ĐỀ THI CUỐI KÌ MÔN GIẢI TÍCH 2
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.04 MB, 19 trang )
ĐỀ THI CUỐI HỌC KỲ 172 DỰ THÍNH
Môn: GIẢI TÍCH 2
Ngày thi: 03/06/2018
Thời gian: 90 phút
Đại học Bách Khoa TP Hồ Chí Minh
Khoa Khoa Học Ứng Dụng
Bộ môn Toán Ứng Dụng
Hình thức thi tự luận: Đề gồm 6 câu
Sinh viên không được sử dụng tài liệu.
Câu 1. Cho hàm f (x, y) = x3 − 2xy 2 + 5y 2 + 4x và điểm M (−2, 1, −7) nằm trên mặt S có phương
trình z = f (x, y)
−→
1. Tính hệ số góc của mặt S theo hướng vector Oy tại M
2. Tìm phương trình tiếp diện của mặt S tại M
√
√
Câu 2. Tính thể tích vật thể giới hạn bởi các mặt: y = x, y = 2 x, z = 0, z = 6 − x
1
y sin(xy) + y 2 + y dx + (x sin(xy) + xy) dy với C là nửa đường
2
Câu 3. Tính tích phân I =
C
tròn x2 + y 2 + 2x = 0 đi từ A(−1, −1) đến B(−1, 1) theo cùng chiều kim đồng hồ.
Câu 4. Tính tích phân I =
(y−z)dydz+(z−x)dzdx+(x−y)dxdy với S là mặt nón z =
x2 + y 2 ,
S
phần ứng với z ≤ 2 và x ≥ 0, lấy phía dưới.
∞
Câu 5. Khảo sát sự hội tụ của các chuỗi số
n=1
∞
Câu 6. Cho chuỗi lũy thừa
n=1
(−1)n (2n)!
.
(n!)2 .3n
22n+1 n
x .
n(n + 2)
1. Tìm bán kính hội tụ R của chuỗi.
∞
2. Với R ở câu trên, tính tổng chuỗi ∀x ∈ (−R, R) biết
n=1
xn
= − ln (1 − x) , ∀x ∈ (−1, 1).
n
CHỦ NHIỆM BỘ MÔN
1
ĐÁP ÁN
Câu 1. (1.5đ)
1. k = 18 (0.5đ)
2. 14(x + 2) + 18(y − 1) = z + 7 (1đ)
Câu 2. (1.5đ)
√
2 x
6
V =
dx
dy
√
0
6−x
6
dz (0.5đ) =
0
x
√
√
48 6
(6 − x) xdx (0.5đ) =
≈ 23.52 (0.5đ)
5
0
Câu 3. (2đ)
Gọi C1 là đường thẳng x = −1, đi từ B đến A thì C ∪ C1 là biên âm của
D : x2 + y 2 + 2x ≤ 0, x ≤ −1 (0.5đ)
P dx + Qdy −
I=
P dx + Qdy (0.5đ)
(− sin(−y) − y) dy (0.5đ) =
(−1)dxdy −
Câu 4. (2đ)
1 x y
→
−
, , −1 (0.5đ)
n =√
2 z z
I=
π
(0.5đ)
2
1
D
√
hình tròn
C1
−1
C∪C1
=−
1
2
π
2
(y − x)ds (0.5đ) =
2
2
− π2
S
r2 (sin ϕ − cos ϕ)dr (0.5đ) = −
dϕ
16
(0.5đ)
3
0
Câu 5. (1đ)
lim
n→∞
(2n + 1)(2n + 2)
4
un+1
= lim
= (0.5đ) ⇒ P K (0.5đ)
2
n→∞
un
(n + 1) .3
3
Câu 6. (2đ)
22n+1
1
→ R = (0.5đ)
n(n + 2)
4
∞
∞
2n+1
2
1
1
n
S(x) =
x =
−
n(n + 2)
n n+2
n=1
n=1
an =
∞
x=0:
n=1
S(x) =
n
(4x)
1
=
n+2
(4x)2
∞
n=1
∞
n
(4x) =
n=1
∞
n+2
(4x)
1
=
n+2
16x2
n=1
0, x = 0
1
1
1
−
1
ln
(1
−
4x)
+
+
,x ∈
16x2
4x 2
2
∞
(4x)n
(4x)n
−
(0.5đ)
n
n+2
n=1
(4x)n 4x (4x)2
−
−
n
1
2
1
1
− , 0 ∪ 0,
4
4
(0.5đ)
(0.5đ)
ĐỀ THI CUỐI HỌC KỲ 173 DỰ THÍNH
Môn: GIẢI TÍCH 2
Ngày thi: 09/09/2018
Thời gian: 90 phút
Đại học Bách Khoa TP Hồ Chí Minh
Khoa Khoa Học Ứng Dụng
Bộ môn Toán Ứng Dụng
Hình thức thi tự luận: Đề gồm 6 câu
Sinh viên không được sử dụng tài liệu.
Câu 1. Cho mặt cong S có phương trình z = x3 − 2xy 2 + 5y 2 + 8x − 4y. Tìm vector pháp của mặt
cong và phương trình tiếp diện của mặt cong tại M (−1, 2, 11)
Câu 2. Tính thể tích vật thể giới hạn bởi z = 0, x + y + z = 3, y = 0,
x y
x y
+ = 1, + = 1
2 3
4 3
Câu 3. Tính diện tích phần mặt trụ z = 4 − y 2 bị cắt bởi các mặt phẳng z = 0, x + y = 2, x = 4.
Câu 4. Dùng công thức Stokes để tính tích phân
1
(z 3 + x2 y)dx + (2xz 2 − x2 y)dy + x3 − y 3 + 3z 2 y dz với C là đường cong
3
I=
C
2
x + 2y 2 + z 2 = 4y
lấy cùng chiều kim đồng hồ nhìn từ phía z dương (Nhìn theo hướng
z=x
từ dương sang âm của trục Oz).
Câu 5. Khảo sát sự hội tụ của các chuỗi số
∞
1.
n=3
∞
2.
n=1
3n2 − 2
n2 + n
(4n−3)
n−3
n+1
(n−3)(n+1)
(−1)n−1 .4.7...(3n + 1)
23n+1 (n!)
∞
Câu 6. Tìm bán kính hội tụ R của chuỗi lũy thừa
n=2
(−1)n−1 + 3n+1 n+1
x
và tính tổng chuỗi khi
n2 − 1
x ∈ (−R, R).
CHỦ NHIỆM BỘ MÔN
1
ĐÁP ÁN
Câu 1. (1.5đ)
−
Pháp vector: →
n = ±(3, 24, −1) (1đ)
PTTD: z = 3(x + 1) + 24(y − 2) + 11 hoặc 3(x + 1) + 24(y − 2) − (z − 11) = 0 (0.5đ)
Câu 2. (1.5đ)
3−y
3
dxdydz =
V =
dy
0
Ω
3−x−y
dx
3
(3 − y) 3 − y −
=
dz +
0
6−2y
3
6 − 2y
3
−
12−4y
3
3
0
dx
dy
3−y
0
dz (0.5đ)
3−x−y
(3 − y)2 (6 − 2y)2
+
dy +
2
18
0
3
(y − 3)
=
12 − 4y
(12 − 4y)2 (3 − y)2
1 1
−3+y +
−
dy (0.5đ) = + = 1 (0.5đ)
3
18
2
2 2
0
Câu 3. (1.5đ)
PTGT: z = 4 − y 2 ∧ z = 0 ⇔ y = ±2
D : y = ±2, x + y = 2, x = 4 (0.5đ)
2
1 + 4y 2 dxdy (0.5đ) =
ds =
SS =
S
= ln(4 +
√
D
4
dy
−2
√
2
1 + 4y 2 dx =
1 + 4y 2 (2 + y)dy
−2
2−y
17) + 4 17 ≈ 18.59 (0.5đ)
Câu 4. (2đ)
Gọi S là phần mặt phẳng z = x nằm trong ellipsoid, lấy phía dưới theo hướng Oz (0.5đ)
(−y 2 + 3z 2 − 4xz)dydz + (3z 2 − 3x2 )dzdx + (2z 2 − 2xy − x2 )dxdy (0.5đ)
Stokes: I =
S
Dxy : x2 + y 2 ≤ 2y
(−y 2 + 3z 2 − 4xz, 3z 2 − 3x2 , 2z 2 − 2xy − x2 )(1, 0, −1)dxdy
I=
Dxy
(−y 2 + 3x2 − 4x2 − x2 + 2xy)dxdy (0.5đ)
=
Dxy
(−2x2 + 2xy − y 2 )dxdy =
=
Dxy
π
=
Dxy
2 sin ϕ
π
2
2
2
2
(8 cos2 ϕ sin4 ϕ + 4 sin6 ϕ)dϕ = −
(−2r cos ϕ − r sin ϕ)rdr = −
dϕ
0
(−2x2 − y 2 )dxdy (Do Dxy đối xứng qua Oy)
0
7π
(0.5đ)
4
0
Câu 5. (1.5đ)
√
1. lim n un = lim
n→∞
2. lim
n→∞
n→∞
3n2 − 2
n2 + n
4n−3
n
4
1−
n+1
(n+1) n−3
n
=
34
> 1 (0.5đ) ⇒ P K (0.25đ)
e4
3
un+1
(3n + 4)
= lim 3
= < 1 (0.5đ) ⇒ HT (0.25đ)
n→∞ 2 .(n + 1)
un
8
2
Câu 6. (2đ)
an =
1
(−1)n−1 + 3n+1
→ R = (0.5đ)
2
n −1
3
(−1)n−1 + 3n+1 n+1
S(x) =
x
n2 − 1
n=2
∞
S(x) =
1
2
∞ (3x)n+1
∞ (−1)n−1 .xn+1
∞ (3x)n+1
(−1)n−1 .xn+1
+
−
−
(0.5đ)
n−1
n+1
n=2
n=2 n − 1
n=2
n=2 n + 1
∞
∞ (3x)n
1 2 ∞ (−x)n
2
=
x
+ (3x)
−
2
n
n
n=1
n=1
(0.5đ) S(x) =
(−x)n x x2
+ −
n
1
2
n=1
∞
(3x)n 3x (3x)2
−
−
−
n
1
2
n=1
∞
1
[(1 − x2 ) ln(1 + x) + (1 − 9x2 ) ln(1 − 3x) + 2x + 5x2 ] , x ∈
2
3
1 1
− ,
3 3
(0.5đ)
ĐỀ THI CUỐI HỌC KỲ 181 DỰ THÍNH
Môn: GIẢI TÍCH 2
Ngày thi: 12/12/2018
Thời gian: 90 phút
Đại học Bách Khoa TP Hồ Chí Minh
Khoa Khoa Học Ứng Dụng
Bộ môn Toán Ứng Dụng
Hình thức thi tự luận: Đề gồm 6 câu
Sinh viên không được sử dụng tài liệu.
Câu 1. Cho u = rs2 ln t, r = x2 , s = 4y − 3, t = xy 3 .
∂u ∂u
Tìm
+
tại (x, y, r, s, t) = (1, 1, 1, 1, 1).
∂x ∂y
x2 + y 2 dxdydz với Ω là vật thể giới hạn bởi x2 + y 2 + z 2 ≤
Câu 2. Tính tích phân bội ba
Ω
4, x ≤ y, z ≥ 0
((x − y)dx + (x + 2y)dy với C là phần đường tròn x2 + y 2 = 4 đi từ
Câu 3. Tính tích phân sau đây
√
điểm (−2, 0) đến giao điểm thứ nhất của đường tròn với y = − 3x tính theo chiều KĐH.
C
y 2 dx + z 2 dy + x2 dz, trong đó C là giao
Câu 4. Dùng công thức Stokes để tính tích phân I =
C
tuyến của mặt cầu x2 + y 2 + z 2 = 4x và mặt phẳng x = 2 + y lấy ngược chiều kim đồng hồ
nhìn từ x dương.
∞
(un + vn ) với
Câu 5. Khảo sát sự hội tụ của
n=1
5n (n!)2
un =
, vn =
n2n
1
cos
n
n3
.
∞
1
1+
n
Câu 6. Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa
n=1
n2
(2x + 1)n+2
CHỦ NHIỆM BỘ MÔN
1
ĐÁP ÁN
Câu 1. (2đ)
∂u ∂u
∂u ∂r ∂u ∂t
∂u ∂s ∂u ∂t
+
(1, 1, 1, 1, 1) =
.
+
.
+
.
+
.
(1đ)
∂x ∂y
∂r ∂x
∂t ∂x ∂s ∂y
∂t ∂y
rs2 3
rs2
= s2 . ln t.2x +
.y + 2rs ln t.4 +
.3xy 2 = 1 + 3 = 4 (1đ)
t
t
Câu 2. (1đ)
x = ρ sin θ cos ϕ
Đặt y = ρ sin θ sin ϕ
z = ρ cos θ
5π/4
I=
|J| = ρ2 sin θ
π/2
dϕ
π/4
2
ρ sin θ.ρ2 sin θdρ (0.5đ) = π 2 (0.5đ)
dθ
0
0
Lưu ý: Có thể giải theo cách dùng tọa độ trụ
Câu 3. (1.5đ)
x = 2 cos t
y = 2 sin t
Đặt
π≤t≤
2π
(0.5đ)
3
2π/3
[(2 cos t − 2 sin t)(−2 sin t) + (2 cos t + 4 sin t)(2 cos t)] dt (0.5đ) =
I=
π
3 4π
−
(0.5đ)
2
3
Câu 4. (2đ)
Chọn S là phần mặt phẳng x = y + 2 lấy ngược chiều kim đồng hồ nhìn từ x dương.
π
Suy ra α < ⇒ cos α > 0
2
1
−
Pt mặt phẳng S là F (x, y, z) = x − y − 2. Pháp vector →
n = √ (1, −1, 0)
2
Áp dụng định lý Stokes ta có:
y 2 dx + z 2 dy + x2 dz =
I=
C
−2ydxdy − 2zdydz − 2xdxdz (1đ)
S
−2ydxdy = 0
Do S là phần mặt x = y + 2 song song với trục Oz nên I3 =
S
1
1
−2z. √ + 2x. √
2
2
−2zdydz − 2xdxdz =
I=
S
√
ds = −4π 2 (1đ)
S
(Hình chiếu xuống mp y = 0 là DOzx : (x − 2)2 + z 2 = 2)
Câu 5. (1.5đ)
∞
• Khảo sát sự hội tụ của chuỗi
∞
un =
n=1
Ta có lim
n→∞
∞
⇒
un+1
1
= lim 5 1 −
n→∞
un
n+1
5n (n!)2
:
n2n
n=1
2n
(n+1) n+1
= 5e−2 < 1
un hội tụ theo tiêu chuẩn D Alembert. (0.5đ)
n=1
2
∞
∞
• Khảo sát sự hội tụ của chuỗi
vn =
n=1
√
Ta có lim n vn = lim
n→∞
n→∞
n=1
(2n2 )
1
1− 2
2n
n2
2n2
n3
1
cos
n
:
= e−1/2 < 1
∞
⇒
vn hội tụ theo tiêu chuẩn Cauchy. (0.5đ)
n=1
∞
• Ta có
∞
∞
vn hội tụ ⇒
un ,
n=1
(un + vn ) cũng hội tụ theo tính chất của chuỗi số.
n=1
n=1
(0.5đ)
Câu 6. (2đ)
∞
1
1+
n
Đặt X = 2x + 1, chuỗi viết lại là X 2
n=1
• Tìm bán kính R với an =
Ta có ρ = lim
n→∞
n
n→∞
• Khoảng hội tụ x ∈
1+
1
n
n
=e⇒R=
−1/e − 1 1/e − 1
,
2
2
• Xét sự hội tụ tại hai đầu mút
1/e − 1
Tại x =
chuỗi trở thành
2
n2
Xn
n2
1
1+
n
|an | = lim
n2
∞
n=1
1
1
= (0.5đ)
ρ
e
(0.5đ)
1
1+
n
n2
n
n+2
1
e
n+2
n
1 + n1
1 n
1
1
= lim
. 2 = lim eln(1+ n ) −1
Ta có lim
n→∞
n→∞
n→∞
e
e
e
n
n
1
1
1
1
1
1
= lim en. ln(1+ n )−1 . 2 = lim en.( n − 2n2 + 3n3 )−1 . 2 = e−5/2
n→∞
n→∞
e
e
⇒ chuỗi phân kỳ theo ĐKC.
∞
n2
n+2
−1/e − 1
1
1
n
Tại x =
(−1) 1 +
chuỗi trở thành
2
n
e
n=1
1
1+
n
n2
n+2
1
1
Ta có lim (−1) 1 +
n→∞
n
e
⇒ chuỗi phân kỳ theo ĐKC.
−1/e − 1 1/e − 1
Miền hội tụ x ∈
,
2
2
n
3
(1đ)
n
.
1
e2
ĐỀ THI CUỐI HỌC KỲ 182 DỰ THÍNH
Môn: GIẢI TÍCH 2
Ngày thi: 01/06/2019
Thời gian: 90 phút
Đại học Bách Khoa TP Hồ Chí Minh
Khoa Khoa Học Ứng Dụng
Bộ môn Toán Ứng Dụng
Hình thức thi tự luận: Đề gồm 6 câu
Sinh viên không được sử dụng tài liệu.
−
Câu 1. Tìm đạo hàm của h(x, y, z) = cos xy + eyz + ln zx theo hướng vector →
u = (1, 2, 2) tại
1
P0 1, 0,
2
Câu 2. Tính thể tích của vật thể giới hạn bởi các mặt: z = x2 + y 2 , z = x2 + y 2 + 1, x2 + y 2 = 1.
Câu 3. Cho C là chu tuyến kín, trơn từng khúc, định hướng dương và
1−x
y−1
dx +
dy
2
2
(x − 1) + (y − 1)
(x − 1)2 + (y − 1)2
I=
C
Tính I trong hai trường hợp:
a) Điểm (1, 1) nằm ngoài C
b) Điểm (1, 1) nằm trong C
yzdzdx + z 2 dxdy, trong đó S là phần mặt trụ y 2 + z 2 = 1, z ≥ 0 bị
Câu 4. Tính tích phân I =
S
−
→
chắn bởi các mặt x = 0, x = 1, lấy phía trên theo hướng vector Oz.
Câu 5. Khảo sát sự hội tụ của các chuỗi sau:
∞
a)
n=1
∞
b)
n=1
1.3...(2n − 1)
[2.4...(2n)] (3n + 1)
(n!)n
nn2
∞
x2 + 1
3
Câu 6. Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa
n=0
n
CHỦ NHIỆM BỘ MÔN
1
ĐÁP ÁN
Câu 1. (1.5đ)
→
−
u
→
−
n =
=
u
1 2 2
. ,
(0.5đ)
3 3 3
1
1
(0.5đ)
∇h = −y sin xy + , −x sin xy + zeyz , yeyz +
x
z
∂h
1 →
1
= ∇h 1, 0,
.−
n = 2 (0.5đ)
1, 0,
→
−
2
2
∂u
Câu 2. (1.5đ)
dϕ
dxdydz (0.5đ) =
V =
0
Ω
r2 +1
1
2π
rdr
dz (0.5đ) = π (0.5đ)
r2
0
Câu 3. (2đ)
P (x, y) =
y−1
1−x
,
Q(x,
y)
=
(x − 1)2 + (y − 1)2
(x − 1)2 + (y − 1)2
a) Qx = Py =
(x − 1)2 − (y − 1)2
(0.5đ)
[(x − 1)2 + (y − 1)2 ]2
(Qx − Py )dxdy = 0 (0.5đ)
P dx + Qdy = +
I=
C
D
b) P (x, y), Q(x, y) không liên tục tại (1, 1)
Gọi C là đường (x − 1)2 + (y − 1)2 = R2 với R đủ nhỏ để C nằm bên trong C, lấy cùng
chiều kim đồng hồ.
I=
P dx + Qdy −
P dx + Qdy =
C
C∪C
I1 =
C
(Qx − Py )dxdy = 0 (0.5đ) (D nằm giữa C và C )
P dx + Qdy = +
D
C∪C
I2 =
P dx + Qdy = I1 − I2
1−x
y−1
dx +
dy = −
2
R
R2
P dx + Qdy =
C
−
1
1
− 2
2
R
R
dxdy =
D
C
= 2π
(D : (x − 1)2 + (y − 1)2 ≤ R2 )
⇒ I = I1 − I2 = −2π (0.5đ)
Câu 4. (1.5đ)
(S) : z =
y
1 − y 2 ⇒ zx = 0, zy =
1 − y2.
S
y
1−
y2
−y
1 − y2
−
⇒→
n =
0,
y
1 − y2
+ (1 − y 2 ).1 dxdy (0.5đ) =
,1
dxdy = 2 (0.5đ)
Dxy
Câu 5. (2đ)
un+1
2n + 1 3n + 1
1
= lim
. n+1
= (0.5đ)
n→∞ 2n + 2 3
n→∞ un
+1
3
1
D = < 1 ⇒ chuỗi hội tụ theo tiêu chuẩn D Alembert (0.5đ)
3
n!
√
b) C = lim n un = lim n = 0 (0.5đ)
n→∞
n→∞ n
C = 0 < 1 ⇒ chuỗi hội tụ theo tiêu chuẩn Cauchy (0.5đ)
a) D = lim
2
(0.5đ)
2
S(D )
R2
Câu 6. (1.5đ)
∞
n
1
3
2
Đặt X = x + 1, chuỗi viết lại là
n=0
Xn
n
1
1
1
= ⇒ R = = 3 (0.5đ)
n→∞
n→∞
3
3
ρ
√
√
Khoảng hội tụ: 1 ≤ X < 3 ⇔ − 2 < x < 2 (0.5đ)
∞
√
(1)n
Tại x = ± 2 chuỗi trở thành
Ta có ρ = lim
n
|un | = lim
n
n=0
Ta có lim (1)n = 1 = 0 ⇒ chuỗi phân kỳ theo ĐKC
n→∞
√
√
Miền hội tụ: − 2 < x < 2 (0.5đ)
3
ĐỀ THI CUỐI HỌC KỲ 172 DỰ THÍNH
Môn: GIẢI TÍCH 2
Ngày thi: 03/06/2018
Thời gian: 90 phút
Đại học Bách Khoa TP Hồ Chí Minh
Khoa Khoa Học Ứng Dụng
Bộ môn Toán Ứng Dụng
Hình thức thi tự luận: Đề gồm 6 câu
Sinh viên không được sử dụng tài liệu.
Câu 1. Cho hàm f (x, y) = x3 − 2xy 2 + 5y 2 + 4x và điểm M (−2, 1, −7) nằm trên mặt S có phương
trình z = f (x, y)
−→
1. Tính hệ số góc của mặt S theo hướng vector Oy tại M
2. Tìm phương trình tiếp diện của mặt S tại M
√
√
Câu 2. Tính thể tích vật thể giới hạn bởi các mặt: y = x, y = 2 x, z = 0, z = 6 − x
1
y sin(xy) + y 2 + y dx + (x sin(xy) + xy) dy với C là nửa đường
2
Câu 3. Tính tích phân I =
C
tròn x2 + y 2 + 2x = 0 đi từ A(−1, −1) đến B(−1, 1) theo cùng chiều kim đồng hồ.
Câu 4. Tính tích phân I =
(y−z)dydz+(z−x)dzdx+(x−y)dxdy với S là mặt nón z =
x2 + y 2 ,
S
phần ứng với z ≤ 2 và x ≥ 0, lấy phía dưới.
∞
Câu 5. Khảo sát sự hội tụ của các chuỗi số
n=1
∞
Câu 6. Cho chuỗi lũy thừa
n=1
(−1)n (2n)!
.
(n!)2 .3n
22n+1 n
x .
n(n + 2)
1. Tìm bán kính hội tụ R của chuỗi.
∞
2. Với R ở câu trên, tính tổng chuỗi ∀x ∈ (−R, R) biết
n=1
xn
= − ln (1 − x) , ∀x ∈ (−1, 1).
n
CHỦ NHIỆM BỘ MÔN
1
ĐÁP ÁN
Câu 1. (1.5đ)
1. k = 18 (0.5đ)
2. 14(x + 2) + 18(y − 1) = z + 7 (1đ)
Câu 2. (1.5đ)
√
2 x
6
V =
dx
dy
√
0
6−x
6
dz (0.5đ) =
0
x
√
√
48 6
(6 − x) xdx (0.5đ) =
≈ 23.52 (0.5đ)
5
0
Câu 3. (2đ)
Gọi C1 là đường thẳng x = −1, đi từ B đến A thì C ∪ C1 là biên âm của
D : x2 + y 2 + 2x ≤ 0, x ≤ −1 (0.5đ)
P dx + Qdy −
I=
P dx + Qdy (0.5đ)
(− sin(−y) − y) dy (0.5đ) =
(−1)dxdy −
Câu 4. (2đ)
1 x y
→
−
, , −1 (0.5đ)
n =√
2 z z
I=
π
(0.5đ)
2
1
D
√
hình tròn
C1
−1
C∪C1
=−
1
2
π
2
(y − x)ds (0.5đ) =
2
2
− π2
S
r2 (sin ϕ − cos ϕ)dr (0.5đ) = −
dϕ
16
(0.5đ)
3
0
Câu 5. (1đ)
lim
n→∞
(2n + 1)(2n + 2)
4
un+1
= lim
= (0.5đ) ⇒ P K (0.5đ)
2
n→∞
un
(n + 1) .3
3
Câu 6. (2đ)
22n+1
1
→ R = (0.5đ)
n(n + 2)
4
∞
∞
2n+1
2
1
1
n
S(x) =
x =
−
n(n + 2)
n n+2
n=1
n=1
an =
∞
x=0:
n=1
S(x) =
n
(4x)
1
=
n+2
(4x)2
∞
n=1
∞
n
(4x) =
n=1
∞
n+2
(4x)
1
=
n+2
16x2
n=1
0, x = 0
1
1
1
−
1
ln
(1
−
4x)
+
+
,x ∈
16x2
4x 2
2
∞
(4x)n
(4x)n
−
(0.5đ)
n
n+2
n=1
(4x)n 4x (4x)2
−
−
n
1
2
1
1
− , 0 ∪ 0,
4
4
(0.5đ)
(0.5đ)
ĐỀ THI CUỐI HỌC KỲ 173 DỰ THÍNH
Môn: GIẢI TÍCH 2
Ngày thi: 09/09/2018
Thời gian: 90 phút
Đại học Bách Khoa TP Hồ Chí Minh
Khoa Khoa Học Ứng Dụng
Bộ môn Toán Ứng Dụng
Hình thức thi tự luận: Đề gồm 6 câu
Sinh viên không được sử dụng tài liệu.
Câu 1. Cho mặt cong S có phương trình z = x3 − 2xy 2 + 5y 2 + 8x − 4y. Tìm vector pháp của mặt
cong và phương trình tiếp diện của mặt cong tại M (−1, 2, 11)
Câu 2. Tính thể tích vật thể giới hạn bởi z = 0, x + y + z = 3, y = 0,
x y
x y
+ = 1, + = 1
2 3
4 3
Câu 3. Tính diện tích phần mặt trụ z = 4 − y 2 bị cắt bởi các mặt phẳng z = 0, x + y = 2, x = 4.
Câu 4. Dùng công thức Stokes để tính tích phân
1
(z 3 + x2 y)dx + (2xz 2 − x2 y)dy + x3 − y 3 + 3z 2 y dz với C là đường cong
3
I=
C
2
x + 2y 2 + z 2 = 4y
lấy cùng chiều kim đồng hồ nhìn từ phía z dương (Nhìn theo hướng
z=x
từ dương sang âm của trục Oz).
Câu 5. Khảo sát sự hội tụ của các chuỗi số
∞
1.
n=3
∞
2.
n=1
3n2 − 2
n2 + n
(4n−3)
n−3
n+1
(n−3)(n+1)
(−1)n−1 .4.7...(3n + 1)
23n+1 (n!)
∞
Câu 6. Tìm bán kính hội tụ R của chuỗi lũy thừa
n=2
(−1)n−1 + 3n+1 n+1
x
và tính tổng chuỗi khi
n2 − 1
x ∈ (−R, R).
CHỦ NHIỆM BỘ MÔN
1
ĐÁP ÁN
Câu 1. (1.5đ)
−
Pháp vector: →
n = ±(3, 24, −1) (1đ)
PTTD: z = 3(x + 1) + 24(y − 2) + 11 hoặc 3(x + 1) + 24(y − 2) − (z − 11) = 0 (0.5đ)
Câu 2. (1.5đ)
3−y
3
dxdydz =
V =
dy
0
Ω
3−x−y
dx
3
(3 − y) 3 − y −
=
dz +
0
6−2y
3
6 − 2y
3
−
12−4y
3
3
0
dx
dy
3−y
0
dz (0.5đ)
3−x−y
(3 − y)2 (6 − 2y)2
+
dy +
2
18
0
3
(y − 3)
=
12 − 4y
(12 − 4y)2 (3 − y)2
1 1
−3+y +
−
dy (0.5đ) = + = 1 (0.5đ)
3
18
2
2 2
0
Câu 3. (1.5đ)
PTGT: z = 4 − y 2 ∧ z = 0 ⇔ y = ±2
D : y = ±2, x + y = 2, x = 4 (0.5đ)
2
1 + 4y 2 dxdy (0.5đ) =
ds =
SS =
S
= ln(4 +
√
D
4
dy
−2
√
2
1 + 4y 2 dx =
1 + 4y 2 (2 + y)dy
−2
2−y
17) + 4 17 ≈ 18.59 (0.5đ)
Câu 4. (2đ)
Gọi S là phần mặt phẳng z = x nằm trong ellipsoid, lấy phía dưới theo hướng Oz (0.5đ)
(−y 2 + 3z 2 − 4xz)dydz + (3z 2 − 3x2 )dzdx + (2z 2 − 2xy − x2 )dxdy (0.5đ)
Stokes: I =
S
Dxy : x2 + y 2 ≤ 2y
(−y 2 + 3z 2 − 4xz, 3z 2 − 3x2 , 2z 2 − 2xy − x2 )(1, 0, −1)dxdy
I=
Dxy
(−y 2 + 3x2 − 4x2 − x2 + 2xy)dxdy (0.5đ)
=
Dxy
(−2x2 + 2xy − y 2 )dxdy =
=
Dxy
π
=
Dxy
2 sin ϕ
π
2
2
2
2
(8 cos2 ϕ sin4 ϕ + 4 sin6 ϕ)dϕ = −
(−2r cos ϕ − r sin ϕ)rdr = −
dϕ
0
(−2x2 − y 2 )dxdy (Do Dxy đối xứng qua Oy)
0
7π
(0.5đ)
4
0
Câu 5. (1.5đ)
√
1. lim n un = lim
n→∞
2. lim
n→∞
n→∞
3n2 − 2
n2 + n
4n−3
n
4
1−
n+1
(n+1) n−3
n
=
34
> 1 (0.5đ) ⇒ P K (0.25đ)
e4
3
un+1
(3n + 4)
= lim 3
= < 1 (0.5đ) ⇒ HT (0.25đ)
n→∞ 2 .(n + 1)
un
8
2
Câu 6. (2đ)
an =
1
(−1)n−1 + 3n+1
→ R = (0.5đ)
2
n −1
3
(−1)n−1 + 3n+1 n+1
S(x) =
x
n2 − 1
n=2
∞
S(x) =
1
2
∞ (3x)n+1
∞ (−1)n−1 .xn+1
∞ (3x)n+1
(−1)n−1 .xn+1
+
−
−
(0.5đ)
n−1
n+1
n=2
n=2 n − 1
n=2
n=2 n + 1
∞
∞ (3x)n
1 2 ∞ (−x)n
2
=
x
+ (3x)
−
2
n
n
n=1
n=1
(0.5đ) S(x) =
(−x)n x x2
+ −
n
1
2
n=1
∞
(3x)n 3x (3x)2
−
−
−
n
1
2
n=1
∞
1
[(1 − x2 ) ln(1 + x) + (1 − 9x2 ) ln(1 − 3x) + 2x + 5x2 ] , x ∈
2
3
1 1
− ,
3 3
(0.5đ)
ĐỀ THI CUỐI HỌC KỲ 181 DỰ THÍNH
Môn: GIẢI TÍCH 2
Ngày thi: 12/12/2018
Thời gian: 90 phút
Đại học Bách Khoa TP Hồ Chí Minh
Khoa Khoa Học Ứng Dụng
Bộ môn Toán Ứng Dụng
Hình thức thi tự luận: Đề gồm 6 câu
Sinh viên không được sử dụng tài liệu.
Câu 1. Cho u = rs2 ln t, r = x2 , s = 4y − 3, t = xy 3 .
∂u ∂u
Tìm
+
tại (x, y, r, s, t) = (1, 1, 1, 1, 1).
∂x ∂y
x2 + y 2 dxdydz với Ω là vật thể giới hạn bởi x2 + y 2 + z 2 ≤
Câu 2. Tính tích phân bội ba
Ω
4, x ≤ y, z ≥ 0
((x − y)dx + (x + 2y)dy với C là phần đường tròn x2 + y 2 = 4 đi từ
Câu 3. Tính tích phân sau đây
√
điểm (−2, 0) đến giao điểm thứ nhất của đường tròn với y = − 3x tính theo chiều KĐH.
C
y 2 dx + z 2 dy + x2 dz, trong đó C là giao
Câu 4. Dùng công thức Stokes để tính tích phân I =
C
tuyến của mặt cầu x2 + y 2 + z 2 = 4x và mặt phẳng x = 2 + y lấy ngược chiều kim đồng hồ
nhìn từ x dương.
∞
(un + vn ) với
Câu 5. Khảo sát sự hội tụ của
n=1
5n (n!)2
un =
, vn =
n2n
1
cos
n
n3
.
∞
1
1+
n
Câu 6. Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa
n=1
n2
(2x + 1)n+2
CHỦ NHIỆM BỘ MÔN
1
ĐÁP ÁN
Câu 1. (2đ)
∂u ∂u
∂u ∂r ∂u ∂t
∂u ∂s ∂u ∂t
+
(1, 1, 1, 1, 1) =
.
+
.
+
.
+
.
(1đ)
∂x ∂y
∂r ∂x
∂t ∂x ∂s ∂y
∂t ∂y
rs2 3
rs2
= s2 . ln t.2x +
.y + 2rs ln t.4 +
.3xy 2 = 1 + 3 = 4 (1đ)
t
t
Câu 2. (1đ)
x = ρ sin θ cos ϕ
Đặt y = ρ sin θ sin ϕ
z = ρ cos θ
5π/4
I=
|J| = ρ2 sin θ
π/2
dϕ
π/4
2
ρ sin θ.ρ2 sin θdρ (0.5đ) = π 2 (0.5đ)
dθ
0
0
Lưu ý: Có thể giải theo cách dùng tọa độ trụ
Câu 3. (1.5đ)
x = 2 cos t
y = 2 sin t
Đặt
π≤t≤
2π
(0.5đ)
3
2π/3
[(2 cos t − 2 sin t)(−2 sin t) + (2 cos t + 4 sin t)(2 cos t)] dt (0.5đ) =
I=
π
3 4π
−
(0.5đ)
2
3
Câu 4. (2đ)
Chọn S là phần mặt phẳng x = y + 2 lấy ngược chiều kim đồng hồ nhìn từ x dương.
π
Suy ra α < ⇒ cos α > 0
2
1
−
Pt mặt phẳng S là F (x, y, z) = x − y − 2. Pháp vector →
n = √ (1, −1, 0)
2
Áp dụng định lý Stokes ta có:
y 2 dx + z 2 dy + x2 dz =
I=
C
−2ydxdy − 2zdydz − 2xdxdz (1đ)
S
−2ydxdy = 0
Do S là phần mặt x = y + 2 song song với trục Oz nên I3 =
S
1
1
−2z. √ + 2x. √
2
2
−2zdydz − 2xdxdz =
I=
S
√
ds = −4π 2 (1đ)
S
(Hình chiếu xuống mp y = 0 là DOzx : (x − 2)2 + z 2 = 2)
Câu 5. (1.5đ)
∞
• Khảo sát sự hội tụ của chuỗi
∞
un =
n=1
Ta có lim
n→∞
∞
⇒
un+1
1
= lim 5 1 −
n→∞
un
n+1
5n (n!)2
:
n2n
n=1
2n
(n+1) n+1
= 5e−2 < 1
un hội tụ theo tiêu chuẩn D Alembert. (0.5đ)
n=1
2
∞
∞
• Khảo sát sự hội tụ của chuỗi
vn =
n=1
√
Ta có lim n vn = lim
n→∞
n→∞
n=1
(2n2 )
1
1− 2
2n
n2
2n2
n3
1
cos
n
:
= e−1/2 < 1
∞
⇒
vn hội tụ theo tiêu chuẩn Cauchy. (0.5đ)
n=1
∞
• Ta có
∞
∞
vn hội tụ ⇒
un ,
n=1
(un + vn ) cũng hội tụ theo tính chất của chuỗi số.
n=1
n=1
(0.5đ)
Câu 6. (2đ)
∞
1
1+
n
Đặt X = 2x + 1, chuỗi viết lại là X 2
n=1
• Tìm bán kính R với an =
Ta có ρ = lim
n→∞
n
n→∞
• Khoảng hội tụ x ∈
1+
1
n
n
=e⇒R=
−1/e − 1 1/e − 1
,
2
2
• Xét sự hội tụ tại hai đầu mút
1/e − 1
Tại x =
chuỗi trở thành
2
n2
Xn
n2
1
1+
n
|an | = lim
n2
∞
n=1
1
1
= (0.5đ)
ρ
e
(0.5đ)
1
1+
n
n2
n
n+2
1
e
n+2
n
1 + n1
1 n
1
1
= lim
. 2 = lim eln(1+ n ) −1
Ta có lim
n→∞
n→∞
n→∞
e
e
e
n
n
1
1
1
1
1
1
= lim en. ln(1+ n )−1 . 2 = lim en.( n − 2n2 + 3n3 )−1 . 2 = e−5/2
n→∞
n→∞
e
e
⇒ chuỗi phân kỳ theo ĐKC.
∞
n2
n+2
−1/e − 1
1
1
n
Tại x =
(−1) 1 +
chuỗi trở thành
2
n
e
n=1
1
1+
n
n2
n+2
1
1
Ta có lim (−1) 1 +
n→∞
n
e
⇒ chuỗi phân kỳ theo ĐKC.
−1/e − 1 1/e − 1
Miền hội tụ x ∈
,
2
2
n
3
(1đ)
n
.
1
e2
