AM = x. Tính diện tích của
MNPQ theo a và x.
Hướng dẫn giải toán
S
Q
P
A
B
M
N
C
D