Bài giảng Đại số 11 chương 2 bài 2: Hoán vị chỉnh hợp tổ hợp

ĐẠI
ĐẠI SỐ
SỐ 11
11
HOÁN
HOÁN VỊ
VỊ -- CHỈNH
CHỈNH HỢP
HỢP ––
TỔ
TỔ HỢP
HỢP

CHU
CHUĐẶNG
ĐẶNGVIỆT
VIỆT
THPT
THPTNGÔ
NGÔSĨ
SĨLIÊN
LIÊN
1


Kiểm tra bài cũ
1. Hoán vị
Bài tập
Số hoán vị: Pn= n! Lớp
1. Nêu
nghĩa

11A1định
có 45
học hoán
sinh. Có bao
*
Nếun
coi
lớp
11A1
làtập
1sinh:
tập
n
vịnhiêu
của
phần
tử
cách
chọn
3của
học
AA.
gồm
45
hs,
3 bạn
được
2. Chỉnh hợp
hợp
Số

các
hoán
vị?
1. Vào
banvào
cánban
sự lớp
với
3 nhiệm vụ:
chọn
cán
sự
lớp
Số chỉnh hợp:
2.lớp
Nêu
định lớp
nghĩa
chỉnh
trưởng,
phó
và bí thư.
k
là
1
tập
B
gồm
3
hs.Quan

A n n ( n  1)...( n  k  1)
hợp chập k của n phần
2. Vào ban
cán
sựAlớp.
hệ
giữa
vàSốBcác
?
n!
tử
của
tập
hợp
A.

Kết
quảhợp?
 n  k !
chỉnh
3 chọn các bạn vào
Cách
*
1)
A
45  85140 (cách)
( Ví i 0 k n; n  ; k   )
ban cán
sự
lớp

khác
với
3 ta nói “Mỗi tập con
Khi đó
A
cách 45chọn
các bạn
vào 3
2)

14190
(cách)
của
A gồm
3 phần
tử được
chức
vụ
LT,
LP,
BT?
3!
gọi là một tổ hợp chập 3 của
45 phần tử của A”





2

1. Số hoán vị
Pn= n! n   *
So sánh chỉnh
2. Sốhợp
chỉnh
hợp
chập
k của





A kn n ( nnphần
1)...( n tử
 k và
 1)tổ

n ! hợp chập k của

 n  k  ! n phần tử!

• Cho tập hợp A có n phần tử và số
nguyên k với 1 k n Mỗi tập
con của A có
k phần
được gọi là 1
Thử

phát tử
biểu
tổ hợp chậpđịnh
k của
n phần
nghĩa
tổ tử của A
(gọi tắt là 1 tổ hợp
chập k của A)
hợp?

Chú ý: 1. Với n nguyên dương, như
vậy 1 tổ hợp chập k của A là 1 tập
*
( Ví i 0 k n; n  ; k   ) con của A có k phần tử (không quan
tâm đến thứ tự).
3. Tổ hợp
2. Các phần tử trong 1 tổ hợp có
a. Định nghĩa
vai trò như nhau.

3


3. Tổ hợp
Ví dụ 1. Cho tập
hợp
A = {1, 2, 3, 4, 5}
Liệt kê các tổ hợp
chập 2 của 5 phần

tử của tập A.

Bài giải: Các tổ hợp chập 2 của 5 phần
tử :
{1,2}; {1,3}; {1,4}; {1,5}; {2,3};
{2,4}; {2,5}; {3,4}; {3,5}; {4,5}.

4


3. Tổ hợp
b) Số các tổ hợp:
Định lí 3.
k
Ký hiệu Cn là số tổ hợp chập k của n phần tử ta cĩ :
k
A
n!
k
n
Cn  
(ví i 1k n; n  * ; k   ) (*)
k! k!(n  k)!
Chú ý:
0
C
• Ta quy ước n 1 khi đó công thức (*) cũng đúng
với k = 0. Vậy công thức (*) đúng với mọi số nguyên
k thỏa mãn: 0 k n
k

k
A

k!C
• . n
n
0
n

n
n

C C 1

•

5


HOÁN VỊ – CHỈNH HỢP – TỔ HỢP
1. Số hoán vị:Pn = n!
2. Số chỉnh hợp:
A kn 

n!
 n  k !

( Ví i 0k n; n  * ; k   )

3. Số ktổ hợp:

A
n!
Cnk  n 
k! k!(n  k)!

(Ví i 0 k n; n  * ;k   )

• Khi chọn k phần tử trong n phần tử
của tập A mà không sắp xếp thứ tự thì
k
số cách chọn là Cn
• Khi chọn k phần tử trong n phần tử
của tập A và sắp xếp theo một thứ tự
k
thì số cách chọn là A n

6


HOÁN VỊ – CHỈNH HỢP – TỔ HỢP
3. TỔ HỢP

Ví dụ 2

a) Mỗi đội được lập là một tổ hợp chập
5 của 10Khi
phầnchọn
tử . Do
đó cờ
số đội

thể
đội
đỏ có
gồm
lập được là:

các trường
Một tổ có 7 nam và 3 nữ.
TH1:5 0người,
nữ vàcó
5 nam.
10!
5
hợp
xảy
racủa
số nữ
Cần thành lập đội cờ đỏ
cách
lập
TH2:
1nào
nữ và
4 nam.
C10
252
5!(10
 5)!
gồm 5 người:
và

số
nam
trong
đội? 3
TH3:
2
nữ
và
3
nam.
b) Chọn
Nhóm
1 3 nam trong 7 nam có2 C7 cách
a) Có bao nhiêu cách
nữtrong
và 23 nam.
vàTH4:
chọn 23nữ
nữ có C3 cách.
lập?
Do đó có:
b) Có bao nhiêu cách
3 22
Nhóm
C7 .C3 35.3 105 cách lập
lập đội cờ đỏ có 3 nam
và 2 nữ?
c) Số cách lập đội cờ đỏ gồm 5 nam là:
c) Cĩ bao nhiêu cách lập Nhóm
C573 cách lập

sao cho trong đội cĩ ít
Vậy số cách lập đội cờ đỏ sao cho
nhất 1 nữ.
trong đó có ít nhất 1 nữ là:
5
C10
 C57 231 cách lập

7


0
7

=1

4
7

= 35

1) C

C

1
7

=7

5
7

= 21

;C

;C
2
4

;C

6
7

;C

3
8

2) P C  2C  A
3
7

2
5
2
5

2
7

2
5

= 21
=7

3
7

= 35

7
7

=1

;C

;C

= 98

3
6

C .A  P3 .C
145

3) Q 

2
2C  3A 4
4

8


4. Tính chất của tổ hợp
k
n

1. C  C

n k
n

( 0 k n)

k
2. Cn+1
Cnk 1  Cnk (1k n )

Ví dụ 3. Chứng minh rằng:
7
12

5
10

6
10

7
10

1) C C  2C +C

27
28
29
2) C29

C

2C
+
C
2010
2008
2008
2008

3) CMR vôù
i ( 2 k n; n  * , k   ).
Ta coù
:Cnk2 Cnk 2  2Cnk 1  Cnk

9

TRẮC NGHIỆM
Hãy chọn phương án đúng trong các trường hợp sau:
1. Có 7 bông hoa hồng và 5 bông hoa cúc. Có bao nhiêu cách
chọn 5 bông hoa gồm 3 bông hoa hồng và 2 bông hoa cúc?
A. 792
B. 350
C. 4200
D. 45
2. Có 6 quyển sách khác nhau tặng đều cho 2 học sinh. Hỏi có
bao nhiêu cách tặng?
A. 30
B. 15
C. 20
D. 120
2
3

3
5

4
6

3. Cho biểu thức T = C  2.C  C
. Khi đó T =
A. 10
B. 7
C. 8

D. 12
10


Định nghĩa hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp.
 Số hoán vị, số chỉnh hợp, số tổ hợp.
 Phân biệt được chỉnh hợp và tổ hợp.
 Làm các bài tập trong SGK trang 63 ( từ bài 9 đến bài
16).


11


HOÁN VỊ – CHỈNH HỢP – TỔ HỢP
4. Tính chất của tổ hợp

1. Cnk  Cnn k ( 0 k n)
k
2. Cn+1
Cnk 1  Cnk (1k n )

Bài tập

1. CMR vôù
i ( 2 k n-2), ta coù
Cnk Cnk 22  2Cnk 12  Cnk 2 (1)

Lời giải

1) VP  Cnk22  2Cnk12  Cnk2

  Cnk22  Cnk12    Cnk12  Cnk2 
 Cnk11  Cnk1  Cnk (�
pcm)

12


13