Bài giảng Giải tích 11 chương 5 bài 1: Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm

Chương 5: ĐẠO HÀM

BÀI 1: ĐỊNH NGHĨA VÀ
Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM

10/08/19

4

1


§ 1 Kh¸i niÖm ®¹o
hµm

module 1.
module 2.
module 3.

module 4 :

ví dụ mở đầu

định nghĩa đạo hàm của hàm số tại một điểm

củng cố, luyện tập

Kiểm tra đánh giá.

module 5 : tổng kết bài học, hướng dẫn học bài ở nhà.
10/08/19

5

2


1: Ví dụ mở đầu.
Bài toán
Từ một vị trí O (ở một độ cao nhất định nào đó), ta
thả một viên bi cho rơi tự do xuống đất và nghiên cứu
chuyển động của viên bi.

10/08/19

3


.
.
.

10/08/19

O

Nếu chọn trục oy theo phương thẳng đứng
chiều dương hướng xuống đất, gốc O là vị trí
ban đầu của viên bi (tại thời điểm t=0) ta có
phương trinh chuyển động của viên bi là :
y = f (t ) =

1
gt 2
2

g ≈ 9,8 m

to

s2

M0
Giả sử tại thời điểm tviên
bi ở vị trí
0
y0 = f (t0 )
có toạ độ
t1 (t1 > t0 viên
) bi ở vị trí
tại thời điểm
có
M 1toạ độ
y1 = f (t1 )
Trong khoảng thời gian từ
bi đI được quãng đường là :

t0 đến

t1

tviên
1

M 0 M 1 = f (t1 ) − f (t0 )

f (t0 )
M0

f (t1 )

M1

y

Vận tốc trung bình của viên bi trong thời gian
f (t1 ) − f (t0 )
đó là :
t1 − t0

Vận tốc tức thời của viên bi tại thời điểm

tlà0

f (t1 ) − f (t0 )
v(t0 ) = lim
t1 →t0
t1 − t0


Trong thực tế nhiều vấn đề của Toán

học, Vật lí, Hoá học … dẫn tới việc tìm
giới hạn

f ( x) − f ( x0 )
lim
x → x0
x − x0

Trong đó y = f(x) là một hàm số nào
đó.

10/08/19

5


ThÕ nµo lµ
®¹o hµm cña
hµm
sè
t¹i
mét ®iÓm ?
10/08/19

6


2. Đạo hàm của hàm số tại một điểm
a) Khái niệm đạo hàm của hàm số tại một điểm

Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a;b) và

x0 ∈ (a; b)

* Định nghĩa :
f ( x) − f ( x0 )
Giới hạn hữu hạn (nếu có ) của tỉ số
khi x
x − x0
x0
dần đến
được gọi là đạo hàm của hàm số đã cho tại x0
x ) là
y '( x0hoặc
)
điểm
kíf '(hiệu
nghĩa là:

Hãy định nghĩa đạo
hàm của hàm số tại
một đf '(iểm
?
f ( x) − f ( x )
x ) = lim
0

0

∆x = x − x0

⇒
Đặt 
∆y = f ( x0 + ∆x) − f ( x0 )

10/08/19

0

x → x0

x − x0

f '( x0 ) = xlim
→x

0

f ( x0 + ∆x) − f ( x0 )
∆y
= lim
∆x → 0 ∆x
x − x0

7


Câu hỏi tình huống
Hai bạn, Quang và Quyền tranh luận. Bạn Quang cho rằng
∆x*Chú

ý:
có nghĩa là đen ta nhân với x. Bạn Quyền không đồng
1) Số ∆x = x − x gọi là số gia của biến số tại điểm x∆x
ý với ý kiến của bạn Quang và còn khẳng định thêm
∆y = f ( x0 + ∆x) − f ( x0 )
luôn mang dấu dương. Theo em hai bạn nói đúng sai như
x
∆x
là số gia của hàm số ứng với
thế nào? ý kiến của riêng em?
số 2)
giaSố ∆tại
điểm nhất thiết phải mang dấu dương.
x không
0

0

0

3) ∆x, ∆y là những kí hiệu, không phải là tích của
với x hay với y .

10/08/19

8

∆

8

* Ví dụ:
• Tính số gia của hàm số
trường hợp sau:

ứng với số gia

x0

* TH1: x0 = 2

2 biến số tại điểm
y = xcủa

< GV >

chỉ ra trong các

∆x

Kết quả TH1

* TH2: x0 = -2

< Nhóm 1+3 >

Kết quả nhóm 1+3

x0 = 0

< Nhóm 2+4 >

Kết quả nhóm 2+4

* TH3:
10/08/19

9


* Kết quả TH1:

f ( x0 ) = f (2) = 4

f ( x0 + ∆x ) = ( x0 + ∆x )
= ( 2 + ∆x )

2

2

= 4 + 4∆x + ( ∆x )

2

∆y = f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 ) = ∆x ( ∆x + 4 )
undo
10/08/19

10


* Kết quả nhóm 1+3:
f ( x0 ) = f (−2) = 4
f ( x0 + ∆x ) = ( x0 + ∆x )

2

= ( −2 + ∆x )

2

= 4 − 4∆x + ( ∆x )

2

∆y = f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 ) = ∆x ( ∆x − 4 )
Undo
10/08/19

11


Kết quả nhóm 2+4
f ( x0 ) = f (0) = 0
f ( x0 + ∆x ) = ( 0 + ∆x )
= ( ∆x )

2

2

∆y = f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 ) = ( ∆x )

2

Undo
10/08/19

12


b) Quy tắc tính đạo hàm theo định nghĩa.
Quyđạo
tắc
Từ định nghĩa
Muốn tính đạohàm
hàmcủa
củahàm
hàmsố
sốtại
y=f(x) tại điểm x0 theo
định nghĩa ta thực
một hiện
điểmtheo
cùnghai
ví bước sau:
dụ hãy nêu cách
y theo công thức ∆y = f ( x0 + ∆x) − f ( x0 )

+ Bước 1:Tính ∆tính
đạo hàm theo
∆x
x0
định nghĩa ?
trong đó
là số gia của biến số tại
∆y
lim
+ Bước 2: Tìm giới hạn ∆x →0
+ Bước 3: Kết luận: f ′ ( x0 )

10/08/19

∆x ∆y
= lim
∆x → 0 ∆x

13


Luyện tập: (Hoạt động theo nhóm)
Tính đạo hàm của
a) Hàm số y = xtại điểm
2

b) Hàm số

y = − x2

Đáp án (a)

10/08/19

tại điểm

x0 (Nhóm
= 2 1+2)
x0 = 2

(Nhóm 3+4)
Đáp án (b)

14


* Đáp án nhóm 1+2 :
* Đặt f ( x) = x 2 ta áp dụng quy tắc đã cho như sau:
* Tính ∆y theo công thức : ∆y = f ( x0 + ∆x) − f ( x0 )
∆y = (2 + ∆x) 2 − 22 = ∆x(4 + ∆x)

* Tìm giới hạn :

∆y
∆x(4 + ∆x)
= lim
= lim (4 + ∆x) = 4
∆x → 0 ∆x
∆x → 0
∆x → 0

∆x
lim

* Vậy: f '(2) = 4

Đáp án (b)
10/08/19

15


* Đáp án nhóm 3+4 :
Đặt f ( x) = − x 2 ta áp dụng quy tắc đã cho như sau:
* Tính ∆y theo công thức: ∆y = f ( x0 + ∆x) − f ( x0 )
∆y = −(2 + ∆x) 2 − (−22 ) = −∆x(4 + ∆x)
∆y
−∆x(4 + ∆x )
= lim
= lim [ −(4 + ∆x) ] = −4
* Tìm giới hạn: ∆lim
x →0
∆x → 0
∆x → 0
∆x

∆x

* Vậy: f '(2) = −4

Đáp án (a)

10/08/19

16


Nhận xét : * Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại điểm x
0
x0
thì liên tục tại điểm

* Điều ngược lại? Chưa chắc đã đúng: VD hàm số y = x

10/08/19

17


Kiểm tra 5 phút. Chọn một đáp án đúng.
• Câu hỏi: Cho hàm số y = 2 x + 1
• Đạo hàm của hàm số tại điểm x0 = 3 là :
(A) -2
(C) 2

(B) -3
(D) 3

ĐÚNG
SAI RỒI
RỒI
RỒI

SAI

10/08/19

18


• Nội dung cơ bản của tiết học:
- Định nghĩa đạo hàm của hàm số tại một điểm.
- Mối liên hệ giữa đạo hàm với tính liên tục của
hàm số
- Quy tắc tính đạo hàm của hàm số tại một điểm:
10/08/19

19


Quy tắc

•Muốn tính đạo hàm của hàm số y=f(x) tại điểm x0 theo
định nghĩa ta thực hiện theo hai bước sau:
+ Bước 1: Tính ∆y theo công thức ∆y = f ( x0 + ∆x) − f ( x0 )
∆x đó
x0 tại
Trong
là số gia của biến số
∆y
∆x → 0 ∆x

+ Bước 2: Tìm giới hạn lim

∆y
∆x →0 ∆x

+ Bước 3: Kết luận f ′ ( x0 ) = lim

Bài tập về nhà:
Bài tập 1, 2 ( SGK - tr 192).
10/08/19

20


10/08/19

21